División algebraica II

La identidad fundamental no es solo una fórmula; es la definición misma de división. Nos dice que dividir bien es encontrar dos polinomios $q(x)$ y $R(x)$ que cumplan la igualdad. Si el residuo es cero, la división es exacta y podemos escribir

$$D(x)=d(x)q(x).$$

En ese caso, tanto $d(x)$ como $q(x)$ son factores de $D(x)$. Por ejemplo, si dividimos $x^3-3x+4$ entre $x^2+x-1$, obtenemos cociente $x-1$ y residuo $3-x$. Entonces

$$x^3-3x+4=(x^2+x-1)(x-1)+(3-x).$$

Verificar esta igualdad es una manera excelente de comprobar si una división fue correcta.

Evaluar la identidad en valores numéricos es un recurso muy potente. Si la igualdad

$$D(x)=d(x)q(x)+R(x)$$

es válida para todo $x$, también lo es para $x=1$, $x=-2$, o cualquier otro valor. En particular, si el divisor $d(x)$ se anula para cierto $x=a$, entonces

$$D(a)=0\cdot q(a)+R(a)=R(a).$$

Esta idea permite hallar coeficientes desconocidos en problemas de división algebraica sin necesidad de realizar toda la división. En el apartado de ejemplos resueltos veremos una aplicación concreta.

Otro uso importante: si al dividir $P(x)$ entre $d(x)$ el residuo es cero, podemos evaluar en los valores que anulan a $d(x)$ para obtener información sobre los factores. Esto conecta directamente con el Teorema del Factor y con la factorización.

En este curso, trabajaremos principalmente con polinomios definidos sobre $\mathbb{Z}$, es decir, polinomios cuyos coeficientes son números enteros.

Ejemplos

• $P(x)=2x^6-5x^4+7$ está definido sobre $\mathbb{Z}$, porque $2$, $-5$ y $7$ son enteros.
• $Q(x)=5x^4+3x^2+2$ también está definido sobre $\mathbb{Z}$.
• $R(x)=\frac{1}{2}x^3+4x-1$ no está definido sobre $\mathbb{Z}$, porque su coeficiente principal $\frac{1}{2}$ no es entero.

Importante: A menos que se indique lo contrario, cuando hablemos de factorización en este curso nos referiremos a factorización sobre $\mathbb{Z}$, es decir, buscando factores con coeficientes enteros.

Factorizar un polinomio significa transformarlo en una multiplicación de polinomios más simples, llamados factores. Un polinomio está completamente factorizado cuando todos sus factores son factores primos, es decir, cuando ninguno de ellos puede descomponerse a su vez en $\mathbb{Z}$.

Ahora debemos distinguir dos conceptos que suelen confundirse.

Factor algebraico (F.A.)

Un polinomio $f(x)$ de grado mayor o igual que 1 es factor algebraico de $P(x)$ si la división $P(x)\div f(x)$ es exacta, es decir, si $P(x)=f(x)\cdot g(x)$ para algún polinomio $g(x)$.

Ejemplo: ¿Es $x-1$ factor de $x^6-5x^4+4$?

Por el Teorema del Resto, evaluamos $x=1$ en el polinomio:

$$1^6-5(1)^4+4=1-5+4=0.$$

El residuo es cero, luego la división es exacta y $x-1$ es factor algebraico de $x^6-5x^4+4$.

Observación: Un factor algebraico no tiene que ser necesariamente un factor primo. Por ejemplo, en

$$P(x)=(x+2)(x+3),$$

los factores algebraicos son $x+2$, $x+3$ y también el producto $(x+2)(x+3)$. Todos dividen exactamente a $P(x)$.

Factor primo (F.P.)

Un polinomio $f(x)$ es factor primo de $P(x)$ si cumple dos condiciones:

1. Es un factor algebraico de $P(x)$ (divide exactamente a $P(x)$).
2. No se puede descomponer en $\mathbb{Z}$, es decir, no puede escribirse como producto de dos polinomios de grado positivo con coeficientes enteros.

Ejemplo: En $P(x)=(x+6)(x+1)$, los factores $x+6$ y $x+1$ son primos, porque son lineales y ningún polinomio lineal se puede descomponer sobre $\mathbb{Z}$. En cambio, el factor $(x+6)(x+1)$ es algebraico pero no es primo, porque se puede descomponer.

Propiedades para reconocer factores primos en $\mathbb{Z}$:

1. Todo polinomio lineal de la forma $ax+b$, con $a\neq0$, es primo en $\mathbb{Z}$. Ejemplos: $x+6$, $x-1$, $2x+3$, $x+y+5$.

2. Todo polinomio de la forma $x^2+a$, con $a>0$, es primo en $\mathbb{Z}$ (y también en $\mathbb{R}$). Ejemplos: $x^2+1$, $x^2+4$, $x^2+7$, $x^2+y^2$. No se factorizan sobre los enteros porque no tienen raíces enteras y no corresponden a una diferencia de cuadrados.

3. Si $P(x)=[f(x)]^m[g(x)]^n$ y tanto $f(x)$ como $g(x)$ son primos, entonces $f(x)$ y $g(x)$ son los factores primos de $P(x)$, independientemente de los exponentes.

Ejemplo: En $P(x)=(x-4)^3(x^2+3)^2$, los factores primos son $x-4$ y $x^2+3$. El factor $(x-4)^3$ no es primo porque es una potencia de un primo.

Factorizar es transformar un polinomio en una multiplicación de sus factores primos o de sus potencias. Es decir, el resultado final debe estar expresado como producto de polinomios irreducibles en $\mathbb{Z}$.

Ejemplos:

Existen varios métodos para factorizar polinomios. La elección del método depende del número de términos y de la estructura del polinomio. A continuación desarrollamos los más usados en el nivel preuniversitario.

I. Método del factor común

Es el método más básico. Consiste en extraer el factor que se repite en todos los términos del polinomio. Si un mismo factor aparece con distintos exponentes, se extrae el de menor exponente.

Ejemplo 1: Factorizar $P(x;y)=xy+7y$.

Ambos términos contienen $y$. Extraemos $y$:

$$P(x;y)=xy+7y=y(x+7).$$

Los factores primos son $y$ y $x+7$.

Ejemplo 2: Factorizar $P(x;y)=x^4y^5+2x^3y^6$.

Los términos comparten $x$ e $y$. Los exponentes de $x$ son 4 y 3; se extrae $x^3$. Los exponentes de $y$ son 5 y 6; se extrae $y^5$. Así,

$$P(x;y)=x^3y^5(x+2y).$$

Los factores primos son $x$, $y$ y $x+2y$.

Observación: Si el factor común es un monomio, se debe extraer el máximo común divisor de los coeficientes y las variables con el menor exponente. Si es un polinomio, se extrae con su menor exponente.

II. Método del agrupamiento

Cuando no hay un factor común en todos los términos, podemos agrupar términos de manera que en cada grupo aparezca un factor común.

Ejemplo 1: Factorizar $P(x)=x^3+x^2+x+1$.

Agrupamos los dos primeros y los dos últimos:

$$P(x)=(x^3+x^2)+(x+1)=x^2(x+1)+1(x+1).$$

Ahora observamos que $(x+1)$ es factor común:

$$P(x)=(x+1)(x^2+1).$$

Los factores primos son $x+1$ y $x^2+1$, ya que $x^2+1$ es de la forma $x^2+a$ con $a>0$.

Ejemplo 2: Factorizar $M(a,b)=a^2b^2+4b^2+a^2+4$.

Agrupamos convenientemente:

$$M=a^2b^2+a^2+4b^2+4 = a^2(b^2+1)+4(b^2+1).$$

Extraemos el factor común $b^2+1$:

$$M=(b^2+1)(a^2+4).$$

Los factores primos son $b^2+1$ y $a^2+4$.

III. Método de las identidades

Consiste en usar los productos notables en sentido inverso. Los más frecuentes son:

• Trinomio cuadrado perfecto:
  $$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2,\qquad a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.$$

• Diferencia de cuadrados:
  $$a^2-b^2=(a+b)(a-b).$$

• Suma y diferencia de cubos:
  $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

Ejemplo 1: Factorizar $M(x)=x^2+6x+9$.

Reconocemos un trinomio cuadrado perfecto:

$$M(x)=x^2+6x+9=(x+3)^2.$$

El factor primo es $x+3$.

Ejemplo 2: Factorizar $P(x)=x^2-81$.

Es una diferencia de cuadrados:

$$P(x)=x^2-9^2=(x+9)(x-9).$$

Los factores primos son $x+9$ y $x-9$.

Ejemplo 3: Factorizar $F(x)=x^6-1$.

Primero reconocemos una diferencia de cuadrados con $x^3$ y $1$:

$$F(x)=(x^3)^2-1^2=(x^3-1)(x^3+1).$$

Luego aplicamos diferencia y suma de cubos:

$$F(x)=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1).$$

Los factores primos son $x-1$, $x+1$, $x^2+x+1$ y $x^2-x+1$.

IV. Método del aspa simple

Se aplica a trinomios de la forma $ax^2+bx+c$, donde $a$, $b$, $c$ son enteros y $a\neq0$. La idea es descomponer el trinomio como producto de dos binomios lineales. Para ello buscamos pares de factores de $a$ y de $c$ tales que, al multiplicar en aspa, la suma de los productos cruzados sea igual a $b$.

Procedimiento paso a paso:

1. Descomponer el primer término $ax^2$ en dos factores.
2. Descomponer el término independiente $c$ en dos factores.
3. Verificar que la suma de los productos en aspa sea igual a $bx$.
4. Escribir los factores como $(px+r)(qx+s)$.

Ejemplo 1: Factorizar $P(x)=3x^2+10x+8$.

Descomponemos $3x^2=3x\cdot x$ y $8=4\cdot 2$. Ubicamos:

$$\begin{array}{c|c} 3x & 4 \\ x & 2 \end{array}$$

Calculamos los productos cruzados:

$$3x\cdot 2=6x,\qquad x\cdot 4=4x.$$

Suma: $6x+4x=10x$. Coincide con el término central. Por lo tanto,

$$P(x)=(3x+4)(x+2).$$

Los factores primos son $3x+4$ y $x+2$.

Ejemplo 2: Factorizar $M(x;y)=x^2-2xy-8y^2$.

Tratamos a $y$ como constante. Descomponemos $x^2=x\cdot x$ y $-8y^2=-4y\cdot 2y$:

$$\begin{array}{c|c} x & -4y \\ x & 2y \end{array}$$

Productos cruzados: $x\cdot 2y=2xy$, $x\cdot (-4y)=-4xy$. Suma: $2xy-4xy=-2xy$. Coincide. Luego,

$$M(x;y)=(x-4y)(x+2y).$$

Los factores primos son $x-4y$ y $x+2y$.

Ejemplo 3: Factorizar $Q(x)=x^4-13x^2+36$.

Se trata de un trinomio de grado 4, pero con forma de trinomio cuadrático en $x^2$. Tomamos $x^2$ como variable. Descomponemos $x^4=x^2\cdot x^2$ y $36=(-9)\cdot(-4)$:

$$\begin{array}{c|c} x^2 & -9 \\ x^2 & -4 \end{array}$$

Productos cruzados: $x^2\cdot (-4)=-4x^2$, $x^2\cdot (-9)=-9x^2$. Suma: $-13x^2$. Entonces,

$$Q(x)=(x^2-9)(x^2-4).$$

Como ambos factores son diferencias de cuadrados, factorizamos completamente:

$$Q(x)=(x+3)(x-3)(x+2)(x-2).$$

Los factores primos son $x+3$, $x-3$, $x+2$ y $x-2$.

Nota 1: Polinomios cuadráticos irreducibles en $\mathbb{Z}$

Si un polinomio de grado 2 no se puede factorizar en $\mathbb{Z}$ mediante el aspa simple, entonces su único factor primo es el mismo polinomio. Por ejemplo:

• $P(x)=x^2+2x+3$ no se factoriza en $\mathbb{Z}$, porque su discriminante $2^2-4(1)(3)=-8$ no es cuadrado perfecto y no hay raíces enteras. Su factor primo es él mismo.
• $N(x)=x^2-x+1$ tampoco se factoriza en $\mathbb{Z}$; su factor primo es él mismo.

Nota 2: Polinomios de cuatro términos y el aspa simple

En algunos casos, un polinomio de cuatro o más términos puede factorizarse agrupando y luego aplicando aspa simple. Por ejemplo:

$$P(x)=x^3+x^2+x+1.$$

Podemos agrupar como en el método de agrupamiento:

$$P(x)=x^2(x+1)+1(x+1)=(x^2+1)(x+1).$$

Aquí se obtiene sin aspa simple, pero en otros casos conviene reordenar. Por ejemplo,

$$Q(x)=x^5-x^3+x^2-1.$$

Agrupamos:

$$Q(x)=x^3(x^2-1)+1(x^2-1)=(x^3+1)(x^2-1).$$

Luego factorizamos la suma y la diferencia de cubos/cuadrados:

$$Q(x)=(x+1)(x^2-x+1)(x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)(x^2-x+1).$$

Los factores primos son $x+1$, $x-1$ y $x^2-x+1$.

La factorización por división sintética (Ruffini) es una de las herramientas más importantes para polinomios de grado mayor o igual a 3. Se basa directamente en el Teorema del Factor: si $P(a)=0$, entonces $x-a$ es un factor de $P(x)$ y, al dividir $P(x)$ entre $x-a$, obtenemos un cociente $q(x)$ tal que

$$P(x)=(x-a)q(x).$$

Luego se factoriza $q(x)$ por los métodos anteriores. Este procedimiento se repite hasta que todos los factores sean primos.

Estrategia general:

1. Evalúa el polinomio en los divisores del término independiente (si el coeficiente principal es 1) o en números como $1$, $-1$, $2$, $-2$, etc.
2. Cuando encuentres un valor $a$ tal que $P(a)=0$, divide $P(x)$ entre $x-a$ usando Ruffini.
3. Repite el proceso con el cociente obtenido hasta llegar a un polinomio de grado 2 que puedas factorizar por aspa simple o identidades.

Ejemplo: Factorizar $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$.

Evaluamos $P(1)=1-6+11-6=0$. Entonces $x-1$ es factor. Dividimos por Ruffini:

$$\begin{array}{c|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array}$$

El cociente es $x^2-5x+6$. Factorizamos por aspa simple:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

Por lo tanto,

$$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3).$$

Los factores primos son $x-1$, $x-2$ y $x-3$.

Observación: Este método es especialmente útil en problemas de admisión donde se pide factorizar completamente un polinomio de grado 3 o 4. Saber reconocer los divisores del término independiente ahorra mucho tiempo.

Para determinar si hemos terminado de factorizar, debemos verificar que cada factor obtenido sea primo en $\mathbb{Z}$. Los criterios prácticos son:

1. Factores lineales: todo polinomio de la forma $ax+b$ con $a\neq0$ es primo.
2. Factores cuadráticos: un polinomio $ax^2+bx+c$ es primo en $\mathbb{Z}$ si no se puede factorizar por aspa simple y su discriminante no es un cuadrado perfecto.
3. Factores de la forma $x^2+a$ con $a>0$: son primos en $\mathbb{Z}$ y en $\mathbb{R}$.
4. Potencias de primos: si un factor aparece elevado a un exponente, su base es el factor primo; la potencia no es un factor primo distinto.

Ejemplo: En $P(x)=(x+1)^2(x^2+1)$, los factores primos son $x+1$ y $x^2+1$, no $(x+1)^2$.