Factorización II

Sea $P(x)$ un polinomio de grado mayor o igual que $1$. Decimos que un número $a$ es raíz de $P(x)$ si

$$P(a)=0.$$

Por ejemplo:

• En $P(x)=x^3-4x^2+x+6$, el número $-1$ es raíz porque

  $$P(-1)=(-1)^3-4(-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0.$$

• En $Q(x)=x^2-5x+6$, los números $2$ y $3$ son raíces, porque

  $$Q(2)=4-10+6=0 \quad\text{y}\quad Q(3)=9-15+6=0.$$

Una misma palabra, “raíz”, se usa también para las soluciones de la ecuación $P(x)=0$. Por ejemplo, las raíces de $x^2-5x+6$ son las soluciones de $x^2-5x+6=0$, es decir, $x=2$ y $x=3$.

No todo número es raíz de un polinomio. Por ejemplo, $1$ no es raíz de $P(x)=x^3-4x^2+x+6$, porque $P(1)=4$, no $0$.

El teorema del factor es el puente entre las raíces y la factorización.

Si $a$ es raíz de $P(x)$, entonces $x-a$ es un factor de $P(x)$. Equivalentemente, existe otro polinomio $Q(x)$ tal que

$$P(x)=(x-a)Q(x).$$

¿De dónde sale esto? Por el teorema del resto, el resto de dividir $P(x)$ entre $x-a$ es $P(a)$. Si $P(a)=0$, entonces la división es exacta, es decir, $x-a$ divide a $P(x)$.

También vale el recíproco: si $x-a$ es un factor de $P(x)$, entonces al evaluar en $x=a$ se obtiene $P(a)=0$.

Ejemplo:

Sabemos que $-1$ es raíz de

$$P(x)=x^3-4x^2+x+6.$$

Entonces, por el teorema del factor, $x+1$ es un factor de $P(x)$. Dividiendo por Ruffini obtenemos

$$P(x)=(x+1)(x^2-5x+6).$$

Luego, el segundo factor se puede factorizar por aspa simple:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

Por lo tanto,

$$P(x)=(x+1)(x-2)(x-3).$$

Este teorema también se usa para hallar parámetros. Por ejemplo, si nos dicen que $x-2$ es factor de

$$P(x)=x^3+mx+2,$$

entonces $P(2)=0$. Reemplazando:

$$2^3+m(2)+2=0,$$

$$8+2m+2=0,$$

de donde $m=-5$.

El teorema del factor resuelve la mitad del problema: si encontramos una raíz, encontramos un factor. Pero ¿cómo encontramos raíces sin probar infinitos números?

Para polinomios con coeficientes enteros, existe un criterio que nos da una lista finita de candidatos.

Sea

$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,$$

con coeficientes enteros, $a_n\neq 0$ y $a_0\neq 0$. Si $p/q$ es una raíz racional de $P(x)$, con $p$ y $q$ primos entre sí, entonces:

• $p$ es un divisor del término independiente $a_0$,
• $q$ es un divisor del coeficiente principal $a_n$.

Por lo tanto, las posibles raíces racionales son:

$$\operatorname{PRR}=\left\{ \pm\frac{\text{Divisores de } |a_0|} {\text{Divisores de } |a_n|} \right\}.$$

La idea puede justificarse de manera intuitiva: al sustituir $x=p/q$ en $P(x)=0$ y multiplicar todo por $q^n$, se obtiene una suma de enteros. El primer término queda $a_np^n$, y todos los demás tienen factor $q$. Al despejar ese primer término, resulta que $q$ debe dividir a $a_n$. De manera análoga, el último término $a_0q^n$ fuerza a que $p$ divida a $a_0$.

Ejemplo:

Para

$$P(x)=2x^3+x^2-13x+6,$$

el término independiente es $6$ y el coeficiente principal es $2$. Entonces:

$$\operatorname{PRR}= \frac{\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\}} {\{\pm1,\pm2\}}.$$

Simplificando, los candidatos son:

$$\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6,\ \pm\frac12,\ \pm\frac32.$$

Más adelante probaremos cuáles de estos candidatos son realmente raíces.

Casos importantes

• Si el polinomio es mónico, es decir, su coeficiente principal es $1$, entonces las únicas posibles raíces racionales son los divisores del término independiente, con signo positivo o negativo.
• Si el término independiente es $0$, entonces $0$ es raíz y conviene extraer factor común $x$ antes de continuar.
• Las PRR son solo candidatas, no todas tienen por qué ser raíces.

Por ejemplo, en

$$P(x)=x^2-2,$$

las PRR son $\pm1,\pm2$. Pero ninguna de ellas es raíz, porque las raíces reales son $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$, que son irracionales. Esto muestra que el método de divisores binómicos solo detecta raíces racionales.

El método de los divisores binómicos es un procedimiento para factorizar polinomios de grado mayor o igual que $3$ que tengan al menos una raíz racional.

Pasos del método

1. Ordenar y completar el polinomio. Si falta un término, se coloca su coeficiente como $0$.
2. Calcular las PRR usando el criterio anterior.
3. Probar los candidatos evaluando $P(a)$ o aplicando Ruffini hasta encontrar uno que dé resto $0$.
4. Dividir el polinomio entre $x-a$ aplicando Ruffini.
5. Repetir el proceso sobre el cociente si este aún es factorizable.
6. Expresar la factorización final como producto de factores primos.

Ejemplo guiado

Factoriza

$$P(x)=x^3-4x^2+x+6.$$

Este es mónico, así que las PRR son los divisores de $6$:

$$\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6.$$

Probamos $x=1$:

$$P(1)=1-4+1+6=4\neq0.$$

Probamos $x=-1$:

$$P(-1)=-1-4-1+6=0.$$

Entonces $-1$ es raíz y $x+1$ es factor. Dividimos por Ruffini con $-1$:

$$\begin{array}{c|rrrr} -1 & 1 & -4 & 1 & 6 \\ & & -1 & 5 & -6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array}$$

Obtenemos

$$P(x)=(x+1)(x^2-5x+6).$$

El cociente $x^2-5x+6$ se factoriza por aspa simple:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

Finalmente,

$$P(x)=(x+1)(x-2)(x-3).$$

Cuando el coeficiente principal no es 1

Factoriza

$$P(x)=2x^3+5x^2-4x-3.$$

Las PRR son:

$$\frac{\text{divisores de }3}{\text{divisores de }2} = \frac{\{\pm1,\pm3\}}{\{\pm1,\pm2\}},$$

es decir,

$$\pm1,\ \pm3,\ \pm\frac12,\ \pm\frac32.$$

Probamos $x=1$:

$$P(1)=2+5-4-3=0.$$

Entonces $x-1$ es factor. Dividimos por Ruffini con $1$:

$$\begin{array}{c|rrrr} 1 & 2 & 5 & -4 & -3 \\ & & 2 & 7 & 3 \\ \hline & 2 & 7 & 3 & 0 \end{array}$$

Luego,

$$P(x)=(x-1)(2x^2+7x+3).$$

Factorizamos el cociente por aspa simple:

$$2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3).$$

Por lo tanto,

$$P(x)=(x-1)(2x+1)(x+3).$$

Raíz fraccionaria y ajuste del factor

A veces la raíz encontrada es una fracción. En ese caso, conviene expresar el factor correspondiente con coeficientes enteros.

Factoriza

$$P(x)=6x^3+5x^2-2x-1.$$

Las PRR son:

$$\pm1,\ \pm\frac12,\ \pm\frac13,\ \pm\frac16.$$

Probamos $x=\frac12$:

$$P\left(\frac12\right) = 6\left(\frac18\right)+5\left(\frac14\right)-2\left(\frac12\right)-1 = \frac34+\frac54-1-1=0.$$

Entonces $x-\frac12$ es factor. Dividimos por Ruffini con $\frac12$:

$$\begin{array}{c|rrrr} \frac12 & 6 & 5 & -2 & -1 \\ & & 3 & 4 & 1 \\ \hline & 6 & 8 & 2 & 0 \end{array}$$

Obtenemos

$$P(x)=\left(x-\frac12\right)(6x^2+8x+2).$$

Para expresar en enteros, escribimos

$$x-\frac12=\frac12(2x-1).$$

Además,

$$6x^2+8x+2=2(3x^2+4x+1).$$

Como $\frac12 \cdot 2=1$, se simplifica:

$$P(x)=(2x-1)(3x^2+4x+1).$$

Finalmente,

$$3x^2+4x+1=(3x+1)(x+1),$$

por lo que

$$P(x)=(2x-1)(3x+1)(x+1).$$

Este ajuste es importante: si la raíz es $p/q$, el factor con coeficientes enteros es $qx-p$, no $x-p/q$ aislado.

En muchos problemas de admisión se pide factorizar “sobre $\mathbb{Z}$”. Esto significa que los factores obtenidos deben tener coeficientes enteros.

Un factor primo es un factor no constante que ya no se puede descomponer más dentro de $\mathbb{Z}$. Por ejemplo:

• $x-2$ es factor primo.
• $2x-1$ es factor primo en $\mathbb{Z}$, porque para factorizarlo como $2(x-\frac12)$ se necesitaría un coeficiente fraccionario.
• $x^2+1$ es factor primo en $\mathbb{Z}$ y en $\mathbb{R}$, porque no se puede factorizar en polinomios con coeficientes reales.
• Las constantes, como $2$, $4$ o $-1$, no se consideran factores primos en estos problemas.

Así, si factorizamos

$$P(x)=4x^2-4=4(x-1)(x+1),$$

los factores primos son

$$x-1 \quad\text{y}\quad x+1,$$

sin contar el $4$.

Cuando un problema pide la suma de factores primos, se suman esos factores primos distintos, no sus potencias. Por ejemplo, en

$$P(x)=x^3(x-1)^2,$$

los factores primos son $x$ y $x-1$, no $x^3$ ni $(x-1)^2$.

El método de divisores binómicos no reemplaza a los criterios del tema anterior, sino que se combina con ellos. En la práctica, la mayoría de problemas exige aplicar varios recursos en cadena.

6.1 Extraer factor común antes de buscar raíces

Factoriza

$$P(x)=x^4-5x^3+6x^2.$$

Primero extraemos factor común $x^2$:

$$P(x)=x^2(x^2-5x+6).$$

Ahora el segundo factor se factoriza por aspa simple:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

Por lo tanto,

$$P(x)=x^2(x-2)(x-3).$$

Los factores primos son $x$, $x-2$ y $x-3$.

6.2 Agrupación e identidades en polinomios de dos variables

Algunos polinomios de dos variables se factorizan combinando factor común y agrupación.

Factoriza

$$P(x;y)=x^4y^3+3x^3y^3+x^3y^4+3x^2y^4.$$

Extraemos el factor común $x^2y^3$:

$$P(x;y)=x^2y^3(x^2+3x+xy+3y).$$

Agrupamos dentro del paréntesis:

$$x^2+3x+xy+3y=x(x+3)+y(x+3).$$

Luego,

$$x(x+3)+y(x+3)=(x+3)(x+y).$$

Por lo tanto,

$$P(x;y)=x^2y^3(x+3)(x+y).$$

6.3 Aspa simple con coeficientes literales

En la factorización por aspa simple pueden aparecer constantes literales. Por ejemplo, para factorizar

$$mnx^2-(m+n)x+1,$$

buscamos dos binomios de la forma $(ax+b)(cx+d)$. Si probamos con

$$(mx-1)(nx-1),$$

obtenemos:

$$(mx-1)(nx-1)=mnx^2-mx-nx+1=mnx^2-(m+n)x+1.$$

Por lo tanto,

$$mnx^2-(m+n)x+1=(mx-1)(nx-1).$$

6.4 Cambio de variable

Algunos polinomios se vuelven más manejables si se introduce una nueva variable para una expresión repetida.

Factoriza

$$P(x)=(x^2+x+1)^2-3x(x+1)-1.$$

Observa que $x(x+1)=x^2+x$. Hacemos

$$u=x^2+x.$$

Entonces,

$$P(x)=(u+1)^2-3u-1.$$

Desarrollamos:

$$(u+1)^2-3u-1=u^2+2u+1-3u-1=u^2-u.$$

Factorizamos:

$$u^2-u=u(u-1).$$

Devolvemos el cambio:

$$P(x)=(x^2+x)(x^2+x-1).$$

Además,

$$x^2+x=x(x+1).$$

Por lo tanto,

$$P(x)=x(x+1)(x^2+x-1).$$

6.5 Uso del teorema del factor para hallar parámetros

Si nos dicen que $x-a$ es factor de un polinomio con un parámetro, la forma más rápida de hallar ese parámetro es usar

$$P(a)=0.$$

Ejemplo breve:

Si $x-3$ es factor de

$$P(x)=x^3+ax^2-5x+a+3,$$

entonces

$$P(3)=0.$$

Reemplazamos:

$$27+9a-15+a+3=0.$$

$$10a+15=0,$$

de donde

$$a=-\frac32.$$