Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Formalmente, dos triángulos son semejantes cuando cumplen dos condiciones:

1. Sus tres ángulos interiores son, respectivamente, de igual medida.
2. Sus lados homólogos son proporcionales.

Se llama lados homólogos a los lados que se oponen a ángulos de igual medida, es decir, a los lados que cumplen la misma función en cada triángulo.

La notación que usaremos es:

$$\triangle ABC \sim \triangle PQR$$

y se lee: “el triángulo $ABC$ es semejante al triángulo $PQR$”. El orden de las letras es fundamental, porque indica la correspondencia entre vértices.

Si

$$\alpha = \alpha', \quad \beta = \beta', \quad \theta = \theta',$$

y además

$$\frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r} = k,$$

entonces los triángulos son semejantes.

Al número $k$ se le llama constante de semejanza o razón de semejanza. Indica cuántas veces es cada lado del segundo triángulo respecto del primero.

Ejemplo numérico:

Si un triángulo tiene lados $3$, $4$ y $5$, y otro tiene lados $6$, $8$ y $10$, entonces:

$$\frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}.$$

Aquí la razón de semejanza del primer triángulo respecto del segundo es $\frac{1}{2}$, o equivalentemente, el segundo es una ampliación del primero con $k=2$.

La definición completa pide verificar tres ángulos y tres razones de lados. En la práctica, eso no es necesario: existen criterios que permiten concluir semejanza con menos información.

1. Criterio ángulo-ángulo (AA)

Es el criterio más usado en los exámenes de admisión.

Enunciado:
Si dos triángulos tienen dos ángulos de igual medida, entonces son semejantes.

La razón es sencilla: en todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es $180^\circ$. Si dos ángulos ya son iguales, el tercero queda obligado a ser igual. Por lo tanto, los tres ángulos son iguales y los lados resultan automáticamente proporcionales.

En símbolos:

$$\text{Si } \angle A = \angle P \text{ y } \angle B = \angle Q, \text{ entonces } \triangle ABC \sim \triangle PQR.$$

Este criterio se aplica constantemente cuando hay:

• rectas paralelas,
• ángulos opuestos por el vértice,
• ángulos rectos compartidos,
• ángulos comunes.

Ejemplo numérico:

En un triángulo $ABC$, se traza $PQ \parallel BC$, con $P$ en $AB$ y $Q$ en $AC$. Entonces:

$$\triangle APQ \sim \triangle ABC$$

porque tienen el ángulo $A$ común y los ángulos en $P$ y $B$ son correspondientes, por lo tanto iguales.

2. Criterio lado-ángulo-lado (LAL)

Enunciado:
Si dos triángulos tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es de igual medida, entonces son semejantes.

En símbolos:

$$\text{Si } \frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} \quad \text{y} \quad \angle A = \angle P,$$

entonces

$$\triangle ABC \sim \triangle PQR.$$

Aquí es muy importante que el ángulo igual sea precisamente el que está comprendido entre los dos lados proporcionales. Si el ángulo igual está en otra posición, el criterio no garantiza semejanza.

Ejemplo numérico:

Un triángulo tiene dos lados de $4$ cm y $6$ cm, y el ángulo comprendido mide $60^\circ$. Otro triángulo tiene lados de $8$ cm y $12$ cm, y el ángulo comprendido también mide $60^\circ$. Como

$$\frac{4}{8} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2},$$

y el ángulo es el mismo, los triángulos son semejantes.

3. Criterio lado-lado-lado (LLL)

Enunciado:
Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.

En símbolos:

$$\text{Si } \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP},$$

entonces

$$\triangle ABC \sim \triangle PQR.$$

Este criterio se usa menos en problemas de admisión, pero es útil cuando solo se conocen longitudes y no ángulos.

Ejemplo numérico:

Un triángulo tiene lados $5$, $6$, $7$; otro tiene lados $10$, $12$, $14$. Como

$$\frac{5}{10} = \frac{6}{12} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2},$$

los triángulos son semejantes.

Cuando dos triángulos son semejantes, no solo sus lados son proporcionales; también lo son todos sus elementos homólogos.

1. Proporcionalidad de elementos homólogos

Si $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ con razón de semejanza $k$, entonces:

• las alturas homólogas están en razón $k$;
• las medianas homólogas están en razón $k$;
• las bisectrices homólogas están en razón $k$;
• los inradios y circunradios están en razón $k$;
• los perímetros están en razón $k$.

En particular, si los perímetros son $p_1$ y $p_2$, se cumple:

$$\frac{p_1}{p_2} = k.$$

Ejemplo numérico:
Si un triángulo tiene lados $3,4,5$ y otro semejante tiene lado menor $6$, entonces la razón de semejanza del primero al segundo es $3/6 = 1/2$. El perímetro del primero es $12$ y el del segundo es $24$, de modo que

$$\frac{12}{24} = \frac{1}{2}.$$

2. Razón de áreas

La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.

Si los lados están en razón $k$, entonces las áreas están en razón $k^2$.

Justificación: el área de un triángulo es

$$A = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura}.$$

Si la base y la altura se multiplican por $k$, entonces el área se multiplica por $k^2$.

En símbolos:

$$\frac{[ABC]}{[PQR]} = k^2.$$

Ejemplo numérico:
Si un triángulo tiene lados $3,4,5$ y otro semejante tiene lados $6,8,10$, la razón de lados es $1/2$, pero la razón de áreas es $(1/2)^2 = 1/4$. El área del primero es $6$ y la del segundo es $24$, y

$$\frac{6}{24} = \frac{1}{4}.$$

Casi todos los problemas de admisión sobre semejanza se apoyan en algunas configuraciones que conviene reconocer de inmediato.

1. Recta paralela a un lado de un triángulo

Si en un triángulo $ABC$ trazamos $PQ \parallel BC$, con $P$ en $AB$ y $Q$ en $AC$, entonces:

$$\triangle APQ \sim \triangle ABC.$$

La correspondencia de vértices es $A \leftrightarrow A$, $P \leftrightarrow B$, $Q \leftrightarrow C$.

Por lo tanto, se cumple:

$$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{PQ}{BC}.$$

Esta es la configuración más frecuente, y es una extensión natural del teorema de Thales.

En muchos ejercicios, la recta paralela no va desde el vértice, sino que corta a dos lados ya existentes. La idea es la misma: el triángulo pequeño es semejante al triángulo grande.

Ejemplo numérico:
Si $AP = 2$, $PB = 3$, y $BC = 10$, entonces $AB = 5$. De la semejanza:

$$\frac{AP}{AB} = \frac{PQ}{BC}$$

$$\frac{2}{5} = \frac{PQ}{10}$$

$$PQ = 4.$$

2. Rectas secantes con bases paralelas: triángulos opuestos por el vértice

Si dos rectas son cortadas por dos rectas secantes y las bases son paralelas, se forman dos triángulos opuestos por el vértice que son semejantes.

Un caso típico es el trapecio $ABCD$ con $AB \parallel CD$. Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $O$.

En esta configuración,

$$\triangle AOB \sim \triangle COD.$$

La correspondencia es $A \leftrightarrow C$, $B \leftrightarrow D$, $O \leftrightarrow O$.

Por lo tanto:

$$\frac{AO}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}.$$

Ejemplo numérico:
Si $AB = 6$, $CD = 9$, y $OB = 4$, entonces:

$$\frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}$$

$$\frac{4}{OD} = \frac{6}{9}$$

$$OD = 6.$$

3. Triángulos rectángulos semejantes

Los triángulos rectángulos merecen una atención especial. Como ya tienen un ángulo de $90^\circ$, les basta tener un solo ángulo agudo igual para ser semejantes por el criterio AA.

Esto significa que si en un problema aparecen triángulos rectángulos con un ángulo agudo común o con ángulos de depresión/elevación iguales, se puede plantear:

$$\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{\text{cateto opuesto correspondiente}}{\text{hipotenusa correspondiente}}$$

o directamente proporciones entre lados correspondientes.

Ejemplo numérico:
Dos triángulos rectángulos tienen catetos verticales de $2$ m y $2.5$ m, respectivamente. Si el ángulo agudo entre el suelo y el rayo visual es el mismo, entonces son semejantes. Si la distancia horizontal del primer triángulo es $4$ m, y $x$ es la distancia del segundo, se cumple:

$$\frac{2}{4} = \frac{2.5}{x}$$

$$x = 5.$$

4. Teorema de antiparalelas

Es uno de los teoremas asociados a la semejanza que más se usa en problemas de nivel preuniversitario.

Configuración:
En un triángulo $ABC$, se traza la ceviana $AP$, con $P$ en $BC$. Si se cumple que

$$\angle BAP = \angle BCA,$$

entonces los triángulos $ABP$ y $CBA$ son semejantes.

La semejanza es:

$$\triangle ABP \sim \triangle CBA.$$

Los lados homólogos son:

$$AB \leftrightarrow CB, \quad BP \leftrightarrow BA, \quad AP \leftrightarrow CA.$$

De la proporción:

$$\frac{AB}{CB} = \frac{BP}{BA}$$

se obtiene:

$$\frac{x}{b} = \frac{a}{x}$$

$$x^2 = ab.$$

Esta relación se conoce como teorema de la ceviana antiparalela o simplemente teorema de antiparalelas.

Interpretación práctica:
Si conoces los segmentos $BP$ y $BC$, puedes hallar $AB$ sin necesidad de usar ángulos ni trigonometría.

Ejemplo numérico:
Si $BP = 4$ y $BC = 16$, entonces:

$$AB^2 = 4 \cdot 16 = 64$$

$$AB = 8.$$

5. Teoremas asociados en trapecios

Algunos problemas combinan semejanza con trapecios. Existen dos resultados útiles que conviene conocer.

a) Segmento que pasa por la intersección de las diagonales

En un trapecio $ABCD$ cuyas bases son $AD = a$ y $BC = b$, con $AD \parallel BC$, las diagonales se cortan en $O$. Si por $O$ se traza un segmento $EF$ paralelo a las bases, con $E$ y $F$ en los lados no paralelos, entonces:

$$EO = OF = \frac{ab}{a+b}.$$

Por lo tanto, la longitud total del segmento es:

$$EF = \frac{2ab}{a+b}.$$

Este segmento es uno de los más importantes en trapecios, y se obtiene utilizando dos semejanzas: una en cada lado de las diagonales.

Ejemplo numérico:
Si las bases miden $a = 12$ y $b = 8$, entonces:

$$EF = \frac{2 \cdot 12 \cdot 8}{12 + 8} = \frac{192}{20} = 9.6.$$

b) Segmento paralelo a las bases que divide la altura en razón $m:n$

Si un segmento $EF$ es paralelo a las bases de un trapecio y divide a la altura en dos segmentos de longitudes $m$ y $n$, con $m$ adyacente a la base $a$ y $n$ adyacente a la base $b$, entonces la longitud $x$ del segmento es:

$$x = \frac{a m + b n}{m + n}.$$

Es un promedio ponderado de las bases.

Caso particular:
Si $m = n$, es decir, si el segmento está a la mitad de la altura, entonces:

$$x = \frac{a + b}{2},$$

que es la base media del trapecio.

Ejemplo numérico:
Si $a = 10$, $b = 4$, y el segmento paralelo divide la altura en razón $m:n = 3:1$, con $m$ junto a la base $a$, entonces:

$$x = \frac{10 \cdot 3 + 4 \cdot 1}{3 + 1} = \frac{30 + 4}{4} = 8.5.$$

6. Polígonos semejantes

La semejanza también se extiende a polígonos de más lados. Dos polígonos son semejantes si tienen:

• sus ángulos correspondientes de igual medida;
• sus lados correspondientes proporcionales.

En los polígonos semejantes, la razón de perímetros es igual a la razón de semejanza $k$, y la razón de áreas es $k^2$.

Este resultado es muy útil en problemas de escalas, planos y figuras compuestas por triángulos.

Ejemplo numérico:
Un cuadrado de lado $2$ tiene área $4$. Un cuadrado semejante de lado $6$ tiene área $36$. La razón de lados es $2/6 = 1/3$, pero la razón de áreas es $1/9$.

7. Cuaterna armónica y haz armónico

Algunos textos preuniversitarios incluyen, como herramienta complementaria dentro de la semejanza, la noción de cuaterna armónica.

Cuatro puntos colineales $A$, $P$, $B$, $Q$ forman una cuaterna armónica si $P$ y $Q$ dividen al segmento $AB$ interna y externamente en la misma razón. Es decir:

$$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QB}.$$

Cuando cuatro rectas concurrentes pasan por cuatro puntos que forman una cuaterna armónica, se dice que forman un haz armónico. Toda recta que corte a un haz armónico determina otra cuaterna armónica.

Esta idea es más avanzada y no es indispensable para la mayoría de problemas de admisión de San Marcos, pero aparece en algunos materiales como extensión de la proporcionalidad. Si dominas lo anterior, este concepto será sencillo de comprender como una igualdad de razones.

Cuando enfrentes un problema de semejanza, sigue este procedimiento general:

1. Identifica los triángulos candidatos. Busca triángulos que compartan ángulos o que tengan lados paralelos.

2. Marca los ángulos iguales. Usa:

   • ángulos comunes,
   • opuestos por el vértice,
   • correspondientes o alternos internos entre paralelas,
   • ángulos rectos,
   • ángulos de depresión o elevación.

3. Escribe la semejanza con el orden correcto. Si los triángulos son $ABC$ y $PQR$, escribe $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ respetando la correspondencia de los ángulos. Esto evita confusiones con los lados homólogos.

4. Plantea la proporción. Iguala las razones de lados homólogos.

5. Si piden áreas, usa $k^2$. Si la razón de lados es $k$, la razón de áreas es $k^2$. Este paso es clave en problemas de terrenos, sombras y figuras ampliadas.

6. En configuraciones de antiparalelas, aplica $x^2 = ab$. Si reconoces el patrón $\angle BAP = \angle BCA$, ahorrarás varios pasos.

En problemas con cuadrados o rectángulos inscritos, la semejanza suele aparecer entre el triángulo mayor y los triángulos pequeños que se forman junto a la figura inscrita. Por ejemplo, en un cuadrado $DEFG$ inscrito en un triángulo, los triángulos pequeños laterales suelen ser semejantes entre sí o semejantes al triángulo total.

También hay problemas en los que la semejanza se combina con el teorema de Pitágoras, especialmente cuando aparecen longitudes de lados o sumas de cuadrados. La idea es usar la semejanza para expresar unos lados en función de otros y luego aplicar Pitágoras.