Pirámide regular

Imagina un cuadrado dibujado en un plano. Coloca verticalmente un punto $V$ sobre el centro del cuadrado. Si unes $V$ con los cuatro vértices del cuadrado, se forman cuatro triángulos laterales que, junto con el cuadrado de la base, encierran un sólido: una pirámide cuadrangular regular.

En general, una pirámide es un poliedro que tiene:

• una base que es un polígono cualquiera;
• caras laterales que son triángulos con un vértice común $V$;
• una altura, que es la perpendicular trazada desde $V$ al plano de la base.

La pirámide se nombra indicando el vértice y los vértices de la base. Por ejemplo, $V-ABCD$ es una pirámide cuyo vértice es $V$ y cuya base es el polígono $ABCD$.

Los elementos fundamentales son:

• Vértice o cúspide: punto común $V$.
• Base: polígono $ABCD\ldots$
• Caras laterales: triángulos que comparten el vértice $V$.
• Aristas laterales: segmentos desde $V$ hasta los vértices de la base.
• Aristas básicas: lados del polígono de la base.
• Altura: perpendicular desde $V$ al plano de la base.

Las pirámides se clasifican por su base en triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc. También se clasifican según la posición de su altura:

• Pirámide recta: el pie de la altura coincide con el centroide de la base.
• Pirámide oblicua: el pie de la altura no coincide con el centroide de la base.

Dentro de las pirámides rectas, si además la base es un polígono regular, se obtiene la pirámide regular.

Una pirámide regular es aquella que cumple dos condiciones:

Su base es un polígono regular y su altura cae en el centro de dicha base.

En otras palabras, es una pirámide recta cuya base es regular. El pie $O$ de la altura es entonces el centro de la base, es decir, el centro de las circunferencias inscrita y circunscrita al polígono regular.

Piensa en una pirámide cuadrangular regular: la base es un cuadrado y el pie de la altura es el punto donde se cruzan las diagonales del cuadrado. Si la altura no cayera en ese centro, la pirámide no sería regular, aunque su base fuera un cuadrado.

Consecuencias importantes

En toda pirámide regular se cumplen propiedades muy usadas en los problemas.

1. Las aristas laterales son congruentes.
   Si $O$ es el centro de la base y $A,B,C,\ldots$ son vértices de la base, entonces las distancias $OA,OB,OC,\ldots$ son iguales entre sí, porque en un polígono regular todos los vértices están a la misma distancia del centro. Como la altura $VO$ es común, los triángulos rectángulos $VOA,VOB,VOC,\ldots$ son congruentes. Por lo tanto, sus hipotenusas son iguales: $$VA=VB=VC=\cdots$$

2. Las caras laterales son triángulos isósceles congruentes.
   Cada cara lateral tiene como base un lado del polígono regular y como lados iguales dos aristas laterales. Además, la altura de cada una de esas caras laterales es la misma.

3. Existen dos apotemas que no deben confundirse.

   • La apotema de la pirámide, que denotaremos $A_p$, es la altura de cada cara lateral. Une el vértice $V$ con el punto medio de una arista básica.
   • La apotema de la base, que denotaremos $a_b$, es la distancia del centro $O$ de la base a un lado. Es la apotema del polígono regular de la base.

Esta distinción es fundamental: muchos errores provienen de usar $a_b$ cuando se necesita $A_p$, o viceversa.

El alma de los problemas de pirámide regular está en identificar los triángulos rectángulos que se forman en su interior.

3.1 Triángulo formado por la altura, la apotema de la base y la apotema de la pirámide

Sea $M$ el punto medio de un lado de la base. En una pirámide regular:

• $VO\perp$ plano de la base, por lo tanto $VO\perp OM$.
• $OM$ es la apotema de la base: $OM=a_b$.
• $VM$ es la apotema de la pirámide: $VM=A_p$.
• $VO$ es la altura: $VO=h$.

Así se forma el triángulo rectángulo $VOM$, recto en $O$, y se cumple: $$A_p^2=h^2+a_b^2$$ o equivalentemente: $$A_p=\sqrt{h^2+a_b^2}$$

Ejemplo rápido. En una pirámide cuadrangular regular de lado $10$ y altura $12$, la apotema de la base es $a_b=5$. Luego: $$A_p=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$$

3.2 Triángulo formado por la altura, el circunradio y la arista lateral

Si $A$ es un vértice de la base y $O$ es el centro, entonces $OA=R$ es el circunradio del polígono regular. El triángulo $VOA$ es rectángulo en $O$. Si la arista lateral mide $e$, entonces: $$e^2=h^2+R^2$$

Ejemplo rápido. En la misma pirámide cuadrangular de lado $10$ y altura $12$, el circunradio del cuadrado es $R=\frac{10\sqrt2}{2}=5\sqrt2$. Entonces: $$e=\sqrt{12^2+(5\sqrt2)^2}=\sqrt{144+50}=\sqrt{194}$$

3.3 Triángulo rectángulo en cada cara lateral

En una cara lateral, la apotema $A_p$ es perpendicular a la arista básica en su punto medio. Por lo tanto, si la arista básica mide $\ell$ y la arista lateral mide $e$, en el triángulo rectángulo de catetos $A_p$ y $\frac{\ell}{2}$ e hipotenusa $e$ se cumple: $$e^2=A_p^2+\left(\frac{\ell}{2}\right)^2$$

3.4 Ángulos usuales

En una pirámide regular se trabajan dos ángulos principales:

• $\alpha$: ángulo entre una arista lateral y el plano de la base.
• $\beta$: ángulo diedro entre una cara lateral y el plano de la base.

Para $\alpha$, el triángulo $VOA$ da: $$\tan\alpha=\frac{h}{R},\qquad \sin\alpha=\frac{h}{e},\qquad \cos\alpha=\frac{R}{e}$$

Para $\beta$, el triángulo $VOM$ da: $$\tan\beta=\frac{h}{a_b},\qquad \sin\beta=\frac{h}{A_p},\qquad \cos\beta=\frac{a_b}{A_p}$$

El ángulo diedro $\beta$ es muy frecuente en los exámenes. Para visualizarlo: la cara lateral y la base se intersecan en una arista básica; $VM$ es perpendicular a esa arista en la cara lateral y $OM$ es perpendicular a esa arista en la base. Por eso, el ángulo entre $VM$ y $OM$ representa el diedro entre esas dos caras.

4.1 Deducción del área lateral

En una pirámide regular, todas las caras laterales son triángulos isósceles congruentes. Si la base tiene $n$ lados y cada lado mide $\ell$, entonces cada cara lateral tiene:

• base $\ell$;
• altura $A_p$ (apotema de la pirámide);
• área $\frac{\ell\cdot A_p}{2}$.

Como hay $n$ caras laterales: $$A_L=n\cdot \frac{\ell\cdot A_p}{2}$$

Pero $n\ell$ es el perímetro de la base. Si llamamos $p$ al semiperímetro de la base, entonces $p=\frac{n\ell}{2}$. Sustituyendo: $$A_L=p\cdot A_p$$

Es decir:

El área lateral de una pirámide regular es igual al semiperímetro de la base multiplicado por la apotema de la pirámide.

Ejemplo rápido. En una pirámide cuadrangular regular de lado $10$ y apotema $13$, el semiperímetro de la base es $p=\frac{4\cdot10}{2}=20$. Luego: $$A_L=20\cdot13=260$$

4.2 Área de la base

Como la base es un polígono regular, su área se puede calcular con: $$B_{\text{base}}=p\cdot a_b$$ donde $p$ es el semiperímetro de la base y $a_b$ es la apotema de la base.

También puedes usar las fórmulas directas de la tabla inicial según la forma de la base.

4.3 Área total

El área total es la suma del área lateral y el área de la base: $$A_T=A_L+B_{\text{base}}$$

Ejemplo rápido. Para la pirámide cuadrangular de lado $10$ y apotema $13$: $$A_L=260,\qquad B_{\text{base}}=10^2=100$$ $$A_T=260+100=360$$

Para cualquier pirámide, sea regular o no, el volumen se calcula con la misma fórmula: $$V=\frac{1}{3}B_{\text{base}}\cdot h$$

Donde:

• $B_{\text{base}}$ es el área de la base;
• $h$ es la altura de la pirámide.

La justificación intuitiva es que un prisma de igual base y altura puede descomponerse en tres pirámides de igual volumen. Por eso aparece el factor $\frac13$.

Ejemplo rápido. Una pirámide cuadrangular regular tiene lado de base $10$ y altura $12$. Su área de base es $B=100$. Entonces: $$V=\frac{1}{3}\cdot100\cdot12=400$$

Si una pirámide se corta con un plano paralelo al plano de la base, se obtienen dos cuerpos:

• una pirámide menor, semejante a la original, con vértice en el mismo punto $V$;
• un tronco de pirámide, que es la parte restante.

La sección producida por el plano es un polígono semejante a la base.

Si la pirámide original tiene altura $H$ y la pirámide menor tiene altura $h$, se define la razón de semejanza: $$k=\frac{h}{H}$$

Como todas las longitudes correspondientes se escalan en la misma razón $k$, se cumple:

$$\frac{\text{lado de la sección}}{\text{lado de la base original}}=k$$

$$\frac{\text{área de la sección}}{\text{área de la base original}}=k^2$$

$$\frac{\text{volumen de la pirámide menor}}{\text{volumen de la pirámide original}}=k^3$$

Ejemplo rápido. Si un plano paralelo corta a una pirámide exactamente a la mitad de su altura, medida desde el vértice, entonces $k=\frac12$. Por lo tanto:

• el lado de la nueva base es la mitad del original;
• el área de la nueva base es $\frac14$ del área original;
• el volumen de la pirámide menor es $\frac18$ del volumen original.

Esta semejanza es la base para deducir las fórmulas del tronco de pirámide.

7.1 Definición

Un tronco de pirámide regular es la parte de una pirámide regular comprendida entre la base y un plano paralelo a la base que corta a todas las aristas laterales sin pasar por el vértice.

Por lo tanto, un tronco de pirámide regular tiene:

• dos bases que son polígonos regulares paralelos y semejantes;
• caras laterales que son trapecios isósceles congruentes;
• una altura $h_t$, que es la distancia perpendicular entre las dos bases.

7.2 Apotema del tronco

La apotema del tronco, denotada $A_t$, es la altura de cada trapecio lateral. No es lo mismo que la altura $h_t$ del tronco.

Para calcularla, considera la sección que pasa por los centros de las bases y por los puntos medios de dos lados correspondientes. Se forma un trapecio rectángulo de altura $h_t$ y bases $a_1$ y $a_2$, donde:

• $a_1$ es la apotema de la base menor;
• $a_2$ es la apotema de la base mayor.

La apotema del tronco es el lado inclinado de ese trapecio rectángulo. Por el teorema de Pitágoras: $$A_t^2=h_t^2+(a_2-a_1)^2$$

Si $\beta$ es el ángulo diedro entre una cara lateral y la base, entonces también: $$\sin\beta=\frac{h_t}{A_t}$$ porque $h_t$ es el cateto opuesto al ángulo $\beta$ y $A_t$ es la hipotenusa del triángulo rectángulo correspondiente.

Ejemplo rápido. En un tronco de pirámide cuadrangular regular, las bases tienen lados $20$ y $10$, y la arista lateral mide $13$. En cada trapecio lateral, la diferencia horizontal entre las bases es $\frac{20-10}{2}=5$. Luego: $$A_t=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$$

7.3 Área lateral y área total del tronco

Cada cara lateral es un trapecio con bases $\ell_1$ y $\ell_2$ y altura $A_t$. Si hay $n$ caras laterales, la suma de sus áreas es: $$A_L=n\cdot\left(\frac{\ell_1+\ell_2}{2}\right)A_t$$

Si:

• $p_1$ es el semiperímetro de la base mayor;
• $p_2$ es el semiperímetro de la base menor;

entonces: $$A_L=(p_1+p_2)\cdot A_t$$

El área total se obtiene sumando las áreas de las dos bases: $$A_T=A_L+B_1+B_2$$

donde $B_1$ y $B_2$ son las áreas de las bases.

Ejemplo rápido. Para el tronco anterior, de bases cuadradas de lados $20$ y $10$:

• semiperímetro mayor: $p_1=40$;
• semiperímetro menor: $p_2=20$;
• apotema del tronco: $A_t=12$.

Entonces: $$A_L=(40+20)\cdot 12=720$$

Las áreas de las bases son: $$B_1=20^2=400,\qquad B_2=10^2=100$$

Por lo tanto: $$A_T=720+400+100=1220$$

7.4 Volumen del tronco de pirámide regular

El volumen de un tronco de pirámide regular se puede obtener como la diferencia entre el volumen de la pirámide grande y el de la pirámide menor que se retiró.

Si:

• $B_1$ es el área de la base mayor;
• $B_2$ es el área de la base menor;
• $h_t$ es la altura del tronco;

entonces: $$V_{\text{tronco}}=\frac{h_t}{3}\left(B_1+B_2+\sqrt{B_1B_2}\right)$$

La deducción proviene de la semejanza de pirámides. Si la pirámide original tiene altura $H$ y la pirámide menor removida tiene altura $h$, entonces: $$\frac{h}{H}=\frac{\sqrt{B_2}}{\sqrt{B_1}}$$ y además $h_t=H-h$. Al restar los volúmenes $\frac13B_1H$ y $\frac13B_2h$, se obtiene la fórmula anterior.

Ejemplo rápido. Un tronco de pirámide cuadrangular regular tiene bases de lados $12$ y $6$, y altura $4$. Las áreas de las bases son: $$B_1=12^2=144,\qquad B_2=6^2=36$$ Entonces: $$V_{\text{tronco}}=\frac{4}{3}\left(144+36+\sqrt{144\cdot36}\right)$$ $$V_{\text{tronco}}=\frac{4}{3}(144+36+72)=\frac{4}{3}\cdot252=336$$