Magnitudes proporcionales II: Aplicaciones de magnitudes

Reparto proporcional · Regla de compañía · Regla de tres

Idea intuitiva

Imagina que un padre reparte $S/ 900$ entre dos hijos de 7 y 5 años. Si lo hace de manera directamente proporcional a las edades, no les toca lo mismo: el mayor debe recibir más. Si lo reparte de manera inversamente proporcional a las edades, el menor recibiría más porque se compensa con algún criterio.

El reparto proporcional consiste en dividir una cantidad $N$ en partes $P_1, P_2, \ldots, P_n$ que cumplan cierta proporción con unos números llamados índices de reparto o números repartidores.

Siempre se cumple:

$$P_1+P_2+\cdots +P_n=N$$

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1.1 Reparto simple directo

Se reparte una cantidad en partes directamente proporcionales a ciertos índices.

Si las partes son $P_1, P_2, \ldots, P_n$ y los índices son $i_1, i_2, \ldots, i_n$, entonces:

$$\frac{P_1}{i_1}=\frac{P_2}{i_2}=\cdots=\frac{P_n}{i_n}=k$$

De aquí:

$$P_1 = i_1 k,\quad P_2 = i_2 k,\quad \ldots,\quad P_n = i_n k$$

Como la suma de las partes es el total repartido:

$$(i_1+i_2+\cdots+i_n)k=N$$

Luego se halla $k$ y se calcula cada parte.

Ejemplo

Reparte $S/ 1500$ en forma DP a 6, 10 y 14.

Simplificamos los índices entre 2:

$$6:10:14 = 3:5:7$$

Entonces:

$$P_1=3k,\quad P_2=5k,\quad P_3=7k$$

Suma:

$$3k+5k+7k=1500$$

$$15k=1500$$

$$k=100$$

Las partes son:

$$P_1=S/300,\quad P_2=S/500,\quad P_3=S/700$$

Se observa que a mayor índice le corresponde mayor parte.

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1.2 Reparto simple inverso

Se reparte una cantidad en partes inversamente proporcionales a ciertos índices.

Si las partes son $P_1, P_2, P_3$ y los índices son $a,b,c$, entonces:

$$P_1 \cdot a = P_2 \cdot b = P_3 \cdot c = k$$

Como ya dijimos, repartir IP a $a,b,c$ equivale a repartir DP a:

$$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$$

En la práctica, para evitar fracciones complicadas, se toma el MCM de los índices simplificados y se usan como nuevos índices:

$$\frac{MCM}{a}, \frac{MCM}{b}, \frac{MCM}{c}$$

Ejemplo

Reparte $S/ 310$ en forma IP a 6, 9 y 15.

Primero simplificamos:

$$6:9:15 = 2:3:5$$

Ahora los inversos son:

$$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}$$

MCM de $2,3,5$ es 30. Los nuevos índices DP serán:

$$15, 10, 6$$

Es decir:

$$P_1=15k,\quad P_2=10k,\quad P_3=6k$$

Suma:

$$15k+10k+6k=310$$

$$31k=310$$

$$k=10$$

Las partes son:

$$P_1=S/150,\quad P_2=S/100,\quad P_3=S/60$$

Aquí se observa lo contrario: a mayor índice original le corresponde menor parte.

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1.3 Reparto compuesto

Se presenta cuando una parte es proporcional a dos o más grupos de índices, algunos DP y otros IP.

La idea general es esta:

• Si la parte es DP a un índice, ese índice multiplica.
• Si la parte es IP a un índice, se usa su inverso, es decir, se divide entre él.

Por ejemplo, si una parte $P$ es DP a $a$ e IP a $b$, entonces:

$$P \propto \frac{a}{b}$$

Es decir:

$$P = k\cdot \frac{a}{b}$$

Procedimiento práctico

1. Se simplifican los índices de cada grupo.
2. Se convierten las relaciones IP en DP usando inversos.
3. Se multiplican los índices DP de cada grupo.
4. Se reparte directamente proporcional a esos productos.

Ejemplo

Reparte $S/ 1700$ en forma DP a 5, 7 y 9, e IP a 2, 3 y 4, respectivamente.

Las partes serán proporcionales a:

$$\frac{5}{2},\quad \frac{7}{3},\quad \frac{9}{4}$$

Multiplicamos por el MCM de 2, 3 y 4, que es 12:

$$30,\quad 28,\quad 27$$

Entonces:

$$P_1=30k,\quad P_2=28k,\quad P_3=27k$$

Suma:

$$30k+28k+27k=1700$$

$$85k=1700$$

$$k=20$$

Las partes son:

$$P_1=S/600,\quad P_2=S/560,\quad P_3=S/540$$

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Idea intuitiva

Tres amigos forman un negocio. Uno aporta más capital que otro, o deja su dinero durante más tiempo. Al final, ¿cómo repartir la ganancia?

Lo justo no es repartir por igual, sino considerar cuánto aportó cada uno y cuánto tiempo. Por eso la ganancia debe ser proporcional al capital aportado y al tiempo de permanencia.

La regla de compañía es un caso especial de reparto compuesto aplicado a ganancias o pérdidas de una sociedad.

Fórmula básica

Si los socios tienen capitales $C_1, C_2, C_3$ y los mantienen durante tiempos $t_1,t_2,t_3$, entonces las ganancias $G_1,G_2,G_3$ cumplen:

$$G_1 : G_2 : G_3 = C_1t_1 : C_2t_2 : C_3t_3$$

También se puede escribir:

$$\frac{G_1}{C_1t_1}=\frac{G_2}{C_2t_2}=\frac{G_3}{C_3t_3}=k$$

Sumando:

$$G_1+G_2+G_3 = \text{ganancia total}$$

Casos particulares

• Si los capitales son iguales, la ganancia es DP al tiempo.
• Si los tiempos son iguales, la ganancia es DP al capital.
• Si ambos son distintos, la ganancia es DP al producto $C\cdot t$.

Capital variable

Si un socio cambia de capital durante el negocio, se calcula su índice sumando los productos parciales.

Por ejemplo, si un socio aporta $S/ 2000$ durante 4 meses y luego $S/ 3000$ durante 2 meses, su índice será:

$$2000\cdot 4 + 3000\cdot 2 = 14000$$

Ese resultado se usa como su índice de reparto.

Ejemplo breve

Un negocio tiene dos socios:

• Ana aporta $S/ 3000$ durante 4 meses.
• Beto aporta $S/ 2000$ durante 6 meses.

Los productos son:

$$3000\cdot 4 = 12000$$

$$2000\cdot 6 = 12000$$

Como los productos son iguales, a pesar de que los capitales son distintos, la ganancia se reparte en partes iguales. Esto muestra la importancia del tiempo.

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Idea intuitiva

Si 5 cuadernos cuestan $S/ 15$, ¿cuánto costarán 8 cuadernos? Sabemos que a más cuadernos, más dinero, así que usamos una proporción directa.

Si 6 obreros tardan 10 días, ¿cuánto tardarán 15 obreros? A más obreros, menos días, así que usamos una proporción inversa.

La regla de tres es un método para hallar un valor desconocido cuando se conocen otras cantidades relacionadas.

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3.1 Regla de tres simple

Intervienen solo dos magnitudes.

Regla de tres simple directa

Se aplica cuando las magnitudes son DP.

Si conocemos:

$$a_1 \longrightarrow b_1$$

$$x \longrightarrow b_2$$

Entonces:

$$\frac{a_1}{x}=\frac{b_1}{b_2}$$

Despejando:

$$x = \frac{a_1 b_2}{b_1}$$

Ejemplo

Si 5 kg de manzana cuestan $S/ 20$, ¿cuánto costarán 8 kg?

Es DP: a más kg, más costo.

$$x = \frac{20\cdot 8}{5}=32$$

Respuesta: $S/ 32$.

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Regla de tres simple inversa

Se aplica cuando las magnitudes son IP.

Si conocemos:

$$a_1 \longrightarrow b_1$$

$$x \longrightarrow b_2$$

Entonces:

$$\frac{a_1}{x}=\frac{b_2}{b_1}$$

Despejando:

$$x = \frac{a_1 b_1}{b_2}$$

Ejemplo

Si 6 obreros hacen una obra en 10 días, ¿cuánto tardarán 15 obreros?

Es IP: a más obreros, menos días.

$$x = \frac{6\cdot 10}{15}=4$$

Respuesta: 4 días.

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3.2 Regla de tres compuesta

Intervienen tres o más magnitudes.

El procedimiento es el siguiente:

1. Se identifican las magnitudes y los dos casos que se comparan.
2. Se ubica la magnitud que contiene la incógnita.
3. Se compara cada magnitud con la incógnita:
   • Si al aumentar una, la incógnita también aumenta, es DP.
   • Si al aumentar una, la incógnita disminuye, es IP.
4. Se plantea:

$$\frac{x}{a_1} = \prod_{\text{DP}}\frac{b_2}{b_1} \cdot \prod_{\text{IP}}\frac{b_1}{b_2}$$

Donde:

• $a_1$ es el valor conocido de la magnitud incógnita.
• $b_1,c_1,\ldots$ son los valores del primer caso.
• $b_2,c_2,\ldots$ son los valores del segundo caso.

Ejemplo

Veinte pintores trabajando 6 horas diarias durante 10 días pintan $300\, \text{m}^2$. ¿Cuántos días necesitarán 15 pintores trabajando 8 horas diarias para pintar $240\, \text{m}^2$?

Comparamos cada magnitud con los días:

• Pintores: a más pintores, menos días → IP → razón $\frac{20}{15}$.
• Horas por día: a más horas diarias, menos días → IP → razón $\frac{6}{8}$.
• Obra: a más obra, más días → DP → razón $\frac{240}{300}$.

Entonces:

$$x = 10\cdot \frac{20}{15}\cdot \frac{6}{8}\cdot \frac{240}{300}$$

Simplificando:

$$x = 10\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}$$

$$x = 10\cdot \frac{4}{5}=8$$

Respuesta: 8 días.

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3.3 Relación de magnitudes en una obra

En problemas de obras, construcción, producción, etc., suelen intervenir estas magnitudes:

• Número de obreros ($O$)
• Días de trabajo ($D$)
• Horas diarias ($H$)
• Obra realizada ($W$)
• Eficiencia ($E$)
• Dificultad ($F$)

La relación general es:

$$\frac{O \cdot D \cdot H \cdot E}{W \cdot F} = \text{constante}$$

Donde:

• $E$ es la eficiencia: un obrero doblemente eficiente equivale a 2 obreros comunes.
• $F$ es la dificultad: un terreno doblemente difícil requiere el doble de recursos.

Así, para dos situaciones:

$$\frac{O_1 D_1 H_1 E_1}{W_1 F_1} = \frac{O_2 D_2 H_2 E_2}{W_2 F_2}$$

Si el problema no menciona eficiencia ni dificultad, se asume que son iguales o se consideran 1.

Ejemplo breve

Ocho panaderos, durante 24 días, trabajando 6 h/d, elaboran 14 400 panes. ¿Cuántos días necesitan 9 panaderos trabajando 8 h/d para elaborar 22 500 panes?

Planteamos:

$$\frac{8\cdot 24\cdot 6}{14400} = \frac{9\cdot x\cdot 8}{22500}$$

Simplificando:

$$\frac{1152}{14400} = \frac{72x}{22500}$$

$$\frac{2}{25} = \frac{72x}{22500}$$

$$2\cdot 22500 = 25\cdot 72x$$

$$45000 = 1800x$$

$$x=25$$

Respuesta: 25 días.

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