Estadística descriptiva

1.1. ¿Qué es la estadística descriptiva?

La estadística es la ciencia que se encarga de recolectar, organizar, presentar, analizar e interpretar datos para obtener conclusiones y tomar decisiones.

Dentro de ella, la estadística descriptiva es la parte que se ocupa de:

• recolectar datos,
• clasificarlos,
• ordenarlos en tablas,
• representarlos gráficamente,
• resumirlos mediante medidas como el promedio o la desviación estándar.

No se encarga de hacer inferencias generales con probabilidades; eso corresponde a la estadística inferencial.

1.2. Población, muestra y unidad estadística

Cuando queremos estudiar una característica de un grupo:

• Población: es el conjunto completo de elementos que interesan en un estudio.
  Ejemplo: todos los postulantes a la UNMSM en un determinado año.

• Muestra: es una parte representativa de la población.
  Ejemplo: 800 postulantes elegidos al azar de todos los postulantes.

• Unidad estadística: es cada elemento de la población o muestra que se observa.
  Ejemplo: un postulante concreto.

Ejemplo breve
Si se desea estudiar la estatura de los estudiantes de un centro preuniversitario, la población son todos los estudiantes del centro; una muestra podría ser un aula de 50 estudiantes; la unidad estadística es cada estudiante.

1.3. Variable estadística

Una variable estadística es una característica que puede tomar distintos valores en los elementos de una población o muestra.

Las variables se clasifican así:

La distinción es importante porque determina qué tipo de tabla y gráfico conviene usar.

Una tabla de distribución de frecuencias es un resumen ordenado de un conjunto de datos. En ella se indica cuántas veces aparece cada valor o cada clase de valores.

2.1. Frecuencias para datos no agrupados

Cuando la variable es cualitativa o cuantitativa discreta con pocos valores, se trabaja con datos no agrupados.

Dado un conjunto de $n$ datos, se definen:

• Frecuencia absoluta simple $f_i$: número de veces que aparece el valor $x_i$.
• Frecuencia absoluta acumulada $F_i$: suma de las frecuencias absolutas desde el primer valor hasta el valor $x_i$.
• Frecuencia relativa simple $h_i$: proporción del total que representa $f_i$.
  $$h_i = \frac{f_i}{n}$$
• Frecuencia relativa acumulada $H_i$: suma de las frecuencias relativas acumuladas.
• Frecuencia porcentual $p_i$:
  $$p_i = h_i \times 100\%$$

Ejemplo
Se pregunta a 25 estudiantes cuántas materias de matemática han aprobado. Los resultados se resumen así:

La interpretación es directa: por ejemplo, $f_2 = 6$ significa que 6 estudiantes aprobaron exactamente 1 materia; $F_3 = 17$ significa que 17 estudiantes aprobaron como máximo 2 materias.

2.2. Frecuencias para datos agrupados

Cuando la variable toma muchos valores distintos, especialmente si es continua, se agrupan los datos en intervalos de clase.

Los elementos de una tabla agrupada son:

• Intervalo de clase: por ejemplo, $[30; 40\rangle$.
• Límite inferior $L_i$: extremo izquierdo del intervalo.
• Límite superior $L_s$: extremo derecho del intervalo.
• Ancho de clase $w$:
  $$w = L_s - L_i$$
• Marca de clase $x_i$: punto medio de cada intervalo.
  $$x_i = \frac{L_i + L_s}{2}$$
• Frecuencia absoluta $f_i$: número de datos que caen en el intervalo.

Para construir la tabla con ancho común:

1. Se halla el rango:
   $$R = D_{\text{máximo}} - D_{\text{mínimo}}$$
2. Se elige un número adecuado de intervalos. En problemas suele estar indicado; si no, se busca una cantidad razonable, normalmente entre 5 y 15 intervalos.
3. Se calcula un ancho aproximado:
   $$w \approx \frac{R}{k}$$ y se redondea a un valor conveniente.
4. Se definen los límites de cada intervalo, asegurándose de que todos los datos queden incluidos.

Ejemplo
Se registran los puntajes de 40 estudiantes en un examen. Los puntajes van de 30 a menos de 90. Se agrupan así:

En este nivel se acostumbra usar intervalos semiabiertos por la derecha: $[a; b\rangle$ incluye a $a$ y excluye a $b$. Así, un puntaje 70 se clasifica en $[70;80\rangle$, no en $[60;70\rangle$.

La frecuencia acumulada $F_i$ indica cuántos datos son menores que el límite superior del intervalo. Por ejemplo, $F_4 = 30$ significa que 30 estudiantes obtuvieron menos de 70 puntos.

Los gráficos son representaciones visuales de una distribución de frecuencias. Permiten entender de un vistazo la forma de los datos: dónde hay más casos, cómo se distribuyen y si existen valores destacados.

3.1. Diagrama de barras

Se usa para variables cualitativas o cuantitativas discretas.

En el eje horizontal se colocan las categorías o valores; en el eje vertical, las frecuencias absolutas o relativas. Las barras suelen separarse para mostrar que se trata de categorías distintas.

3.2. Diagrama circular o de sectores

También se llama gráfico de pastel. Es útil para mostrar proporciones de una variable cualitativa.

La idea central es que la frecuencia de cada categoría es proporcional al ángulo central del sector.

Si una categoría tiene frecuencia $f_i$ y el total es $n$, el ángulo central $\alpha_i$ es:

$$\alpha_i = \frac{f_i}{n} \times 360^\circ$$

o, usando la frecuencia relativa:

$$\alpha_i = h_i \times 360^\circ$$

Ejemplo
En un aula de 40 estudiantes, 20 prefieren fútbol, 12 básquet y 8 vóley. Los ángulos serían:

$$\text{Fútbol: } \frac{20}{40} \times 360^\circ = 180^\circ$$

$$\text{Básquet: } \frac{12}{40} \times 360^\circ = 108^\circ$$

$$\text{Vóley: } \frac{8}{40} \times 360^\circ = 72^\circ$$

3.3. Histograma

El histograma se usa para datos agrupados en intervalos. Es un diagrama de barras en el que las barras están juntas, porque representan intervalos consecutivos.

• La base de cada barra es el ancho de clase $w$.
• La altura representa la frecuencia absoluta $f_i$ o la frecuencia relativa $h_i$.

Si todos los intervalos tienen el mismo ancho, la altura de la barra es proporcional a la frecuencia. El área total del histograma es igual al ancho común multiplicado por el total de datos:

$$\text{Área total} = w \times n$$

3.4. Polígono de frecuencias

El polígono de frecuencias se obtiene uniendo los puntos medios de las bases superiores de las barras del histograma.

Para que el polígono cierre correctamente en el eje horizontal, se agrega un intervalo ficticio de frecuencia cero al inicio y otro al final.

Una propiedad importante: en un histograma con ancho de clase común, el área bajo el polígono de frecuencias coincide con el área bajo el histograma.

3.5. Diagrama escalonado y ojiva

Para representar frecuencias acumuladas se usa el diagrama escalonado y la ojiva.

• En el diagrama escalonado, las barras tienen como altura las frecuencias acumuladas $F_i$.
• La ojiva se obtiene uniendo los puntos ubicados en los extremos derechos de las bases superiores de esas barras.
• Se coloca un punto inicial en el límite inferior del primer intervalo con acumulada 0.

La ojiva sirve para aproximar cuántos datos son menores que un valor dado.

Una tabla y un gráfico organizan los datos, pero también es útil resumir todo el conjunto en un solo valor representativo. Ese es el objetivo de las medidas de tendencia central, llamadas comúnmente promedios.

4.1. Media aritmética

La media aritmética o promedio aritmético de un conjunto de $n$ datos $x_1, x_2, \dots, x_n$ es:

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$

Ejemplo
Si un alumno obtiene 12, 14, 13 y 17 en cuatro prácticas, su promedio es:

$$\bar{x} = \frac{12 + 14 + 13 + 17}{4} = \frac{56}{4} = 14$$

La media aritmética tiene dos propiedades muy usadas en admisión:

1. Si a todos los datos se les suma una constante $c$: $$\overline{x + c} = \bar{x} + c$$
2. Si todos los datos se multiplican por una constante $k$: $$\overline{kx} = k\bar{x}$$

4.2. Media aritmética ponderada

Cuando los datos tienen pesos o importancias diferentes, se usa la media ponderada:

$$\bar{x}_p = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_m x_m}{w_1 + w_2 + \cdots + w_m}$$

donde $w_i$ es el peso o ponderación del dato $x_i$.

Ejemplo
Si un curso tiene dos exámenes: uno vale 30% y otro 70%, y un alumno obtiene 12 y 16, respectivamente, su promedio ponderado es:

$$\bar{x}_p = \frac{0.30 \times 12 + 0.70 \times 16}{1} = 3.6 + 11.2 = 14.8$$

4.3. Mediana

La mediana $Me$ es el valor central de un conjunto de datos ordenados de menor a mayor.

• Si $n$ es impar, es el dato central.
• Si $n$ es par, es la semisuma de los dos datos centrales.

Ejemplo
Datos: 15, 11, 18, 13, 20.
Se ordenan: 11, 13, 15, 18, 20.
Hay 5 datos, la mediana es el tercero: $Me = 15$.

La mediana no se ve afectada por valores extremos. Por eso se usa cuando hay datos muy alejados del resto.

4.4. Moda

La moda $Mo$ es el dato que tiene mayor frecuencia.

Un conjunto puede ser:

• unimodal: tiene una moda;
• bimodal: tiene dos modas;
• amodal: no tiene moda, porque todos los datos tienen la misma frecuencia.

Ejemplo
En los datos: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, la moda es 4.

4.5. Media geométrica y media armónica

Son otros promedios que aparecen en problemas de aritmética.

La media geométrica de $n$ datos positivos es:

$$MG = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$

Se usa para promediar tasas de crecimiento, porcentajes sucesivos e índices.

La media armónica de $n$ datos distintos de cero es:

$$MH = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}$$

Se usa, por ejemplo, para promediar velocidades cuando se recorre la misma distancia.

Para datos positivos se cumple:

$$MA \geq MG \geq MH$$

La igualdad se da solo si todos los datos son iguales.

4.6. Medidas de tendencia central para datos agrupados

Cuando los datos están en una tabla con intervalos, se usan las marcas de clase.

La media aritmética es:

$$\bar{x} = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \cdots + x_k f_k}{n}$$

donde $x_i$ es la marca de clase y $f_i$ su frecuencia.

La mediana se encuentra identificando primero la clase mediana: aquella cuya frecuencia acumulada supera por primera vez a $n/2$. Luego:

$$Me = L_m + w \left( \frac{\frac{n}{2} - F_{m-1}}{f_m} \right)$$

donde:

• $L_m$: límite inferior de la clase mediana,
• $w$: ancho de clase común,
• $F_{m-1}$: frecuencia acumulada anterior a la clase mediana,
• $f_m$: frecuencia de la clase mediana.

La moda se calcula sobre la clase modal, que es la de mayor frecuencia:

$$Mo = L_o + w \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right)$$

donde:

• $L_o$: límite inferior de la clase modal,
• $d_1 = f_{\text{modal}} - f_{\text{anterior}}$,
• $d_2 = f_{\text{modal}} - f_{\text{posterior}}$.

Estas fórmulas suponen ancho de clase común.

Un promedio no lo dice todo. Dos conjuntos con la misma media pueden ser muy diferentes:

$$A: \quad 10, 10, 10, 10 \quad \bar{x}=10$$

$$B: \quad 0, 5, 15, 20 \quad \bar{x}=10$$

Ambos tienen promedio 10, pero la variabilidad del conjunto $B$ es mucho mayor. Las medidas de dispersión cuantifican esa diferencia.

5.1. Rango

El rango $R$ es la diferencia entre el dato máximo y el mínimo:

$$R = D_{\text{máximo}} - D_{\text{mínimo}}$$

Es una medida muy sencilla, pero solo usa dos datos.

5.2. Varianza

La varianza mide el promedio de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto de su media.

Para $n$ datos:

$$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$$

También se puede usar la fórmula abreviada:

$$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n} - \bar{x}^2$$

Ambas dan el mismo resultado.

Ejemplo
Para los datos: 2, 4, 6, 8.

La media es:

$$\bar{x} = \frac{2+4+6+8}{4} = 5$$

Las desviaciones al cuadrado son:

$$(2-5)^2=9,\quad (4-5)^2=1,\quad (6-5)^2=1,\quad (8-5)^2=9$$

Entonces:

$$\sigma^2 = \frac{9+1+1+9}{4} = \frac{20}{4} = 5$$

5.3. Propiedades de la varianza

Estas propiedades son muy importantes y han sido materia de examen.

1. Si a todos los datos se les suma o resta una misma constante $c$, la varianza no cambia:

   $$\sigma^2(x + c) = \sigma^2(x)$$

2. Si todos los datos se multiplican por una constante $k$, la varianza queda multiplicada por $k^2$:

   $$\sigma^2(kx) = k^2 \sigma^2(x)$$

3. Si se combinan ambas operaciones:

   $$\sigma^2(kx + c) = k^2 \sigma^2(x)$$

La justificación es simple: sumar una constante desplaza todos los datos, pero no altera las diferencias entre ellos; multiplicar por $k$ agranda o reduce las diferencias en factor $k$, y al elevar al cuadrado se obtiene $k^2$.

5.4. Desviación estándar

La desviación estándar $\sigma$ es la raíz cuadrada de la varianza:

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$

Su ventaja es que queda expresada en las mismas unidades que los datos. Por ejemplo, si los datos son notas, la varianza está en “notas al cuadrado” y la desviación estándar en “notas”.

Ejemplo
Si $\sigma^2 = 5$, entonces:

$$\sigma = \sqrt{5}$$

5.5. Coeficiente de variación

El coeficiente de variación $CV$ es una medida de dispersión relativa:

$$CV = \frac{\sigma}{|\bar{x}|} \times 100\%$$

Sirve para comparar la dispersión de dos conjuntos cuyos promedios o unidades son distintos.

5.6. Varianza para datos agrupados

Si los datos están agrupados en una tabla de frecuencias, se usan las marcas de clase:

$$\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{n}$$

o su forma abreviada:

$$\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{n} - \bar{x}^2$$

donde $x_i$ es la marca de clase y $f_i$ la frecuencia absoluta.