Regla del tanto por cuanto | Tanto por ciento, porcentajes, operaciones. Variación porcentual. Aumentos y descuentos sucesivos

1.1 Idea intuitiva

Imagina que un salón tiene 40 estudiantes y se afirma que “3 de cada 5 estudiantes aprobaron Aritmética”. La frase “3 de cada 5” equivale a la fracción $\frac{3}{5}$. Para saber cuántos estudiantes aprobaron, calculamos:

$$\frac{3}{5} \cdot 40 = 24$$

Este tipo de cálculo es la regla del tanto por cuanto. Consiste en dividir una cantidad en $b$ partes iguales y tomar $a$ de esas partes.

1.2 Definición general

Si decimos “el $a$ por $b$ de $N$”, significa que estamos tomando $a$ partes de un total de $b$ partes iguales en que se dividió $N$. Su expresión matemática es:

$$\text{El } a \text{ por } b \text{ de } N = \frac{a}{b} \cdot N$$

Ejemplo 1.
Halla el $3$ por $4$ de 200.

$$\frac{3}{4} \cdot 200 = 150$$

Ejemplo 2.
El $5$ por $8$ del $4$ por $7$ de 28.

$$\frac{5}{8} \cdot \left( \frac{4}{7} \cdot 28 \right) = \frac{5}{8} \cdot 16 = 10$$

Observa que la expresión “del” indica multiplicación. Esta idea será clave más adelante.

1.3 Relación con el tanto por ciento

El tanto por ciento es un caso particular de la regla del tanto por cuanto en el que la cantidad se divide en 100 partes iguales. Así, “el $a$ por ciento” significa:

$$a\% = \frac{a}{100}$$

Por tanto, el símbolo $\%$ es una forma abreviada de escribir “dividido entre 100”. Por ejemplo:

$$20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5} = 0{,}20$$

A partir de aquí, nos centraremos en el tanto por ciento, pero recuerda que su base es la regla del tanto por cuanto.

2.1 Definición formal

El tanto por ciento es un procedimiento aritmético que consiste en dividir una cantidad total en 100 partes iguales y tomar tantas de esas partes como se indique.

Su notación es el símbolo $\%$:

$$a\% = \frac{a}{100}$$

A la cantidad $a$ se le llama tanto por ciento y al resultado de aplicarlo a una cantidad se le llama porcentaje.

Así, si decimos:

$$P = a\% \cdot N$$

entonces:

• $a\%$ es el tanto por ciento.
• $N$ es el total o cantidad de referencia.
• $P$ es el porcentaje o la parte correspondiente.

Ejemplo 3.
Halla el $20\%$ de 800.

$$P = 20\% \cdot 800 = \frac{20}{100} \cdot 800 = 160$$

Aquí, $20\%$ es el tanto por ciento, $800$ es el total y $160$ es el porcentaje.

2.2 Toda cantidad representa el 100% de sí misma

Una idea fundamental: cualquier cantidad $N$ es el $100\%$ de sí misma.

$$N = 100\% \, N$$

Esto parece obvio, pero es muy útil para plantear aumentos y descuentos. Por ejemplo, si una cantidad aumenta en $10\%$, la nueva cantidad será el $110\%$ de la original.

2.3 Equivalencias usuales

Es conveniente memorizar algunas equivalencias entre porcentajes, fracciones y decimales, porque ayudan a resolver problemas con rapidez.

Para convertir una fracción a porcentaje: se multiplica la fracción por $100\%$.

Ejemplo 4.
Expresa $\frac{1}{20}$ como porcentaje.

$$\frac{1}{20} \cdot 100\% = 5\%$$

Para convertir un decimal a porcentaje: se multiplica por $100\%$ o, en la práctica, se corre la coma decimal dos lugares a la derecha.

$$0{,}12 = 12\%, \qquad 1{,}5 = 150\%, \qquad 0{,}005 = 0{,}5\%$$

2.4 Palabras que indican multiplicación o división

En los problemas de porcentajes, algunas palabras indican operaciones:

• “de”, “del”, “de los”, “de las”: indican multiplicación.
  Ejemplo: el $25\%$ del $80\%$ de 200 es $25\% \times 80\% \times 200$.

• “es”, “son”, “será”, “representan”: indican igualdad o el resultado.
  Ejemplo: ¿qué tanto por ciento de 80 es 20? Se plantea $x\% \cdot 80 = 20$.

2.5 Relación parte-todo en tanto por ciento

Cuando se pregunta “¿qué tanto por ciento de $B$ es $A$?”, se está pidiendo expresar $A$ como porcentaje de $B$. La fórmula es:

$$\text{Porcentaje} = \frac{\text{Parte}}{\text{Total}} \times 100\%$$

Es decir:

$$x\% = \frac{A}{B} \cdot 100\%$$

Ejemplo 5.
¿Qué tanto por ciento de 60 es 6?

$$x\% = \frac{6}{60} \cdot 100\% = 10\%$$

Ejemplo 6.
¿Qué tanto por ciento es 20 respecto de 80?

$$x\% = \frac{20}{80} \cdot 100\% = 25\%$$

Esta fórmula también permite resolver problemas en los que se pide hallar el total.

3.1 Suma y resta de porcentajes de una misma cantidad

Los porcentajes solo se pueden sumar o restar directamente si se aplican sobre la misma cantidad.

Si se tienen $a\%$ y $b\%$ de una misma cantidad $N$:

$$a\% N + b\% N = (a+b)\% N$$

$$a\% N - b\% N = (a-b)\% N$$

Ejemplo 7.

$$32\% A + 16\% A = 48\% A$$

$$54\% C - 38\% C = 16\% C$$

Ejemplo 8.
Una persona gasta el $30\%$ de su sueldo en alquiler y el $20\%$ del mismo sueldo en alimentos. ¿Qué porcentaje de su sueldo gastó en total?

Como ambos porcentajes se aplican al mismo sueldo:

$$30\% + 20\% = 50\%$$

Gastó el $50\%$.

3.2 Aumentos y disminuciones simples

Cuando se dice que una cantidad aumenta en $a\%$, la nueva cantidad es:

$$N + a\% N = (100+a)\% N$$

Si disminuye en $a\%$, queda:

$$N - a\% N = (100-a)\% N$$

Estas expresiones son muy importantes. Conviene leerlas así:

• “Aumenta $20\%$” equivale a calcular el $120\%$ de la cantidad original.
• “Disminuye $20\%$” equivale a calcular el $80\%$ de la cantidad original.

Ejemplo 9.
Un televisor costaba S/ 1200 y subió $15\%$. ¿Cuál es su nuevo precio?

$$1200 + 15\% \cdot 1200 = 115\% \cdot 1200 = \frac{115}{100} \cdot 1200 = 1380$$

El nuevo precio es S/ 1380.

3.3 Porcentaje de un porcentaje

Cuando se aplica un porcentaje sobre otro porcentaje, se multiplican los factores.

Ejemplo 10.
Halla el $20\%$ del $30\%$ de 500.

$$20\% \cdot 30\% \cdot 500 = \frac{20}{100} \cdot \frac{30}{100} \cdot 500 = \frac{6}{100} \cdot 500 = 30$$

Observa que $20\%$ de $30\%$ no es $50\%$ ni $20\% + 30\%$; es $6\%$ del total. Este es un error frecuente que debes evitar.

3.4 Operaciones con cantidades diferentes

No se pueden sumar porcentajes de cantidades distintas como si fueran del mismo total. Por ejemplo, si el $20\%$ de los hombres y el $30\%$ de las mujeres usan lentes, no se puede concluir directamente que el $50\%$ del total usa lentes, salvo que hombres y mujeres tengan la misma cantidad o se haga un promedio ponderado.

4.1 Definición

La variación porcentual mide cuánto cambió una cantidad en términos de porcentaje respecto de su valor inicial. Se calcula con la fórmula:

$$\Delta\% = \frac{\text{Valor final} - \text{Valor inicial}}{\text{Valor inicial}} \times 100\%$$

Si el valor final es mayor que el inicial, la variación es un aumento. Si es menor, la variación es una disminución o pérdida porcentual.

Ejemplo 11.
Hace un mes el kilogramo de azúcar costaba S/ 5 y ahora cuesta S/ 7. ¿En qué porcentaje aumentó?

$$\Delta\% = \frac{7-5}{5} \times 100\% = \frac{2}{5} \times 100\% = 40\%$$

El precio aumentó $40\%$.

4.2 Variación porcentual y factores de cambio

Otra forma práctica de trabajar la variación porcentual es mediante factores de cambio.

• Aumentar $a\%$: multiplicar por $1 + \frac{a}{100}$.
• Disminuir $a\%$: multiplicar por $1 - \frac{a}{100}$.

Así, si una magnitud cambia de $N$ a $N_f$, se cumple:

$$N_f = f \cdot N$$

donde $f$ es el factor de cambio.

Ejemplo 12.
Un precio aumenta $25\%$. ¿Por qué factor se multiplica?

$$1 + \frac{25}{100} = 1{,}25$$

Si el precio original era $P$, el nuevo precio es $1{,}25P$.

Ejemplo 13.
Un precio disminuye $20\%$. ¿Por qué factor se multiplica?

$$1 - \frac{20}{100} = 0{,}80$$

4.3 Variación del área o volumen cuando cambian las dimensiones

Esta idea es muy importante y aparece en problemas geométricos. Si una magnitud es el producto de otras, su variación porcentual se obtiene multiplicando los factores de cambio de cada factor.

Por ejemplo, si el área de un rectángulo es $A = \text{largo} \times \text{ancho}$, y el largo se multiplica por $0{,}8$ y el ancho por $1{,}3$, entonces el área queda multiplicada por:

$$0{,}8 \times 1{,}3 = 1{,}04$$

Esto significa que el área aumentó $4\%$.

En general:

$$\text{Factor total} = \text{Producto de los factores de cada dimensión}$$

Ejemplo 14.
Una de las dimensiones de un rectángulo disminuye $30\%$ y la otra aumenta $25\%$. ¿Cómo varía el área?

• Primera dimensión: disminuye $30\%$ → factor $0{,}70$.
• Segunda dimensión: aumenta $25\%$ → factor $1{,}25$.

$$\text{Factor del área} = 0{,}70 \times 1{,}25 = 0{,}875$$

El área final es $87{,}5\%$ del área original, es decir, disminuyó $12{,}5\%$.

5.1 ¿Qué significa “sucesivo”?

Un aumento sucesivo o un descuento sucesivo ocurre cuando se aplica un porcentaje y luego, sobre el nuevo valor, se aplica otro porcentaje. No se suman los porcentajes; se multiplican los factores.

Esto es fundamental: los aumentos o descuentos sucesivos no son lo mismo que la suma simple de porcentajes.

Ejemplo 15.
Un artículo de S/ 100 aumenta $20\%$ y luego aumenta $30\%$. Si se sumaran de forma directa, se diría que aumentó $50\%$, pero el cálculo correcto es:

$$100 \times 1{,}20 = 120$$

$$120 \times 1{,}30 = 156$$

El aumento real es de $56\%$, no de $50\%$.

5.2 Descuentos sucesivos

Si a una cantidad $N$ se le aplican descuentos sucesivos de $a\%$ y $b\%$, la cantidad final es:

$$N_f = (1-\frac{a}{100}) \cdot (1-\frac{b}{100}) \cdot N$$

El descuento único equivalente es:

$$D_U = \left[ 1 - (1-\frac{a}{100})(1-\frac{b}{100}) \right] \times 100\%$$

Al desarrollar, para dos descuentos sucesivos de $a\%$ y $b\%$, se obtiene la fórmula práctica:

$$D_U = a + b - \frac{a \cdot b}{100} \%$$

Ejemplo 16.
Halla el descuento único equivalente a dos descuentos sucesivos del $20\%$ y $30\%$.

$$D_U = 20 + 30 - \frac{20 \times 30}{100} = 50 - 6 = 44\%$$

El descuento único equivalente es $44\%$, no $50\%$.

Para verificar: si un artículo cuesta S/ 100, tras el $20\%$ queda en S/ 80; luego, al aplicar $30\%$ a S/ 80, se descuentan S/ 24 y queda en S/ 56. El descuento total es $100 - 56 = 44$, es decir, $44\%$.

5.3 Aumentos sucesivos

Si a una cantidad $N$ se le aplican aumentos sucesivos de $a\%$ y $b\%$, la cantidad final es:

$$N_f = (1+\frac{a}{100}) \cdot (1+\frac{b}{100}) \cdot N$$

El aumento único equivalente es:

$$A_U = a + b + \frac{a \cdot b}{100} \%$$

Ejemplo 17.
Halla el aumento único equivalente a dos aumentos sucesivos del $20\%$ y $25\%$.

$$A_U = 20 + 25 + \frac{20 \times 25}{100} = 45 + 5 = 50\%$$

Verificación: $100 \times 1{,}20 = 120$; $120 \times 1{,}25 = 150$. El aumento total es $50\%$.

5.4 Aumento seguido de descuento, o viceversa

Si se combinan un aumento y un descuento, se multiplican los factores correspondientes. No existe una fórmula fija de suma; conviene usar factores.

Ejemplo 18.
Un precio aumenta $40\%$ y luego el nuevo precio disminuye $10\%$. ¿Cuál es la variación neta?

$$\text{Factor total} = 1{,}40 \times 0{,}90 = 1{,}26$$

El precio final es el $126\%$ del inicial, por lo que aumentó $26\%$.

5.5 Propiedades importantes

1. El orden de los descuentos no altera el resultado final, porque la multiplicación es conmutativa. Dar un descuento del $20\%$ y luego del $30\%$ produce el mismo precio final que si se aplicaran al revés.

2. El descuento único equivalente es menor que la suma de los descuentos, siempre que los descuentos sean positivos. La fórmula $D_U = a+b - \frac{ab}{100}$ lo muestra claramente.

3. El aumento único equivalente es mayor que la suma de los aumentos, por la aparición del término $\frac{ab}{100}$.

4. Aumentar una cantidad en $a\%$ y luego disminuirla en el mismo $a\%$ no devuelve la cantidad original. Por ejemplo, aumentar $20\%$ y luego disminuir $20\%$:

$$1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96$$

La cantidad final es $96\%$ de la original; se pierde $4\%$.

6.1 Elementos comerciales básicos

En los problemas de compra y venta se utilizan varios términos que debes distinguir con claridad.

• Precio de costo ($P_c$): lo que el comerciante pagó por el producto. Puede incluir gastos adicionales, como transporte o mantenimiento.
• Precio de venta ($P_v$): lo que el comprador paga al final.
• Ganancia ($G$): diferencia positiva entre $P_v$ y $P_c$.
• Pérdida ($P$): diferencia negativa; ocurre cuando $P_v < P_c$.
• Precio fijado o precio de lista ($P_f$): precio que el comerciante asigna al producto para ofrecerlo, antes de aplicar un descuento.
• Descuento ($D$): reducción que se aplica al precio fijado.
• Aumento o incremento ($A$): lo que se agrega al costo para obtener el precio fijado.
• Gastos adicionales: pueden sumarse al costo cuando se calcula la ganancia neta.

6.2 Relaciones fundamentales

Las relaciones básicas que debes manejar son:

$$P_v = P_c + G$$

$$P_v = P_c - P$$

$$P_v = P_f - D$$

$$P_f = P_c + A$$

Además, si la ganancia es de $g\%$ del costo, entonces:

$$P_v = (100+g)\% \cdot P_c$$

Si la pérdida es de $p\%$ del costo, entonces:

$$P_v = (100-p)\% \cdot P_c$$

Si el descuento es de $d\%$ del precio fijado, entonces:

$$P_v = (100-d)\% \cdot P_f$$

Importante: Cuando el problema no indica sobre qué se aplica el porcentaje de ganancia o pérdida, se asume que es sobre el precio de costo. Cuando no se indica sobre qué se aplica el descuento, se asume que es sobre el precio fijado.

Ejemplo 19.
Un comerciante compra un artículo en S/ 150 y lo vende en S/ 180. ¿Cuánto ganó y qué porcentaje del costo representa la ganancia?

$$G = 180 - 150 = 30$$

$$\frac{30}{150} \times 100\% = 20\%$$

Ganó S/ 30, que es el $20\%$ del costo.

Ejemplo 20.
Un artículo costó S/ 200 y se vende con pérdida del $15\%$. ¿Cuál fue el precio de venta?

$$P_v = (100-15)\% \cdot 200 = 85\% \cdot 200 = 170$$

Se vendió en S/ 170.

6.3 Precio fijado, descuento y precio de venta

El comerciante suele fijar un precio de lista y luego ofrecer un descuento. La relación es:

$$P_v = P_f - D$$

Si el descuento es de $d\%$ sobre $P_f$:

$$P_v = (100-d)\% \cdot P_f$$

Ejemplo 21.
Una casaca tiene un precio fijado de S/ 240 y se vende con un descuento del $25\%$. ¿Cuál es el precio de venta?

$$P_v = 75\% \cdot 240 = 0{,}75 \cdot 240 = 180$$

El precio de venta es S/ 180.

6.4 Ganancia sobre el costo total incluyendo gastos

Cuando un comerciante realiza gastos adicionales (transporte, envío, almacenamiento), esos gastos se suman al costo para hallar el costo total.

$$\text{Costo total} = P_c + \text{gastos adicionales}$$

Si se desea ganar $g\%$ del costo total, el ingreso necesario es:

$$\text{Ingreso total necesario} = (100+g)\% \cdot \text{Costo total}$$

Luego, si se venden $n$ unidades, el precio de venta unitario es:

$$P_v \text{ unitario} = \frac{\text{Ingreso total necesario}}{n}$$

6.5 Ganancia neta y ganancia bruta

Si hay gastos adicionales, se distingue:

• Ganancia bruta ($G_b$): $P_v - P_c$, sin descontar gastos.
• Ganancia neta ($G_n$): $G_b - \text{gastos}$.

La ganancia neta es la que realmente queda después de cubrir todos los costos adicionales.

Antes de pasar a los errores frecuentes y a los ejemplos resueltos, es útil establecer un procedimiento general para resolver problemas de porcentajes.

1. Lee el problema y reconoce el total o cantidad de referencia. Pregunta: ¿sobre qué cantidad se aplica el porcentaje? Puede ser el precio de costo, el precio fijado, el sueldo total, el total de personas, etc.

2. Convierte porcentajes a fracciones o decimales si facilita el cálculo. Por ejemplo, $25\% = \frac{1}{4}$, $20\% = 0{,}20$.

3. Expresa las relaciones verbales como operaciones matemáticas. Recuerda: “de” es multiplicación, “es” es igualdad.

4. Plantea una ecuación o una cadena de factores. En problemas de aumentos sucesivos usa factores $1+\frac{a}{100}$; en descuentos usa $1-\frac{a}{100}$.

5. Resuelve y verifica que el resultado tenga sentido. Por ejemplo, un precio con descuento no puede ser mayor que el precio original.

Regla del tanto por cuanto | Tanto por ciento, porcentajes, operaciones. Variación porcentual. Aumentos y descuentos sucesivos

1.1 Idea intuitiva

Imagina que un salón tiene 40 estudiantes y se afirma que “3 de cada 5 estudiantes aprobaron Aritmética”. La frase “3 de cada 5” equivale a la fracción $\frac{3}{5}$. Para saber cuántos estudiantes aprobaron, calculamos:

$$\frac{3}{5} \cdot 40 = 24$$

Este tipo de cálculo es la regla del tanto por cuanto. Consiste en dividir una cantidad en $b$ partes iguales y tomar $a$ de esas partes.

1.2 Definición general

Si decimos “el $a$ por $b$ de $N$”, significa que estamos tomando $a$ partes de un total de $b$ partes iguales en que se dividió $N$. Su expresión matemática es:

$$\text{El } a \text{ por } b \text{ de } N = \frac{a}{b} \cdot N$$

Ejemplo 1.
Halla el $3$ por $4$ de 200.

$$\frac{3}{4} \cdot 200 = 150$$

Ejemplo 2.
El $5$ por $8$ del $4$ por $7$ de 28.

$$\frac{5}{8} \cdot \left( \frac{4}{7} \cdot 28 \right) = \frac{5}{8} \cdot 16 = 10$$

Observa que la expresión “del” indica multiplicación. Esta idea será clave más adelante.

1.3 Relación con el tanto por ciento

El tanto por ciento es un caso particular de la regla del tanto por cuanto en el que la cantidad se divide en 100 partes iguales. Así, “el $a$ por ciento” significa:

$$a\% = \frac{a}{100}$$

Por tanto, el símbolo $\%$ es una forma abreviada de escribir “dividido entre 100”. Por ejemplo:

$$20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5} = 0{,}20$$

A partir de aquí, nos centraremos en el tanto por ciento, pero recuerda que su base es la regla del tanto por cuanto.

2.1 Definición formal

El tanto por ciento es un procedimiento aritmético que consiste en dividir una cantidad total en 100 partes iguales y tomar tantas de esas partes como se indique.

Su notación es el símbolo $\%$:

$$a\% = \frac{a}{100}$$

A la cantidad $a$ se le llama tanto por ciento y al resultado de aplicarlo a una cantidad se le llama porcentaje.

Así, si decimos:

$$P = a\% \cdot N$$

entonces:

• $a\%$ es el tanto por ciento.
• $N$ es el total o cantidad de referencia.
• $P$ es el porcentaje o la parte correspondiente.

Ejemplo 3.
Halla el $20\%$ de 800.

$$P = 20\% \cdot 800 = \frac{20}{100} \cdot 800 = 160$$

Aquí, $20\%$ es el tanto por ciento, $800$ es el total y $160$ es el porcentaje.

2.2 Toda cantidad representa el 100% de sí misma

Una idea fundamental: cualquier cantidad $N$ es el $100\%$ de sí misma.

$$N = 100\% \, N$$

Esto parece obvio, pero es muy útil para plantear aumentos y descuentos. Por ejemplo, si una cantidad aumenta en $10\%$, la nueva cantidad será el $110\%$ de la original.

2.3 Equivalencias usuales

Es conveniente memorizar algunas equivalencias entre porcentajes, fracciones y decimales, porque ayudan a resolver problemas con rapidez.

Para convertir una fracción a porcentaje: se multiplica la fracción por $100\%$.

Ejemplo 4.
Expresa $\frac{1}{20}$ como porcentaje.

$$\frac{1}{20} \cdot 100\% = 5\%$$

Para convertir un decimal a porcentaje: se multiplica por $100\%$ o, en la práctica, se corre la coma decimal dos lugares a la derecha.

$$0{,}12 = 12\%, \qquad 1{,}5 = 150\%, \qquad 0{,}005 = 0{,}5\%$$

2.4 Palabras que indican multiplicación o división

En los problemas de porcentajes, algunas palabras indican operaciones:

• “de”, “del”, “de los”, “de las”: indican multiplicación.
  Ejemplo: el $25\%$ del $80\%$ de 200 es $25\% \times 80\% \times 200$.

• “es”, “son”, “será”, “representan”: indican igualdad o el resultado.
  Ejemplo: ¿qué tanto por ciento de 80 es 20? Se plantea $x\% \cdot 80 = 20$.

2.5 Relación parte-todo en tanto por ciento

Cuando se pregunta “¿qué tanto por ciento de $B$ es $A$?”, se está pidiendo expresar $A$ como porcentaje de $B$. La fórmula es:

$$\text{Porcentaje} = \frac{\text{Parte}}{\text{Total}} \times 100\%$$

Es decir:

$$x\% = \frac{A}{B} \cdot 100\%$$

Ejemplo 5.
¿Qué tanto por ciento de 60 es 6?

$$x\% = \frac{6}{60} \cdot 100\% = 10\%$$

Ejemplo 6.
¿Qué tanto por ciento es 20 respecto de 80?

$$x\% = \frac{20}{80} \cdot 100\% = 25\%$$

Esta fórmula también permite resolver problemas en los que se pide hallar el total.

3.1 Suma y resta de porcentajes de una misma cantidad

Los porcentajes solo se pueden sumar o restar directamente si se aplican sobre la misma cantidad.

Si se tienen $a\%$ y $b\%$ de una misma cantidad $N$:

$$a\% N + b\% N = (a+b)\% N$$

$$a\% N - b\% N = (a-b)\% N$$

Ejemplo 7.

$$32\% A + 16\% A = 48\% A$$

$$54\% C - 38\% C = 16\% C$$

Ejemplo 8.
Una persona gasta el $30\%$ de su sueldo en alquiler y el $20\%$ del mismo sueldo en alimentos. ¿Qué porcentaje de su sueldo gastó en total?

Como ambos porcentajes se aplican al mismo sueldo:

$$30\% + 20\% = 50\%$$

Gastó el $50\%$.

3.2 Aumentos y disminuciones simples

Cuando se dice que una cantidad aumenta en $a\%$, la nueva cantidad es:

$$N + a\% N = (100+a)\% N$$

Si disminuye en $a\%$, queda:

$$N - a\% N = (100-a)\% N$$

Estas expresiones son muy importantes. Conviene leerlas así:

• “Aumenta $20\%$” equivale a calcular el $120\%$ de la cantidad original.
• “Disminuye $20\%$” equivale a calcular el $80\%$ de la cantidad original.

Ejemplo 9.
Un televisor costaba S/ 1200 y subió $15\%$. ¿Cuál es su nuevo precio?

$$1200 + 15\% \cdot 1200 = 115\% \cdot 1200 = \frac{115}{100} \cdot 1200 = 1380$$

El nuevo precio es S/ 1380.

3.3 Porcentaje de un porcentaje

Cuando se aplica un porcentaje sobre otro porcentaje, se multiplican los factores.

Ejemplo 10.
Halla el $20\%$ del $30\%$ de 500.

$$20\% \cdot 30\% \cdot 500 = \frac{20}{100} \cdot \frac{30}{100} \cdot 500 = \frac{6}{100} \cdot 500 = 30$$

Observa que $20\%$ de $30\%$ no es $50\%$ ni $20\% + 30\%$; es $6\%$ del total. Este es un error frecuente que debes evitar.

3.4 Operaciones con cantidades diferentes

No se pueden sumar porcentajes de cantidades distintas como si fueran del mismo total. Por ejemplo, si el $20\%$ de los hombres y el $30\%$ de las mujeres usan lentes, no se puede concluir directamente que el $50\%$ del total usa lentes, salvo que hombres y mujeres tengan la misma cantidad o se haga un promedio ponderado.

4.1 Definición

La variación porcentual mide cuánto cambió una cantidad en términos de porcentaje respecto de su valor inicial. Se calcula con la fórmula:

$$\Delta\% = \frac{\text{Valor final} - \text{Valor inicial}}{\text{Valor inicial}} \times 100\%$$

Si el valor final es mayor que el inicial, la variación es un aumento. Si es menor, la variación es una disminución o pérdida porcentual.

Ejemplo 11.
Hace un mes el kilogramo de azúcar costaba S/ 5 y ahora cuesta S/ 7. ¿En qué porcentaje aumentó?

$$\Delta\% = \frac{7-5}{5} \times 100\% = \frac{2}{5} \times 100\% = 40\%$$

El precio aumentó $40\%$.

4.2 Variación porcentual y factores de cambio

Otra forma práctica de trabajar la variación porcentual es mediante factores de cambio.

• Aumentar $a\%$: multiplicar por $1 + \frac{a}{100}$.
• Disminuir $a\%$: multiplicar por $1 - \frac{a}{100}$.

Así, si una magnitud cambia de $N$ a $N_f$, se cumple:

$$N_f = f \cdot N$$

donde $f$ es el factor de cambio.

Ejemplo 12.
Un precio aumenta $25\%$. ¿Por qué factor se multiplica?

$$1 + \frac{25}{100} = 1{,}25$$

Si el precio original era $P$, el nuevo precio es $1{,}25P$.

Ejemplo 13.
Un precio disminuye $20\%$. ¿Por qué factor se multiplica?

$$1 - \frac{20}{100} = 0{,}80$$

4.3 Variación del área o volumen cuando cambian las dimensiones

Esta idea es muy importante y aparece en problemas geométricos. Si una magnitud es el producto de otras, su variación porcentual se obtiene multiplicando los factores de cambio de cada factor.

Por ejemplo, si el área de un rectángulo es $A = \text{largo} \times \text{ancho}$, y el largo se multiplica por $0{,}8$ y el ancho por $1{,}3$, entonces el área queda multiplicada por:

$$0{,}8 \times 1{,}3 = 1{,}04$$

Esto significa que el área aumentó $4\%$.

En general:

$$\text{Factor total} = \text{Producto de los factores de cada dimensión}$$

Ejemplo 14.
Una de las dimensiones de un rectángulo disminuye $30\%$ y la otra aumenta $25\%$. ¿Cómo varía el área?

• Primera dimensión: disminuye $30\%$ → factor $0{,}70$.
• Segunda dimensión: aumenta $25\%$ → factor $1{,}25$.

$$\text{Factor del área} = 0{,}70 \times 1{,}25 = 0{,}875$$

El área final es $87{,}5\%$ del área original, es decir, disminuyó $12{,}5\%$.

5.1 ¿Qué significa “sucesivo”?

Un aumento sucesivo o un descuento sucesivo ocurre cuando se aplica un porcentaje y luego, sobre el nuevo valor, se aplica otro porcentaje. No se suman los porcentajes; se multiplican los factores.

Esto es fundamental: los aumentos o descuentos sucesivos no son lo mismo que la suma simple de porcentajes.

Ejemplo 15.
Un artículo de S/ 100 aumenta $20\%$ y luego aumenta $30\%$. Si se sumaran de forma directa, se diría que aumentó $50\%$, pero el cálculo correcto es:

$$100 \times 1{,}20 = 120$$

$$120 \times 1{,}30 = 156$$

El aumento real es de $56\%$, no de $50\%$.

5.2 Descuentos sucesivos

Si a una cantidad $N$ se le aplican descuentos sucesivos de $a\%$ y $b\%$, la cantidad final es:

$$N_f = (1-\frac{a}{100}) \cdot (1-\frac{b}{100}) \cdot N$$

El descuento único equivalente es:

$$D_U = \left[ 1 - (1-\frac{a}{100})(1-\frac{b}{100}) \right] \times 100\%$$

Al desarrollar, para dos descuentos sucesivos de $a\%$ y $b\%$, se obtiene la fórmula práctica:

$$D_U = a + b - \frac{a \cdot b}{100} \%$$

Ejemplo 16.
Halla el descuento único equivalente a dos descuentos sucesivos del $20\%$ y $30\%$.

$$D_U = 20 + 30 - \frac{20 \times 30}{100} = 50 - 6 = 44\%$$

El descuento único equivalente es $44\%$, no $50\%$.

Para verificar: si un artículo cuesta S/ 100, tras el $20\%$ queda en S/ 80; luego, al aplicar $30\%$ a S/ 80, se descuentan S/ 24 y queda en S/ 56. El descuento total es $100 - 56 = 44$, es decir, $44\%$.

5.3 Aumentos sucesivos

Si a una cantidad $N$ se le aplican aumentos sucesivos de $a\%$ y $b\%$, la cantidad final es:

$$N_f = (1+\frac{a}{100}) \cdot (1+\frac{b}{100}) \cdot N$$

El aumento único equivalente es:

$$A_U = a + b + \frac{a \cdot b}{100} \%$$

Ejemplo 17.
Halla el aumento único equivalente a dos aumentos sucesivos del $20\%$ y $25\%$.

$$A_U = 20 + 25 + \frac{20 \times 25}{100} = 45 + 5 = 50\%$$

Verificación: $100 \times 1{,}20 = 120$; $120 \times 1{,}25 = 150$. El aumento total es $50\%$.

5.4 Aumento seguido de descuento, o viceversa

Si se combinan un aumento y un descuento, se multiplican los factores correspondientes. No existe una fórmula fija de suma; conviene usar factores.

Ejemplo 18.
Un precio aumenta $40\%$ y luego el nuevo precio disminuye $10\%$. ¿Cuál es la variación neta?

$$\text{Factor total} = 1{,}40 \times 0{,}90 = 1{,}26$$

El precio final es el $126\%$ del inicial, por lo que aumentó $26\%$.

5.5 Propiedades importantes

1. El orden de los descuentos no altera el resultado final, porque la multiplicación es conmutativa. Dar un descuento del $20\%$ y luego del $30\%$ produce el mismo precio final que si se aplicaran al revés.

2. El descuento único equivalente es menor que la suma de los descuentos, siempre que los descuentos sean positivos. La fórmula $D_U = a+b - \frac{ab}{100}$ lo muestra claramente.

3. El aumento único equivalente es mayor que la suma de los aumentos, por la aparición del término $\frac{ab}{100}$.

4. Aumentar una cantidad en $a\%$ y luego disminuirla en el mismo $a\%$ no devuelve la cantidad original. Por ejemplo, aumentar $20\%$ y luego disminuir $20\%$:

$$1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96$$

La cantidad final es $96\%$ de la original; se pierde $4\%$.

6.1 Elementos comerciales básicos

En los problemas de compra y venta se utilizan varios términos que debes distinguir con claridad.

• Precio de costo ($P_c$): lo que el comerciante pagó por el producto. Puede incluir gastos adicionales, como transporte o mantenimiento.
• Precio de venta ($P_v$): lo que el comprador paga al final.
• Ganancia ($G$): diferencia positiva entre $P_v$ y $P_c$.
• Pérdida ($P$): diferencia negativa; ocurre cuando $P_v < P_c$.
• Precio fijado o precio de lista ($P_f$): precio que el comerciante asigna al producto para ofrecerlo, antes de aplicar un descuento.
• Descuento ($D$): reducción que se aplica al precio fijado.
• Aumento o incremento ($A$): lo que se agrega al costo para obtener el precio fijado.
• Gastos adicionales: pueden sumarse al costo cuando se calcula la ganancia neta.

6.2 Relaciones fundamentales

Las relaciones básicas que debes manejar son:

$$P_v = P_c + G$$

$$P_v = P_c - P$$

$$P_v = P_f - D$$

$$P_f = P_c + A$$

Además, si la ganancia es de $g\%$ del costo, entonces:

$$P_v = (100+g)\% \cdot P_c$$

Si la pérdida es de $p\%$ del costo, entonces:

$$P_v = (100-p)\% \cdot P_c$$

Si el descuento es de $d\%$ del precio fijado, entonces:

$$P_v = (100-d)\% \cdot P_f$$

Importante: Cuando el problema no indica sobre qué se aplica el porcentaje de ganancia o pérdida, se asume que es sobre el precio de costo. Cuando no se indica sobre qué se aplica el descuento, se asume que es sobre el precio fijado.

Ejemplo 19.
Un comerciante compra un artículo en S/ 150 y lo vende en S/ 180. ¿Cuánto ganó y qué porcentaje del costo representa la ganancia?

$$G = 180 - 150 = 30$$

$$\frac{30}{150} \times 100\% = 20\%$$

Ganó S/ 30, que es el $20\%$ del costo.

Ejemplo 20.
Un artículo costó S/ 200 y se vende con pérdida del $15\%$. ¿Cuál fue el precio de venta?

$$P_v = (100-15)\% \cdot 200 = 85\% \cdot 200 = 170$$

Se vendió en S/ 170.

6.3 Precio fijado, descuento y precio de venta

El comerciante suele fijar un precio de lista y luego ofrecer un descuento. La relación es:

$$P_v = P_f - D$$

Si el descuento es de $d\%$ sobre $P_f$:

$$P_v = (100-d)\% \cdot P_f$$

Ejemplo 21.
Una casaca tiene un precio fijado de S/ 240 y se vende con un descuento del $25\%$. ¿Cuál es el precio de venta?

$$P_v = 75\% \cdot 240 = 0{,}75 \cdot 240 = 180$$

El precio de venta es S/ 180.

6.4 Ganancia sobre el costo total incluyendo gastos

Cuando un comerciante realiza gastos adicionales (transporte, envío, almacenamiento), esos gastos se suman al costo para hallar el costo total.

$$\text{Costo total} = P_c + \text{gastos adicionales}$$

Si se desea ganar $g\%$ del costo total, el ingreso necesario es:

$$\text{Ingreso total necesario} = (100+g)\% \cdot \text{Costo total}$$

Luego, si se venden $n$ unidades, el precio de venta unitario es:

$$P_v \text{ unitario} = \frac{\text{Ingreso total necesario}}{n}$$

6.5 Ganancia neta y ganancia bruta

Si hay gastos adicionales, se distingue:

• Ganancia bruta ($G_b$): $P_v - P_c$, sin descontar gastos.
• Ganancia neta ($G_n$): $G_b - \text{gastos}$.

La ganancia neta es la que realmente queda después de cubrir todos los costos adicionales.

Antes de pasar a los errores frecuentes y a los ejemplos resueltos, es útil establecer un procedimiento general para resolver problemas de porcentajes.

1. Lee el problema y reconoce el total o cantidad de referencia. Pregunta: ¿sobre qué cantidad se aplica el porcentaje? Puede ser el precio de costo, el precio fijado, el sueldo total, el total de personas, etc.

2. Convierte porcentajes a fracciones o decimales si facilita el cálculo. Por ejemplo, $25\% = \frac{1}{4}$, $20\% = 0{,}20$.

3. Expresa las relaciones verbales como operaciones matemáticas. Recuerda: “de” es multiplicación, “es” es igualdad.

4. Plantea una ecuación o una cadena de factores. En problemas de aumentos sucesivos usa factores $1+\frac{a}{100}$; en descuentos usa $1-\frac{a}{100}$.

5. Resuelve y verifica que el resultado tenga sentido. Por ejemplo, un precio con descuento no puede ser mayor que el precio original.