Cocientes notables

Idea intuitiva

Seguramente ya has factorizado algunas expresiones sin darte cuenta de que estabas usando cocientes notables. Por ejemplo:

$$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$$

Si pasamos $x-2$ al otro lado, tenemos

$$\frac{x^2 - 4}{x-2} = x+2$$

Análogamente,

$$\frac{x^3 - 8}{x-2} = \frac{x^3 - 2^3}{x-2} = x^2 + 2x + 4$$

y

$$\frac{x^4 - 16}{x-2} = \frac{x^4 - 2^4}{x-2} = x^3 + 2x^2 + 4x + 8$$

Observa que no hicimos la división larga: reconocimos un patrón. Ese patrón se generaliza.

Definición formal

Un cociente notable es una división exacta de la forma

$$\frac{a^n \pm b^n}{a \pm b}, \qquad n \in \mathbb{Z}^+$$

donde $a$ y $b$ son las bases y $n$ es un entero positivo. El cociente se llama notable porque se puede escribir directamente, sin aplicar los criterios generales de la división algebraica.

Para que la división sea exacta deben cumplirse dos condiciones básicas:

1. Las bases $a$ y $b$ deben ser las mismas en el dividendo y en el divisor.
2. Los exponentes de las bases en el dividendo deben ser iguales a $n$.

Además, según los signos y la paridad de $n$, la división puede ser exacta o no. Esto da lugar a los cuatro casos que se muestran en la siguiente tabla.

Justificación con el teorema del resto

Estos casos no son arbitrarios; se pueden justificar usando el teorema del resto del tema anterior.

• En $\frac{a^n - b^n}{a - b}$, el divisor es $a-b$. Si hacemos $a=b$, el dividendo se convierte en
  $$b^n - b^n = 0$$
  por lo que la división es exacta para todo $n$.

• En $\frac{a^n + b^n}{a + b}$, el divisor es $a+b$. Si hacemos $a=-b$, el dividendo queda
  $$(-b)^n + b^n$$
  Si $n$ es impar, $(-b)^n = -b^n$, y la suma es $0$. Si $n$ es par, $(-b)^n = b^n$, y la suma es $2b^n \neq 0$. Por eso solo es notable si $n$ es impar.

• En $\frac{a^n - b^n}{a + b}$, al sustituir $a=-b$:
  $$(-b)^n - b^n$$
  Si $n$ es par, $(-b)^n = b^n$, y la diferencia es $0$. Si $n$ es impar, $(-b)^n = -b^n$, y la diferencia es $-2b^n \neq 0$. Por eso solo es notable si $n$ es par.

• En $\frac{a^n + b^n}{a - b}$, al sustituir $a=b$:
  $$b^n + b^n = 2b^n$$
  que nunca es $0$ para $b \neq 0$. Por eso esta forma nunca es cociente notable.

Ejemplos breves

1. $\dfrac{x^4 - y^4}{x - y} = x^3 + x^2 y + x y^2 + y^3$.
   Aquí $n=4$, todos los signos positivos.

2. $\dfrac{x^5 + y^5}{x + y} = x^4 - x^3 y + x^2 y^2 - x y^3 + y^4$.
   $n=5$ impar, signos alternados: $+, -, +, -, +$.

3. $\dfrac{x^4 - y^4}{x + y} = x^3 - x^2 y + x y^2 - y^3$.
   $n=4$ par, signos alternados: $+, -, +, -$.

4. $\dfrac{x^4 + y^4}{x - y}$ no es cociente notable; su división no es exacta.

Consideremos un cociente notable simple de la forma

$$\frac{a^n \pm b^n}{a \pm b}$$

cuyo desarrollo tiene $n$ términos. Se cumplen las siguientes propiedades.

1. Número de términos

El desarrollo tiene exactamente $n$ términos, donde $n$ es el exponente común del dividendo.

Ejemplo:
$\dfrac{x^9 - y^9}{x-y}$ tiene $9$ términos.

2. Grado del desarrollo

Si las bases $a$ y $b$ son variables de grado 1 (por ejemplo, $x$ e $y$), todos los términos del desarrollo tienen grado absoluto $n-1$. Es decir, el cociente es un polinomio homogéneo de grado $n-1$.

Ejemplo:
En $\frac{x^4 - y^4}{x-y} = x^3 + x^2 y + x y^2 + y^3$, todos los términos tienen grado 3. Por eso, el grado del cociente es $4-1=3$.

3. Variación de los exponentes

En el desarrollo, los exponentes de la primera base $a$ descienden desde $n-1$ hasta $0$, mientras que los exponentes de la segunda base $b$ ascienden desde $0$ hasta $n-1$. En cada término, la suma de los exponentes es $n-1$.

Variación de exponentes de a y b en los términos T₁, T₂, …, Tₙ del desarrollo de (aⁿ − bⁿ)/(a − b)

Por ejemplo, para $n=5$, el desarrollo de $\frac{a^5-b^5}{a-b}$ es

$$T_1 = a^4, \quad T_2 = a^3 b, \quad T_3 = a^2 b^2, \quad T_4 = a b^3, \quad T_5 = b^4$$

Observa cómo $a$ pierde un exponente en cada paso y $b$ gana uno.

4. Signos de los términos

Los signos dependen del caso, como ya vimos:

• En $\frac{a^n - b^n}{a - b}$, todos los términos son positivos.
• En $\frac{a^n + b^n}{a + b}$, los signos se alternan: $+, -, +, -, \dots, +$ (el último es positivo porque $n$ es impar).
• En $\frac{a^n - b^n}{a + b}$, los signos se alternan: $+, -, +, -, \dots, -$ (el último es negativo porque $n$ es par).

Una regla práctica: en los casos con signos alternados, el signo de un término es positivo si la posición $k$ es impar, y negativo si $k$ es par.

5. Forma del desarrollo

De las propiedades anteriores se deduce que el desarrollo general es

$$a^{n-1} \pm a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 \pm \cdots \pm b^{n-1}$$

donde los signos se eligen según el caso.

En lugar de escribir todo el desarrollo, conviene tener una fórmula para hallar directamente el término que ocupa una posición cualquiera.

Para un cociente notable simple de la forma

$$\frac{a^n \pm b^n}{a \pm b}$$

con $n$ términos, el término de lugar $k$ ($1 \le k \le n$) es

$$T_k = \operatorname{signo} \cdot a^{n-k} \, b^{k-1}$$

donde:

• $n$: número de términos;
• $k$: posición del término buscado;
• el exponente de $a$ es $n-k$;
• el exponente de $b$ es $k-1$.

Regla para el signo

• Si el cociente es de la forma $\frac{-}{-}$, el signo es siempre positivo.
• Si el cociente es de la forma $\frac{+}{+}$ o $\frac{-}{+}$, el signo es positivo si $k$ es impar y negativo si $k$ es par.

¿De dónde sale la fórmula?

Observa el desarrollo:

$$T_1 = a^{n-1} b^0$$

$$T_2 = a^{n-2} b^1$$

$$T_3 = a^{n-3} b^2$$

Al llegar al término $k$, el exponente de $a$ ha bajado $k-1$ veces desde $n-1$, es decir,

$$n-1 - (k-1) = n-k$$

mientras que el exponente de $b$ es $k-1$. Por eso la fórmula tiene esa forma.

Ejemplos

Ejemplo 1.
En el cociente notable $\dfrac{a^{31}+b^{31}}{a+b}$, hallar $T_{27}$.

Solución:
La forma es $\frac{+}{+}$, con $n=31$. Como $k=27$ es impar, el signo es positivo.

$$T_{27} = a^{31-27} b^{27-1} = a^4 b^{26}$$

Ejemplo 2.
En el cociente notable $\dfrac{a^{43}-b^{43}}{a-b}$, hallar $T_{32}$.

Solución:
La forma es $\frac{-}{-}$, así que el signo es positivo para cualquier $k$.

$$T_{32} = a^{43-32} b^{32-1} = a^{11} b^{31}$$

Si $a$ y $b$ son variables de grado 1, el grado absoluto de $T_{32}$ es $11+31=42$.

En muchos problemas de admisión no aparece la forma simple $\frac{a^n \pm b^n}{a \pm b}$, sino una expresión más general:

$$\frac{a^m \pm b^n}{a^p \pm b^q}$$

donde los exponentes del dividendo y del divisor son diferentes. Esta división será transformable a cociente notable si se cumplen ciertas condiciones.

Condiciones para que sea cociente notable

1. Bases iguales. $a$ y $b$ deben ser las mismas en el dividendo y en el divisor.
2. Proporcionalidad de exponentes. Los exponentes del dividendo con respecto a los del divisor deben ser proporcionales y dar un entero positivo: $$\frac{m}{p} = \frac{n}{q} = r, \quad r \in \mathbb{Z}^+$$ Aquí $r$ es el número de términos del desarrollo.
3. Condición de signos según $r$ (igual que en el caso simple, pero usando $r$ en lugar de $n$):
   • $\dfrac{a^m - b^n}{a^p - b^q}$ es notable para todo $r$ (par o impar). Signos: todos positivos.
   • $\dfrac{a^m + b^n}{a^p + b^q}$ es notable solo si $r$ es impar. Signos: alternados, comenzando con $+$.
   • $\dfrac{a^m - b^n}{a^p + b^q}$ es notable solo si $r$ es par. Signos: alternados, comenzando con $+$.
   • $\dfrac{a^m + b^n}{a^p - b^q}$ nunca es notable.

La idea es hacer un cambio de variable:

$$A = a^p, \qquad B = b^q$$

Entonces

$$\frac{a^m \pm b^n}{a^p \pm b^q} = \frac{A^r \pm B^r}{A \pm B}$$

que ya es un cociente notable simple en las variables $A$ y $B$.

Fórmula del término general (forma compuesta)

El término de lugar $k$ ($1 \le k \le r$) es

$$T_k = \operatorname{signo} \cdot (a^p)^{r-k} \, (b^q)^{k-1}$$

o, equivalentemente,

$$T_k = \operatorname{signo} \cdot a^{m - pk} \, b^{q(k-1)}$$

donde:

• $r = \dfrac{m}{p} = \dfrac{n}{q}$ es el número de términos;
• $k$ es la posición del término buscado;
• el signo se determina igual que en el caso simple, pero usando $r$ y la forma del cociente.

Ejemplo resuelto breve

Sea el cociente notable

$$\frac{a^{93} + b^{124}}{a^3 + b^4}$$

Verificar si es notable y hallar el término de lugar 22.

Solución:

1. Identificamos $m=93$, $n=124$, $p=3$, $q=4$.
2. Calculamos: $$\frac{93}{3} = 31, \qquad \frac{124}{4} = 31$$ Como ambos cocientes son iguales a $31$, $r=31$.
3. La forma es $\frac{+}{+}$, y $r=31$ es impar, por lo tanto sí es cociente notable. Tiene $31$ términos.
4. Hallamos $T_{22}$. Como $k=22$ es par y la forma es $\frac{+}{+}$, el signo es negativo. $$T_{22} = - (a^3)^{31-22} (b^4)^{22-1} = - a^{27} b^{84}$$
5. Si $a$ y $b$ son variables de grado 1, el grado absoluto de $T_{22}$ es $27+84=111$.

Cálculo de parámetros a partir de la condición de notabilidad

En ocasiones no se dan los exponentes completos, sino que se pide hallar valores de variables para que la división sea cociente notable. En esos casos, se usa la proporción

$$\frac{m}{p} = \frac{n}{q}$$

y se resuelve la ecuación resultante.

Ejemplo:
Calcular $n$ para que el cociente

$$\frac{x^{7n-4} - y^{8n-2}}{x^{n-2} - y^{n-1}}$$

sea notable.

Solución:
Aplicamos la condición de proporcionalidad:

$$\frac{7n-4}{n-2} = \frac{8n-2}{n-1}$$

Multiplicamos en cruz:

$$(7n-4)(n-1) = (8n-2)(n-2)$$

Desarrollamos:

$$7n^2 - 11n + 4 = 8n^2 - 18n + 4$$

Simplificamos:

$$-n^2 + 7n = 0$$

$$n(n-7) = 0$$

Obtenemos $n=0$ o $n=7$. Como $n$ no puede ser cero porque aparecerían exponentes negativos o nulos en el divisor, nos quedamos con

$$n=7$$

Así, la división es notable y, además, el número de términos es $r = \frac{7n-4}{n-2} = \frac{49-4}{5} = 9$.

Número de términos y término central

En un cociente notable con $r$ términos:

• Si $r$ es impar, existe un único término central, que ocupa la posición
  $$k = \frac{r+1}{2}$$
• Si $r$ es par, hay dos términos centrales: $$k_1 = \frac{r}{2}, \qquad k_2 = \frac{r}{2}+1$$

Ejemplo:
Si un cociente notable tiene $17$ términos, el término central es el de posición

$$k = \frac{17+1}{2} = 9$$

Grado absoluto de un término

Si las bases $a$ y $b$ son monomios con grados absolutos $g_a$ y $g_b$, respectivamente, el grado absoluto del término $T_k$ es

$$GA(T_k) = g_a \cdot (m - pk) + g_b \cdot q(k-1)$$

para la forma compuesta $\frac{a^m \pm b^n}{a^p \pm b^q}$. Si las bases son simples $x$ e $y$ (grado 1 cada una), se reduce a

$$GA(T_k) = [m - pk] + [q(k-1)]$$

En el caso simple $\frac{a^n \pm b^n}{a \pm b}$, como $p=q=1$ y $m=n$, el grado absoluto de todos los términos es $n-1$.

Ejemplo:
En $\frac{x^{93} + y^{124}}{x^3 + y^4}$, el grado absoluto de $T_{22}$ es

$$GA(T_{22}) = (93 - 3\cdot 22) + 4\cdot 21 = 27 + 84 = 111$$

Observa que los grados absolutos de los términos de un cociente notable compuesto no son necesariamente constantes; pueden aumentar o disminuir dependiendo de $p$ y $q$. Por ejemplo, en $\frac{x^{m} - y^{n}}{x^2 - y^4}$, los grados absolutos de los términos consecutivos aumentan de 2 en 2, porque $q-p=2$.