Números racionales II: números decimales, clasificación y descomposición polinómica de un número decimal

Un número decimal se obtiene al dividir el numerador entre el denominador de una fracción. Está formado por una parte entera y una parte decimal, separadas por la coma decimal.

Ejemplos:

$$\frac{35}{8}=4{,}375$$

Aquí la parte entera es $4$ y la parte decimal es $375$.

$$\frac{18}{33}=0{,}545454\dots$$

Esta división no termina, pero se repite el bloque $54$.

$$\frac{59}{12}=4{,}916666\dots$$

En este caso la parte decimal empieza con $91$ y luego repite $6$ indefinidamente.

Una propiedad fundamental es:

Todo número racional, al ser escrito en base 10, tiene una expresión decimal exacta o periódica. Si una expresión decimal es infinita y no periódica, entonces no representa un número racional.

Eso se debe a que en una división de enteros los residuos posibles son finitos; si algún residuo se repite, el proceso decimal entra en ciclo.

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Los números decimales se clasifican en dos grandes grupos: exactos e inexactos.

2.1. Decimal exacto

Tiene una cantidad limitada de cifras en la parte decimal.

Ejemplos:

$$0{,}8,\qquad 0{,}375,\qquad 12{,}75$$

2.2. Decimal inexacto periódico puro

La parte decimal está formada por una o varias cifras que se repiten indefinidamente desde la coma decimal. Al bloque que se repite se le llama período.

Ejemplos:

$$0{,}222\dots = 0{,}\overline{2}$$

$$1{,}585858\dots = 1{,}\overline{58}$$

$$2{,}023023\dots = 2{,}\overline{023}$$

En $2{,}\overline{023}$, el período es $023$.

2.3. Decimal inexacto periódico mixto

Entre la coma decimal y el período hay una parte decimal que no se repite, llamada anteperíodo.

Ejemplos:

$$0{,}3666\dots = 0{,}3\overline{6}$$

Aquí el anteperíodo es $3$ y el período es $6$.

$$2{,}81023023\dots = 2{,}81\overline{023}$$

Aquí:

• Parte entera: $2$
• Anteperíodo: $81$
• Período: $023$

2.4. Decimal inexacto no periódico

Es un decimal infinito que no tiene ningún bloque que se repita. No proviene de una fracción de enteros; corresponde a los números irracionales.

Ejemplos:

$$\pi=3{,}141592\dots,\qquad \sqrt{2}=1{,}414213\dots,\qquad e=2{,}718281\dots$$

En este tema nos centramos en los decimales que provienen de fracciones, es decir, en los racionales.

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La forma más importante de clasificar un decimal, sin hacer la división, es observar la descomposición canónica del denominador de la fracción irreductible.

Sea $a/b$ una fracción irreductible.

Caso 1: El denominador solo tiene factores $2$ y/o $5$

Si $$b=2^\alpha\cdot 5^\beta,$$ entonces la fracción genera un decimal exacto.

Justificación: se puede multiplicar numerador y denominador por potencias de $2$ o $5$ para que el denominador se convierta en una potencia de 10.

Ejemplo:

$$\frac{23}{50}=\frac{23}{2\cdot 5^2}.$$

Multiplicamos por $2$ para igualar los exponentes:

$$\frac{23}{2\cdot 5^2}=\frac{23\cdot 2}{2^2\cdot 5^2} =\frac{46}{100}=0{,}46.$$

Caso 2: El denominador no tiene factores $2$ ni $5$

Si el denominador es coprimo con 10, es decir, no contiene ni $2$ ni $5$, la fracción genera un decimal periódico puro.

Ejemplos:

$$\frac{2}{11}$$

El denominador $11$ no tiene factores $2$ ni $5$, entonces:

$$\frac{2}{11}=0{,}\overline{18}.$$

Otro ejemplo:

$$\frac{14}{33}=\frac{14}{3\cdot 11}$$

Tampoco hay factores $2$ ni $5$, por lo tanto:

$$\frac{14}{33}=0{,}\overline{42}.$$

Caso 3: El denominador tiene factores $2$ y/o $5$ y además otros factores primos

Si $$b=2^\alpha\cdot 5^\beta \cdot r_1^{e_1}\cdots r_k^{e_k},$$ donde $r_1,\dots,r_k$ son primos distintos de $2$ y $5$, entonces la fracción genera un decimal periódico mixto.

Ejemplo:

$$\frac{5}{12}=\frac{5}{2^2\cdot 3}.$$

El denominador tiene $2^2$ y $3$, por lo tanto:

$$\frac{5}{12}=0{,}41\overline{6}.$$

Aquí el anteperíodo es $41$ y el período es $6$.

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Además de saber si el decimal es exacto, periódico puro o mixto, San Marcos suele preguntar cuántas cifras decimales tiene la parte no periódica y cuántas el período.

4.1. Decimal exacto

Para una fracción irreductible con denominador $$b=2^\alpha\cdot 5^\beta,$$ la cantidad de cifras decimales exactas es: $$\boxed{\max(\alpha,\beta)}$$

Ejemplo:

$$\frac{7}{40}=\frac{7}{2^3\cdot 5}.$$

El mayor exponente entre $3$ y $1$ es $3$, entonces el decimal es exacto con $3$ cifras decimales:

$$\frac{7}{40}=0{,}175.$$

Otro ejemplo:

$$\frac{33}{64}=\frac{33}{2^6}.$$

Tiene $\max(6,0)=6$ cifras decimales:

$$\frac{33}{64}=0{,}515625.$$

4.2. Decimal periódico puro y tabla de los nueves

Para saber cuántas cifras tiene el período de una fracción cuyo denominador es coprimo con 10, se usa la tabla de los nueves.

La idea es encontrar el menor número formado solo por cifras $9$ que sea divisible entre el denominador.

Tabla de los nueves:

$$\begin{array}{c|c} \text{Numeral formado por nueves} & \text{Descomposición canónica}\\ \hline 9 & 3^2\\ 99 & 3^2\cdot 11\\ 999 & 3^3\cdot 37\\ 9999 & 3^2\cdot 11\cdot 101\\ 99999 & 3^2\cdot 41\cdot 271\\ 999999 & 3^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37 \end{array}$$

Se llama nivel de un factor al número de nueves del menor numeral $999\dots 999$ que lo contiene.

Ejemplos de niveles:

• El $3$ y el $9$ están contenidos en $9$, nivel $1$.
• El $11$ está contenido en $99$, nivel $2$.
• El $27=3^3$ y el $37$ están contenidos en $999$, nivel $3$.
• El $101$ está contenido en $9999$, nivel $4$.
• El $41$ y el $271$ están contenidos en $99999$, nivel $5$.
• El $7$ y el $13$ están contenidos en $999999$, nivel $6$.

Entonces, para una fracción irreductible cuyo denominador no tiene factores $2$ ni $5$, la cantidad de cifras del período es el MCM de los niveles de sus factores primos.

Ejemplo:

$$\frac{2}{11}$$

El $11$ tiene nivel $2$; por lo tanto, el decimal periódico puro tiene $2$ cifras en su período:

$$\frac{2}{11}=0{,}\overline{18}.$$

Ejemplo:

$$\frac{5}{37}$$

El $37$ tiene nivel $3$; por eso:

$$\frac{5}{37}=0{,}\overline{135}.$$

Ejemplo:

$$\frac{1}{7\cdot 11}$$

El $7$ tiene nivel $6$ y el $11$ nivel $2$. Entonces:

$$\text{cifras del período}=\operatorname{MCM}(6,2)=6.$$

Ejemplo con períodos más largos:

$$\frac{1}{7\cdot 41}$$

Niveles: $7$ es nivel $6$ y $41$ es nivel $5$. Luego:

$$\text{cifras del período}=\operatorname{MCM}(6,5)=30.$$

4.3. Decimal periódico mixto

Si el denominador es $$b=2^\alpha\cdot 5^\beta\cdot r_1^{e_1}\cdots r_k^{e_k},$$ donde $r_1,\dots,r_k$ son primos distintos de $2$ y $5$, entonces:

$$\boxed{\text{cifras no periódicas}=\max(\alpha,\beta)}$$

y

$$\boxed{\text{cifras periódicas}=\operatorname{MCM}(\text{niveles de } r_1^{e_1},\dots,r_k^{e_k})}$$

Ejemplo:

$$\frac{5}{12}=\frac{5}{2^2\cdot 3}.$$

• Cifras no periódicas: $\max(2,0)=2$.
• Cifras periódicas: nivel de $3$ es $1$.

Entonces:

$$\frac{5}{12}=0{,}41\overline{6}.$$

Anteperíodo: $41$, dos cifras. Período: $6$, una cifra.

Ejemplo:

$$\frac{121}{740}=\frac{121}{2^2\cdot 5\cdot 37}.$$

• Cifras no periódicas: $\max(2,1)=2$.
• Cifras periódicas: nivel de $37$ es $3$.

Por lo tanto:

$$\frac{121}{740}=0{,}16\overline{351}.$$

Anteperíodo $16$ y período $351$.

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Todo número decimal puede expresarse como una suma de múltiplos de potencias de 10.

5.1. Decimal exacto

Para un decimal exacto como $4{,}375$:

$$4{,}375=4\cdot 10^0+3\cdot 10^{-1}+7\cdot 10^{-2}+5\cdot 10^{-3}.$$

Es decir:

$$4{,}375=4+\frac{3}{10}+\frac{7}{10^2}+\frac{5}{10^3}.$$

En general, un decimal exacto $$N=d_n\dots d_0,d_{-1}d_{-2}\dots d_{-m}$$ se descompone como:

$$N=d_n\cdot 10^n+\cdots+d_0\cdot 10^0+d_{-1}\cdot 10^{-1}+\cdots+d_{-m}\cdot 10^{-m}.$$

5.2. Decimal periódico

La descomposición polinómica también explica por qué un decimal periódico es racional.

Por ejemplo:

$$0{,}\overline{123}= \frac{123}{10^3}+\frac{123}{10^6}+\frac{123}{10^9}+\cdots$$

Esto es una serie geométrica de razón $1/10^3$. Su suma es:

$$0{,}\overline{123} =\frac{\frac{123}{10^3}}{1-\frac{1}{10^3}} =\frac{123}{10^3-1} =\frac{123}{999}.$$

Por eso, en general:

$$0{,}\overline{abc\cdots m} =\frac{abc\cdots m}{999\cdots 9}.$$

Así, la descomposición polinómica es el fundamento de la fracción generatriz.

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La fracción generatriz de un decimal es la fracción irreductible que lo genera al dividir numerador entre denominador.

6.1. Decimal exacto

Para un decimal exacto con $k$ cifras decimales:

$$0{,}d_1d_2\cdots d_k=\frac{d_1d_2\cdots d_k}{10^k}.$$

Ejemplos:

$$0{,}18=\frac{18}{100}=\frac{9}{50}.$$

$$0{,}375=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}.$$

Si el decimal tiene parte entera distinta de cero, se puede trabajar con la suma de la parte entera y la parte decimal:

$$12{,}75=12+0{,}75=12+\frac{75}{100}=\frac{1275}{100}=\frac{51}{4}.$$

6.2. Decimal periódico puro

Para un decimal periódico puro con $k$ cifras en el período:

$$0{,}\overline{d_1d_2\cdots d_k} =\frac{d_1d_2\cdots d_k}{\underbrace{999\cdots 9}_{k\text{ cifras}}}.$$

Ejemplos:

$$0{,}\overline{24}=\frac{24}{99}=\frac{8}{33}.$$

$$0{,}\overline{135}=\frac{135}{999}.$$

Si hay parte entera:

$$2{,}\overline{7}=2+\frac{7}{9}=\frac{25}{9}.$$

¿De dónde sale esta regla?

Sea $$x=0{,}\overline{abc}.$$

Multiplicamos por $1000$:

$$1000x=abc{,}\overline{abc}.$$

Restamos $x$:

$$1000x-x=abc{,}\overline{abc}-0{,}\overline{abc}.$$

Luego:

$$999x=abc$$

y por lo tanto:

$$x=\frac{abc}{999}.$$

6.3. Decimal periódico mixto

Para un decimal periódico mixto, la regla práctica es:

Se forma el numerador restando, al número formado por el anteperíodo seguido del período, el número formado solo por el anteperíodo.
En el denominador se escriben tantos nueves como cifras tiene el período, seguidos de tantos ceros como cifras tiene el anteperíodo.

Simbólicamente, para $$0{,}a_1a_2\cdots a_m\,\overline{b_1b_2\cdots b_k},$$ la fracción generatriz es:

$$\frac{a_1a_2\cdots a_m b_1b_2\cdots b_k-a_1a_2\cdots a_m} {\underbrace{999\cdots 9}_{k\text{ nueves}}\ \underbrace{000\cdots 0}_{m\text{ ceros}}}.$$

Ejemplo:

Calculemos la fracción generatriz de:

$$0{,}3\overline{6}.$$

Aquí el anteperíodo es $3$ y el período es $6$.

• Numerador: $36-3=33$.
• Denominador: $90$, porque hay una cifra periódica y una cifra no periódica.

Entonces:

$$0{,}3\overline{6}=\frac{33}{90}=\frac{11}{30}.$$

Otro ejemplo:

$$0{,}2\overline{43}.$$

Anteperíodo: $2$. Período: $43$.

$$0{,}2\overline{43} =\frac{243-2}{990} =\frac{241}{990}.$$

Ejemplo con parte entera:

$$2{,}4\overline{6} =2+0{,}4\overline{6} =2+\frac{46-4}{90} =2+\frac{42}{90} =2+\frac{7}{15} =\frac{37}{15}.$$

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El teorema de Midy describe una propiedad curiosa y útil de algunos decimales periódicos puros.

7.1. Idea intuitiva

Observa:

$$\frac{1}{7}=0{,}\overline{142857}.$$

El período es $142857$, que tiene $6$ cifras. Partámoslo en dos bloques de $3$ cifras:

$$142 \quad \text{y} \quad 857.$$

Sumemos:

$$142+857=999.$$

Esto no es casualidad para denominadores primos como $7$.

Otro ejemplo:

$$\frac{1}{13}=0{,}\overline{076923}.$$

Partimos el período $076923$ en dos bloques de $3$ cifras:

$$076 \quad \text{y} \quad 923.$$

Sumamos:

$$076+923=999.$$

7.2. Enunciado clásico

Sea $p$ un número primo distinto de $2$ y $5$, y sea $a$ un entero con $0<a<p$. Supongamos que el período de $$\frac{a}{p}$$ tiene una cantidad par de cifras, digamos $2n$:

$$\frac{a}{p}=0{,}\overline{c_1c_2\cdots c_n c_{n+1}\cdots c_{2n}}.$$

Entonces:

$$\overline{c_1c_2\cdots c_n}+\overline{c_{n+1}\cdots c_{2n}} =\underbrace{999\cdots 9}_{n\text{ cifras}}.$$

Equivalentemente, cifra a cifra:

$$c_j+c_{n+j}=9$$

para cada $j=1,2,\dots,n$.

7.3. Ejemplo con período largo

$$\frac{1}{17}=0{,}\overline{0588235294117647}.$$

El período tiene $16$ cifras. Lo partimos en dos bloques de $8$:

$$05882352 \quad \text{y} \quad 94117647.$$

Sumamos:

$$05882352+94117647=99999999.$$

Observa también que se cumple la propiedad cifra a cifra: la primera cifra $0$ se complementa con $9$, la segunda $5$ con $4$, la tercera $8$ con $1$, etc.

7.4. Generalización

El teorema de Midy se extiende a otros denominadores, no solo primos, siempre que se cumplan ciertas condiciones y el período tenga longitud par.

Por ejemplo, si una fracción $a/N$ es periódica pura y su período tiene $2n$ cifras, y si $N$ es primo, potencia de primo o cumple ciertas condiciones de coprimalidad con $10^n-1$, entonces se mantiene la propiedad de los bloques complementarios.

En la práctica, en el examen se aplica sobre todo en fracciones con denominador primo y período de longitud par.

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Un número decimal se obtiene al dividir el numerador entre el denominador de una fracción. Está formado por una parte entera y una parte decimal, separadas por la coma decimal.

Ejemplos:

$$\frac{35}{8}=4{,}375$$

Aquí la parte entera es $4$ y la parte decimal es $375$.

$$\frac{18}{33}=0{,}545454\dots$$

Esta división no termina, pero se repite el bloque $54$.

$$\frac{59}{12}=4{,}916666\dots$$

En este caso la parte decimal empieza con $91$ y luego repite $6$ indefinidamente.

Una propiedad fundamental es:

Todo número racional, al ser escrito en base 10, tiene una expresión decimal exacta o periódica. Si una expresión decimal es infinita y no periódica, entonces no representa un número racional.

Eso se debe a que en una división de enteros los residuos posibles son finitos; si algún residuo se repite, el proceso decimal entra en ciclo.

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Los números decimales se clasifican en dos grandes grupos: exactos e inexactos.

2.1. Decimal exacto

Tiene una cantidad limitada de cifras en la parte decimal.

Ejemplos:

$$0{,}8,\qquad 0{,}375,\qquad 12{,}75$$

2.2. Decimal inexacto periódico puro

La parte decimal está formada por una o varias cifras que se repiten indefinidamente desde la coma decimal. Al bloque que se repite se le llama período.

Ejemplos:

$$0{,}222\dots = 0{,}\overline{2}$$

$$1{,}585858\dots = 1{,}\overline{58}$$

$$2{,}023023\dots = 2{,}\overline{023}$$

En $2{,}\overline{023}$, el período es $023$.

2.3. Decimal inexacto periódico mixto

Entre la coma decimal y el período hay una parte decimal que no se repite, llamada anteperíodo.

Ejemplos:

$$0{,}3666\dots = 0{,}3\overline{6}$$

Aquí el anteperíodo es $3$ y el período es $6$.

$$2{,}81023023\dots = 2{,}81\overline{023}$$

Aquí:

• Parte entera: $2$
• Anteperíodo: $81$
• Período: $023$

2.4. Decimal inexacto no periódico

Es un decimal infinito que no tiene ningún bloque que se repita. No proviene de una fracción de enteros; corresponde a los números irracionales.

Ejemplos:

$$\pi=3{,}141592\dots,\qquad \sqrt{2}=1{,}414213\dots,\qquad e=2{,}718281\dots$$

En este tema nos centramos en los decimales que provienen de fracciones, es decir, en los racionales.

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La forma más importante de clasificar un decimal, sin hacer la división, es observar la descomposición canónica del denominador de la fracción irreductible.

Sea $a/b$ una fracción irreductible.

Caso 1: El denominador solo tiene factores $2$ y/o $5$

Si $$b=2^\alpha\cdot 5^\beta,$$ entonces la fracción genera un decimal exacto.

Justificación: se puede multiplicar numerador y denominador por potencias de $2$ o $5$ para que el denominador se convierta en una potencia de 10.

Ejemplo:

$$\frac{23}{50}=\frac{23}{2\cdot 5^2}.$$

Multiplicamos por $2$ para igualar los exponentes:

$$\frac{23}{2\cdot 5^2}=\frac{23\cdot 2}{2^2\cdot 5^2} =\frac{46}{100}=0{,}46.$$

Caso 2: El denominador no tiene factores $2$ ni $5$

Si el denominador es coprimo con 10, es decir, no contiene ni $2$ ni $5$, la fracción genera un decimal periódico puro.

Ejemplos:

$$\frac{2}{11}$$

El denominador $11$ no tiene factores $2$ ni $5$, entonces:

$$\frac{2}{11}=0{,}\overline{18}.$$

Otro ejemplo:

$$\frac{14}{33}=\frac{14}{3\cdot 11}$$

Tampoco hay factores $2$ ni $5$, por lo tanto:

$$\frac{14}{33}=0{,}\overline{42}.$$

Caso 3: El denominador tiene factores $2$ y/o $5$ y además otros factores primos

Si $$b=2^\alpha\cdot 5^\beta \cdot r_1^{e_1}\cdots r_k^{e_k},$$ donde $r_1,\dots,r_k$ son primos distintos de $2$ y $5$, entonces la fracción genera un decimal periódico mixto.

Ejemplo:

$$\frac{5}{12}=\frac{5}{2^2\cdot 3}.$$

El denominador tiene $2^2$ y $3$, por lo tanto:

$$\frac{5}{12}=0{,}41\overline{6}.$$

Aquí el anteperíodo es $41$ y el período es $6$.

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Además de saber si el decimal es exacto, periódico puro o mixto, San Marcos suele preguntar cuántas cifras decimales tiene la parte no periódica y cuántas el período.

4.1. Decimal exacto

Para una fracción irreductible con denominador $$b=2^\alpha\cdot 5^\beta,$$ la cantidad de cifras decimales exactas es: $$\boxed{\max(\alpha,\beta)}$$

Ejemplo:

$$\frac{7}{40}=\frac{7}{2^3\cdot 5}.$$

El mayor exponente entre $3$ y $1$ es $3$, entonces el decimal es exacto con $3$ cifras decimales:

$$\frac{7}{40}=0{,}175.$$

Otro ejemplo:

$$\frac{33}{64}=\frac{33}{2^6}.$$

Tiene $\max(6,0)=6$ cifras decimales:

$$\frac{33}{64}=0{,}515625.$$

4.2. Decimal periódico puro y tabla de los nueves

Para saber cuántas cifras tiene el período de una fracción cuyo denominador es coprimo con 10, se usa la tabla de los nueves.

La idea es encontrar el menor número formado solo por cifras $9$ que sea divisible entre el denominador.

Tabla de los nueves:

$$\begin{array}{c|c} \text{Numeral formado por nueves} & \text{Descomposición canónica}\\ \hline 9 & 3^2\\ 99 & 3^2\cdot 11\\ 999 & 3^3\cdot 37\\ 9999 & 3^2\cdot 11\cdot 101\\ 99999 & 3^2\cdot 41\cdot 271\\ 999999 & 3^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37 \end{array}$$

Se llama nivel de un factor al número de nueves del menor numeral $999\dots 999$ que lo contiene.

Ejemplos de niveles:

• El $3$ y el $9$ están contenidos en $9$, nivel $1$.
• El $11$ está contenido en $99$, nivel $2$.
• El $27=3^3$ y el $37$ están contenidos en $999$, nivel $3$.
• El $101$ está contenido en $9999$, nivel $4$.
• El $41$ y el $271$ están contenidos en $99999$, nivel $5$.
• El $7$ y el $13$ están contenidos en $999999$, nivel $6$.

Entonces, para una fracción irreductible cuyo denominador no tiene factores $2$ ni $5$, la cantidad de cifras del período es el MCM de los niveles de sus factores primos.

Ejemplo:

$$\frac{2}{11}$$

El $11$ tiene nivel $2$; por lo tanto, el decimal periódico puro tiene $2$ cifras en su período:

$$\frac{2}{11}=0{,}\overline{18}.$$

Ejemplo:

$$\frac{5}{37}$$

El $37$ tiene nivel $3$; por eso:

$$\frac{5}{37}=0{,}\overline{135}.$$

Ejemplo:

$$\frac{1}{7\cdot 11}$$

El $7$ tiene nivel $6$ y el $11$ nivel $2$. Entonces:

$$\text{cifras del período}=\operatorname{MCM}(6,2)=6.$$

Ejemplo con períodos más largos:

$$\frac{1}{7\cdot 41}$$

Niveles: $7$ es nivel $6$ y $41$ es nivel $5$. Luego:

$$\text{cifras del período}=\operatorname{MCM}(6,5)=30.$$

4.3. Decimal periódico mixto

Si el denominador es $$b=2^\alpha\cdot 5^\beta\cdot r_1^{e_1}\cdots r_k^{e_k},$$ donde $r_1,\dots,r_k$ son primos distintos de $2$ y $5$, entonces:

$$\boxed{\text{cifras no periódicas}=\max(\alpha,\beta)}$$

y

$$\boxed{\text{cifras periódicas}=\operatorname{MCM}(\text{niveles de } r_1^{e_1},\dots,r_k^{e_k})}$$

Ejemplo:

$$\frac{5}{12}=\frac{5}{2^2\cdot 3}.$$

• Cifras no periódicas: $\max(2,0)=2$.
• Cifras periódicas: nivel de $3$ es $1$.

Entonces:

$$\frac{5}{12}=0{,}41\overline{6}.$$

Anteperíodo: $41$, dos cifras. Período: $6$, una cifra.

Ejemplo:

$$\frac{121}{740}=\frac{121}{2^2\cdot 5\cdot 37}.$$

• Cifras no periódicas: $\max(2,1)=2$.
• Cifras periódicas: nivel de $37$ es $3$.

Por lo tanto:

$$\frac{121}{740}=0{,}16\overline{351}.$$

Anteperíodo $16$ y período $351$.

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Todo número decimal puede expresarse como una suma de múltiplos de potencias de 10.

5.1. Decimal exacto

Para un decimal exacto como $4{,}375$:

$$4{,}375=4\cdot 10^0+3\cdot 10^{-1}+7\cdot 10^{-2}+5\cdot 10^{-3}.$$

Es decir:

$$4{,}375=4+\frac{3}{10}+\frac{7}{10^2}+\frac{5}{10^3}.$$

En general, un decimal exacto $$N=d_n\dots d_0,d_{-1}d_{-2}\dots d_{-m}$$ se descompone como:

$$N=d_n\cdot 10^n+\cdots+d_0\cdot 10^0+d_{-1}\cdot 10^{-1}+\cdots+d_{-m}\cdot 10^{-m}.$$

5.2. Decimal periódico

La descomposición polinómica también explica por qué un decimal periódico es racional.

Por ejemplo:

$$0{,}\overline{123}= \frac{123}{10^3}+\frac{123}{10^6}+\frac{123}{10^9}+\cdots$$

Esto es una serie geométrica de razón $1/10^3$. Su suma es:

$$0{,}\overline{123} =\frac{\frac{123}{10^3}}{1-\frac{1}{10^3}} =\frac{123}{10^3-1} =\frac{123}{999}.$$

Por eso, en general:

$$0{,}\overline{abc\cdots m} =\frac{abc\cdots m}{999\cdots 9}.$$

Así, la descomposición polinómica es el fundamento de la fracción generatriz.

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La fracción generatriz de un decimal es la fracción irreductible que lo genera al dividir numerador entre denominador.

6.1. Decimal exacto

Para un decimal exacto con $k$ cifras decimales:

$$0{,}d_1d_2\cdots d_k=\frac{d_1d_2\cdots d_k}{10^k}.$$

Ejemplos:

$$0{,}18=\frac{18}{100}=\frac{9}{50}.$$

$$0{,}375=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}.$$

Si el decimal tiene parte entera distinta de cero, se puede trabajar con la suma de la parte entera y la parte decimal:

$$12{,}75=12+0{,}75=12+\frac{75}{100}=\frac{1275}{100}=\frac{51}{4}.$$

6.2. Decimal periódico puro

Para un decimal periódico puro con $k$ cifras en el período:

$$0{,}\overline{d_1d_2\cdots d_k} =\frac{d_1d_2\cdots d_k}{\underbrace{999\cdots 9}_{k\text{ cifras}}}.$$

Ejemplos:

$$0{,}\overline{24}=\frac{24}{99}=\frac{8}{33}.$$

$$0{,}\overline{135}=\frac{135}{999}.$$

Si hay parte entera:

$$2{,}\overline{7}=2+\frac{7}{9}=\frac{25}{9}.$$

¿De dónde sale esta regla?

Sea $$x=0{,}\overline{abc}.$$

Multiplicamos por $1000$:

$$1000x=abc{,}\overline{abc}.$$

Restamos $x$:

$$1000x-x=abc{,}\overline{abc}-0{,}\overline{abc}.$$

Luego:

$$999x=abc$$

y por lo tanto:

$$x=\frac{abc}{999}.$$

6.3. Decimal periódico mixto

Para un decimal periódico mixto, la regla práctica es:

Se forma el numerador restando, al número formado por el anteperíodo seguido del período, el número formado solo por el anteperíodo.
En el denominador se escriben tantos nueves como cifras tiene el período, seguidos de tantos ceros como cifras tiene el anteperíodo.

Simbólicamente, para $$0{,}a_1a_2\cdots a_m\,\overline{b_1b_2\cdots b_k},$$ la fracción generatriz es:

$$\frac{a_1a_2\cdots a_m b_1b_2\cdots b_k-a_1a_2\cdots a_m} {\underbrace{999\cdots 9}_{k\text{ nueves}}\ \underbrace{000\cdots 0}_{m\text{ ceros}}}.$$

Ejemplo:

Calculemos la fracción generatriz de:

$$0{,}3\overline{6}.$$

Aquí el anteperíodo es $3$ y el período es $6$.

• Numerador: $36-3=33$.
• Denominador: $90$, porque hay una cifra periódica y una cifra no periódica.

Entonces:

$$0{,}3\overline{6}=\frac{33}{90}=\frac{11}{30}.$$

Otro ejemplo:

$$0{,}2\overline{43}.$$

Anteperíodo: $2$. Período: $43$.

$$0{,}2\overline{43} =\frac{243-2}{990} =\frac{241}{990}.$$

Ejemplo con parte entera:

$$2{,}4\overline{6} =2+0{,}4\overline{6} =2+\frac{46-4}{90} =2+\frac{42}{90} =2+\frac{7}{15} =\frac{37}{15}.$$

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El teorema de Midy describe una propiedad curiosa y útil de algunos decimales periódicos puros.

7.1. Idea intuitiva

Observa:

$$\frac{1}{7}=0{,}\overline{142857}.$$

El período es $142857$, que tiene $6$ cifras. Partámoslo en dos bloques de $3$ cifras:

$$142 \quad \text{y} \quad 857.$$

Sumemos:

$$142+857=999.$$

Esto no es casualidad para denominadores primos como $7$.

Otro ejemplo:

$$\frac{1}{13}=0{,}\overline{076923}.$$

Partimos el período $076923$ en dos bloques de $3$ cifras:

$$076 \quad \text{y} \quad 923.$$

Sumamos:

$$076+923=999.$$

7.2. Enunciado clásico

Sea $p$ un número primo distinto de $2$ y $5$, y sea $a$ un entero con $0<a<p$. Supongamos que el período de $$\frac{a}{p}$$ tiene una cantidad par de cifras, digamos $2n$:

$$\frac{a}{p}=0{,}\overline{c_1c_2\cdots c_n c_{n+1}\cdots c_{2n}}.$$

Entonces:

$$\overline{c_1c_2\cdots c_n}+\overline{c_{n+1}\cdots c_{2n}} =\underbrace{999\cdots 9}_{n\text{ cifras}}.$$

Equivalentemente, cifra a cifra:

$$c_j+c_{n+j}=9$$

para cada $j=1,2,\dots,n$.

7.3. Ejemplo con período largo

$$\frac{1}{17}=0{,}\overline{0588235294117647}.$$

El período tiene $16$ cifras. Lo partimos en dos bloques de $8$:

$$05882352 \quad \text{y} \quad 94117647.$$

Sumamos:

$$05882352+94117647=99999999.$$

Observa también que se cumple la propiedad cifra a cifra: la primera cifra $0$ se complementa con $9$, la segunda $5$ con $4$, la tercera $8$ con $1$, etc.

7.4. Generalización

El teorema de Midy se extiende a otros denominadores, no solo primos, siempre que se cumplan ciertas condiciones y el período tenga longitud par.

Por ejemplo, si una fracción $a/N$ es periódica pura y su período tiene $2n$ cifras, y si $N$ es primo, potencia de primo o cumple ciertas condiciones de coprimalidad con $10^n-1$, entonces se mantiene la propiedad de los bloques complementarios.

En la práctica, en el examen se aplica sobre todo en fracciones con denominador primo y período de longitud par.

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