Binomio de Newton

Para contar de cuántas maneras se pueden elegir los elementos en el desarrollo de un binomio, necesitamos el concepto de factorial.

Definición

Para $n\in\mathbb{Z}^+$, se define

$$n! = n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1.$$

Además, por convención:

$$0! = 1, \qquad 1! = 1.$$

Ejemplos:

$$4! = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 24,$$

$$5! = 5\cdot 4! = 5\cdot 24 = 120.$$

Propiedad fundamental

$$n! = n\cdot (n-1)! \quad \text{para } n\ge 1.$$

Esta propiedad permite simplificar fracciones con factoriales. Por ejemplo:

$$\frac{7!}{5!} = \frac{7\cdot 6\cdot 5!}{5!} = 7\cdot 6 = 42.$$

Siempre conviene expandir el factorial mayor hasta que aparezca el factorial menor y así cancelar.

El número de maneras de elegir $k$ objetos de un total de $n$, sin importar el orden, se llama combinación o coeficiente binomial. Se denota

$$\binom{n}{k} \quad \text{o} \quad C_k^n.$$

Definición

Para enteros $n,k$ con $0\le k\le n$,

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!\,k!}.$$

Ejemplo:

$$\binom{5}{3} = \frac{5!}{(5-3)!\,3!} = \frac{5!}{2!\cdot 3!} = \frac{5\cdot 4\cdot 3!}{2!\cdot 3!} = \frac{5\cdot 4}{2} = 10.$$

Método práctico para calcular combinaciones

En lugar de usar factoriales grandes, se puede escribir directamente:

$$\binom{n}{k} = \frac{\overbrace{n(n-1)(n-2)\cdots}^{k \text{ factores descendentes}}} {\underbrace{k!}_{k \text{ factores}}}.$$

Por ejemplo:

$$\binom{10}{3} = \frac{10\cdot 9\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} = \frac{720}{6} = 120.$$

Este método es muy rápido y es el que conviene dominar para el examen.

Propiedades de las combinaciones

Las siguientes propiedades permiten simplificar muchos cálculos.

1. Casos extremos: $$\binom{n}{0}=1, \qquad \binom{n}{1}=n, \qquad \binom{n}{n}=1.$$

2. Simetría: $$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}.$$
   Ejemplo: $\binom{9}{7} = \binom{9}{2} = \frac{9\cdot 8}{1\cdot 2}=36$.

3. Igualdad de coeficientes:
   Si $\binom{n}{r}=\binom{n}{k}$, entonces $$r=k \quad \text{o} \quad r+k=n.$$
   Por ejemplo, $\binom{8}{3}=\binom{8}{5}$ porque $3+5=8$.

4. Propiedad de Pascal: $$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}.$$
   Esta es la base del triángulo de Pascal.

5. Fórmula de absorción o descenso: $$\binom{n}{k} = \frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1} \quad \text{para } k\ne 0.$$
   Por ejemplo, $\binom{7}{4} = \frac{7}{4}\binom{6}{3}$. Como $\binom{6}{3}=20$, entonces $\binom{7}{4}=\frac{7}{4}\cdot 20 = 35$.

6. Suma de todas las combinaciones: $$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots+\binom{n}{n} = 2^n.$$
   Esto se demuestra más adelante usando el binomio de Newton.

7. Suma de combinaciones de lugares pares e impares: $$\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+\cdots = 2^{n-1},$$ $$\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\cdots = 2^{n-1}.$$

Antes de enunciar la fórmula general, observemos los desarrollos de binomios pequeños:

$$(a+b)^1 = a+b,$$

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,$$

$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3,$$

$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4.$$

De estos desarrollos se notan regularidades:

• El número de términos es el exponente del binomio más uno.
• El exponente de $a$ desciende desde $n$ hasta $0$.
• El exponente de $b$ asciende desde $0$ hasta $n$.
• En cada término, la suma de los exponentes de $a$ y $b$ es $n$.
• Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales.

Los coeficientes siguen el triángulo de Pascal:

En el triángulo de Pascal, cada fila empieza y termina en $1$. Los números interiores se obtienen sumando los dos que están inmediatamente encima. Por ejemplo, en la fila 4, el $6$ proviene de sumar $3+3$ de la fila 3.

Para $(a+b)^5$, la fila 5 es $1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1$, por lo que:

$$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4 b + 10a^3 b^2 + 10a^2 b^3 + 5ab^4 + b^5.$$

El triángulo es práctico para exponentes pequeños, pero para $n=16$ o $n=31$ necesitamos una fórmula general.

Para todo $n\in\mathbb{Z}^+$, se cumple:

$$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + \binom{n}{n}b^n.$$

En notación compacta:

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k.$$

Cada término del desarrollo tiene tres partes:

• el coeficiente binomial $\binom{n}{k}$;
• la potencia de $a$, que es $a^{n-k}$;
• la potencia de $b$, que es $b^k$.

El índice $k$ recorre los valores $0,1,2,\ldots,n$. Cuando $k=0$, se obtiene el primer término $\binom{n}{0}a^n$; cuando $k=n$, se obtiene el último término $\binom{n}{n}b^n$.

¿De dónde sale esta fórmula?

Al desarrollar

$$(a+b)^n = \underbrace{(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_{n \text{ factores}},$$

cada término se forma eligiendo, de cada factor, una $a$ o una $b$. Si elegimos $b$ en exactamente $k$ factores y $a$ en los $n-k$ restantes, obtenemos el producto $a^{n-k}b^k$. El número de maneras de elegir los $k$ factores que aportan $b$ es precisamente $\binom{n}{k}$. Por eso el coeficiente de $a^{n-k}b^k$ es $\binom{n}{k}$.

Ejemplo con números

Desarrollemos $(x+3)^4$ usando la fórmula:

$$(x+3)^4 = \binom{4}{0}x^4 + \binom{4}{1}x^3(3) + \binom{4}{2}x^2(3)^2 + \binom{4}{3}x(3)^3 + \binom{4}{4}(3)^4.$$

Calculando:

$$= 1x^4 + 4\cdot 3x^3 + 6\cdot 9x^2 + 4\cdot 27x + 1\cdot 81,$$

$$(x+3)^4 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81.$$

Binomio con signo negativo

Si el binomio es una resta, $a-b$, lo escribimos como $a+(-b)$:

$$(a-b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k.$$

Como $(-b)^k = (-1)^k b^k$, los signos de los términos se alternan:

$$(a-b)^n = \binom{n}{0}a^n - \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 - \binom{n}{3}a^{n-3}b^3 + \cdots$$

Es decir, cuando el binomio tiene signo negativo, los términos son alternadamente positivos y negativos, empezando con signo positivo.

1. Número de términos

El desarrollo de $(a\pm b)^n$ tiene $n+1$ términos, porque $k$ toma $n+1$ valores: $0,1,\ldots,n$.

2. Signos

• Para $(a+b)^n$, todos los términos son positivos.
• Para $(a-b)^n$, los signos se alternan: $+, -, +, -, \ldots$.
  El término de lugar $k+1$ es positivo si $k$ es par, y negativo si $k$ es impar.

3. Grado de cada término

Si $a$ y $b$ son variables de primer grado, cada término tiene grado absoluto $n$, pues la suma de los exponentes de $a$ y $b$ es $n$.
Por ejemplo, en $(x+y)^6$, el término $15x^2y^4$ tiene grado $2+4=6$.

Si las bases tienen exponentes, el grado se calcula multiplicando. Por ejemplo, en $(x^2+y^3)^8$, el término con $k=4$ es

$$\binom{8}{4}(x^2)^4 (y^3)^4 = 70x^8 y^{12},$$

y su grado absoluto es $8+12=20$.

4. Coeficientes equidistantes

Los coeficientes de términos simétricos respecto al centro son iguales. Esto es consecuencia de la simetría de las combinaciones:

$$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}.$$

Por ejemplo, en $(x+y)^{10}$, el coeficiente del tercer término ($k=2$) es igual al del noveno término ($k=8$):

$$\binom{10}{2} = \binom{10}{8} = 45.$$

5. Suma de coeficientes

Si hacemos $a=1$ y $b=1$ en $(a+b)^n$, obtenemos:

$$(1+1)^n = 2^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}.$$

Por lo tanto, la suma de todos los coeficientes del desarrollo es $2^n$.

6. Suma de coeficientes de lugares pares e impares

Para hallar las sumas por separado, usamos dos resultados:

• Con $a=1,b=1$: suma total $=2^n$.
• Con $a=1,b=-1$:
  $$(1-1)^n = 0 = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k.$$
  Esto es la diferencia entre la suma de coeficientes de $k$ par y la de $k$ impar.

Si llamamos $S_p$ a la suma de coeficientes de lugares pares y $S_i$ a la de lugares impares, tenemos:

$$S_p + S_i = 2^n, \qquad S_p - S_i = 0.$$

Resolviendo:

$$S_p = S_i = 2^{n-1}.$$

Así, la suma de los coeficientes de los términos de lugares pares es igual a la de los impares, y ambas valen $2^{n-1}$.

Ejemplo: En $(x+y)^5$, los coeficientes son $1,5,10,10,5,1$.
Suma total $=32=2^5$.
Suma de lugares impares $=1+10+5=16$.
Suma de lugares pares $=5+10+1=16$.
Ambas suman $16=2^{4}$.

En la mayoría de problemas no interesa expandir todo el binomio, sino hallar un término específico. La fórmula del término general es:

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k,$$

donde $k=0,1,2,\ldots,n$.

Es crucial recordar que $k$ no es el lugar; el lugar es $k+1$. Así:

• primer término: $k=0$;
• segundo término: $k=1$;
• quinto término: $k=4$;
• decimotercer término: $k=12$.

Ejemplo: En $(x+y)^7$, hallemos el cuarto término.

$$T_4 = T_{3+1} = \binom{7}{3} x^{7-3} y^3 = 35x^4 y^3.$$

Ejemplo con signo: En $(2x-y)^9$, hallemos el sexto término.

Aquí $n=9$, $k=5$, $a=2x$, $b=-y$:

$$T_6 = T_{5+1} = \binom{9}{5} (2x)^{9-5} (-y)^5.$$

$$T_6 = \binom{9}{5} (2x)^4 (-y^5) = 126\cdot 16 x^4 \cdot (-y^5) = -2016x^4 y^5.$$

El término central depende de si $n$ es par o impar.

• Si $n$ es par, hay un único término central, ubicado en el lugar
  $$\frac{n}{2}+1,$$
  con $k=\frac{n}{2}$.

• Si $n$ es impar, hay dos términos centrales, en los lugares
  $$\frac{n+1}{2} \quad \text{y} \quad \frac{n+1}{2}+1,$$
  con $k=\frac{n-1}{2}$ y $k=\frac{n+1}{2}$, respectivamente.

Ejemplo: En $(x+y)^8$, $n=8$ es par. El término central es:

$$T_{\frac{8}{2}+1} = T_5,$$

con $k=4$:

$$T_5 = \binom{8}{4}x^4 y^4 = 70x^4 y^4.$$

Ejemplo: En $(x+y)^7$, $n=7$ es impar. Los términos centrales son $T_4$ y $T_5$:

$$T_4 = \binom{7}{3}x^4 y^3 = 35x^4 y^3,$$

$$T_5 = \binom{7}{4}x^3 y^4 = 35x^3 y^4.$$

Un término es independiente cuando no contiene la variable; es decir, el exponente de la variable es cero.

Para hallarlo, se plantea el término general y se iguala el exponente de la variable a cero.

Ejemplo: Hallemos el término independiente de $(x^3 - \frac{1}{x^2})^{10}$.

$$T_{k+1} = \binom{10}{k}(x^3)^{10-k}\left(-x^{-2}\right)^k.$$

Simplificamos los exponentes:

$$T_{k+1} = \binom{10}{k}(-1)^k x^{3(10-k)-2k} = \binom{10}{k}(-1)^k x^{30-5k}.$$

Para que sea independiente, el exponente de $x$ debe ser cero:

$$30-5k = 0 \quad \Rightarrow \quad k=6.$$

Reemplazamos:

$$T_7 = \binom{10}{6}(-1)^6 = \binom{10}{4} = 210.$$

El término independiente es $210$.

Cuando el binomio incluye radicales, se convierten a exponentes fraccionarios usando las leyes del tema anterior. Luego se aplica la misma idea del término general.

Ejemplo: Hallemos el término independiente de $(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^8$.

Escribimos:

$$\sqrt{x} = x^{1/2}, \qquad \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3}.$$

Planteamos:

$$T_{k+1} = \binom{8}{k}(x^{1/2})^{8-k}(x^{-1/3})^k = \binom{8}{k} x^{(8-k)/2 - k/3}.$$

Igualamos el exponente a cero:

$$\frac{8-k}{2} - \frac{k}{3} = 0.$$

Multiplicamos por $6$:

$$3(8-k)-2k=0 \quad \Rightarrow \quad 24-5k=0 \quad \Rightarrow \quad k=\frac{24}{5}.$$

Como $k$ no es entero, no existe término independiente en este desarrollo.

En otros problemas se pide contar cuántos términos racionales (sin radicales) hay. El procedimiento es el mismo: se plantea el exponente general y se buscan los valores de $k$ que hagan que el exponente sea un número entero. Por ejemplo, si el exponente general es $\frac{30-k}{5}$, debe cumplirse que $30-k$ sea múltiplo de $5$; luego se cuenta cuántos valores de $k$ en $0,1,\ldots,n$ cumplen esa condición.

Al enfrentar un problema de binomio de Newton, sigue estos pasos.

Paso 1: Identificar $a$, $b$, $n$

Reescribe el binomio en la forma $(a+b)^n$. Si hay coeficientes, signos o radicales, déjalos indicados como parte de $a$ o de $b$.

Paso 2: Plantear el término general

Escribe

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k.$$

Si el problema pide un lugar específico, reemplaza $k$ por el lugar menos $1$. Si pide una condición, deja $k$ como incógnita.

Paso 3: Simplificar exponentes

Aplica las leyes de exponentes para reunir las potencias de cada variable. Busca el exponente de la variable de interés.

Paso 4: Igualar según la condición

• Término de lugar $r$: $k=r-1$.
• Término independiente: exponente de la variable $=0$.
• Término con $x^p$: exponente de $x$ $=p$.
• Grado absoluto dado: plantea la suma de exponentes.

Paso 5: Resolver para $k$ y verificar

El valor de $k$ debe ser entero y estar entre $0$ y $n$. Si no lo es, la condición no se cumple.

Paso 6: Calcular coeficiente y signo

Evalúa $\binom{n}{k}$ usando el método práctico o la simetría, calcula las potencias de los coeficientes y aplica el signo $(-1)^k$ si corresponde.