Desigualdades e intervalos

Los números reales se representan sobre una recta: elegimos un punto como origen (el cero) y una unidad. Los números positivos se ubican a la derecha del cero; los negativos, a la izquierda.

Decir que un número $a$ es menor que un número $b$, $a<b$, significa que $a$ está a la izquierda de $b$ en la recta real. Análogamente, $a>b$ significa que $a$ está a la derecha de $b$. Los símbolos $-\infty$ y $+\infty$ no son números reales; son símbolos que indican que la recta se extiende indefinidamente hacia la izquierda o hacia la derecha.

Una desigualdad es una comparación entre dos números reales mediante uno de los siguientes símbolos:

Las desigualdades con $>$ o $<$ se llaman estrictas; las que usan $\ge$ o $\le$ se llaman no estrictas.

También se usan relaciones equivalentes de “volteo”:

$$a<b \iff b>a,\qquad a\le b \iff b\ge a.$$

Por ejemplo, $-3 < x \le 8$ es equivalente a $8 \ge x > -3$.

Desigualdades absolutas y relativas

Una desigualdad absoluta es aquella que se cumple para todos los valores reales de la variable. Por ejemplo:

$$x^2 \ge 0,\qquad x^2+1 > 0,\qquad 7 > 0.$$

Una desigualdad relativa o inecuación solo se cumple para ciertos valores. Por ejemplo, $2x-3 > 5$ se cumple únicamente cuando $x>4$. El conjunto de valores que la cumplen, llamado conjunto solución, se puede expresar como el intervalo $\langle 4;+\infty\rangle$.

Para manipular desigualdades correctamente, nos apoyamos en las siguientes propiedades de los números reales.

Tricotomía, transitividad y monotonía

1. Tricotomía. Dados dos reales $a$ y $b$, se cumple una y solo una de estas tres posibilidades: $$a<b,\qquad a=b,\qquad a>b.$$

2. Transitividad. Si $a<b$ y $b<c$, entonces $a<c$. Por ejemplo: $-12 < -2$ y $-2 < 8$, luego $-12 < 8$.

3. Monotonía aditiva. Si $a<b$, entonces para todo real $c$: $$a+c < b+c.$$ Es decir, se puede sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de una desigualdad sin cambiar su sentido.

   Ejemplo: si $2<x<5$, entonces $2+4 < x+4 < 5+4$, es decir $6 < x+4 < 9$.

4. Monotonía multiplicativa. Sea $a<b$.

   • Si $c>0$, entonces $ac < bc$.
   • Si $c<0$, entonces $ac > bc$: la desigualdad se invierte.

   Ejemplo: si $2<5$, multiplicando por $4$ se obtiene $8<20$. Multiplicando por $-4$, en cambio, se obtiene $-8 > -20$.

5. Suma de desigualdades del mismo sentido. Si $a<b$ y $c<d$, entonces: $$a+c < b+d.$$ No se deben restar desigualdades directamente; para restar, primero se convierte la segunda en una desigualdad invertida multiplicando por $-1$.

6. Signo del recíproco. Si $a>0$, entonces $\frac{1}{a}>0$; si $a<0$, entonces $\frac{1}{a}<0$.

7. Cuadrado no negativo. Para todo $a\in\mathbb{R}$, $$a^2 \ge 0.$$ Además, $a^2=0$ solo cuando $a=0$.

8. Inversos y orden. Si $a$ y $b$ tienen el mismo signo y $a<b$, entonces: $$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}.$$ Por ejemplo, $2<5$ implica $\frac{1}{2} > \frac{1}{5}$.

Un intervalo es un subconjunto de $\mathbb{R}$ formado por todos los números reales comprendidos entre dos extremos. Los extremos pueden ser números reales finitos o los símbolos $-\infty$ y $+\infty$.

Un intervalo es acotado si sus dos extremos son finitos; en caso contrario, es no acotado.

Intervalos acotados

Sean $a,b$ reales con $a<b$.

Los corchetes indican si el extremo se incluye: si el corchete mira hacia el número, se incluye; si mira hacia afuera, no se incluye.

Por ejemplo, $\langle 2;5]$ contiene a todos los reales $x$ tales que $2<x\le 5$. No contiene a 2, pero sí contiene a 5.

En algunos textos, $\langle a;b\rangle$ se escribe como $(a;b)$ o $]a;b[$. En este curso usaremos corchetes y paréntesis angulares.

Intervalos no acotados

Observa que $+\infty$ y $-\infty$ siempre llevan corchete abierto, porque no son números reales y no pueden estar incluidos.

Longitud de un intervalo

La longitud de un intervalo acotado de extremo inferior $a$ y extremo superior $b$ es:

$$L = b-a.$$

La longitud no depende de si los extremos están incluidos o no.

Ejemplos.

Valores enteros en un intervalo

En muchos problemas de admisión no interesa todo el intervalo, sino los números enteros que contiene.

Ejemplos.

Algunas reglas prácticas:

• En $[a;b]$, con $a,b$ enteros, la cantidad de enteros es $b-a+1$.
• En $\langle a;b\rangle$, con $a,b$ enteros, la cantidad es $b-a-1$.
• En intervalos semiabiertos con extremos enteros, la cantidad es $b-a$.

Para hallar el máximo entero de un intervalo, se busca el mayor entero que pertenece al intervalo. Para hallar el mínimo entero, se busca el menor entero que pertenece.

Por ejemplo, en $\langle -5;4]$ el mínimo entero es $-4$ (porque $-5$ no está incluido) y el máximo entero es $4$. En $[3;8\rangle$ el mínimo entero es $3$ y el máximo entero es $7$.

Como los intervalos son conjuntos, se pueden operar mediante unión, intersección, diferencia y complemento.

Sean $A$ y $B$ intervalos.

• Unión: $A\cup B = \{x\in\mathbb{R} : x\in A \text{ o } x\in B\}$.
• Intersección: $A\cap B = \{x\in\mathbb{R} : x\in A \text{ y } x\in B\}$.
• Diferencia: $A-B = \{x\in\mathbb{R} : x\in A \text{ y } x\notin B\}$.
• Complemento: $A^c = \{x\in\mathbb{R} : x\notin A\} = \mathbb{R}-A$.

Ejemplo. Sean $$A=\langle -1;5] \quad \text{y}\quad B=[2;9\rangle.$$

Entonces:

• $A\cap B = [2;5]$, porque son los números comunes desde 2 (incluido) hasta 5 (incluido).
• $A\cup B = \langle -1;9\rangle$, porque la unión cubre desde -1 (no incluido) hasta 9 (no incluido).
• $A-B = \langle -1;2\rangle$, porque son los elementos de $A$ que no están en $B$; el 2 no está en $A-B$ porque está en $B$.
• $B-A = \langle 5;9\rangle$, porque 5 pertenece a $A$, así que no está en $B-A$.
• $(A\cap B)^c = [2;5]^c = \langle -\infty;2\rangle \cup \langle 5;+\infty\rangle$.

También se cumplen las leyes de De Morgan:

$$(A\cup B)^c = A^c\cap B^c,\qquad (A\cap B)^c = A^c\cup B^c,$$ y la relación $$A-B = A\cap B^c.$$

Muchas preguntas no se limitan a operar intervalos, sino que piden el rango de una expresión cuando la variable se mueve dentro de un intervalo. A continuación se presentan las reglas básicas.

Suma y diferencia de variaciones

Si $$a < x < b \quad \text{y}\quad c < y < d,$$ entonces, sumando miembro a miembro, $$a+c < x+y < b+d.$$

Ejemplo. Si $5<x<10$ y $-2<y<6$, entonces: $$5+(-2) < x+y < 10+6,$$ es decir, $$3 < x+y < 16.$$

Para la diferencia $x-y$, se convierte en suma con el opuesto: $$x-y = x+(-y).$$ Si $c<y<d$, entonces $-d < -y < -c$. Luego, $$a-d < x-y < b-c.$$

Ejemplo. Si $-3<x<2$ y $1<y<3$, entonces: $$-3-3 < x-y < 2-1,$$ es decir, $$-6 < x-y < 1.$$

Los resultados se adaptan a desigualdades con $\le$ o $\ge$ según corresponda.

Multiplicación por una constante

Si $a < x < b$ y $k>0$, entonces: $$ka < kx < kb.$$

Si $a < x < b$ y $k<0$, se invierte el orden: $$kb < kx < ka.$$

Ejemplo. Si $-2 < x \le 5$:

• Multiplicando por $3$: $$-6 < 3x \le 15.$$
• Multiplicando por $-2$: $$(-2)\cdot 5 \le -2x < (-2)\cdot(-2),$$ es decir, $$-10 \le -2x < 4.$$

Producto de variaciones

En general, si $a<x<b$ y $c<y<d$, el producto $xy$ varía entre el mínimo y el máximo de los cuatro productos de extremos:

$$P = \min\{ac,ad,bc,bd\},\qquad Q = \max\{ac,ad,bc,bd\}.$$

Entonces $$P < xy < Q$$ (o con $\le$, según corresponda).

Si todos los extremos son positivos, la regla se simplifica: $$0<a<x<b,\quad 0<c<y<d \quad \Longrightarrow \quad ac < xy < bd.$$

Ejemplo. Si $4<a<8$ y $5<b<7$, entonces: $$4\cdot 5 < ab < 8\cdot 7,$$ es decir, $$20 < ab < 56.$$

Ejemplo con signos. Si $-2<x<3$ y $1<y<4$, los productos de extremos son: $$(-2)(1)=-2,\quad (-2)(4)=-8,\quad 3(1)=3,\quad 3(4)=12.$$ El mínimo es $-8$ y el máximo $12$, por lo que: $$-8 < xy < 12.$$

Recíprocos

Si $a<x<b$ y $a,b$ tienen el mismo signo, al tomar recíprocos se invierte el orden:

$$\frac{1}{b} < \frac{1}{x} < \frac{1}{a}.$$

Ejemplo positivo. $$3<x<7 \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{7} < \frac{1}{x} < \frac{1}{3}.$$

Ejemplo negativo. $$-5 \le x < -3 \quad \Longrightarrow \quad -\frac{1}{3} < \frac{1}{x} \le -\frac{1}{5}.$$ Verifica con $x=-4$: $\frac{1}{x}=-0.25$, que está entre $-0.333\ldots$ y $-0.2$.

Si el intervalo contiene al 0, la expresión $1/x$ no está acotada en todo el intervalo; hay que separar en partes positivas y negativas.

Cuadrados

Para acotar $x^2$, conviene analizar si el intervalo contiene al 0.

1. Si el intervalo está totalmente a la derecha de 0, $0<a<x<b$, entonces: $$a^2 < x^2 < b^2.$$

   Ejemplo: $2<x<5$ $\Rightarrow$ $4<x^2<25$.

2. Si el intervalo está totalmente a la izquierda de 0, $a<x<b<0$, el orden de los cuadrados se invierte: $$a^2 > x^2 > b^2,$$ es decir, $$b^2 < x^2 < a^2.$$

   Ejemplo: $-7\le x<-4$ $\Rightarrow$ $49\ge x^2>16$, o sea $16<x^2\le 49$.

3. Si el intervalo contiene al 0, $a<0<b$, el mínimo de $x^2$ es $0$ y el máximo es el mayor entre $a^2$ y $b^2$: $$0 \le x^2 < \max\{a^2,b^2\},$$ con los ajustes de extremos según si son abiertos o cerrados.

   Ejemplo: $-3<x\le 6$ $\Rightarrow$ $0\le x^2 \le 36$, porque $36=\max\{9,36\}$ y $6$ está incluido.

   Ejemplo: $\langle -4;3\rangle$ $\Rightarrow$ $0\le x^2 < 16$, porque $16=\max\{16,9\}$, pero $-4$ no está incluido, así que $16$ no se alcanza.

Algunas desigualdades son herramientas de optimización: permiten hallar mínimos o máximos sin derivadas. Las más usadas en el examen son las siguientes.

Cuadrado no negativo y sus consecuencias

Para todo $a,b\in\mathbb{R}$: $$(a-b)^2 \ge 0.$$ Desarrollando: $$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0,$$ de donde $$a^2 + b^2 \ge 2ab.$$ Esta desigualdad es el origen de muchas otras.

Desigualdad de las medias

Si $a$ y $b$ son números positivos, su media aritmética es mayor o igual que su media geométrica:

$$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}.$$

Equivalentemente: $$a+b \ge 2\sqrt{ab}.$$

La igualdad se alcanza cuando $a=b$.

Para tres números positivos: $$\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}.$$

Aplicación típica. Si $x>0$, minimizar $2x+\frac{1800}{x}$. Tomando $A=2x$ y $B=\frac{1800}{x}$, ambos positivos:

$$2x+\frac{1800}{x} \ge 2\sqrt{2x\cdot \frac{1800}{x}} = 2\sqrt{3600} = 120.$$

El mínimo es $120$, y se alcanza cuando $2x = \frac{1800}{x}$, es decir, cuando $x^2=900$, $x=30$.

El número más su recíproco

De la desigualdad de las medias se deduce:

• Si $x>0$: $$x+\frac{1}{x} \ge 2.$$ Igualdad cuando $x=1$.

• Si $x<0$: $$x+\frac{1}{x} \le -2.$$ Igualdad cuando $x=-1$.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Para números reales $a,b,x,y$ se cumple:

$$(ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2).$$

Por lo tanto, $$-\sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}.$$

Esta desigualdad es muy útil para acotar expresiones de la forma $ax+by$ cuando se conocen $a^2+b^2$ y $x^2+y^2$.

Ejemplo. Si $a^2+b^2=4$ y $x^2+y^2=8$, entonces: $$(ax+by)^2 \le 4\cdot 8 = 32.$$ Luego $ax+by$ está entre $-4\sqrt{2}$ y $4\sqrt{2}$.

Muchas preguntas de admisión no presentan una desigualdad ya construida, sino un enunciado verbal que debe traducirse.

Frases clave.

Pasos sugeridos.

1. Identificar la variable o variables.
2. Traducir cada condición a una desigualdad.
3. Usar las propiedades de desigualdades para despejar o acotar.
4. Expresar el conjunto solución como intervalo o unión de intervalos.
5. Si se pide un valor entero, determinar el máximo o mínimo entero del intervalo.
6. Verificar que el valor final cumpla todas las condiciones originales.

Ejemplo breve. Si el doble de una cantidad $x$, aumentada en 4, supera a 10, escribimos: $$2x+4 > 10.$$ Restando 4: $$2x > 6.$$ Dividiendo entre 2: $$x > 3,$$ que se expresa como $x\in\langle 3;+\infty\rangle$.