Expresiones irracionales

1.1. ¿Qué es una expresión irracional?

Una expresión irracional es una expresión algebraica en la que la variable aparece afectada por algún radical.

Ejemplos:

$$\sqrt{x-2},\quad \sqrt{x+1}+\sqrt{x+3},\quad \frac{\sqrt{x-1}}{x-7},\quad \sqrt[3]{x+5}.$$

No toda expresión irracional está definida para todo valor real de $x$.

1.2. Conjunto de valores admisibles (CVA)

El conjunto de valores admisibles, o CVA, es el conjunto de todos los valores reales de la variable para los cuales la expresión está bien definida en $\mathbb{R}$.

También se le llama dominio cuando la expresión define una función real de variable real.

Para hallar el CVA se imponen las restricciones de:

• los radicales de índice par: su radicando debe ser mayor o igual que cero;
• los denominadores: deben ser distintos de cero;
• si un radical está en el denominador y su índice es par, su radicando debe ser mayor que cero (no puede anularse).

1.3. Tabla de restricciones principales

1.4. Ejemplos de CVA

Ejemplo 1. Halle el CVA de

$$P(x)=\frac{\sqrt{x-2}+x-1}{x-7}.$$

• El radical $\sqrt{x-2}$ exige $x-2\ge0$, es decir, $x\ge2$.
• El denominador $x-7$ exige $x\ne7$.

Intersecando ambas condiciones:

$$x\in [2,+\infty) \quad \text{y}\quad x\ne7.$$

Por lo tanto,

$$\mathrm{CVA}=[2,7)\cup(7,+\infty).$$

Ejemplo 2. Halle el dominio de la función

$$f(x)=\sqrt{9-x^2}+\frac{1}{\sqrt{x+3}}.$$

• Para $\sqrt{9-x^2}$:

$$9-x^2\ge0 \implies (3-x)(3+x)\ge0,$$

de donde

$$x\in[-3,3].$$

• Para $\frac{1}{\sqrt{x+3}}$, el denominador exige

$$x+3>0 \implies x>-3.$$

Intersecamos:

$$[-3,3]\cap(-3,+\infty)=(-3,3].$$

Por lo tanto,

$$\mathrm{Dom}(f)=(-3,3].$$

Observa que $x=-3$ estaba permitido para el numerador, pero no para el denominador.

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2.1. Definición

Una ecuación irracional es una ecuación en la que la incógnita aparece dentro de un radical.

Ejemplos:

$$\sqrt{x+2}=x-1,$$

$$\sqrt{x+15}+\sqrt{x+8}=7,$$

$$\sqrt[3]{x+5}=2.$$

2.2. Idea clave para resolver ecuaciones irracionales

Para eliminar una raíz cuadrada, normalmente se eleva al cuadrado. Pero elevar al cuadrado no siempre conserva la equivalencia.

Si se cumple

$$\sqrt{A}=B,$$

entonces la ecuación es equivalente al sistema

$$B\ge0 \quad \text{y}\quad A=B^2.$$

La condición $B\ge0$ es fundamental, porque $\sqrt{A}\ge0$.

Si solo elevamos al cuadrado sin imponer $B\ge0$, podemos obtener soluciones extrañas.

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2.3. Método 1: Potenciación y comprobación

Este es el método más directo.

Pasos:

1. Si es posible, aísla uno de los radicales.
2. Exige que el lado no radical sea no negativo si estás trabajando con raíz cuadrada.
3. Eleva al cuadrado.
4. Resuelve la ecuación resultante.
5. Reemplaza cada solución en la ecuación original para descartar soluciones extrañas.

Ejemplo. Resuelve

$$\sqrt{2x+12}=x-6.$$

Como el lado izquierdo es una raíz cuadrada, debe cumplirse

$$x-6\ge0 \implies x\ge6.$$

Ahora elevamos al cuadrado:

$$2x+12=(x-6)^2.$$

Desarrollamos:

$$2x+12=x^2-12x+36,$$

$$0=x^2-14x+24.$$

Factorizamos:

$$0=(x-2)(x-12).$$

Las soluciones de la cuadrática son

$$x=2 \quad \text{o}\quad x=12.$$

Pero recordando la condición $x\ge6$, descartamos $x=2$.

Verificamos $x=12$:

$$\sqrt{2(12)+12}=\sqrt{36}=6,$$

y

$$12-6=6.$$

Es válida.

Por lo tanto,

$$\mathrm{CS}=\{12\}.$$

El valor $x=2$ es una solución extraña que apareció al elevar al cuadrado sin controlar los signos.

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2.4. Método 2: Cambio de variable

Este método es útil cuando una misma expresión radical se repite.

Ejemplo. Resuelve

$$x+\sqrt{x}=12.$$

Hacemos

$$t=\sqrt{x},$$

donde $t\ge0$. Entonces

$$x=t^2.$$

Reemplazamos:

$$t^2+t=12.$$

Llevamos a la forma general:

$$t^2+t-12=0.$$

Factorizamos:

$$(t+4)(t-3)=0.$$

Así,

$$t=-4 \quad \text{o}\quad t=3.$$

Como $t=\sqrt{x}\ge0$, descartamos $t=-4$.

Entonces:

$$\sqrt{x}=3 \implies x=9.$$

Verificamos:

$$9+\sqrt{9}=9+3=12.$$

Por lo tanto,

$$\mathrm{CS}=\{9\}.$$

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2.5. Método 3: Uso de la conjugada

Cuando aparecen sumas o diferencias de raíces cuadradas, puede usarse la identidad

$$(A+B)(A-B)=A^2-B^2.$$

Ejemplo. Resuelve

$$\sqrt{x+15}+\sqrt{x+8}=7.$$

Primero, el CVA:

$$x+15\ge0 \quad\text{y}\quad x+8\ge0,$$

de donde

$$x\ge -8.$$

Sean

$$A=\sqrt{x+15}, \qquad B=\sqrt{x+8}.$$

La ecuación es

$$A+B=7.$$

Calculamos

$$A^2-B^2=(x+15)-(x+8)=7.$$

Pero

$$A^2-B^2=(A+B)(A-B).$$

Reemplazamos:

$$7=7(A-B).$$

Entonces

$$A-B=1.$$

Ahora resolvemos el sistema:

$$\begin{cases} A+B=7,\\ A-B=1. \end{cases}$$

Sumando:

$$2A=8 \implies A=4.$$

Es decir,

$$\sqrt{x+15}=4.$$

Elevamos al cuadrado:

$$x+15=16 \implies x=1.$$

Verificamos:

$$\sqrt{1+15}+\sqrt{1+8}=\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7.$$

Por lo tanto,

$$\mathrm{CS}=\{1\}.$$

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2.6. Ecuaciones con raíz cúbica

Si el radical tiene índice impar, como $\sqrt[3]{A}$, no hay restricción de signo y la potenciación cúbica es reversible.

Por ejemplo,

$$\sqrt[3]{x+5}=2$$

es equivalente a

$$x+5=2^3,$$

$$x+5=8 \implies x=3.$$

No aparecen soluciones extrañas.

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3.1. Protocolo general

Una inecuación irracional es una desigualdad en la que la incógnita aparece dentro de un radical.

Ejemplos:

$$\sqrt{x-5}<7,$$

$$\sqrt{x+2}\le x,$$

$$\sqrt{x+4}<\sqrt{5x+28}.$$

Para resolver una inecuación irracional, se recomienda seguir estos pasos:

1. Hallar el CVA.
2. Dar sentido lógico a la desigualdad, comparando signos.
3. Eliminar los radicales elevando al cuadrado, solo cuando sea válido.
4. Intersecar todos los conjuntos obtenidos.

El paso 2 es el que más errores genera, porque elevar al cuadrado sin analizar signos puede producir soluciones falsas.

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3.2. Inecuaciones de la forma $\sqrt{f}$ comparada con una constante

Sea $a\in\mathbb{R}$.

Caso $\sqrt{f(x)}<a$

• Si $a>0$:

$$0\le f(x)<a^2.$$

• Si $a\le0$: no hay solución, porque $\sqrt{f(x)}\ge0$.

Caso $\sqrt{f(x)}\le a$

• Si $a\ge0$:

$$0\le f(x)\le a^2.$$

• Si $a<0$: no hay solución.

Caso $\sqrt{f(x)}>a$

• Si $a<0$: basta que $f(x)\ge0$.
• Si $a\ge0$:

$$f(x)>a^2.$$

Caso $\sqrt{f(x)}\ge a$

• Si $a<0$: basta que $f(x)\ge0$.
• Si $a\ge0$:

$$f(x)\ge a^2.$$

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Ejemplo. Resuelve

$$\sqrt{x-5}<7.$$

• CVA:

$$x-5\ge0 \implies x\ge5.$$

• Como $7>0$, elevamos al cuadrado:

$$x-5<49 \implies x<54.$$

Intersecamos:

$$[5,+\infty)\cap(-\infty,54)=[5,54).$$

Por lo tanto,

$$\mathrm{CS}=[5,54).$$

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Ejemplo. Resuelve

$$\sqrt{x^2-16}\le3.$$

• CVA:

$$x^2-16\ge0 \implies |x|\ge4.$$

• Como $3>0$, elevamos al cuadrado:

$$x^2-16\le9 \implies x^2\le25 \implies |x|\le5.$$

Intersecamos:

$$4\le |x|\le5.$$

Esto significa:

$$x\in[-5,-4]\cup[4,5].$$

Por lo tanto,

$$\mathrm{CS}=[-5,-4]\cup[4,5].$$

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3.3. Inecuaciones de la forma $\sqrt{f}\le g$

Para resolver

$$\sqrt{f(x)}\le g(x),$$

se tiene la equivalencia:

$$f(x)\ge0, \quad g(x)\ge0, \quad f(x)\le g(x)^2.$$

La explicación es:

• $f(x)\ge0$ garantiza que $\sqrt{f(x)}$ existe.
• $g(x)\ge0$ es necesario porque $\sqrt{f(x)}\ge0$. Si $g(x)<0$, la desigualdad $\sqrt{f(x)}\le g(x)<0$ es imposible.
• Con ambos lados no negativos, elevar al cuadrado es válido.

Ejemplo. Resuelve

$$\sqrt{x+2}\le x.$$

• CVA:

$$x+2\ge0 \implies x\ge -2.$$

• Sentido lógico:

$$x\ge0.$$

• Elevamos al cuadrado:

$$x+2\le x^2.$$

Llevamos todo a un lado:

$$0\le x^2-x-2.$$

Factorizamos:

$$0\le (x-2)(x+1).$$

Usando puntos críticos del tema anterior, se obtiene:

$$x\le -1 \quad \text{o}\quad x\ge2.$$

Intersecamos con $x\ge0$:

$$x\ge2.$$

Por lo tanto,

$$\mathrm{CS}=[2,+\infty).$$

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3.4. Inecuaciones de la forma $\sqrt{f}\ge g$

Para resolver

$$\sqrt{f(x)}\ge g(x),$$

se separa en dos casos:

Caso 1: $g(x)<0$.

Entonces la desigualdad se cumple para todo $x$ en el CVA, porque

$$\sqrt{f(x)}\ge0>g(x).$$

Caso 2: $g(x)\ge0$.

Entonces ambos lados son no negativos y se puede elevar al cuadrado:

$$f(x)\ge g(x)^2.$$

Es decir:

$$\sqrt{f}\ge g$$

equivale a:

$$[\,g<0 \ \text{y}\ f\ge0\,] \quad\text{o}\quad [\,g\ge0 \ \text{y}\ f\ge g^2\,].$$

Ejemplo. Resuelve

$$\sqrt{x+2}\ge x.$$

• CVA:

$$x+2\ge0 \implies x\ge-2.$$

Caso 1: $x<0$.

En este caso, $x$ es negativo y $\sqrt{x+2}\ge0$. Luego, todo $x\in[-2,0)$ cumple.

Caso 2: $x\ge0$.

Ambos lados son no negativos. Elevamos al cuadrado:

$$x+2\ge x^2.$$

Llevamos a la forma estándar:

$$0\ge x^2-x-2,$$

o sea,

$$x^2-x-2\le0.$$

Factorizamos:

$$(x-2)(x+1)\le0.$$

Usando puntos críticos:

$$x\in[-1,2].$$

Intersecamos con $x\ge0$:

$$x\in[0,2].$$

Unimos los dos casos:

$$[-2,0)\cup[0,2]=[-2,2].$$

Por lo tanto,

$$\mathrm{CS}=[-2,2].$$

).]

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3.5. Inecuaciones con dos radicales

Si la desigualdad tiene la forma

$$\sqrt{f(x)}<\sqrt{g(x)},$$

y ambos radicandos son no negativos, como la función raíz cuadrada es creciente en $[0,+\infty)$, se cumple

$$\sqrt{f}<\sqrt{g} \iff 0\le f<g.$$

Ejemplo. Resuelve

$$\sqrt{x+4}<\sqrt{5x+28}.$$

• CVA:

$$x+4\ge0 \implies x\ge-4,$$

$$5x+28\ge0 \implies x\ge -\frac{28}{5}.$$

Intersecando:

$$x\ge -4.$$

Como ambas raíces son no negativas, elevamos al cuadrado directamente:

$$x+4<5x+28.$$

Restamos $x$ y 28:

$$-24<4x \implies x>-6.$$

Intersecamos con $x\ge-4$:

$$x\ge-4.$$

Por lo tanto,

$$\mathrm{CS}=[-4,+\infty).$$

La condición $x>-6$ ya estaba contenida en el CVA.

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3.6. Inecuaciones irracionales fraccionarias

Cuando una inecuación irracional incluye fracciones, se combinan el CVA y el análisis de signos.

Ejemplo. Resuelve

$$\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{x}-1}\le0.$$

Primero, hallamos el CVA:

• Para $\sqrt{x+1}$: $x+1\ge0 \implies x\ge-1$.
• Para $\sqrt{x}$: $x\ge0$.
• Para el denominador $\sqrt{x}-1\ne0$: $\sqrt{x}\ne1 \implies x\ne1$.

Intersecamos:

$$x\in[0,+\infty) \quad\text{y}\quad x\ne1.$$

Es decir,

$$\mathrm{CVA}=[0,1)\cup(1,+\infty).$$

Ahora definimos:

$$N=\sqrt{x+1}-2,\qquad D=\sqrt{x}-1.$$

Buscamos cuándo el cociente es menor o igual que cero.

• $N=0$ cuando

$$\sqrt{x+1}=2 \implies x+1=4 \implies x=3.$$

• $D=0$ cuando $x=1$, pero ya está excluida del CVA.

Estudiamos los signos:

• Para $0\le x<1$: $N<0$ y $D<0$, por lo que $\frac{N}{D}>0$. No cumple.
• Para $1<x<3$: $N<0$ y $D>0$, por lo que $\frac{N}{D}<0$. Cumple.
• Para $x=3$: $N=0$, $D>0$, por lo que $\frac{N}{D}=0$. Cumple.
• Para $x>3$: $N>0$ y $D>0$, por lo que $\frac{N}{D}>0$. No cumple.

Por lo tanto,

$$\mathrm{CS}=(1,3].$$

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