Razones y proporciones I: razón aritmética, geométrica y armónica. Propiedades y aplicaciones

Una razón es la comparación de dos cantidades mediante una operación aritmética. Según la operación que utilicemos, la razón puede ser:

• Aritmética: si comparamos por diferencia.
• Geométrica: si comparamos por división.
• Armónica: si comparamos mediante los recíprocos de las cantidades.

A las cantidades que se comparan se les llama antecedente y consecuente, en ese orden.

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1.1 Razón aritmética: comparar por diferencia

La razón aritmética entre dos cantidades $a$ y $b$ es la diferencia:

$$a-b=r$$

Donde:

• $a$: antecedente.
• $b$: consecuente.
• $r$: valor de la razón aritmética.

Ejemplo. Si Ana tiene 17 años y Mía tiene 15 años, entonces la razón aritmética entre sus edades es:

$$17-15=2$$

Esto se interpreta así:

• La edad de Ana excede a la edad de Mía en 2 años.
• La edad de Mía es excedida por la edad de Ana en 2 años.
• La diferencia entre ambas edades es 2 años.

Observa que la razón aritmética responde a la pregunta: “¿en cuánto excede una cantidad a otra?”

Otro ejemplo: si una laptop cuesta $\$500$ y un estéreo cuesta $\$375$, entonces:

$$500-375=125$$

Por lo tanto, el precio de la laptop excede al precio del estéreo en $\$125$.

En general:

$$a-b=r$$

equivale a decir que $a$ excede a $b$ en $r$.

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1.2 Razón geométrica: comparar por división

La razón geométrica entre dos cantidades $a$ y $b$ es el cociente:

$$\frac{a}{b}=k$$

Donde:

• $a$: antecedente.
• $b$: consecuente.
• $k$: valor de la razón geométrica.

Ejemplo. Si en un aula hay 12 varones y 8 mujeres, la razón geométrica entre varones y mujeres, en ese orden, es:

$$\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$$

Se interpreta así:

• Hay 12 varones por cada 8 mujeres.
• La relación de varones a mujeres es de 3 a 2.
• Por cada 3 varones hay 2 mujeres.
• El número de varones y el número de mujeres están en relación de 3 a 2.

Cuando en un problema solo se dice razón, generalmente se refiere a la razón geométrica, porque es la que tiene mayor aplicación.

En una razón geométrica podemos tener una fracción:

$$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$$

Se lee: $a$ es a $b$ como $m$ es a $n$.

Aquí hay un punto clave: si

$$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$$

no significa necesariamente que $a=m$ y $b=n$. Significa que existe una constante $k$ tal que:

$$a=mk$$

y

$$b=nk$$

Esto se justifica porque si $\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$, entonces $a = \frac{m}{n}b$. Si hacemos $b=nk$, resultará:

$$a=\frac{m}{n}(nk)=mk$$

Por eso, ante una relación como $3:5$, se asume que las cantidades son $3k$ y $5k$, no necesariamente 3 y 5.

Ejemplo.
Si $\frac{A}{B}=\frac{3}{5}$, entonces:

$$A=3k,\qquad B=5k$$

para algún valor positivo de $k$.

Este es el método más importante para resolver problemas de razones.

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“Veces” y “veces más”

Es muy común confundir estas dos expresiones:

• Si $A$ es dos veces $B$, entonces:

$$A=2B$$

• Si $A$ es dos veces más que $B$, entonces $A$ es igual a lo que ya tiene $B$, más dos veces $B$:

$$A=B+2B=3B$$

Por lo tanto:

$$\text{“A es dos veces más que B”}$$

equivale a decir que $A$ es el triple de $B$.

En general:

$$\text{“A es } n \text{ veces más que } B \text{”}$$

implica:

$$A=B+nB=(n+1)B$$

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1.3 Razón armónica: comparar mediante recíprocos

La razón armónica entre dos cantidades $a$ y $b$ se define como la diferencia de sus recíprocos:

$$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=h$$

Donde:

• $a$: antecedente.
• $b$: consecuente.
• $h$: valor de la razón armónica.

Ejemplo.
La razón armónica entre 12 y 20, en ese orden, es:

$$\frac{1}{12}-\frac{1}{20}$$

Sacamos mínimo común múltiplo de 12 y 20, que es 60:

$$\frac{5}{60}-\frac{3}{60}=\frac{2}{60}=\frac{1}{30}$$

Por lo tanto, la razón armónica entre 12 y 20 es $\frac{1}{30}$.

La razón armónica no compara directamente “cuántas veces” una cantidad contiene a otra, sino que trabaja con los recíprocos. Su nombre se debe a que los recíprocos aparecen en la media armónica.

Más adelante, cuando se igualen dos razones armónicas, se formará una proporción armónica, que es el objetivo del siguiente tema.

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Cuando se tiene:

$$\frac{A}{B}=\frac{m}{n}$$

se escribe:

$$A=mk$$

$$B=nk$$

A partir de esta representación se obtienen relaciones muy útiles.

Suma de las cantidades

$$A+B=mk+nk=(m+n)k$$

Es decir, la suma de las dos cantidades corresponde a $m+n$ partes iguales de tamaño $k$.

Diferencia de las cantidades

Si $m>n$:

$$A-B=mk-nk=(m-n)k$$

Relación entre suma y diferencia

Si $m>n$:

$$\frac{A+B}{A-B}=\frac{(m+n)k}{(m-n)k}=\frac{m+n}{m-n}$$

Esta propiedad se usa muchísimo cuando se conoce la suma o la diferencia de dos cantidades.

Ejemplo.
Si dos números están en relación de $5$ a $2$ y su diferencia es 21, hallemos los números.

Sean:

$$A=5k,\qquad B=2k$$

La diferencia es:

$$5k-2k=3k$$

Dato:

$$3k=21$$

$$k=7$$

Entonces:

$$A=5(7)=35$$

$$B=2(7)=14$$

Los números son 35 y 14.

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En muchos problemas se dan dos razones que tienen un término común. Por ejemplo:

$$\frac{A}{B}=\frac{m}{n}$$

y

$$\frac{B}{C}=\frac{x}{y}$$

Aquí $B$ aparece en ambas razones.

Para expresar $A$, $B$ y $C$ en una sola relación, se necesita que la cantidad $B$ tenga el mismo número de partes en ambas razones.

Método paso a paso

1. Se identifican las dos razones.
2. Se halla el MCM de los valores que corresponden al término común.
3. Se multiplica cada razón por el factor necesario para que el término común sea ese MCM.
4. Se escribe la relación continua $A:B:C$.

Ejemplo.
Si:

$$A:B=3:4$$

y

$$B:C=5:6$$

queremos escribir $A:B:C$.

El término común es $B$, que en la primera razón tiene 4 partes y en la segunda tiene 5 partes.

$$\operatorname{MCM}(4,5)=20$$

Multiplicamos la primera razón por 5:

$$3:4 = 15:20$$

Multiplicamos la segunda razón por 4:

$$5:6 = 20:24$$

Ahora $B$ vale 20 en ambas razones:

$$A:B:C=15:20:24$$

Por lo tanto:

$$A=15k,\qquad B=20k,\qquad C=24k$$

Esta técnica se llama homogenización de razones.

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Una serie de razones geométricas equivalentes es la igualdad de dos o más razones geométricas que tienen el mismo valor.

Por ejemplo:

$$\frac{12}{4}=\frac{24}{8}=\frac{30}{10}=3$$

Cada razón vale 3.

En general:

$$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}=k$$

Donde:

• $a_1,a_2,\ldots,a_n$: antecedentes.
• $b_1,b_2,\ldots,b_n$: consecuentes.
• $k$: constante de proporcionalidad.

Propiedades importantes

1. Suma de antecedentes y suma de consecuentes

$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}=k$$

Esto se demuestra escribiendo cada antecedente como $a_i=kb_i$:

$$a_1+a_2+\cdots+a_n = k(b_1+b_2+\cdots+b_n)$$

entonces:

$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}=k$$

2. Diferencia de antecedentes y diferencia de consecuentes

Si los denominadores no se anulan:

$$\frac{a_1-a_2}{b_1-b_2}=k$$

y en general, cualquier combinación de sumas y restas con los mismos signos produce la misma constante $k$.

3. Producto de antecedentes y producto de consecuentes

$$\frac{a_1a_2\cdots a_n}{b_1b_2\cdots b_n}=k^n$$

Porque:

$$a_i=kb_i$$

y al multiplicar todos los antecedentes se obtiene:

$$a_1a_2\cdots a_n = k^n(b_1b_2\cdots b_n)$$

4. Potencias

Si cada razón vale $k$, entonces:

$$\frac{a_i^n}{b_i^n}=k^n$$

y también:

$$\frac{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_n^n}{b_1^n+b_2^n+\cdots+b_n^n}=k^n$$

Ejemplo.
Si:

$$\frac{A}{3}=\frac{B}{5}=\frac{C}{7}=k$$

y además:

$$A+B+C=45$$

entonces:

$$\frac{A+B+C}{3+5+7}=k$$

$$\frac{45}{15}=k$$

$$k=3$$

Luego:

$$A=3(3)=9,\qquad B=5(3)=15,\qquad C=7(3)=21$$

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4.1 Serie de razones geométricas equivalentes continua

Una serie es continua cuando cada consecuente es igual al antecedente de la razón siguiente.

Por ejemplo:

$$\frac{2}{4}=\frac{4}{8}=\frac{8}{16}$$

Aquí:

$$2:4=4:8=8:16$$

En general:

$$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k$$

Si queremos expresar todo en función del último término $d$, tenemos:

$$c=dk$$

$$b=ck=dk^2$$

$$a=bk=dk^3$$

Entonces los cuatro términos quedan así:

$$a=dk^3,\qquad b=dk^2,\qquad c=dk,\qquad d=d$$

Este tipo de serie es útil cuando se conoce la constante $k$ y uno de los términos.

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5.1 Problemas de edades y cantidades

La aplicación más directa es representar cantidades mediante $mk$ y $nk$.

Ejemplo típico.
Si las edades de dos personas están en relación de 4 a 7 y su suma es 55, halla la edad mayor.

Sean:

$$A=4k,\qquad B=7k$$

Suma:

$$4k+7k=11k=55$$

$$k=5$$

Entonces la edad mayor es:

$$B=7(5)=35$$

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5.2 Problemas de reuniones

En una reunión se distingue entre:

• Total de varones y total de mujeres.
• Varones que bailan y varones que no bailan.
• Mujeres que bailan y mujeres que no bailan.

Como se baila en pareja, se asume que:

$$\text{varones que bailan} = \text{mujeres que bailan}$$

Esta igualdad permite plantear ecuaciones.

Ejemplo.
Supongamos que la relación de varones a mujeres es 3 a 4, y que los varones y mujeres que no bailan son 8 y 14, respectivamente.

Sean:

$$V=3k,\qquad M=4k$$

Los que bailan son:

$$V_b=3k-8$$

$$M_b=4k-14$$

Como $V_b=M_b$:

$$3k-8=4k-14$$

$$k=6$$

Entonces los que bailan entre varones son:

$$V_b=3(6)-8=10$$

Y como el número de varones que bailan es igual al de mujeres que bailan, el total de personas que bailan es:

$$10+10=20$$

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5.3 Problemas de mezclas

Si en un recipiente hay una mezcla homogénea, los ingredientes se encuentran en una misma proporción en toda la mezcla.

Por ejemplo, si una mezcla de 50 litros contiene 30 litros de agua y 20 litros de vino, entonces la relación es:

$$\frac{30}{20}=\frac{3}{2}$$

Si se extrae una fracción de la mezcla, los ingredientes extraídos conservan la misma relación.

Supongamos que se extrae la quinta parte del total, es decir, 10 litros.

La quinta parte del agua es:

$$\frac{1}{5}\cdot 30=6$$

La quinta parte del vino es:

$$\frac{1}{5}\cdot 20=4$$

Lo que queda es:

$$30-6=24 \text{ L de agua}$$

$$20-4=16 \text{ L de vino}$$

La relación final sigue siendo:

$$\frac{24}{16}=\frac{3}{2}$$

Esto ocurre porque la mezcla es homogénea.

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5.4 Problemas de móviles y ventajas

Si dos móviles corren durante el mismo tiempo, la distancia recorrida y la velocidad son directamente proporcionales.

Es decir:

$$\text{tiempo igual} \quad \Longrightarrow \quad \frac{d_A}{d_B}=\frac{v_A}{v_B}$$

En una carrera, si $A$ le da a $B$ una ventaja de $x$ metros en una carrera de $D$ metros, significa que cuando $A$ recorre $D$ metros, $B$ recorre $D-x$ metros, y ambos llegan simultáneamente.

Entonces:

$$\frac{v_A}{v_B}=\frac{D}{D-x}$$

Ejemplo.
Si en una carrera de 200 metros, Alberto le da a José una ventaja de 40 metros, entonces:

$$\frac{v_A}{v_J}=\frac{200}{200-40}=\frac{200}{160}=\frac{5}{4}$$

Esta idea se extiende a carreras encadenadas, multiplicando las razones de velocidades.

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Antes de pasar a los ejemplos resueltos, conviene tener un procedimiento ordenado.

1. Identifica el tipo de razón.
   Si el problema habla de “relación”, “es a”, “por cada”, “razón” o “proporcional”, normalmente es razón geométrica.
   Si habla de “excede en”, “es mayor en”, “diferencia”, “ventaja en unidades”, puede ser razón aritmética.

2. Escribe la razón como fracción irreducible.
   Por ejemplo, $\frac{6}{8}$ se reduce a $\frac{3}{4}$.

3. Asigna la constante $k$.
   Si $A:B=m:n$, escribe $A=mk$ y $B=nk$.

4. Si hay dos razones con término común, homogeniza.
   Usa el MCM para que el término común tenga el mismo valor en ambas razones.

5. Traduce los datos a una ecuación.
   Usa la suma, diferencia, producto, total, etc.

6. Calcula $k$ y luego lo pedido.
   No te detengas en $k$ si el problema pide otra cosa.

7. Verifica el orden.
   Asegúrate de que las cantidades correspondan al orden dado en el enunciado.

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Para cerrar esta introducción, diremos lo siguiente: una proporción es la igualdad de dos razones de la misma clase.

Según la clase de razón, tendremos:

• Proporción aritmética:

$$a-b=c-d$$

• Proporción geométrica:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

• Proporción armónica:

$$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{c}-\frac{1}{d}$$

En el siguiente tema profundizaremos en las proporciones, sus clases, sus términos y sus propiedades.

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Una razón es la comparación de dos cantidades mediante una operación aritmética. Según la operación que utilicemos, la razón puede ser:

• Aritmética: si comparamos por diferencia.
• Geométrica: si comparamos por división.
• Armónica: si comparamos mediante los recíprocos de las cantidades.

A las cantidades que se comparan se les llama antecedente y consecuente, en ese orden.

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1.1 Razón aritmética: comparar por diferencia

La razón aritmética entre dos cantidades $a$ y $b$ es la diferencia:

$$a-b=r$$

Donde:

• $a$: antecedente.
• $b$: consecuente.
• $r$: valor de la razón aritmética.

Ejemplo. Si Ana tiene 17 años y Mía tiene 15 años, entonces la razón aritmética entre sus edades es:

$$17-15=2$$

Esto se interpreta así:

• La edad de Ana excede a la edad de Mía en 2 años.
• La edad de Mía es excedida por la edad de Ana en 2 años.
• La diferencia entre ambas edades es 2 años.

Observa que la razón aritmética responde a la pregunta: “¿en cuánto excede una cantidad a otra?”

Otro ejemplo: si una laptop cuesta $\$500$ y un estéreo cuesta $\$375$, entonces:

$$500-375=125$$

Por lo tanto, el precio de la laptop excede al precio del estéreo en $\$125$.

En general:

$$a-b=r$$

equivale a decir que $a$ excede a $b$ en $r$.

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1.2 Razón geométrica: comparar por división

La razón geométrica entre dos cantidades $a$ y $b$ es el cociente:

$$\frac{a}{b}=k$$

Donde:

• $a$: antecedente.
• $b$: consecuente.
• $k$: valor de la razón geométrica.

Ejemplo. Si en un aula hay 12 varones y 8 mujeres, la razón geométrica entre varones y mujeres, en ese orden, es:

$$\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$$

Se interpreta así:

• Hay 12 varones por cada 8 mujeres.
• La relación de varones a mujeres es de 3 a 2.
• Por cada 3 varones hay 2 mujeres.
• El número de varones y el número de mujeres están en relación de 3 a 2.

Cuando en un problema solo se dice razón, generalmente se refiere a la razón geométrica, porque es la que tiene mayor aplicación.

En una razón geométrica podemos tener una fracción:

$$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$$

Se lee: $a$ es a $b$ como $m$ es a $n$.

Aquí hay un punto clave: si

$$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$$

no significa necesariamente que $a=m$ y $b=n$. Significa que existe una constante $k$ tal que:

$$a=mk$$

y

$$b=nk$$

Esto se justifica porque si $\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$, entonces $a = \frac{m}{n}b$. Si hacemos $b=nk$, resultará:

$$a=\frac{m}{n}(nk)=mk$$

Por eso, ante una relación como $3:5$, se asume que las cantidades son $3k$ y $5k$, no necesariamente 3 y 5.

Ejemplo.
Si $\frac{A}{B}=\frac{3}{5}$, entonces:

$$A=3k,\qquad B=5k$$

para algún valor positivo de $k$.

Este es el método más importante para resolver problemas de razones.

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“Veces” y “veces más”

Es muy común confundir estas dos expresiones:

• Si $A$ es dos veces $B$, entonces:

$$A=2B$$

• Si $A$ es dos veces más que $B$, entonces $A$ es igual a lo que ya tiene $B$, más dos veces $B$:

$$A=B+2B=3B$$

Por lo tanto:

$$\text{“A es dos veces más que B”}$$

equivale a decir que $A$ es el triple de $B$.

En general:

$$\text{“A es } n \text{ veces más que } B \text{”}$$

implica:

$$A=B+nB=(n+1)B$$

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1.3 Razón armónica: comparar mediante recíprocos

La razón armónica entre dos cantidades $a$ y $b$ se define como la diferencia de sus recíprocos:

$$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=h$$

Donde:

• $a$: antecedente.
• $b$: consecuente.
• $h$: valor de la razón armónica.

Ejemplo.
La razón armónica entre 12 y 20, en ese orden, es:

$$\frac{1}{12}-\frac{1}{20}$$

Sacamos mínimo común múltiplo de 12 y 20, que es 60:

$$\frac{5}{60}-\frac{3}{60}=\frac{2}{60}=\frac{1}{30}$$

Por lo tanto, la razón armónica entre 12 y 20 es $\frac{1}{30}$.

La razón armónica no compara directamente “cuántas veces” una cantidad contiene a otra, sino que trabaja con los recíprocos. Su nombre se debe a que los recíprocos aparecen en la media armónica.

Más adelante, cuando se igualen dos razones armónicas, se formará una proporción armónica, que es el objetivo del siguiente tema.

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Cuando se tiene:

$$\frac{A}{B}=\frac{m}{n}$$

se escribe:

$$A=mk$$

$$B=nk$$

A partir de esta representación se obtienen relaciones muy útiles.

Suma de las cantidades

$$A+B=mk+nk=(m+n)k$$

Es decir, la suma de las dos cantidades corresponde a $m+n$ partes iguales de tamaño $k$.

Diferencia de las cantidades

Si $m>n$:

$$A-B=mk-nk=(m-n)k$$

Relación entre suma y diferencia

Si $m>n$:

$$\frac{A+B}{A-B}=\frac{(m+n)k}{(m-n)k}=\frac{m+n}{m-n}$$

Esta propiedad se usa muchísimo cuando se conoce la suma o la diferencia de dos cantidades.

Ejemplo.
Si dos números están en relación de $5$ a $2$ y su diferencia es 21, hallemos los números.

Sean:

$$A=5k,\qquad B=2k$$

La diferencia es:

$$5k-2k=3k$$

Dato:

$$3k=21$$

$$k=7$$

Entonces:

$$A=5(7)=35$$

$$B=2(7)=14$$

Los números son 35 y 14.

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En muchos problemas se dan dos razones que tienen un término común. Por ejemplo:

$$\frac{A}{B}=\frac{m}{n}$$

y

$$\frac{B}{C}=\frac{x}{y}$$

Aquí $B$ aparece en ambas razones.

Para expresar $A$, $B$ y $C$ en una sola relación, se necesita que la cantidad $B$ tenga el mismo número de partes en ambas razones.

Método paso a paso

1. Se identifican las dos razones.
2. Se halla el MCM de los valores que corresponden al término común.
3. Se multiplica cada razón por el factor necesario para que el término común sea ese MCM.
4. Se escribe la relación continua $A:B:C$.

Ejemplo.
Si:

$$A:B=3:4$$

y

$$B:C=5:6$$

queremos escribir $A:B:C$.

El término común es $B$, que en la primera razón tiene 4 partes y en la segunda tiene 5 partes.

$$\operatorname{MCM}(4,5)=20$$

Multiplicamos la primera razón por 5:

$$3:4 = 15:20$$

Multiplicamos la segunda razón por 4:

$$5:6 = 20:24$$

Ahora $B$ vale 20 en ambas razones:

$$A:B:C=15:20:24$$

Por lo tanto:

$$A=15k,\qquad B=20k,\qquad C=24k$$

Esta técnica se llama homogenización de razones.

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Una serie de razones geométricas equivalentes es la igualdad de dos o más razones geométricas que tienen el mismo valor.

Por ejemplo:

$$\frac{12}{4}=\frac{24}{8}=\frac{30}{10}=3$$

Cada razón vale 3.

En general:

$$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}=k$$

Donde:

• $a_1,a_2,\ldots,a_n$: antecedentes.
• $b_1,b_2,\ldots,b_n$: consecuentes.
• $k$: constante de proporcionalidad.

Propiedades importantes

1. Suma de antecedentes y suma de consecuentes

$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}=k$$

Esto se demuestra escribiendo cada antecedente como $a_i=kb_i$:

$$a_1+a_2+\cdots+a_n = k(b_1+b_2+\cdots+b_n)$$

entonces:

$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}=k$$

2. Diferencia de antecedentes y diferencia de consecuentes

Si los denominadores no se anulan:

$$\frac{a_1-a_2}{b_1-b_2}=k$$

y en general, cualquier combinación de sumas y restas con los mismos signos produce la misma constante $k$.

3. Producto de antecedentes y producto de consecuentes

$$\frac{a_1a_2\cdots a_n}{b_1b_2\cdots b_n}=k^n$$

Porque:

$$a_i=kb_i$$

y al multiplicar todos los antecedentes se obtiene:

$$a_1a_2\cdots a_n = k^n(b_1b_2\cdots b_n)$$

4. Potencias

Si cada razón vale $k$, entonces:

$$\frac{a_i^n}{b_i^n}=k^n$$

y también:

$$\frac{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_n^n}{b_1^n+b_2^n+\cdots+b_n^n}=k^n$$

Ejemplo.
Si:

$$\frac{A}{3}=\frac{B}{5}=\frac{C}{7}=k$$

y además:

$$A+B+C=45$$

entonces:

$$\frac{A+B+C}{3+5+7}=k$$

$$\frac{45}{15}=k$$

$$k=3$$

Luego:

$$A=3(3)=9,\qquad B=5(3)=15,\qquad C=7(3)=21$$

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4.1 Serie de razones geométricas equivalentes continua

Una serie es continua cuando cada consecuente es igual al antecedente de la razón siguiente.

Por ejemplo:

$$\frac{2}{4}=\frac{4}{8}=\frac{8}{16}$$

Aquí:

$$2:4=4:8=8:16$$

En general:

$$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k$$

Si queremos expresar todo en función del último término $d$, tenemos:

$$c=dk$$

$$b=ck=dk^2$$

$$a=bk=dk^3$$

Entonces los cuatro términos quedan así:

$$a=dk^3,\qquad b=dk^2,\qquad c=dk,\qquad d=d$$

Este tipo de serie es útil cuando se conoce la constante $k$ y uno de los términos.

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5.1 Problemas de edades y cantidades

La aplicación más directa es representar cantidades mediante $mk$ y $nk$.

Ejemplo típico.
Si las edades de dos personas están en relación de 4 a 7 y su suma es 55, halla la edad mayor.

Sean:

$$A=4k,\qquad B=7k$$

Suma:

$$4k+7k=11k=55$$

$$k=5$$

Entonces la edad mayor es:

$$B=7(5)=35$$

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5.2 Problemas de reuniones

En una reunión se distingue entre:

• Total de varones y total de mujeres.
• Varones que bailan y varones que no bailan.
• Mujeres que bailan y mujeres que no bailan.

Como se baila en pareja, se asume que:

$$\text{varones que bailan} = \text{mujeres que bailan}$$

Esta igualdad permite plantear ecuaciones.

Ejemplo.
Supongamos que la relación de varones a mujeres es 3 a 4, y que los varones y mujeres que no bailan son 8 y 14, respectivamente.

Sean:

$$V=3k,\qquad M=4k$$

Los que bailan son:

$$V_b=3k-8$$

$$M_b=4k-14$$

Como $V_b=M_b$:

$$3k-8=4k-14$$

$$k=6$$

Entonces los que bailan entre varones son:

$$V_b=3(6)-8=10$$

Y como el número de varones que bailan es igual al de mujeres que bailan, el total de personas que bailan es:

$$10+10=20$$

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5.3 Problemas de mezclas

Si en un recipiente hay una mezcla homogénea, los ingredientes se encuentran en una misma proporción en toda la mezcla.

Por ejemplo, si una mezcla de 50 litros contiene 30 litros de agua y 20 litros de vino, entonces la relación es:

$$\frac{30}{20}=\frac{3}{2}$$

Si se extrae una fracción de la mezcla, los ingredientes extraídos conservan la misma relación.

Supongamos que se extrae la quinta parte del total, es decir, 10 litros.

La quinta parte del agua es:

$$\frac{1}{5}\cdot 30=6$$

La quinta parte del vino es:

$$\frac{1}{5}\cdot 20=4$$

Lo que queda es:

$$30-6=24 \text{ L de agua}$$

$$20-4=16 \text{ L de vino}$$

La relación final sigue siendo:

$$\frac{24}{16}=\frac{3}{2}$$

Esto ocurre porque la mezcla es homogénea.

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5.4 Problemas de móviles y ventajas

Si dos móviles corren durante el mismo tiempo, la distancia recorrida y la velocidad son directamente proporcionales.

Es decir:

$$\text{tiempo igual} \quad \Longrightarrow \quad \frac{d_A}{d_B}=\frac{v_A}{v_B}$$

En una carrera, si $A$ le da a $B$ una ventaja de $x$ metros en una carrera de $D$ metros, significa que cuando $A$ recorre $D$ metros, $B$ recorre $D-x$ metros, y ambos llegan simultáneamente.

Entonces:

$$\frac{v_A}{v_B}=\frac{D}{D-x}$$

Ejemplo.
Si en una carrera de 200 metros, Alberto le da a José una ventaja de 40 metros, entonces:

$$\frac{v_A}{v_J}=\frac{200}{200-40}=\frac{200}{160}=\frac{5}{4}$$

Esta idea se extiende a carreras encadenadas, multiplicando las razones de velocidades.

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Antes de pasar a los ejemplos resueltos, conviene tener un procedimiento ordenado.

1. Identifica el tipo de razón.
   Si el problema habla de “relación”, “es a”, “por cada”, “razón” o “proporcional”, normalmente es razón geométrica.
   Si habla de “excede en”, “es mayor en”, “diferencia”, “ventaja en unidades”, puede ser razón aritmética.

2. Escribe la razón como fracción irreducible.
   Por ejemplo, $\frac{6}{8}$ se reduce a $\frac{3}{4}$.

3. Asigna la constante $k$.
   Si $A:B=m:n$, escribe $A=mk$ y $B=nk$.

4. Si hay dos razones con término común, homogeniza.
   Usa el MCM para que el término común tenga el mismo valor en ambas razones.

5. Traduce los datos a una ecuación.
   Usa la suma, diferencia, producto, total, etc.

6. Calcula $k$ y luego lo pedido.
   No te detengas en $k$ si el problema pide otra cosa.

7. Verifica el orden.
   Asegúrate de que las cantidades correspondan al orden dado en el enunciado.

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Para cerrar esta introducción, diremos lo siguiente: una proporción es la igualdad de dos razones de la misma clase.

Según la clase de razón, tendremos:

• Proporción aritmética:

$$a-b=c-d$$

• Proporción geométrica:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

• Proporción armónica:

$$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{c}-\frac{1}{d}$$

En el siguiente tema profundizaremos en las proporciones, sus clases, sus términos y sus propiedades.

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