Funciones reales II

Una función puede tener una regla muy complicada, pero en los problemas de admisión aparecen con mayor frecuencia algunas familias de funciones cuya gráfica es reconocible. Aprenderlas tiene una ventaja enorme: en lugar de tabular diez valores, puedes dibujar la gráfica a partir de tres o cuatro datos clave: vértices, pendientes, cortes con los ejes, asíntotas, etc.

Las funciones que estudiaremos en este tema son:

• Función constante e identidad
• Función lineal
• Función cuadrática
• Función valor absoluto
• Función raíz cuadrada
• Función racional básica $f(x)=\dfrac{k}{x}$
• Función inversa y composición

Para cada una veremos su definición, su dominio, su rango, su gráfica característica y los métodos para transformarla.

Función constante

Una función constante es aquella que siempre devuelve el mismo valor:

$$f(x)=c,$$

donde $c$ es un número real fijo.

Dominio: $\mathbb{R}$, porque podemos evaluar $f$ en cualquier número real.

Rango: $\{c\}$, es decir, un conjunto con un único valor.

Gráfica: una recta horizontal a la altura $y=c$.

Por ejemplo, $f(x)=12$ tiene por gráfica una recta horizontal que cruza el eje $Y$ en $12$. Aunque parezca demasiado simple, en el examen suelen aparecer funciones que, después de simplificarlas, resultan ser constantes.

Un ejemplo importante es el uso de la identidad de Legendre:

$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2=ab.$$

Esta igualdad proviene de la diferencia de cuadrados:

$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = \left(\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}\right) \left(\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2}\right) = a\cdot b.$$

Así, una función como

$$f(x)=\left(\frac{3x+\frac{1}{x}}{2}\right)^2-\left(\frac{3x-\frac{1}{x}}{2}\right)^2$$

se simplifica a

$$f(x)=3x\cdot \frac{1}{x}=3,$$

de modo que en realidad es una función constante $f(x)=3$. Esta simplificación es exactamente el tipo de recurso algebraico que aparece en los problemas de identificación de gráficas.

Función identidad

La función identidad es

$$f(x)=x.$$

A cada número real le asigna ese mismo número.

Dominio: $\mathbb{R}$.

Rango: $\mathbb{R}$.

Gráfica: la recta diagonal que pasa por el origen y forma $45^\circ$ con el eje $X$. Es la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

La función identidad es importante porque la composición de una función con su inversa da la identidad: $f^{-1}(f(x))=x$. Es decir, la identidad representa “no cambiar nada”.

Una función lineal es de la forma

$$f(x)=mx+b,$$

donde $m$ y $b$ son constantes reales. Algunos textos reservan el nombre “función afín” para el caso $b\neq 0$, pero en los cursos preuniversitarios peruanos se llama simplemente función lineal.

Interpretación de $m$ y $b$

• $b$ es el corte con el eje $Y$. En efecto, $f(0)=b$.
• $m$ es la pendiente: indica cuánto cambia $f(x)$ por cada unidad que aumenta $x$.

Si $m>0$, la función es creciente. Si $m<0$, la función es decreciente. Si $m=0$, la función es constante.

Para dos puntos distintos $(x_1,f(x_1))$ y $(x_2,f(x_2))$, la pendiente se calcula como

$$m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$$

Cortes con los ejes

• Eje $Y$: se obtiene evaluando $x=0$. Es el punto $(0,b)$.
• Eje $X$: se obtiene resolviendo $f(x)=0$:

$$mx+b=0 \quad \Longrightarrow \quad x=-\frac{b}{m}.$$

Ese es el punto $\left(-\frac{b}{m},0\right)$.

Dominio y rango

Si $m\neq 0$, la función lineal tiene:

$$\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}, \qquad \operatorname{Ran}(f)=\mathbb{R}.$$

Si $m=0$, el rango es $\{b\}$.

Área con los ejes coordenados

La gráfica de una función lineal, junto con los ejes $X$ e $Y$, forma un triángulo rectángulo (salvo que la recta pase por el origen). Los catetos miden:

$$|b| \quad \text{y} \quad \left|-\frac{b}{m}\right|.$$

Por lo tanto, el área es

$$A=\frac{1}{2}|b|\left|\frac{b}{m}\right| =\frac{b^2}{2|m|}.$$

Ejemplo numérico. Para $f(x)=-3x+6$, el corte con el eje $Y$ es $6$ y el corte con el eje $X$ es $2$. Entonces:

$$A=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2=6 \ \text{unidades cuadradas}.$$

La gráfica de una función lineal es siempre una línea recta. Para trazarla basta ubicar los dos cortes con los ejes y unirlos con una regla.

Lectura de una gráfica lineal

Si te dan una recta en el plano, puedes hallar su regla de correspondencia identificando dos puntos y calculando:

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

Luego se reemplaza un punto en $f(x)=mx+b$ para despejar $b$.

Por ejemplo, si una recta pasa por $(1,4)$ y $(3,10)$, entonces:

$$m=\frac{10-4}{3-1}=3.$$

Usando $(1,4)$:

$$4=3(1)+b \quad \Longrightarrow \quad b=1.$$

Por lo tanto, $f(x)=3x+1$.

Una función cuadrática es de la forma

$$f(x)=ax^2+bx+c,$$

donde $a\neq 0$. Su gráfica es una parábola.

Forma canónica

Completando cuadrados, toda función cuadrática se puede escribir como

$$f(x)=a(x-h)^2+k.$$

Aquí:

$$h=-\frac{b}{2a}, \qquad k=f(h)=\frac{4ac-b^2}{4a}.$$

El punto $(h,k)$ es el vértice de la parábola.

Orientación y rango

• Si $a>0$, la parábola abre hacia arriba y el vértice es el punto más bajo. Entonces el rango es $[k,+\infty)$.
• Si $a<0$, la parábola abre hacia abajo y el vértice es el punto más alto. Entonces el rango es $(-\infty,k]$.

En cualquier caso:

$$\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}.$$

Eje de simetría

La recta vertical $x=h$ es el eje de simetría de la parábola. Esto significa que si ubicamos dos valores de $x$ simétricos respecto a $h$, sus imágenes son iguales:

$$f(h+t)=f(h-t).$$

Cortes con los ejes

• Eje $Y$: es $c$, porque $f(0)=c$.
• Eje $X$: se resuelve $ax^2+bx+c=0$. Dependiendo del discriminante $\Delta=b^2-4ac$, la parábola puede cortar al eje $X$ en dos puntos, en uno solo (tangente) o en ninguno.

Si $\Delta=0$, la ecuación tiene raíz doble y la parábola es tangente al eje $X$. Esta interpretación geométrica del discriminante es útil en problemas donde se muestra una gráfica que toca el eje $X$ en un único punto.

Método para graficar una función cuadrática

1. Identificar $a$, $b$ y $c$.
2. Calcular el vértice $(h,k)$.
3. Hallar el corte con el eje $Y$.
4. Hallar los cortes con el eje $X$, si existen.
5. Ubicar algunos puntos simétricos alrededor del vértice.
6. Trazar la parábola.

Ejemplo numérico. Para $f(x)=x^2-6x+5$:

$$h=-\frac{-6}{2}=3.$$

Evaluamos en $3$:

$$k=f(3)=9-18+5=-4.$$

Entonces el vértice es $(3,-4)$. Como $a=1>0$, la parábola abre hacia arriba. El corte con el eje $Y$ es $5$. Los cortes con el eje $X$ se obtienen de:

$$x^2-6x+5=0$$

cuyas raíces son $x=1$ y $x=5$. Por lo tanto, la parábola pasa por $(1,0)$, $(5,0)$, $(0,5)$ y tiene vértice $(3,-4)$.

Funciones que parecen cuadráticas pero no lo son

Un error común es lanzarse a graficar sin simplificar. Por ejemplo:

$$f(x)=(x-1)^2-x^2+2x.$$

Al expandir y simplificar:

$$f(x)=x^2-2x+1-x^2+2x=1.$$

Por lo tanto, la gráfica no es una parábola, sino una recta horizontal a la altura $1$. Esta estrategia de simplificación es muy evaluada.

El valor absoluto de un número real se define como

$$|x|= \begin{cases} x, & \text{si } x\ge 0,\\ -x, & \text{si } x<0. \end{cases}$$

Geométricamente, $|x|$ es la distancia del número $x$ al origen.

Propiedades básicas

• $|x|\ge 0$ para todo $x$.
• $|x|=0$ si y solo si $x=0$.
• $|x|^2=x^2$.
• $|ab|=|a||b|$.
• $|a+b|\le |a|+|b|$ (desigualdad triangular).
• $|x-a|$ es la distancia entre $x$ y $a$.

Gráfica de $f(x)=|x|$

La función $f(x)=|x|$ tiene por gráfica una V con vértice en el origen. Para $x\ge 0$ coincide con $y=x$, y para $x<0$ coincide con $y=-x$.

Dominio: $\mathbb{R}$.

Rango: $[0,+\infty)$.

Transformaciones: $f(x)=a|x-h|+k$

La gráfica de

$$f(x)=a|x-h|+k$$

es una V con:

• Vértice: $(h,k)$.
• Si $a>0$, la V abre hacia arriba; si $a<0$, abre hacia abajo.
• Las pendientes de las ramas son $a$ y $-a$.

Por ejemplo, en $f(x)=|x-2|+3$, el vértice es $(2,3)$. No es $(-2,3)$. Este es un error clásico: el valor que resta a $x$ dentro del valor absoluto es la coordenada $h$ del vértice.

Dominio: $\mathbb{R}$.

Rango:

• Si $a>0$: $[k,+\infty)$.
• Si $a<0$: $(-\infty,k]$.

Método para graficar

1. Reescribir la función en la forma $a|x-h|+k$.
2. Ubicar el vértice $(h,k)$.
3. Determinar si abre hacia arriba o hacia abajo según el signo de $a$.
4. Evaluar uno o dos puntos a cada lado del vértice o usar las pendientes $a$ y $-a$.
5. Si el dominio está restringido, considerar únicamente los extremos del intervalo.

Ejemplo numérico. Para $f(x)=5-|x-4|$, reescribimos:

$$f(x)=-|x-4|+5.$$

El vértice es $(4,5)$ y la V abre hacia abajo. Si el dominio es $[0,9]$, evaluamos los extremos:

$$f(0)=5-|0-4|=5-4=1,$$

$$f(9)=5-|9-4|=5-5=0.$$

Entonces la gráfica es una V invertida que baja desde $(4,5)$ hasta $(0,1)$ y $(9,0)$.

), con vértice $(4,5)$, extremo izquierdo $(0,1)$ y extremo derecho $(9,0)$.]

Este tipo de gráfica se usa para calcular distancias o longitudes de recorridos, como ocurre en problemas de móviles.

Área con el eje $X$

Si una función valor absoluto tiene la forma

$$f(x)=a|x-h|+k$$

y su V apunta hacia abajo, puede formar un triángulo con el eje $X$. Para calcular el área:

1. Hallar los cortes con el eje $X$ resolviendo $f(x)=0$.
2. Tomar la distancia entre esos cortes como base.
3. La altura es la distancia desde el vértice hasta el eje $X$, es decir, $|k|$.

Ejemplo. Para $f(x)=2|x-1|-4$, resolvemos:

$$2|x-1|-4=0 \quad \Longrightarrow \quad |x-1|=2.$$

Entonces:

$$x-1=2 \quad \text{ó} \quad x-1=-2,$$

de donde $x=3$ o $x=-1$. La base mide $3-(-1)=4$. El vértice es $(1,-4)$, así que la altura es $4$. El área es

$$A=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8.$$

La función raíz cuadrada es

$$f(x)=\sqrt{x}.$$

Aquí $\sqrt{x}$ es el número real no negativo cuyo cuadrado es $x$. Por lo tanto, solo está definida para $x\ge 0$.

Dominio: $[0,+\infty)$.

Rango: $[0,+\infty)$.

Gráfica: la mitad superior de una parábola horizontal. Pasa por los puntos $(0,0)$, $(1,1)$, $(4,2)$, $(9,3)$, etc.

Transformaciones: $f(x)=a\sqrt{x-h}+k$

La gráfica de

$$f(x)=a\sqrt{x-h}+k$$

se obtiene desplazando la curva básica $\sqrt{x}$.

• El punto inicial es $(h,k)$.
• La curva se extiende hacia la derecha.
• Si $a>0$, crece; si $a<0$, decrece.

Dominio:

$$\operatorname{Dom}(f)=[h,+\infty),$$

porque dentro de la raíz debe cumplirse $x-h\ge 0$.

Rango:

• Si $a>0$: $[k,+\infty)$.
• Si $a<0$: $(-\infty,k]$.

Ejemplo numérico. Para $f(x)=-\sqrt{x+2}+1$, el punto inicial es $(-2,1)$. El dominio es $[-2,+\infty)$ y el rango es $(-\infty,1]$, porque la curva desciende desde $y=1$.

Método para graficar

1. Ubicar el punto inicial $(h,k)$.
2. Elegir valores cómodos de $x-h$: $0,1,4,9$.
3. Calcular los correspondientes valores de $f(x)$.
4. Unir los puntos formando una curva suave que se va aplanando.

Otra función notable es

$$f(x)=\frac{k}{x},$$

donde $k\neq 0$.

Dominio: $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, porque no se puede dividir entre cero.

Rango: $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, porque $k/x$ nunca es cero.

Gráfica: una hipérbola equilátera, con dos ramas separadas por los ejes.

• Si $k>0$, las ramas están en el primer y tercer cuadrantes.
• Si $k<0$, las ramas están en el segundo y cuarto cuadrantes.

Las rectas $x=0$ y $y=0$ son asíntotas: la gráfica se acerca a ellas sin tocarlas.

Transformaciones: $f(x)=\frac{k}{x-h}+a$

La gráfica de

$$f(x)=\frac{k}{x-h}+a$$

es una hipérbola con:

• Asíntota vertical: $x=h$.
• Asíntota horizontal: $y=a$.

Dominio: $\mathbb{R}\setminus\{h\}$.

Rango: $\mathbb{R}\setminus\{a\}$.

Ejemplo numérico. Para $f(x)=\frac{2}{x}+3$:

• Asíntota vertical: $x=0$.
• Asíntota horizontal: $y=3$.
• Como $k=2>0$, las ramas están en el primer y tercer cuadrantes desplazados.

Evaluando algunos puntos: $f(1)=5$, $f(2)=4$, $f(-1)=1$, $f(-2)=2$.

Esta función aparece con menos frecuencia que las anteriores, pero es útil para leer gráficas con asíntotas y para entender dominios restringidos.

La composición de dos funciones consiste en aplicar una función después de la otra. Si tenemos $f$ y $g$, la composición

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

significa: primero evaluamos $g$ en $x$, y al resultado le aplicamos $f$.

Ejemplo numérico. Si $f(x)=2x+5$ y $g(x)=x^2$, entonces:

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2)=2x^2+5,$$

pero

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(2x+5)=(2x+5)^2.$$

Este ejemplo muestra que, en general,

$$f\circ g \neq g\circ f.$$

El orden importa.

Dominio de la composición

Para que $(f\circ g)(x)$ esté definido, deben cumplirse dos condiciones:

• $x$ debe estar en el dominio de $g$.
• $g(x)$ debe estar en el dominio de $f$.

Es decir,

$$\operatorname{Dom}(f\circ g) = \{x\in \operatorname{Dom}(g): g(x)\in \operatorname{Dom}(f)\}.$$

En problemas sencillos se usa la regla después de simplificar, pero conviene recordar esta restricción.

La composición es la operación que se aplica al “encadenar” funciones, y es fundamental para entender la función inversa.

Idea intuitiva

La función inversa “deshace” lo que hace la función original. Por ejemplo, si $f(x)=2x+3$, para obtener $x$ a partir de $y=2x+3$ debemos restar $3$ y dividir entre $2$:

$$x=\frac{y-3}{2}.$$

Esa nueva regla es la función inversa de $f$.

Condición para que exista inversa

No toda función tiene inversa. Para que exista, la función debe ser biyectiva:

• Inyectiva: si $f(x_1)=f(x_2)$, entonces $x_1=x_2$. Gráficamente, ninguna recta horizontal puede cortar la gráfica en más de un punto.
• Sobreyectiva: su rango debe coincidir con el conjunto de llegada.

Si $f:A\to B$ es biyectiva, existe $f^{-1}:B\to A$ tal que

$$f^{-1}(y)=x \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=y.$$

Propiedades de la inversa

Si $f$ y $f^{-1}$ son inversas:

$$(f^{-1}\circ f)(x)=x \quad \text{para todo } x\in A,$$

$$(f\circ f^{-1})(x)=x \quad \text{para todo } x\in B.$$

Además:

• $\operatorname{Dom}(f^{-1})=\operatorname{Ran}(f)$.
• $\operatorname{Ran}(f^{-1})=\operatorname{Dom}(f)$.

La gráfica de $f^{-1}$ es la reflexión de la gráfica de $f$ con respecto a la recta $y=x$.

Importante: notación

El símbolo $f^{-1}(x)$ no significa $\frac{1}{f(x)}$. Es simplemente la notación para la función inversa.

$$f^{-1}(x)\neq [f(x)]^{-1}.$$

Método para hallar la inversa

1. Escribir $y=f(x)$.
2. Intercambiar $x$ e $y$: $x=f(y)$.
3. Despejar $y$ en función de $x$.
4. Reescribir $y=f^{-1}(x)$.
5. Determinar el dominio y el rango de la inversa intercambiando los de $f$.

Ejemplo. Para $f(x)=3x+10$:

$$y=3x+10.$$

Intercambiamos:

$$x=3y+10.$$

Despejamos $y$:

$$x-10=3y \quad \Longrightarrow \quad y=\frac{x-10}{3}.$$

Por lo tanto,

$$f^{-1}(x)=\frac{x-10}{3}.$$

Comprobamos:

$$f^{-1}(f(2))=f^{-1}(16)=\frac{16-10}{3}=2.$$

Inversa de una función cuadrática restringida

La función $f(x)=x^2$ no es inyectiva en todo $\mathbb{R}$, porque $f(2)=f(-2)=4$. Para invertirla, debemos restringir su dominio.

Si definimos

$$f(x)=x^2, \quad x\ge 0,$$

entonces ahora sí es inyectiva. Su inversa es

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x}, \quad x\ge 0.$$

En general, para invertir una función cuadrática de la forma

$$f(x)=a(x-h)^2+k,$$

restringimos el dominio a una de las ramas de la parábola: $x\ge h$ o $x\le h$.

Ejemplo. Para $f(x)=(x-3)^2+1$, con $x\ge 3$:

1. Escribimos $y=(x-3)^2+1$.
2. Despejamos $x$:

$$y-1=(x-3)^2.$$

Como $x\ge 3$, tenemos $x-3\ge 0$. Entonces:

$$x-3=\sqrt{y-1} \quad \Longrightarrow \quad x=3+\sqrt{y-1}.$$

3. Intercambiamos $x$ e $y$:

$$f^{-1}(x)=3+\sqrt{x-1}.$$

El dominio de $f^{-1}$ es $[1,+\infty)$, que es el rango de $f$.

Composición e inyectividad para despejar funciones

La composición permite “esconder” una función dentro de otra. Por ejemplo, si sabemos que

$$f(g(x))=(x-2)^3$$

y además $f(x)=x^3$, entonces:

$$f(g(x))=[g(x)]^3=(x-2)^3.$$

Como la función cubo es inyectiva, podemos igualar directamente:

$$g(x)=x-2.$$

Luego evaluamos $g$ en cualquier valor que se pida.