Razones y Proporciones II: Proporción aritmética, geométrica y armónica. Propiedades. SRGE

1.1 Definición y términos

Una proporción aritmética es la igualdad de dos razones aritméticas. En general:

$$a-b = c-d$$

donde:

• $a$ y $d$ se llaman extremos.
• $b$ y $c$ se llaman medios.
• $a$ y $b$ son el antecedente y consecuente de la primera razón.
• $c$ y $d$ son el antecedente y consecuente de la segunda razón.

Ejemplo numérico inmediato:
Los números $20$, $13$, $15$ y $8$ forman una proporción aritmética porque

$$20-13 = 15-8$$

ya que ambos lados valen $7$.

Interpretación:
El precio $S/.\,20$ excede al precio $S/.\,13$ en la misma cantidad en que $S/.\,15$ excede a $S/.\,8$.

1.2 Propiedad fundamental de la proporción aritmética

En toda proporción aritmética, la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.

$$a-b=c-d \quad \Longrightarrow \quad a+d=b+c$$

¿De dónde sale?
Si $a-b=c-d$, sumamos $b+d$ a ambos lados:

$$a-b+b+d = c-d+b+d$$ $$a+d = b+c$$

Ejemplo:
En $20-13=15-8$, los extremos suman $20+8=28$ y los medios suman $13+15=28$.

Esta propiedad es muy útil cuando se tiene una proporción aritmética y se conoce la suma de tres de sus términos, o cuando se nos pide hallar un término desconocido.

1.3 Proporción aritmética discreta

Una proporción aritmética es discreta cuando sus cuatro términos son diferentes; es decir, los medios son distintos.

$$a-b = c-d, \qquad b \ne c$$

En este caso, al término $d$ se le llama cuarta diferencial de $a$, $b$ y $c$.

Ejemplo:
Halla la cuarta diferencial de $40$, $25$ y $20$.

Planteamos:

$$40-25 = 20-d$$

Entonces:

$$15 = 20-d$$ $$d=5$$

Por lo tanto, la cuarta diferencial es $5$, y la proporción queda $40-25=20-5$.

1.4 Proporción aritmética continua

Una proporción aritmética es continua cuando sus términos medios son iguales.

$$a-b = b-c$$

Aquí:

• $b$ es la media diferencial de $a$ y $c$.
• $c$ es la tercera diferencial de $a$ y $b$.

Usando la propiedad fundamental, en una proporción aritmética continua se cumple:

$$a-b=b-c \quad \Longrightarrow \quad a+c=2b$$

Es decir, el término medio es la media aritmética de los extremos:

$$b=\frac{a+c}{2}$$

Ejemplo numérico:
Los números $25$, $17$ y $9$ forman una proporción aritmética continua porque

$$25-17=17-9$$

Ambos lados valen $8$. Aquí $17$ es la media diferencial de $25$ y $9$, y $9$ es la tercera diferencial de $25$ y $17$.

Aplicación:
Si te piden la media diferencial de $35$ y $17$, basta con calcular:

$$b=\frac{35+17}{2}=26$$

y se verifica que $35-26=26-17$.

2.1 Definición y términos

Una proporción geométrica es la igualdad de dos razones geométricas. En general:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

donde:

• $a$ y $d$ son los extremos.
• $b$ y $c$ son los medios.

Ejemplo numérico inmediato:
$$\frac{21}{7}=\frac{15}{5}$$

Ambas razones valen $3$. Se lee: “$21$ es a $7$ como $15$ es a $5$”.

2.2 Propiedad fundamental de la proporción geométrica

En toda proporción geométrica, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \quad \Longrightarrow \quad a \cdot d = b \cdot c$$

¿De dónde sale?
Multiplicamos en cruz la igualdad de fracciones:

$$a \cdot d = b \cdot c$$

Ejemplo:
En $\frac{21}{7}=\frac{15}{5}$, los extremos multiplicados dan $21 \cdot 5 = 105$ y los medios multiplicados dan $7 \cdot 15 = 105$.

Esta propiedad es la más utilizada en todas las aplicaciones de proporciones.

2.3 Propiedades derivadas de la proporción geométrica

A partir de $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, se pueden obtener otras proporciones equivalentes. Las más útiles son:

1. Alternar extremos:
   $$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$

2. Alternar medios:
   $$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

3. Invertir las razones:
   $$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$$

4. Sumar (componer) a los términos:
   $$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

5. Restar (descomponer) a los términos:
   $$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d} \quad \text{(si } a>b \text{ y } c>d \text{)}$$

6. Componer y descomponer a la vez:
   $$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$$

Estas propiedades permiten transformar una proporción en otra más conveniente para resolver un problema.

Ejemplo numérico:
De $\frac{6}{3}=\frac{10}{5}$, componiendo se obtiene:

$$\frac{6+3}{3}=\frac{10+5}{5}$$ $$\frac{9}{3}=\frac{15}{5}$$

que sigue siendo cierta porque ambas valen $3$.

2.4 Proporción geométrica discreta

Una proporción geométrica es discreta cuando sus cuatro términos son diferentes.

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}, \qquad b \ne c$$

En este caso, $d$ es la cuarta proporcional de $a$, $b$ y $c$.

Ejemplo:
Halla la cuarta proporcional de $12$, $8$ y $15$.

Planteamos:

$$\frac{12}{8}=\frac{15}{d}$$

Aplicamos producto de extremos y medios:

$$12 \cdot d = 8 \cdot 15$$ $$12d=120$$ $$d=10$$

La proporción queda $\frac{12}{8}=\frac{15}{10}$.

2.5 Proporción geométrica continua

Una proporción geométrica es continua cuando sus términos medios son iguales.

$$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$$

Aquí:

• $b$ es la media proporcional (o media geométrica) de $a$ y $c$.
• $c$ es la tercera proporcional de $a$ y $b$.

De la propiedad fundamental:

$$a \cdot c = b \cdot b$$ $$b^2 = ac$$

Por lo tanto:

$$b=\sqrt{ac}$$

Ejemplo numérico:
Los números $4$, $10$ y $25$ forman una proporción geométrica continua porque

$$\frac{4}{10}=\frac{10}{25}$$

y se verifica que $10^2 = 4 \cdot 25$, es decir $100=100$.

Media proporcional de dos números:
La media proporcional de $9$ y $16$ es:

$$b = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144}=12$$

porque $\frac{9}{12}=\frac{12}{16}$.

Esta idea de proporción geométrica continua se extenderá más adelante a las series de razones geométricas equivalentes continuas, que son muy frecuentes en el examen.

2.6 Importancia de saber elegir entre proporción aritmética y geométrica

Es fundamental que al leer el problema identifiques si la comparación es por diferencia (proporción aritmética) o por cociente (proporción geométrica). En el examen UNMSM, la gran mayoría de preguntas de proporciones son geométricas, es decir, del tipo “es a”, “como”, “relación de”, “razón de”, etc. La proporción aritmética suele aparecer más en los temas de promedios y edades como una herramienta de apoyo.

3.1 Definición mediante recíprocos

La proporción armónica es menos conocida, pero es muy importante porque conecta directamente con el siguiente tema: promedios.

Decimos que tres números $a$, $b$, $c$ están en proporción armónica (o forman una progresión armónica) cuando sus recíprocos forman una progresión aritmética.

$$\frac{1}{a}, \ \frac{1}{b}, \ \frac{1}{c} \quad \text{están en PA}$$

Es decir:

$$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{1}{c} - \frac{1}{b}$$

En esta situación, $b$ es la media armónica de $a$ y $c$.

Despejando:

$$\frac{2}{b} = \frac{1}{a}+\frac{1}{c}$$ $$b = \frac{2ac}{a+c}$$

Ejemplo numérico:
¿Cuál es la media armónica de $2$ y $6$?

Aplicamos la fórmula:

$$b = \frac{2(2)(6)}{2+6} = \frac{24}{8}=3$$

Verificamos con los recíprocos:

$$\frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{6}$$

Se cumple que:

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$ $$\frac{1}{3}-\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$$

Por lo tanto, $2$, $3$ y $6$ están en proporción armónica.

3.2 Proporción armónica de cuatro términos

Cuatro números $a$, $b$, $c$, $d$ están en proporción armónica si sus recíprocos forman una proporción aritmética:

$$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{c} - \frac{1}{d}$$

o, equivalentemente,

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{d} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$$

Ejemplo numérico:
Los números $2$, $3$, $5$ y $30$ están en proporción armónica porque

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$ $$\frac{1}{5}-\frac{1}{30} = \frac{1}{6}$$

Por lo tanto, la igualdad se cumple.

3.3 Relación entre la proporción armónica y la media armónica

La proporción armónica es la base para entender la media armónica, que es uno de los tres promedios principales que estudiarás en el siguiente capítulo. La diferencia entre las tres proporciones se resume en la forma de calcular el término medio:

• Proporción aritmética continua:
  $a-b=b-c$
  $b=\frac{a+c}{2}$ (media aritmética).

• Proporción geométrica continua:
  $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$
  $b=\sqrt{ac}$ (media geométrica).

• Proporción armónica continua:
  $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ en PA
  $b=\frac{2ac}{a+c}$ (media armónica).

Estas tres medias serán retomadas en el tema siguiente, donde aprenderás a compararlas y aplicarlas a problemas de promedios.

4.1 Definición

Una serie de razones geométricas equivalentes (SRGE) es la igualdad de dos o más razones geométricas que tienen el mismo valor. En general:

$$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = \cdots = \frac{a_n}{b_n} = k$$

donde:

• $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ son los antecedentes.
• $b_1, b_2, b_3, \dots, b_n$ son los consecuentes.
• $k$ es la constante de proporcionalidad o razón de la serie.

Ejemplo ilustrativo:
Una receta de cupcakes indica que por cada cupcake se necesitan $24$ g de harina y $20$ mL de leche. La razón harina/leche es $\frac{24}{20}=\frac{6}{5}$. Si preparas 2 cupcakes, usarás $48$ g de harina y $40$ mL de leche. Para 5 cupcakes, usarás $120$ g de harina y $100$ mL de leche. Entonces puedes escribir:

$$\frac{24}{20} = \frac{48}{40} = \frac{120}{100} = \frac{6}{5}$$

Esta es una SRGE.

Antecedentes (negrita): 24, 48, 120.
Consecuentes (cursiva): 20, 40, 100.
La serie de razones equivalentes es 24/20 = 48/40 = 120/100 = 6/5.

Tabla de SRGE para receta de cupcakes

4.2 Propiedades fundamentales de la SRGE

A partir de una SRGE $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = k$, se desprenden varias propiedades que usarás constantemente.

4.2.1 Propiedad 1: Cada antecedente es $k$ veces su consecuente

$$a_i = k \cdot b_i \quad \text{para todo } i$$

Ejemplo:
En $\frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{8}{12} = k$, $k=\frac{2}{3}$, luego $4=\frac{2}{3}\cdot 6$, $6=\frac{2}{3}\cdot 9$, etc.

4.2.2 Propiedad 2: La suma de antecedentes sobre la suma de consecuentes es igual a $k$

$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n} = k$$

¿De dónde sale?
Si $a_1 = k b_1$, $a_2 = k b_2$, ..., sumas todas las ecuaciones:

$$a_1+a_2+\cdots+a_n = k(b_1+b_2+\cdots+b_n)$$

Despejando $k$, obtienes la propiedad.

Ejemplo numérico:
En la SRGE $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{6}{9}=k$ ($k=\frac{2}{3}$), la suma de antecedentes es $2+4+6=12$, la suma de consecuentes es $3+6+9=18$, y $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}=k$.

Esta propiedad es fundamental para resolver problemas donde se conoce la suma de varias cantidades y se busca cada una.

4.2.3 Propiedad 3: La diferencia de antecedentes sobre la diferencia de consecuentes es igual a $k$

$$\frac{a_1-a_2}{b_1-b_2} = k \quad \text{(con } b_1 \ne b_2 \text{)}$$

Ejemplo:
En $\frac{8}{4}=\frac{6}{3}=2$,
$$\frac{8-6}{4-3}=\frac{2}{1}=2$$

4.2.4 Propiedad 4: Combinaciones lineales

Para una SRGE, cualquier combinación lineal de antecedentes sobre la misma combinación lineal de consecuentes sigue siendo igual a $k$.

$$\frac{m a_1 + n a_2}{m b_1 + n b_2} = k$$

Ejemplo:
Si $\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=k$, entonces:

$$\frac{2a+3b}{2\cdot 2 + 3\cdot 5} = k$$ $$\frac{2a+3b}{4+15}=k$$

Esto permite calcular expresiones combinadas sin conocer $a$ y $b$ individualmente.

4.2.5 Propiedad 5: Potencias

Si se elevan al cuadrado, al cubo, etc., las razones siguen siendo equivalentes, pero la constante queda elevada a esa potencia.

$$\frac{a_1^2}{b_1^2} = \frac{a_2^2}{b_2^2} = k^2$$

Ejemplo:
De $\frac{3}{2}=\frac{6}{4}$, se tiene $\frac{9}{4}=\frac{36}{16}$, ambas iguales a $k^2=\frac{9}{4}$.

4.2.6 Propiedad 6: Producto de antecedentes y consecuentes

En una SRGE de $n$ razones, el producto de todos los antecedentes sobre el producto de todos los consecuentes es igual a $k^n$.

$$\frac{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n}{b_1 \cdot b_2 \cdots b_n} = k^n$$

¿De dónde sale?
Multiplicas las $n$ igualdades $\frac{a_i}{b_i}=k$.
$$\frac{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n}{b_1 \cdot b_2 \cdots b_n} = k \cdot k \cdots k = k^n$$

Ejemplo numérico:
En $\frac{4}{8}=\frac{5}{10}=k=\frac{1}{2}$, el producto de antecedentes es $4\cdot 5=20$, el de consecuentes es $8\cdot 10=80$, y $\frac{20}{80}=\frac{1}{4}=k^2$.

4.3 Método práctico para resolver problemas con SRGE

Cuando se presenta una SRGE del tipo

$$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k$$

una estrategia muy efectiva es expresar todos los antecedentes en función de $k$ y sus consecuentes:

$$a=2k, \quad b=3k, \quad c=5k$$

Luego se utiliza la información adicional del problema (suma, diferencia, producto, etc.) para hallar $k$ y, con ello, cada incógnita.

Ejemplo rápido:
Si $\frac{x}{3}=\frac{y}{5}$ y $x+y=24$, escribe $x=3k$, $y=5k$. Entonces:

$$3k+5k=24$$ $$8k=24$$ $$k=3$$

Por lo tanto, $x=9$, $y=15$.

5.1 Definición

Una SRGE es continua cuando cada consecuente es igual al siguiente antecedente. Es decir, los términos se encadenan:

$$\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = \cdots = k$$

Ejemplo numérico:
$$\frac{16}{8}=\frac{8}{4}=\frac{4}{2}=2$$

Aquí $16, 8, 4, 2$ forman una SRGE continua con $k=2$.

5.2 Relación con la progresión geométrica

En una SRGE continua, los términos están en progresión geométrica.

Si tienes $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k$, entonces:

$$b = kc$$ $$a = kb = k(kc) = k^2 c$$

En general, para una serie de $n$ términos, el último se puede expresar en función del primero y de $k$, o viceversa.

Por ejemplo, para cuatro términos:

$$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k$$

se cumple:

$$a = k^3 d, \quad b = k^2 d, \quad c = k d$$

Ejemplo numérico:
En $\frac{27}{9}=\frac{9}{3}=\frac{3}{1}=3$, con $k=3$, se cumple:

$$27 = 3^3 \cdot 1$$ $$9 = 3^2 \cdot 1$$ $$3 = 3 \cdot 1$$

5.3 Aplicaciones en admisión

Las SRGE continuas aparecen en preguntas donde cuatro o más cantidades están encadenadas manteniendo la misma razón. Por ejemplo, en edades, precios o propinas.

6.1 Proporciones en mezclas

En problemas de mezclas homogéneas, se cumple una propiedad muy poderosa:

En una mezcla homogénea, la proporción entre los ingredientes se mantiene constante en cualquier parte de la mezcla: en el total, en lo que se extrae y en lo que queda.

Ejemplo:
Un recipiente contiene $64$ L de agua y $56$ L de vino. La razón agua/vino es:

$$\frac{64}{56}=\frac{8}{7}$$

Si se extrae la cuarta parte de la mezcla (es decir, $30$ L), se extrae la cuarta parte de cada ingrediente:

• Agua extraída: $64 \div 4 = 16$ L.
• Vino extraído: $56 \div 4 = 14$ L.

Lo que queda es:

• Agua: $64-16=48$ L.
• Vino: $56-14=42$ L.

Y la razón sigue siendo $\frac{48}{42}=\frac{8}{7}$.

Aplicación en el examen:
Cuando se extrae una fracción $f$ de una mezcla, se extrae la misma fracción $f$ de cada componente. Esta idea simplifica muchísimo los cálculos.

6.2 Proporciones en reuniones

En problemas de reuniones, las relaciones se plantean entre:

• Número de varones y número de mujeres.
• Personas que bailan y personas que no bailan.
• Varones que bailan y varones que no bailan, etc.

Un dato clave: si la reunión es formal y se baila en parejas, entonces

$$\text{varones que bailan} = \text{mujeres que bailan}$$

Además, se cumple:

$$\text{Total} = \text{varones} + \text{mujeres}$$ $$\text{Total} = \text{personas que bailan} + \text{personas que no bailan}$$

Ejemplo ilustrativo:
En una reunión, por cada 5 varones hay 3 mujeres. Si hay 36 varones bailando y se sabe que todos bailan en parejas, ¿cuántas mujeres no bailan si el total es 120?

Resolvemos con proporciones:

• Sea $V=5k$, $M=3k$.
• $V+M=120 \Rightarrow 5k+3k=120 \Rightarrow 8k=120 \Rightarrow k=15$.
• Varones $V=75$, mujeres $M=45$.
• Varones que bailan $=36$, por lo tanto mujeres que bailan $=36$.
• Mujeres que no bailan $=45-36=9$.

6.3 Proporciones con dos o más relaciones (comparación indirecta)

En muchos problemas se comparan dos o más cantidades a través de una tercera. Por ejemplo:

• El precio de una cartera es al precio de una correa como 11 es a 2.
• El precio de una billetera es al precio de una correa como 7 es a 3.

Para comparar la cartera con la billetera, conviene igualar el término común (la correa) usando un múltiplo común.

Ejemplo:
Si cartera/correa $=11/2$ y billetera/correa $=7/3$, multiplicamos la primera razón por 3 y la segunda por 2 para igualar el consecuente:

$$\text{cartera}:\text{correa}=33:6$$ $$\text{billetera}:\text{correa}=14:6$$

Entonces cartera : billetera : correa $=33:14:6$.

6.4 Proporciones con suma, diferencia y producto

Algunas preguntas presentan tres expresiones relacionadas entre sí:

$$\text{suma} : \text{diferencia} : \text{producto} = a : b : c$$

En estos casos, se puede plantear una SRGE:

$$\frac{S}{a} = \frac{D}{b} = \frac{P}{c} = k$$

donde $S$, $D$ y $P$ son la suma, diferencia y producto de dos cantidades desconocidas.

A partir de $S$ y $D$ se pueden hallar las dos cantidades:

$$x = \frac{S+D}{2}, \quad y = \frac{S-D}{2}$$

y luego verificar con el producto.

6.5 Series de razones y constantes en problemas con incógnitas

Cuando una pregunta involucra una SRGE y una relación adicional con potencias o sumas, el método general es:

1. Expresar todos los términos en función de $k$ y de un consecuente base.
2. Reemplazar en la condición adicional.
3. Resolver la ecuación para $k$.
4. Calcular lo pedido.

6.6 Relación entre varones, mujeres y subgrupos

En problemas donde se dan dos relaciones: una general y otra dentro de cada grupo:

• Relación de varones a mujeres $= 2:3$.
• Por cada 7 varones, 2 no estudiaron.
• Por cada 9 mujeres, 5 no estudiaron.

Se puede trabajar con una constante $k$ para la relación general:

$$V=2k, \quad M=3k$$

Luego, los varones que no estudiaron son $\frac{2}{7}V$ y las mujeres que no estudiaron son $\frac{5}{9}M$. La suma de ambos se iguala al total de no estudiados. Así se halla $k$ y el total $5k$.