Circunferencia

Imagina una cuerda tensa atada a un punto fijo en el suelo: al girar el otro extremo manteniendo la cuerda estirada, se traza una curva cerrada. Todos los puntos de esa curva están a la misma distancia del punto fijo. Eso es una circunferencia.

Formalmente:

Definición. La circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia constante se llama radio.

Es importante distinguir la circunferencia del círculo: la circunferencia es solo la línea curva; el círculo es la región interior encerrada por esa línea. En los problemas de admisión a veces se pide el área del círculo, no de la circunferencia.

Medida de la circunferencia.
Una circunferencia completa tiene una medida angular de $360^\circ$. Su longitud se calcula con: $$L=2\pi r$$ donde $r$ es el radio.

Arco.
Un arco es una porción de la circunferencia limitada por dos puntos. Si los puntos son $A$ y $B$, el arco se denota $\widehat{AB}$. Un arco tiene:

• medida angular, igual a la medida del ángulo central que lo subtiende;
• longitud, que es la fracción de $2\pi r$ correspondiente a su medida angular.

Si un ángulo central de $\theta$ grados subtiende el arco $\widehat{AB}$, entonces: $$m\widehat{AB} = \theta$$ y la longitud del arco es: $$\ell_{\widehat{AB}} = \frac{\theta}{360^\circ}\cdot 2\pi r.$$ En radianes, la fórmula se simplifica a $\ell = \theta_{rad}\cdot r$.

Ejemplo numérico.
En una circunferencia de radio $6$ m, un ángulo central de $90^\circ$ determina un arco de longitud: $$\ell = \frac{90}{360}\cdot 2\pi(6) = \frac{1}{4}\cdot 12\pi = 3\pi \text{ m}.$$

Los elementos principales de una circunferencia son:

• Centro: punto fijo $O$.
• Radio: segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. Todos los radios miden lo mismo, $r$.
• Cuerda: segmento cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia.
• Diámetro: cuerda que pasa por el centro; es la cuerda de mayor longitud. Mide $2r$.
• Arco: porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos.
• Recta secante: recta que interseca a la circunferencia en dos puntos.
• Recta tangente: recta que interseca a la circunferencia en un solo punto, llamado punto de tangencia.
• Recta exterior: recta que no interseca a la circunferencia.
• Recta normal: recta perpendicular a la tangente en el punto de tangencia; pasa por el centro.

Una propiedad esencial que se deduce de la definición:

Propiedad de la tangente.
Si una recta es tangente a una circunferencia en $T$, entonces el radio $OT$ es perpendicular a la recta tangente.

Esta propiedad es una de las más usadas: cada vez que veas una tangente, traza el radio al punto de tangencia y marca el ángulo recto.

3.1. Diámetro perpendicular a una cuerda

Teorema.
Si un diámetro (o un radio) es perpendicular a una cuerda de la circunferencia, entonces biseca a la cuerda y a los arcos que sus extremos determinan. Recíprocamente, si un diámetro biseca una cuerda (que no sea diámetro), entonces es perpendicular a ella.

Idea de la justificación.
Sea $AB$ una cuerda y $OM\perp AB$, con $M$ en $AB$. El triángulo $OAB$ es isósceles porque $OA=OB=r$. En un triángulo isósceles, la perpendicular trazada desde el vértice a la base también es mediana; por tanto, $M$ es punto medio de $AB$, es decir, $AM=MB$. Además, por simetría, los arcos $\widehat{AM}$ y $\widehat{MB}$ son congruentes.

Ejemplo.
En una circunferencia de radio $10$, una cuerda dista $6$ del centro. Como la distancia del centro a la cuerda es el segmento perpendicular, la mitad de la cuerda es: $$\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8.$$ Por tanto, la longitud de la cuerda es $16$.

3.2. Cuerdas congruentes y cuerdas paralelas

Teorema de cuerdas congruentes.
En una misma circunferencia (o en circunferencias congruentes), dos cuerdas son congruentes si y solo si sus arcos correspondientes son congruentes y si y solo si equidistan del centro.

Justificación breve.
Los triángulos formados por el centro y los extremos de cada cuerda son isósceles. Si las cuerdas son iguales, los triángulos son congruentes por el criterio lado-lado-lado; por tanto, las alturas desde el centro (distancias a las cuerdas) son iguales.

Teorema de cuerdas paralelas.
Si dos cuerdas $AB$ y $CD$ son paralelas, entonces los arcos comprendidos entre sus extremos son congruentes: $$AB \parallel CD \quad \Rightarrow \quad \widehat{AC} \cong \widehat{BD}.$$ Esto se usa a menudo para transferir medidas de arcos y deducir igualdad de cuerdas.

3.3. Tangentes trazadas desde un punto exterior

Teorema.
Desde un punto exterior $P$ a una circunferencia se pueden trazar dos tangentes. Si $A$ y $B$ son los puntos de tangencia, entonces:

1. Los segmentos $PA$ y $PB$ son congruentes.
2. La recta $OP$ es bisectriz del ángulo $APB$.
3. La recta $OP$ es bisectriz del ángulo central $AOB$.

Justificación.
Los triángulos rectángulos $OAP$ y $OBP$ tienen:

• $OA=OB$ (radios),
• $OP$ común (hipotenusa).

Por el criterio hipotenusa-cateto, los triángulos son congruentes. Por tanto, $PA=PB$, y los ángulos en $P$ y en $O$ quedan divididos en partes iguales.

Ejemplo.
Si una circunferencia tiene radio $5$ y un punto $P$ está a $13$ del centro, la longitud de la tangente desde $P$ es: $$PA = \sqrt{OP^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{144}=12.$$

Cuando dos circunferencias están en un mismo plano, pueden adoptar varias posiciones según la distancia entre sus centros.

Sean dos circunferencias de centros $O_1,O_2$, radios $R$ y $r$ (con $R\ge r$), y distancia entre centros $d=O_1O_2$.

Propiedades importantes:

• En tangentes exteriores o tangentes interiores, el punto de tangencia $T$ está sobre la recta de los centros. Es decir, $O_1, T, O_2$ son colineales.
• En circunferencias secantes, la recta que une los centros es perpendicular a la cuerda común y la biseca.
• En circunferencias concéntricas, una cuerda de la circunferencia mayor tangente a la circunferencia menor es bisecada por el radio en el punto de tangencia, formándose un triángulo rectángulo.

Tangentes comunes.
Dos circunferencias pueden tener tangentes comunes:

• Tangentes exteriores comunes: tocan a ambas circunferencias por el mismo lado. Los segmentos entre los puntos de tangencia son congruentes.
• Tangentes interiores comunes: se cruzan entre las circunferencias. Se cortan en un punto de la recta de los centros, y desde ese punto los segmentos a los puntos de tangencia son congruentes.

Cálculo de la longitud de una tangente común exterior.
Si dos circunferencias son tangentes exteriores de radios $R$ y $r$, la distancia entre centros es $d=R+r$. Al trazar la tangente común exterior y los radios a los puntos de tangencia, se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es $d$ y uno de los catetos es la diferencia de radios $R-r$. El otro cateto es la longitud de la tangente común. Por Pitágoras: $$\text{longitud de la tangente} = \sqrt{d^2 - (R-r)^2}.$$

Ejemplo.
Dos circunferencias tangentes exteriores de radios $6$ y $2$: la distancia entre centros es $8$, la diferencia de radios es $4$; la tangente común exterior mide $\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$.

En un triángulo se pueden definir tres tipos de circunferencias importantes.

5.1. Circunferencia inscrita (inradio $r$)

Es la circunferencia tangente a los tres lados del triángulo. El triángulo se llama triángulo circunscrito a la circunferencia.

• El centro es el incentro, punto de intersección de las bisectrices interiores.
• El radio $r$ es el inradio.
• El radio es perpendicular a cada lado en el punto de tangencia.

Propiedad fundamental de tangencia en el triángulo.
Desde cada vértice, los dos segmentos tangentes a la circunferencia inscrita son congruentes. Si el triángulo tiene lados $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$, y semiperímetro $s=(a+b+c)/2$, entonces:

• Desde el vértice $A$, los segmentos de tangencia sobre $AB$ y $AC$ miden $s-a$.
• Desde $B$, miden $s-b$.
• Desde $C$, miden $s-c$.

Justificación.
Sean $x$, $y$, $z$ las longitudes de los segmentos tangentes desde $A$, $B$, $C$, respectivamente. Entonces: $$x+y=c,\quad y+z=a,\quad z+x=b.$$ Sumando: $2(x+y+z)=a+b+c=2s$, por lo que $x+y+z=s$. De la primera y segunda, $x=s-a$, etc.

Ejemplo.
En un triángulo de lados $7$, $8$, $9$, el semiperímetro es $12$. Los segmentos desde el vértice opuesto al lado $7$ miden $12-7=5$; desde el opuesto al $8$ miden $4$; desde el opuesto al $9$ miden $3$.

5.2. Circunferencia circunscrita (circunradio $R$)

Es la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo. El triángulo se dice triángulo inscrito en la circunferencia.

• El centro es el circuncentro, intersección de las mediatrices de los lados.
• El radio $R$ es el circunradio.

Caso notable.
En un triángulo rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa; por tanto, el circunradio vale la mitad de la hipotenusa. Así, si la hipotenusa es $c$, entonces $R=\frac{c}{2}$.

Ejemplo.
Un triángulo rectángulo de catetos $6$ y $8$ tiene hipotenusa $10$; su circunradio es $R=5$.

5.3. Circunferencia exinscrita (exradio $r_a, r_b, r_c$)

Es la circunferencia tangente a un lado del triángulo y a las prolongaciones de los otros dos lados. Su centro es un excentro, intersección de una bisectriz interior y dos bisectrices exteriores.

• Hay tres exradios, uno relativo a cada lado: $r_a$ está asociado al lado $a$, etc.
• Aunque se usa menos en los problemas tipo, conviene reconocer la configuración: desde un vértice exterior, las tangentes a la circunferencia exinscrita también son congruentes.

El teorema de tangentes desde un punto exterior es la base para resolver una amplia variedad de problemas. Un método eficaz consiste en marcar variables para segmentos tangentes iguales y luego plantear ecuaciones.

Procedimiento paso a paso:

1. Identifica todos los puntos de tangencia.
2. Por cada punto exterior desde el que salen dos tangentes, asigna la misma variable a los dos segmentos correspondientes.
3. Expresa los lados de la figura en función de esas variables.
4. Usa las ecuaciones que relacionan los lados o aplica Pitot/Poncelet si corresponde.
5. Resuelve el sistema.

Ejemplo.
En un cuadrilátero $ABCD$ circunscrito a una circunferencia, si las tangentes desde $A$ miden $x$, desde $B$ miden $y$, desde $C$ miden $z$, y desde $D$ miden $w$, entonces: $$AB=x+y,\quad BC=y+z,\quad CD=z+w,\quad AD=w+x.$$ Observa que $AB+CD = x+y+z+w = BC+AD$. Esto es justamente Pitot.

7.1. Teorema de Pitot

Enunciado.
En todo cuadrilátero convexo circunscrito a una circunferencia (es decir, sus cuatro lados son tangentes), la suma de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de los otros dos lados opuestos: $$AB + CD = BC + AD.$$

Justificación.
Como vimos arriba, al marcar los segmentos tangentes desde cada vértice, se obtiene la igualdad. La justificación no depende de las medidas de los ángulos.

Aplicación.
Si conocemos tres lados de un cuadrilátero circunscrito, podemos hallar el cuarto despejando de la ecuación de Pitot.

Generalización.
En un polígono de número par de lados circunscrito a una circunferencia, la suma de los lados de posición impar es igual a la suma de los lados de posición par.

7.2. Teorema de Poncelet

Enunciado.
En todo triángulo rectángulo con una circunferencia inscrita de radio $r$, la suma de las longitudes de los catetos es igual a la longitud de la hipotenusa más el doble del radio: $$a+b = c + 2r.$$ Aquí $a$ y $b$ son los catetos, $c$ es la hipotenusa.

Justificación.
Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $B$. La circunferencia inscrita toca los catetos $AB$ y $BC$ en dos puntos que, junto con el vértice $B$, forman un cuadrado de lado $r$, porque los radios a los puntos de tangencia son perpendiculares a los catetos y el ángulo en $B$ es recto.

Entonces:

• En el cateto $AB$, desde $B$ al punto de tangencia hay $r$, y desde ese punto a $A$ hay $AB-r$.
• En el cateto $BC$, desde $B$ al punto de tangencia hay $r$, y desde ese punto a $C$ hay $BC-r$.
• Los segmentos $AB-r$ y $BC-r$ son iguales a los segmentos de tangencia sobre la hipotenusa desde $A$ y desde $C$, respectivamente.
• La hipotenusa completa $AC$ queda dividida en $(AB-r)+(BC-r)$.

Por tanto: $$AC = AB - r + BC - r = AB+BC-2r,$$ de donde: $$AB+BC = AC+2r.$$

Ejemplo.
En un triángulo rectángulo de catetos $5$ y $12$, la hipotenusa es $13$. Poncelet da: $$5+12 = 13+2r \quad \Rightarrow \quad 17=13+2r \quad \Rightarrow \quad r=2.$$ Eso permite hallar el inradio sin usar la fórmula geométrica general.

Ante un problema de admisión que involucre circunferencias y segmentos, se recomienda:

1. Marcar radios y ángulos rectos.
   Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Traza los radios y marca los ángulos rectos.

2. Identificar y marcar segmentos tangentes iguales.
   Desde cada punto exterior a una circunferencia, los dos segmentos tangentes son congruentes. Usa variables.

3. Clasificar la configuración.

   • ¿Hay un triángulo con circunferencia inscrita? Aplica las fórmulas de segmentos $s-a$, $s-b$, $s-c$.
   • ¿Hay un triángulo rectángulo con circunferencia inscrita? Aplica Poncelet.
   • ¿Hay un cuadrilátero circunscrito? Aplica Pitot.
   • ¿Hay dos circunferencias tangentes? Une los centros y verifica colinealidad; usa triángulos rectángulos con tangentes comunes.

4. Usar teoremas de cuerdas si hay arcos.
   Si hay cuerdas congruentes, paralelas o diámetros, aplica los teoremas vistos.

5. Plantear ecuaciones y resolver.
   La mayoría de problemas se reducen a sistemas de ecuaciones lineales.