Numeración I: sistema de numeración posicional, principio del orden y la base, descomposición polinómica

El primer paso es distinguir tres conceptos que suelen confundirse.

1.1 Número

Un número es una idea abstracta que expresa una cantidad. No es la palabra ni el símbolo; es la noción de “cuántos elementos hay”.

1.2 Numeral

Un numeral es la representación escrita de un número mediante símbolos llamados cifras o guarismos.

Por ejemplo, la cantidad siete se puede representar como:

$$7$$

que es un numeral decimal, o como

$$111_{(2)}$$

que es un numeral binario.

Ambos numerales representan el mismo número.

1.3 Cifra

Una cifra es cada uno de los símbolos básicos que se usan para formar numerales.

En el sistema decimal usamos las cifras:

$$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$$

En otros sistemas de numeración, la cantidad de cifras disponibles depende de la base.

Una cifra significativa es una cifra distinta de cero.
La cifra no significativa es únicamente el cero.

Así, en el numeral $3052$, las cifras significativas son $3,5,2$ y la cifra no significativa es $0$.

Un sistema de numeración es un conjunto de principios y reglas que permiten escribir y leer correctamente los numerales.

Un sistema es posicional cuando el valor de una cifra no depende solo del símbolo, sino también de la posición que ocupa dentro del numeral.

Por ejemplo, en el numeral decimal

$$373$$

la cifra $3$ de la izquierda no vale lo mismo que la cifra $3$ de la derecha. La primera vale $300$; la segunda, $3$.

Esto se debe a dos principios fundamentales: el principio del orden y el principio de la base.

3.1 Lugar

El lugar de una cifra se cuenta de izquierda a derecha, es decir, en el mismo sentido en que leemos el numeral.

En el numeral $4305_{(6)}$, la cifra $4$ ocupa el primer lugar, la cifra $3$ el segundo, la cifra $0$ el tercero y la cifra $5$ el cuarto.

3.2 Orden

El orden se cuenta de derecha a izquierda, es decir, en sentido contrario al lugar.

En el numeral $4305_{(6)}$:

En general:

• la cifra de orden 1 es la de las unidades simples;
• la cifra de orden 2 es la de grupos de $n$;
• la cifra de orden 3 es la de grupos de $n^2$;

y así sucesivamente, cuando la base es $n$.

3.3 Valor posicional

En cualquier base $n$, una cifra ubicada en el orden $k$ tiene un valor igual a:

$$\text{cifra} \times n^{k-1}$$

Por ejemplo, en el numeral $4305_{(6)}$:

• $4$ está en el orden 4, entonces vale $4\times 6^3=864$;
• $3$ está en el orden 3, entonces vale $3\times 6^2=108$;
• $0$ está en el orden 2, entonces vale $0\times 6=0$;
• $5$ está en el orden 1, entonces vale $5$.

Por lo tanto:

$$4305_{(6)}=864+108+0+5=977$$

Es decir, $4305_{(6)}$ es el numeral en base seis del número $977$ escrito en base diez.

El orden y el lugar no son lo mismo. El lugar se cuenta de izquierda a derecha; el orden, de derecha a izquierda.

4.1 ¿Qué es la base?

Todo numeral está escrito en una base, que es un número natural mayor que $1$.

La base indica cuántas unidades de un orden cualquiera se necesitan para formar una unidad del orden inmediato superior.

Por ejemplo:

• en base $10$, agrupamos de 10 en 10;
• en base $6$, agrupamos de 6 en 6;
• en base $4$, agrupamos de 4 en 4.

La base se escribe como subíndice del numeral, excepto en el sistema decimal, donde se sobreentiende.

Así:

$$23_{(10)}=23$$

pero:

$$23_{(6)}$$

significa que en base seis hay que agrupar de 6 en 6.

4.2 La base explica el agrupamiento

Veamos un ejemplo concreto con una colección de 23 elementos.

En base diez agrupamos de 10 en 10:

$$23 = 2\times 10 + 3$$

En base seis agrupamos de 6 en 6:

• 23 elementos forman 3 grupos de 6 y sobran 5;
• por lo tanto, $23=35_{(6)}$.

En base cuatro agrupamos de 4 en 4:

• 23 forma 1 grupo de $4^2=16$, 1 grupo de $4$, y sobran 3;
• por lo tanto, $23=113_{(4)}$.

Entonces:

$$23=35_{(6)}=113_{(4)}$$

Observa que mientras más pequeña es la base, más cifras suele necesitar el numeral. Esto se resume así:

A mayor numeral aparente, le corresponde menor base.
A menor numeral aparente, le corresponde mayor base.

Aquí, $113_{(4)}$ parece “más grande” que $23$, pero representa la misma cantidad; en cambio, su base es menor.

4.3 Condiciones de la base y de las cifras

En un sistema de base $n$ se cumplen siempre estas reglas:

1. La base $n$ es un número natural mayor que $1$.
   Por lo tanto, la base mínima es $2$.

2. Las cifras permitidas son:

   $$0,1,2,3,\ldots,n-1$$

   Es decir, toda cifra debe ser menor que la base.

3. En base $n$ hay exactamente $n$ cifras distintas.

4. La primera cifra de un numeral no puede ser cero.

5. En una base $n$, la mayor cifra posible es $n-1$.

Ejemplo:

En base $5$, las cifras disponibles son:

$$0,1,2,3,4$$

Por lo tanto, el numeral $4321_{(5)}$ está bien escrito, pero $145_{(5)}$ también lo está; en cambio, $35_{(5)}$ no existe como numeral de dos cifras con esas cifras? Cuidado: la cifra $5$ no está permitida en base $5$, porque debe cumplirse que cada cifra sea menor que $5$.

4.4 Algunos sistemas de numeración

En bases mayores que $10$, las cifras que representan $10$, $11$, etc., se escriben entre paréntesis para no confundirlas con numerales de dos cifras.

Por ejemplo:

$$\overline{2(10)4}_{(12)}$$

es un numeral de tres cifras: $2$, $(10)$ y $4$.

En muchos problemas de admisión no se conocen todas las cifras de un numeral. Entonces se usan letras para representarlas.

Por ejemplo:

$$\overline{ab}_{(n)}$$

representa un numeral de dos cifras en base $n$, donde:

• $a$ es la primera cifra, distinta de cero;
• $b$ es la segunda cifra;
• ambas deben ser menores que $n$.

La barra sobre las letras es importante: $\overline{ab}$ no significa $a\times b$, sino “el numeral formado por las cifras $a$ y $b$ en ese orden”.

Ejemplos:

• $\overline{ab}_{(7)}$ exige que $1\leq a\leq 6$ y $0\leq b\leq 6$.
• $\overline{a3b}_{(5)}$ exige que $1\leq a\leq 4$, $3<5$ y $0\leq b\leq 4$.
• $\overline{ab}$, sin subíndice, está expresado en base diez.

5.1 Conteo de numerales

Muchas veces se pide determinar cuántos numerales de cierta forma existen. La técnica básica es:

1. Identificar la base.
2. Analizar los valores permitidos para cada cifra.
3. Multiplicar la cantidad de opciones de cada cifra.

Ejemplo breve:

¿Cuántos numerales de la forma $\overline{ab3}_{(5)}$ existen?

• $a$ es primera cifra en base 5: $a$ puede ser $1,2,3,4$. Hay $4$ opciones.
• $b$ es cifra en base 5: $b$ puede ser $0,1,2,3,4$. Hay $5$ opciones.
• La cifra $3$ es fija.

Total:

$$4\times 5=20$$

Existen $20$ numerales de esa forma.

Cuando aparecen expresiones como $(a+1)$, $(2b)$, etc., cada paréntesis representa una única cifra del numeral y se analiza como tal.

La descomposición polinómica es la herramienta más importante de este tema. Consiste en expresar un numeral como la suma de los productos de sus cifras por las potencias de la base.

6.1 Idea general

En base $n$, un numeral de $k+1$ cifras:

$$\overline{a_k a_{k-1}\ldots a_1 a_0}_{(n)}$$

se descompone así:

$$\overline{a_k a_{k-1}\ldots a_1 a_0}_{(n)} = a_k n^k + a_{k-1}n^{k-1}+\cdots+a_1 n+a_0$$

donde:

• $a_k\neq 0$, por ser la primera cifra;
• cada $a_i$ cumple $0\leq a_i< n$.

Veamos casos frecuentes:

$$\overline{ab}_{(n)}=an+b$$

$$\overline{abc}_{(n)}=a n^2+b n+c$$

$$\overline{abcd}_{(n)}=a n^3+b n^2+c n+d$$

6.2 Ejemplo básico

Descomponer y calcular el valor de $\overline{235}_{(7)}$.

Aplicamos la fórmula:

$$\overline{235}_{(7)} = 2\times 7^2+3\times 7+5$$

$$=2\times 49+21+5$$

$$=98+21+5=124$$

Por lo tanto, $\overline{235}_{(7)}=124$.

La descomposición polinómica nos da el valor real del numeral en base diez.

6.3 Descomposición por bloques

No siempre es necesario descomponer cifra por cifra. Muchas veces conviene agrupar cifras en bloques.

Por ejemplo:

$$\overline{abcd}_{(n)} = \overline{ab}_{(n)}\times n^2+\overline{cd}_{(n)}$$

¿Por qué?

Porque $\overline{ab}_{(n)}=an+b$. Al multiplicarlo por $n^2$, obtenemos:

$$(an+b)n^2=a n^3+b n^2$$

que corresponde precisamente al bloque $ab$ seguido de dos ceros:

$$\overline{ab00}_{(n)}$$

Entonces:

$$\overline{abcd}_{(n)}=\overline{ab00}_{(n)}+\overline{cd}_{(n)}$$

Esta descomposición por bloques es muy útil en problemas de divisibilidad, y también en el siguiente tema de cambios de base.

Ejemplo:

$$\overline{2341}_{(5)} = \overline{23}_{(5)}\times 5^2+\overline{41}_{(5)}$$

Como:

$$\overline{23}_{(5)}=2\times 5+3=13$$

y

$$\overline{41}_{(5)}=4\times 5+1=21$$

entonces:

$$\overline{2341}_{(5)}=13\times 25+21=325+21=346$$

6.4 Armar un numeral a partir de una expresión polinómica

También se puede hacer el proceso inverso. Si se tiene una expresión como:

$$4\times 7^3+0\times 7^2+6\times 7+2$$

entonces el numeral en base $7$ es:

$$\overline{4062}_{(7)}$$

porque el coeficiente $0$ indica que la cifra del orden correspondiente es cero.

Los coeficientes deben ser válidos como cifras: deben estar entre $0$ y $6$ si la base es $7$.

Esta aplicación es muy frecuente en los exámenes de admisión.

En base $b$, el menor numeral de $k$ cifras es:

$$\overline{1\underbrace{00\ldots 0}_{k-1\text{ cifras}}}_{(b)} = b^{k-1}$$

El mayor numeral de $k$ cifras es:

$$\overline{(b-1)(b-1)\ldots (b-1)}_{k\text{ cifras}} = b^k-1$$

Por lo tanto, un número $N$ se escribe con exactamente $k$ cifras en base $b$ si y solo si:

$$b^{k-1}\leq N < b^k$$

La desigualdad de la izquierda es $\leq$ porque si $N=b^{k-1}$, el numeral es $1$ seguido de ceros, que tiene exactamente $k$ cifras.

La desigualdad de la derecha es estricta porque si $N=b^k$, el numeral es $1$ seguido de $k$ ceros, que tiene $k+1$ cifras.

7.1 Ejemplo

¿En qué bases el número $100$ escrito en base diez se representa con exactamente tres cifras?

Aplicamos la condición:

$$b^2\leq 100 < b^3$$

De $b^2\leq 100$:

$$b\leq 10$$

De $100 < b^3$:

$$b^3>100$$

Probando valores:

$$4^3=64 \quad\text{no cumple}$$

$$5^3=125 \quad\text{sí cumple}$$

Por lo tanto:

$$b=5,6,7,8,9,10$$

En base $4$, $100$ se escribe con cuatro cifras; en base $11$, con dos cifras.

El primer paso es distinguir tres conceptos que suelen confundirse.

1.1 Número

Un número es una idea abstracta que expresa una cantidad. No es la palabra ni el símbolo; es la noción de “cuántos elementos hay”.

1.2 Numeral

Un numeral es la representación escrita de un número mediante símbolos llamados cifras o guarismos.

Por ejemplo, la cantidad siete se puede representar como:

$$7$$

que es un numeral decimal, o como

$$111_{(2)}$$

que es un numeral binario.

Ambos numerales representan el mismo número.

1.3 Cifra

Una cifra es cada uno de los símbolos básicos que se usan para formar numerales.

En el sistema decimal usamos las cifras:

$$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$$

En otros sistemas de numeración, la cantidad de cifras disponibles depende de la base.

Una cifra significativa es una cifra distinta de cero.
La cifra no significativa es únicamente el cero.

Así, en el numeral $3052$, las cifras significativas son $3,5,2$ y la cifra no significativa es $0$.

Un sistema de numeración es un conjunto de principios y reglas que permiten escribir y leer correctamente los numerales.

Un sistema es posicional cuando el valor de una cifra no depende solo del símbolo, sino también de la posición que ocupa dentro del numeral.

Por ejemplo, en el numeral decimal

$$373$$

la cifra $3$ de la izquierda no vale lo mismo que la cifra $3$ de la derecha. La primera vale $300$; la segunda, $3$.

Esto se debe a dos principios fundamentales: el principio del orden y el principio de la base.

3.1 Lugar

El lugar de una cifra se cuenta de izquierda a derecha, es decir, en el mismo sentido en que leemos el numeral.

En el numeral $4305_{(6)}$, la cifra $4$ ocupa el primer lugar, la cifra $3$ el segundo, la cifra $0$ el tercero y la cifra $5$ el cuarto.

3.2 Orden

El orden se cuenta de derecha a izquierda, es decir, en sentido contrario al lugar.

En el numeral $4305_{(6)}$:

En general:

• la cifra de orden 1 es la de las unidades simples;
• la cifra de orden 2 es la de grupos de $n$;
• la cifra de orden 3 es la de grupos de $n^2$;

y así sucesivamente, cuando la base es $n$.

3.3 Valor posicional

En cualquier base $n$, una cifra ubicada en el orden $k$ tiene un valor igual a:

$$\text{cifra} \times n^{k-1}$$

Por ejemplo, en el numeral $4305_{(6)}$:

• $4$ está en el orden 4, entonces vale $4\times 6^3=864$;
• $3$ está en el orden 3, entonces vale $3\times 6^2=108$;
• $0$ está en el orden 2, entonces vale $0\times 6=0$;
• $5$ está en el orden 1, entonces vale $5$.

Por lo tanto:

$$4305_{(6)}=864+108+0+5=977$$

Es decir, $4305_{(6)}$ es el numeral en base seis del número $977$ escrito en base diez.

El orden y el lugar no son lo mismo. El lugar se cuenta de izquierda a derecha; el orden, de derecha a izquierda.

4.1 ¿Qué es la base?

Todo numeral está escrito en una base, que es un número natural mayor que $1$.

La base indica cuántas unidades de un orden cualquiera se necesitan para formar una unidad del orden inmediato superior.

Por ejemplo:

• en base $10$, agrupamos de 10 en 10;
• en base $6$, agrupamos de 6 en 6;
• en base $4$, agrupamos de 4 en 4.

La base se escribe como subíndice del numeral, excepto en el sistema decimal, donde se sobreentiende.

Así:

$$23_{(10)}=23$$

pero:

$$23_{(6)}$$

significa que en base seis hay que agrupar de 6 en 6.

4.2 La base explica el agrupamiento

Veamos un ejemplo concreto con una colección de 23 elementos.

En base diez agrupamos de 10 en 10:

$$23 = 2\times 10 + 3$$

En base seis agrupamos de 6 en 6:

• 23 elementos forman 3 grupos de 6 y sobran 5;
• por lo tanto, $23=35_{(6)}$.

En base cuatro agrupamos de 4 en 4:

• 23 forma 1 grupo de $4^2=16$, 1 grupo de $4$, y sobran 3;
• por lo tanto, $23=113_{(4)}$.

Entonces:

$$23=35_{(6)}=113_{(4)}$$

Observa que mientras más pequeña es la base, más cifras suele necesitar el numeral. Esto se resume así:

A mayor numeral aparente, le corresponde menor base.
A menor numeral aparente, le corresponde mayor base.

Aquí, $113_{(4)}$ parece “más grande” que $23$, pero representa la misma cantidad; en cambio, su base es menor.

4.3 Condiciones de la base y de las cifras

En un sistema de base $n$ se cumplen siempre estas reglas:

1. La base $n$ es un número natural mayor que $1$.
   Por lo tanto, la base mínima es $2$.

2. Las cifras permitidas son:

   $$0,1,2,3,\ldots,n-1$$

   Es decir, toda cifra debe ser menor que la base.

3. En base $n$ hay exactamente $n$ cifras distintas.

4. La primera cifra de un numeral no puede ser cero.

5. En una base $n$, la mayor cifra posible es $n-1$.

Ejemplo:

En base $5$, las cifras disponibles son:

$$0,1,2,3,4$$

Por lo tanto, el numeral $4321_{(5)}$ está bien escrito, pero $145_{(5)}$ también lo está; en cambio, $35_{(5)}$ no existe como numeral de dos cifras con esas cifras? Cuidado: la cifra $5$ no está permitida en base $5$, porque debe cumplirse que cada cifra sea menor que $5$.

4.4 Algunos sistemas de numeración

En bases mayores que $10$, las cifras que representan $10$, $11$, etc., se escriben entre paréntesis para no confundirlas con numerales de dos cifras.

Por ejemplo:

$$\overline{2(10)4}_{(12)}$$

es un numeral de tres cifras: $2$, $(10)$ y $4$.

En muchos problemas de admisión no se conocen todas las cifras de un numeral. Entonces se usan letras para representarlas.

Por ejemplo:

$$\overline{ab}_{(n)}$$

representa un numeral de dos cifras en base $n$, donde:

• $a$ es la primera cifra, distinta de cero;
• $b$ es la segunda cifra;
• ambas deben ser menores que $n$.

La barra sobre las letras es importante: $\overline{ab}$ no significa $a\times b$, sino “el numeral formado por las cifras $a$ y $b$ en ese orden”.

Ejemplos:

• $\overline{ab}_{(7)}$ exige que $1\leq a\leq 6$ y $0\leq b\leq 6$.
• $\overline{a3b}_{(5)}$ exige que $1\leq a\leq 4$, $3<5$ y $0\leq b\leq 4$.
• $\overline{ab}$, sin subíndice, está expresado en base diez.

5.1 Conteo de numerales

Muchas veces se pide determinar cuántos numerales de cierta forma existen. La técnica básica es:

1. Identificar la base.
2. Analizar los valores permitidos para cada cifra.
3. Multiplicar la cantidad de opciones de cada cifra.

Ejemplo breve:

¿Cuántos numerales de la forma $\overline{ab3}_{(5)}$ existen?

• $a$ es primera cifra en base 5: $a$ puede ser $1,2,3,4$. Hay $4$ opciones.
• $b$ es cifra en base 5: $b$ puede ser $0,1,2,3,4$. Hay $5$ opciones.
• La cifra $3$ es fija.

Total:

$$4\times 5=20$$

Existen $20$ numerales de esa forma.

Cuando aparecen expresiones como $(a+1)$, $(2b)$, etc., cada paréntesis representa una única cifra del numeral y se analiza como tal.

La descomposición polinómica es la herramienta más importante de este tema. Consiste en expresar un numeral como la suma de los productos de sus cifras por las potencias de la base.

6.1 Idea general

En base $n$, un numeral de $k+1$ cifras:

$$\overline{a_k a_{k-1}\ldots a_1 a_0}_{(n)}$$

se descompone así:

$$\overline{a_k a_{k-1}\ldots a_1 a_0}_{(n)} = a_k n^k + a_{k-1}n^{k-1}+\cdots+a_1 n+a_0$$

donde:

• $a_k\neq 0$, por ser la primera cifra;
• cada $a_i$ cumple $0\leq a_i< n$.

Veamos casos frecuentes:

$$\overline{ab}_{(n)}=an+b$$

$$\overline{abc}_{(n)}=a n^2+b n+c$$

$$\overline{abcd}_{(n)}=a n^3+b n^2+c n+d$$

6.2 Ejemplo básico

Descomponer y calcular el valor de $\overline{235}_{(7)}$.

Aplicamos la fórmula:

$$\overline{235}_{(7)} = 2\times 7^2+3\times 7+5$$

$$=2\times 49+21+5$$

$$=98+21+5=124$$

Por lo tanto, $\overline{235}_{(7)}=124$.

La descomposición polinómica nos da el valor real del numeral en base diez.

6.3 Descomposición por bloques

No siempre es necesario descomponer cifra por cifra. Muchas veces conviene agrupar cifras en bloques.

Por ejemplo:

$$\overline{abcd}_{(n)} = \overline{ab}_{(n)}\times n^2+\overline{cd}_{(n)}$$

¿Por qué?

Porque $\overline{ab}_{(n)}=an+b$. Al multiplicarlo por $n^2$, obtenemos:

$$(an+b)n^2=a n^3+b n^2$$

que corresponde precisamente al bloque $ab$ seguido de dos ceros:

$$\overline{ab00}_{(n)}$$

Entonces:

$$\overline{abcd}_{(n)}=\overline{ab00}_{(n)}+\overline{cd}_{(n)}$$

Esta descomposición por bloques es muy útil en problemas de divisibilidad, y también en el siguiente tema de cambios de base.

Ejemplo:

$$\overline{2341}_{(5)} = \overline{23}_{(5)}\times 5^2+\overline{41}_{(5)}$$

Como:

$$\overline{23}_{(5)}=2\times 5+3=13$$

y

$$\overline{41}_{(5)}=4\times 5+1=21$$

entonces:

$$\overline{2341}_{(5)}=13\times 25+21=325+21=346$$

6.4 Armar un numeral a partir de una expresión polinómica

También se puede hacer el proceso inverso. Si se tiene una expresión como:

$$4\times 7^3+0\times 7^2+6\times 7+2$$

entonces el numeral en base $7$ es:

$$\overline{4062}_{(7)}$$

porque el coeficiente $0$ indica que la cifra del orden correspondiente es cero.

Los coeficientes deben ser válidos como cifras: deben estar entre $0$ y $6$ si la base es $7$.

Esta aplicación es muy frecuente en los exámenes de admisión.

En base $b$, el menor numeral de $k$ cifras es:

$$\overline{1\underbrace{00\ldots 0}_{k-1\text{ cifras}}}_{(b)} = b^{k-1}$$

El mayor numeral de $k$ cifras es:

$$\overline{(b-1)(b-1)\ldots (b-1)}_{k\text{ cifras}} = b^k-1$$

Por lo tanto, un número $N$ se escribe con exactamente $k$ cifras en base $b$ si y solo si:

$$b^{k-1}\leq N < b^k$$

La desigualdad de la izquierda es $\leq$ porque si $N=b^{k-1}$, el numeral es $1$ seguido de ceros, que tiene exactamente $k$ cifras.

La desigualdad de la derecha es estricta porque si $N=b^k$, el numeral es $1$ seguido de $k$ ceros, que tiene $k+1$ cifras.

7.1 Ejemplo

¿En qué bases el número $100$ escrito en base diez se representa con exactamente tres cifras?

Aplicamos la condición:

$$b^2\leq 100 < b^3$$

De $b^2\leq 100$:

$$b\leq 10$$

De $100 < b^3$:

$$b^3>100$$

Probando valores:

$$4^3=64 \quad\text{no cumple}$$

$$5^3=125 \quad\text{sí cumple}$$

Por lo tanto:

$$b=5,6,7,8,9,10$$

En base $4$, $100$ se escribe con cuatro cifras; en base $11$, con dos cifras.