Áreas de regiones planas I: regiones triangulares

¿Qué es una región plana?

Una región plana es una porción del plano limitada por una línea cerrada llamada contorno. Por ejemplo, un terreno rectangular, un parque semicircular o un logo publicitario son regiones planas. De una región plana podemos calcular dos cosas distintas:

• Perímetro: longitud del contorno.
• Área: medida de la superficie encerrada.

No hay que confundirlos: dos figuras pueden tener el mismo perímetro y áreas muy distintas.

El área se expresa en unidades cuadradas: $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{u}^2$, etc.

Regiones equivalentes

Dos regiones se llaman equivalentes si tienen la misma área, aunque tengan formas completamente distintas. Por ejemplo, un rectángulo de $3\ \text{m}\times 4\ \text{m}$ y un triángulo de base $6\ \text{m}$ y altura $4\ \text{m}$ tienen ambos área $12\ \text{m}^2$. Son equivalentes, no congruentes.

Región triangular

Una región triangular es la figura formada por un triángulo y su interior. Cuando hablamos de «área del triángulo», en geometría nos referimos al área de la región triangular.

Muchos problemas de regiones sombreadas se resuelven descomponiendo la figura en piezas simples y sumando o restando áreas. Conviene tener a la mano estas fórmulas.

El cuadrado y el rectángulo son las unidades básicas. El área de un rectángulo se obtiene multiplicando su base por su altura; si sus lados se miden en metros, el área queda en metros cuadrados.

La fórmula más importante de todo el tema es:

$$S_{\triangle ABC}=\frac{b\cdot h}{2}$$

donde $b$ es la longitud de un lado tomado como base y $h$ es la longitud de la altura relativa a ese lado.

¿De dónde sale?

Un triángulo rectángulo es la mitad de un rectángulo. Si un rectángulo tiene base $b$ y altura $h$, su área es $bh$. Al trazar una diagonal, se forman dos triángulos rectángulos congruentes, cada uno con área $\dfrac{bh}{2}$.

Para un triángulo cualquiera, se puede trazar una altura que lo divide en dos triángulos rectángulos. Si la base total es $b$ y la altura es $h$, la suma de las áreas de los dos triángulos rectángulos vuelve a ser $\dfrac{bh}{2}$.

Condiciones de aplicación

La altura debe ser perpendicular a la base elegida. No importa si cae dentro del triángulo, fuera o coincide con uno de los lados. Lo esencial es la perpendicularidad.

Ejemplo numérico. Si un triángulo tiene base $10\ \text{cm}$ y altura relativa $6\ \text{cm}$, su área es

$$S=\frac{10\cdot 6}{2}=30\ \text{cm}^2.$$

Cuando se conocen dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos, el área se puede calcular sin necesidad de hallar la altura:

$$S=\frac{1}{2}\,a\,b\,\sen C$$

Aquí $a$ y $b$ son dos lados y $C$ es el ángulo entre ellos.

Deducción

Sea $a=BC$, $b=AC$ y $h$ la altura relativa al lado $AC$. En el triángulo rectángulo formado por la altura, se tiene

$$h=a\,\sen C.$$

Sustituyendo en la fórmula básica $S=\dfrac{bh}{2}$, resulta

$$S=\frac{b\cdot a\,\sen C}{2} =\frac{1}{2}\,a\,b\,\sen C.$$

Es importante que el ángulo sea el comprendido entre los dos lados usados. Si se usa otro ángulo, la fórmula no es válida.

Ejemplo numérico. Si $a=4\ \text{cm}$, $b=7\ \text{cm}$ y el ángulo comprendido mide $30^\circ$,

$$S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 7\cdot \sen 30^\circ =\frac{1}{2}\cdot 28\cdot \frac{1}{2} =7\ \text{cm}^2.$$

Un caso particular muy frecuente es el triángulo equilátero. Si su lado mide $\ell$, su área es

$$S=\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4}.$$

Deducción

En un triángulo equilátero, la altura divide a la base en dos segmentos de $\dfrac{\ell}{2}$. Aplicando Pitágoras, la altura $h$ cumple:

$$h^2+\left(\frac{\ell}{2}\right)^2=\ell^2$$

de donde

$$h=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}.$$

Entonces,

$$S=\frac{\ell\cdot \frac{\ell\sqrt{3}}{2}}{2} =\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4}.$$

Ejemplo numérico. Si $\ell=10\ \text{cm}$,

$$S=\frac{10^2\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}\ \text{cm}^2.$$

También es útil recordar las expresiones en función del circunradio $R$ y del inradio $r$:

$$S=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2, \qquad S=3\sqrt{3}\,r^2.$$

Se obtienen al sustituir $\ell=R\sqrt{3}$ y $\ell=2r\sqrt{3}$ en la fórmula anterior.

Cuando solo se conocen los tres lados del triángulo, la herramienta natural es la fórmula de Herón:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

donde $a$, $b$, $c$ son los lados y $p$ es el semiperímetro:

$$p=\frac{a+b+c}{2}.$$

¿Cuándo usarla?

Se usa cuando no se conoce ninguna altura, pero sí los tres lados. Es especialmente útil en triángulos como el de lados $5$, $6$ y $7$, donde no hay ángulos notables.

Ejemplo numérico. Para $a=5$, $b=6$, $c=7$,

$$p=\frac{5+6+7}{2}=9.$$

Entonces,

$$S=\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} =\sqrt{9\cdot 4\cdot 3\cdot 2} =\sqrt{216} =6\sqrt{6}.$$

No es necesario factorizar el radicando si se puede calcular directamente; lo importante es que $p$ sea el semiperímetro, no el perímetro completo.

Hay tres fórmulas adicionales que relacionan el área con el inradio, el circunradio y el exradio.

Con el inradio

Si $r$ es el inradio del triángulo, entonces

$$S=pr.$$

Deducción. El incentro está a distancia $r$ de los tres lados. Al unir el incentro con los tres vértices, el triángulo se descompone en tres triángulos cuyas bases son $a$, $b$, $c$ y cuya altura común es $r$. Por lo tanto,

$$S=\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2} =\frac{(a+b+c)r}{2} =pr.$$

Esta fórmula es muy práctica cuando ya se conoce el área por Herón y se pide el inradio.

Ejemplo numérico. En el triángulo de lados $13$, $14$, $15$, se tiene $p=21$ y $S=84$. Por tanto,

$$r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4.$$

Con el circunradio

Si $R$ es el circunradio del triángulo, entonces

$$S=\frac{abc}{4R}.$$

Deducción. Por la ley de senos, $a=2R\sen A$. Usando la fórmula trigonométrica con los lados $b$ y $c$,

$$S=\frac{1}{2}\,bc\,\sen A =\frac{1}{2}\,bc\cdot \frac{a}{2R} =\frac{abc}{4R}.$$

Ejemplo numérico. En un triángulo rectángulo de catetos $6\ \text{cm}$ y $8\ \text{cm}$, la hipotenusa es $10\ \text{cm}$. Su circunradio es la mitad de la hipotenusa: $R=5\ \text{cm}$. Entonces,

$$S=\frac{6\cdot 8\cdot 10}{4\cdot 5} =\frac{480}{20} =24\ \text{cm}^2,$$

que coincide con $\dfrac{6\cdot 8}{2}$.

Con un exradio

Si $r_a$ es el exradio relativo al lado $a$, se cumple

$$S=r_a(p-a).$$

No es de uso tan frecuente en los exámenes de San Marcos, pero conviene saber que existe. Se deduce descomponiendo el triángulo con ayuda del excírculo correspondiente.

Muchas preguntas de admisión no piden simplemente el área de un triángulo aislado, sino el área de una región sombreada dentro de un cuadrado, un rectángulo, una semicircunferencia o un logotipo. Para resolverlas, conviene seguir este método:

1. Identificar las piezas simples: triángulos, cuadrados, rectángulos, sectores circulares.
2. Calcular sus áreas con las fórmulas correspondientes.
3. Sumar o restar áreas para obtener la región pedida.
4. Si hay una cuadrícula, usar el dato de que cada cuadrícula tiene área conocida; muchas veces se puede trasladar una pieza curva o triangular sobre la cuadrícula.

Regiones curvas

Cuando una región está limitada por arcos de cuadrantes, semicircunferencias o por una semicircunferencia y un triángulo, suelen aplicarse dos ideas:

• El área de un cuadrante de radio $r$ es $\dfrac{\pi r^2}{4}$.
• El área de una región limitada por un arco y una cuerda se obtiene restando el área del triángulo correspondiente al sector circular.

En un triángulo inscrito en una semicircunferencia, todo ángulo inscrito que abarca el diámetro mide $90^\circ$. Eso convierte al triángulo en rectángulo, y se pueden usar las relaciones métricas del triángulo rectángulo para hallar sus lados o su altura.