Polinomios II: grados

Todo monomio tiene dos tipos de grado: el grado relativo y el grado absoluto.

Grado relativo de un monomio

El grado relativo de un monomio respecto de una variable es simplemente el exponente con el que aparece esa variable.

Ejemplo:
En el monomio
$$M(x,y,z)=7x^5y^3z^8$$ se tiene:

• Grado relativo respecto de $x$: $\mathrm{GR}_x(M)=5$
• Grado relativo respecto de $y$: $\mathrm{GR}_y(M)=3$
• Grado relativo respecto de $z$: $\mathrm{GR}_z(M)=8$

Grado absoluto de un monomio

El grado absoluto de un monomio es la suma de los exponentes de todas sus variables.

En el mismo ejemplo:
$$\mathrm{GA}(M)=5+3+8=16.$$

Otro ejemplo:
$$M(x,y)=-\frac{3}{4}x^2y^7$$ tiene grado absoluto
$$\mathrm{GA}(M)=2+7=9.$$

Este concepto es la base para entender el grado de un polinomio.

Un polinomio está formado por varios términos. Por lo tanto, para hablar de su grado también distinguimos entre grado relativo y grado absoluto.

Grado relativo de un polinomio

El grado relativo de un polinomio respecto de una variable es el mayor exponente con el que aparece esa variable en todos los términos del polinomio.

Ejemplo:
Sea
$$P(x,y)=8x^4y^{11}+3x^9y^7-5x^{13}y.$$ Los exponentes de $x$ son $4,9,13$. El mayor es $13$, así que
$$\mathrm{GR}_x(P)=13.$$ Los exponentes de $y$ son $11,7,1$. El mayor es $11$, por lo tanto
$$\mathrm{GR}_y(P)=11.$$

Grado absoluto de un polinomio

El grado absoluto de un polinomio es el mayor de los grados absolutos de sus términos.

Es importante entenderlo bien: no se suman los grados de todos los términos, sino que se toma el mayor.

Ejemplo:
Sea
$$P(x,y)=8x^4y^{11}+3x^9y^7-5x^{13}y.$$ Calculamos el grado absoluto de cada término:

• Primer término: $4+11=15$
• Segundo término: $9+7=16$
• Tercer término: $13+1=14$

El mayor es $16$, por lo tanto:
$$\mathrm{GA}(P)=16.$$

En un polinomio de una sola variable, el grado absoluto coincide con el mayor exponente de la variable.

Ejemplo:
$$P(x)=7x^{12}-4x^6+3x-11$$ tiene grado $12$, porque el mayor exponente de $x$ es $12$.

Este concepto fue evaluado directamente en un problema reciente de admisión.

Un polinomio es ordenado cuando los exponentes de su variable van aumentando o disminuyendo de manera consecutiva en su presentación, es decir, están en forma ascendente o descendente.

Orden ascendente

Un polinomio está ordenado en forma ascendente o creciente si los exponentes de su variable van de menor a mayor.

Ejemplo:
$$P(x)=1-3x^2+5x^4-7x^7$$ Los exponentes son $0,2,4,7$; están aumentando. Por lo tanto, $P(x)$ está ordenado en forma ascendente.

Orden descendente

Un polinomio está ordenado en forma descendente o decreciente si los exponentes de su variable van de mayor a menor.

Ejemplo:
$$Q(x)=7x^8-4x^5+2x^3-9x+1$$ Los exponentes son $8,5,3,1,0$; están disminuyendo. Por lo tanto, $Q(x)$ está ordenado en forma descendente.

Cuando un polinomio tiene varias variables, puede estar ordenado respecto de una de ellas.

Ejemplo:
$$P(x,y)=x^2y^5+x^4y^3+x^6y^2+x^9y$$ Los exponentes de $x$ son $2,4,6,9$, que van aumentando. Entonces, $P(x,y)$ está ordenado en forma ascendente respecto de $x$.

Un polinomio de una variable y de grado $n$ es completo si presenta todos los términos con exponentes desde $0$ hasta $n$, es decir, no falta ningún grado intermedio.

Ejemplo de polinomio completo:
$$P(x)=7x^4-3x^3+5x^2-8x+1$$ Es de grado $4$ y tiene términos de grados $4,3,2,1,0$. Por lo tanto, es completo.

Ejemplo de polinomio incompleto:
$$Q(x)=x^5+2x^3+1$$ Es de grado $5$, pero faltan términos de grados $4,2,1$. Por lo tanto, no es completo.

Propiedades importantes

1. Si un polinomio es completo de grado $n$, entonces tiene al menos $n+1$ términos.
2. Un polinomio puede ser completo aunque no esté ordenado.
3. Un polinomio puede ser ordenado aunque no sea completo.

Ejemplo:
$$P(x)=x^4-3x+2$$ No es completo, porque faltan los términos de grados $3,2,1$. Tampoco está ordenado, pues los exponentes no van ni ascendente ni descendentemente de manera continua.

Dos polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ son idénticos cuando tienen exactamente los mismos valores numéricos para cualquier valor de $x$. Se denota así:
$$P(x) \equiv Q(x).$$

Teorema de identidad de polinomios

Si dos polinomios en una misma variable y del mismo grado son idénticos, entonces sus coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

Ejemplo:
Si
$$P(x)=(a+b)x^3+5x^2+cx-4$$ y
$$Q(x)=7x^3+5x^2+2x-d$$ son idénticos, entonces igualamos coeficiente a coeficiente:

• Para $x^3$: $a+b=7$
• Para $x^2$: $5=5$
• Para $x$: $c=2$
• Término independiente: $-4=-d$, luego $d=4$

Identidad y polinomios de distinta forma

A veces dos polinomios parecen diferentes, pero al simplificarlos se vuelven idénticos.

Ejemplo:
$$P(x)=x^2+4$$ y
$$Q(x)=(x+2)^2-4x.$$ Expandiendo $Q(x)$:
$$Q(x)=x^2+4x+4-4x=x^2+4.$$ Por lo tanto, $P(x)\equiv Q(x)$.

Esta propiedad es fundamental para resolver problemas en los que se da un polinomio como producto de otros.

Un polinomio es idénticamente nulo cuando su valor numérico es cero para cualquier valor de su variable. Se denota:
$$P(x)\equiv 0.$$

Teorema del polinomio idénticamente nulo

Un polinomio de la forma
$$P(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0$$ es idénticamente nulo si y solo si todos sus coeficientes son cero:

$$a_n=0,\quad a_{n-1}=0,\quad \ldots,\quad a_1=0,\quad a_0=0.$$

Ejemplo:
Si
$$P(x)=(a^2-9)x^3+(b-5)x^2+(c+2)x+d-4$$ es idénticamente nulo, entonces:

$$a^2-9=0,\qquad b-5=0,\qquad c+2=0,\qquad d-4=0.$$ De aquí se obtiene $a=\pm 3$, $b=5$, $c=-2$, $d=4$.

Un polinomio constante es aquel que no depende de la variable. Tiene la forma
$$P(x)=k$$ donde $k$ es un número real distinto de cero.

Su valor numérico no cambia para ningún valor de $x$:

$$P(1)=k,\qquad P(0)=k,\qquad P(-5)=k,\qquad P(100)=k.$$

El polinomio constante no nulo tiene grado cero.

Ejemplo:
$$P(x)=12$$ es un polinomio constante de grado $0$.

Un polinomio es mónico si su coeficiente principal es $1$.

Ejemplo:
$$P(x)=x^5-3x^3+2x-7$$ es mónico, porque el coeficiente del término de mayor grado, $x^5$, es $1$.

Un polinomio de varias variables es homogéneo si todos sus términos tienen el mismo grado absoluto.

Ese grado común se llama grado de homogeneidad.

Ejemplo:
$$P(x,y)=5x^{10}y^7+6x^4y^{13}-xy^{16}.$$ Calculamos el grado absoluto de cada término:

• Primer término: $10+7=17$
• Segundo término: $4+13=17$
• Tercer término: $1+16=17$

Todos son $17$. Por lo tanto, $P(x,y)$ es homogéneo de grado $17$.

La condición de homogeneidad es muy útil para plantear ecuaciones: si un polinomio es homogéneo, el grado absoluto de cada término debe ser igual.

El cambio de variable es el procedimiento mediante el cual se reemplaza la variable original de un polinomio por otra expresión. Es una herramienta muy común para transformar polinomios o para hallar la forma original de un polinomio a partir de una expresión compuesta.

Caso 1: De $P(x)$ a $P(\text{expresión})$

Si conocemos la regla de $P(x)$ y queremos hallar la regla de $P$ evaluada en otro argumento, simplemente se reemplaza $x$ por dicho argumento.

Ejemplo:
Sea
$$P(x)=5x+2.$$ Hallemos $P(3x)$:

Reemplazamos $x$ por $3x$:
$$P(3x)=5(3x)+2=15x+2.$$

Hallemos $P(x+4)$:

$$P(x+4)=5(x+4)+2=5x+22.$$

Hallemos $P(P(x))$:

$$P(P(x))=5P(x)+2=5(5x+2)+2=25x+12.$$

Caso 2: De $P(\text{expresión})$ a $P(x)$

Aquí se nos da una regla que involucra un argumento compuesto, como $P(2x+1)$, y se nos pide hallar $P(x)$. Hay dos formas principales de hacerlo.

Método 1: Igualando a una nueva variable

Se iguala el argumento a una variable nueva, se despeja la variable original y se sustituye.

Ejemplo:
Sea
$$P(2x+1)=4x+7.$$ Hallemos $P(x)$.

Hacemos:
$$2x+1=u.$$ Despejamos $x$:
$$x=\frac{u-1}{2}.$$ Sustituimos en la expresión original:
$$P(u)=4\left(\frac{u-1}{2}\right)+7.$$ Simplificamos:
$$P(u)=2(u-1)+7=2u+5.$$ Finalmente, cambiamos $u$ por $x$:
$$P(x)=2x+5.$$

Método 2: Construyendo la variable

Se reescribe la expresión del lado derecho tratando de que aparezca el mismo argumento del lado izquierdo.

En el mismo ejemplo, tenemos:
$$P(2x+1)=4x+7.$$ Queremos que el lado derecho quede en términos de $2x+1$. Observamos que
$$2(2x+1)+5=4x+7.$$ Por lo tanto:
$$P(2x+1)=2(2x+1)+5.$$ Ahora cambiamos $2x+1$ por $x$:
$$P(x)=2x+5.$$

Ambos métodos son válidos. En los exámenes conviene dominar ambos, pues a veces uno es más rápido que el otro.