Polinomios I: valor numérico

Una variable es un símbolo que puede tomar diferentes valores numéricos. Por lo general se usan las últimas letras del alfabeto: $x, y, z$. Una constante es un símbolo cuyo valor permanece fijo; por ejemplo, los números reales $3, -5, \pi, \frac{1}{2}$, o letras como $a,b,c$ cuando así se indique.

Cuando una expresión algebraica contiene variables, es necesario indicar cuáles son. Para ello se usa la notación matemática: escribimos $P(x)$ para indicar que $P$ es una expresión que depende de la variable $x$. En $P(x)=3x^2-5x+7$, la variable es $x$; las constantes son $3, -5, 7$. Si la expresión depende de dos variables, escribimos $P(x;y)$ o $P(x,y)$.

Ejemplos:

• $P(x;y)=4x^3y-2y^2$: variables $x,y$; constantes $4,-2$.
• $F(x+2)=3x^2+\frac{1}{4}$: aquí la variable del polinomio es $x+2$, no simplemente $x$. Esto será clave en el valor numérico compuesto.

El valor numérico de una expresión matemática es el resultado que se obtiene al reemplazar cada variable por un valor particular.

Formalmente: si $P(x)$ es un polinomio, el valor numérico de $P$ en $x=a$ se denota $P(a)$ y se obtiene sustituyendo todas las apariciones de $x$ por $a$.

Ejemplo 1: $P(x)=3x+4$.

• $P(5)=3(5)+4=15+4=19$.
• $P(-4)=3(-4)+4=-12+4=-8$.
• $P\left(\frac{7}{3}\right)=3\left(\frac{7}{3}\right)+4=7+4=11$.

Ejemplo 2 (dos variables): $Q(x;y)=x^2+xy+6$.

• $Q(2;4)= (2)^2 + (2)(4) + 6 = 4+8+6=18$.

Es esencial reemplazar todas las ocurrencias de la variable. Si olvidas una, el resultado es incorrecto.

2.1. Valor numérico con argumento compuesto

Muchas veces el polinomio no se presenta en la forma $P(x)$, sino como $P(x+a)$ o $P(ax+b)$. Por ejemplo, si te dan $Q(x+2)=5x+7$ y te piden $Q(6)$, no necesitas hallar la expresión de $Q(x)$. Basta con observar que el argumento de $Q$ es $x+2$. Para obtener $Q(6)$, igualamos $x+2=6$, de donde $x=4$. Luego sustituimos $x=4$ en la regla $5x+7$:

$$Q(6) = 5(4)+7 = 27.$$

En general, si te dan $P(f(x)) = g(x)$ y quieres $P(k)$, resuelve $f(x)=k$ para hallar el $x$ conveniente, y después evalúa $g(x)$ en ese valor.

Este método es muy usado en los exámenes de admisión.

Intuitivamente, un polinomio es una expresión algebraica donde las variables solo se suman, restan, multiplican y elevan a exponentes enteros no negativos.

Definición formal: Un polinomio en la variable $x$ es una expresión de la forma

$$P(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1 x + a_0,$$

donde $n$ es un entero no negativo y $a_0,a_1,\ldots,a_n$ son constantes llamadas coeficientes, con $a_n \neq 0$ si $n>0$.

Si $a_n \neq 0$, el grado del polinomio es $n$. El coeficiente $a_n$ se llama coeficiente principal (CP) y $a_0$ es el término independiente (TI).

Ejemplo: $P(x)=7x^3 -8x + 5x^4 -7x^6 + \sqrt{3}$.

• Grado: $6$ (mayor exponente).
• Coeficientes: $7, -8, 5, -7, \sqrt{3}$.
• Coeficiente principal: $-7$.
• Término independiente: $\sqrt{3}$.

Observa que el grado no depende del orden en que estén escritos los términos. Para identificar el coeficiente principal, ordenamos en forma descendente:

$$P(x) = -7x^6 + 5x^4 + 7x^3 -8x + \sqrt{3}.$$

3.1. ¿Qué no es un polinomio?

No son polinomios las expresiones donde una variable aparece:

• En el denominador: $\frac{1}{x}$, $\frac{x+2}{x-1}$.
• Con exponente negativo o fraccionario: $x^{-2}$, $x^{1/2}=\sqrt{x}$.
• Dentro de una raíz: $\sqrt{x}$, $\sqrt[3]{x^2}$.
• Con exponentes variables: $2^x$, $x^x$.

Ejemplos:

• $P(x)=3x^2+5x+1$ es polinomio.
• $Q(x)=\frac{2}{x}+x$ no lo es, porque $x$ aparece en el denominador.
• $R(x)=x^{1/2}-4$ no lo es, porque el exponente $1/2$ no es entero.

3.2. Tipos de polinomios por cantidad de términos

• Monomio: un solo término, por ejemplo $3x^2 y^4$.
• Binomio: dos términos, $3x^6+5x$.
• Trinomio: tres términos, $3xy+2y-y^5$.

Los polinomios de una variable de menor grado tienen nombres especiales y forma general:

En todos ellos, $a$ es el coeficiente principal. En el caso lineal, $b$ es el término independiente; en el cuadrático, $c$ es el término independiente; en el cúbico, $d$ lo es.

Polinomio mónico: un polinomio es mónico si su coeficiente principal es 1.

• $P(x)=x^2+7x-9$ es mónico.
• $R(x)=6x^2+x-9$ no es mónico, porque su coeficiente principal es 6.

Sea $P(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1 x + a_0$.

La suma de coeficientes de $P$ es la suma de todos los coeficientes, incluyendo el término independiente:

$$\mathrm{SC}(P) = a_n + a_{n-1} + \cdots + a_1 + a_0.$$

¿Cómo calcularla rápidamente? Si evaluamos $P(1)$:

$$P(1) = a_n(1)^n + a_{n-1}(1)^{n-1} + \cdots + a_1(1) + a_0 = a_n + a_{n-1} + \cdots + a_1 + a_0.$$

Por lo tanto:

$$\boxed{\mathrm{SC}(P) = P(1)}.$$

El término independiente es $a_0$. Si evaluamos $P(0)$:

$$P(0) = a_n(0)^n + a_{n-1}(0)^{n-1} + \cdots + a_1(0) + a_0 = a_0.$$

Así:

$$\boxed{\mathrm{TI}(P) = P(0)}.$$

Ejemplo: $P(x) = (2x-1)^{21} + (x-2)^4 + 5$.

• Suma de coeficientes: $P(1) = (2(1)-1)^{21} + (1-2)^4 + 5 = 1^{21} + (-1)^4 + 5 = 1+1+5=7$.
• Término independiente: $P(0) = (2(0)-1)^{21} + (0-2)^4 + 5 = (-1)^{21} + (-2)^4 + 5 = -1+16+5=20$.

Estas propiedades son fundamentales para resolver problemas de admisión, porque permiten obtener la suma de coeficientes o el término independiente sin expandir el polinomio.

5.1. Caso con argumento compuesto

Cuando el polinomio está definido mediante $P(ax+b)$, para hallar la suma de coeficientes y el término independiente de $P(x)$, igualamos $ax+b=1$ y $ax+b=0$, respectivamente.

Ejemplo: Si $P(x-3)=5x+6$, hallemos la suma de coeficientes y el término independiente de $P(x)$.

• Para la SC: queremos $P(1)$. Igualamos $x-3=1 \Rightarrow x=4$. Entonces $P(1)=5(4)+6=26$.
• Para el TI: queremos $P(0)$. Igualamos $x-3=0 \Rightarrow x=3$. Entonces $P(0)=5(3)+6=21$.

Así, $\mathrm{SC}(P)=26$ y $\mathrm{TI}(P)=21$.

Al enfrentar un problema de polinomios y valor numérico, se recomiendan los siguientes pasos:

1. Identificar qué se pide: ¿un valor numérico concreto, la suma de coeficientes, el término independiente, una raíz?

2. Examinar la forma en que se presenta el polinomio: ¿está en $P(x)$ o en $P(\text{argumento compuesto})$? Si es compuesto, usa la técnica del $x$ conveniente.

3. Si piden suma de coeficientes, evalúa en $x=1$. Si piden término independiente, evalúa en $x=0$. Si el polinomio está dado como $P(ax+b)$, iguala el argumento a 1 o 0 y sustituye.

4. Si piden un valor numérico para un $x$ específico, sustituye directamente. Si el polinomio está definido de manera compuesta, iguala el argumento al valor deseado.

5. Si aparece la palabra “raíz”, plantea $P(a)=0$ y aprovecha el teorema del factor para factorizar.

6. Simplifica antes de evaluar cuando sea posible: factorizar, completar cuadrados o usar identidades puede reducir notablemente los cálculos.

6.1. Valor numérico y cambio de variable: estrategias avanzadas

A veces es más sencillo transformar la expresión algebraica antes de evaluar. Por ejemplo:

$F(x)=x^2+6x+9$. Si te piden $F(97)$, evalúa directamente:

$$97^2 + 6(97) + 9 = 9409 + 582 + 9 = 10000.$$

Pero es más rápido reconocer que $x^2+6x+9 = (x+3)^2$, entonces $F(97)=(97+3)^2=10000$.

Esta estrategia de factorizar o completar cuadrados se aplica con frecuencia para evitar cálculos aritméticos pesados.

También se pueden evaluar polinomios en otros polinomios: si $P(x)=x+3$, entonces $P(P(1)) = P(1+3) = P(4) = 4+3 = 7$. (Primero $P(1)=4$, luego $P(4)=7$).

6.2. Aplicaciones en contexto

Los problemas de admisión suelen presentar un polinomio que modela una magnitud real (dinero, personas, temperatura, etc.) y piden calcular valores concretos.

Un caso especial del valor numérico es cuando el resultado es $0$.

Definición: Un número $a$ es raíz (o cero) del polinomio $P(x)$ si $P(a)=0$.

Teorema del factor: $a$ es raíz de $P(x)$ si y solo si $(x-a)$ es factor de $P(x)$.

¿Por qué es importante? Porque si conocemos una raíz, podemos factorizar el polinomio y hallar las demás raíces. En los problemas de admisión, muchas veces se da una raíz o se deduce de la suma de coeficientes (porque $P(1)=0$ implica que $1$ es raíz).

Ejemplo: $P(x)=x^3-3x^2-x+3$.

Evaluemos $P(1)=1-3-1+3=0$. Entonces $1$ es raíz, y $(x-1)$ es factor. Factorizamos por agrupación:

$$x^3-3x^2-x+3 = x^2(x-3) -1(x-3) = (x-3)(x^2-1) = (x-3)(x-1)(x+1).$$

Las raíces son $3, 1, -1$. En este caso, $3$ es la mayor raíz.

Método general para hallar raíces:

1. Evalúa $P(1)$ (por la suma de coeficientes) y $P(0)$ (por el término independiente).
2. Si $P(a)=0$, divide o factoriza usando $(x-a)$.
3. Repite con el polinomio resultante.

Dos polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ son idénticos si tienen los mismos coeficientes para cada potencia de $x$. Equivalentemente, $P(\alpha)=Q(\alpha)$ para todo $\alpha \in \mathbb{R}$.

Un polinomio es idénticamente nulo si todos sus coeficientes son cero. Es decir, $P(x)=0$ para todo $x$. Esto se usa para hallar parámetros igualando coeficientes.

Ejemplo: Si $P(x)=(3a-6)x^2 + (6b+18)x - (a+c)$ es idénticamente nulo, entonces:

$$3a-6=0,\quad 6b+18=0,\quad -(a+c)=0,$$

de donde $a=2$, $b=-3$, $c=-a=-2$.

Estos conceptos, aunque no aparecen directamente en las preguntas reales mostradas, son herramientas básicas que se aplican en la resolución de problemas de polinomios de grados.