Plano cartesiano

Definición y elementos

El plano cartesiano es un sistema de coordenadas rectangulares formado por dos rectas numéricas reales perpendiculares entre sí en sus ceros correspondientes. La intersección de ambas se llama origen de coordenadas y se denota $O(0;0)$.

• La recta horizontal se llama eje de abscisas, eje $X$.
• La recta vertical se llama eje de ordenadas, eje $Y$.
• Ambos ejes dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes.

Todo punto $P$ del plano queda determinado por un único par ordenado $(x;y)$:

• $x$ es la abscisa: se mide sobre el eje horizontal.
• $y$ es la ordenada: se mide sobre el eje vertical.

Así, $P(x;y)$ se lee: «el punto $P$ de coordenadas $x$, $y$».

Los cuatro cuadrantes y signos

El signo de la abscisa y de la ordenada depende del cuadrante en el que se encuentre el punto.

Los puntos que están exactamente sobre un eje no pertenecen a ningún cuadrante:

• Si un punto está sobre el eje $X$, su ordenada es $0$: $(a;0)$.
• Si un punto está sobre el eje $Y$, su abscisa es $0$: $(0;b)$.

Por ejemplo, el punto $(5;0)$ está 5 unidades a la derecha del origen sobre el eje $X$; el punto $(0;-3)$ está 3 unidades hacia abajo sobre el eje $Y$. Este hecho parece simple, pero es decisivo en problemas donde un lado de un triángulo se apoya sobre un eje.

Distancia de un punto a los ejes

La distancia de un punto $P(x;y)$ a un eje es la longitud del segmento perpendicular trazado desde $P$ hacia dicho eje.

$$d(P;\text{eje }X)=|y|,\qquad d(P;\text{eje }Y)=|x|.$$

Las barras de valor absoluto garantizan que la distancia sea siempre no negativa.

Ejemplo: Para $P(-5;3)$:

$$d(P;\text{eje }X)=|3|=3,\qquad d(P;\text{eje }Y)=|-5|=5.$$

Este detalle es muy usado porque muchos problemas de admisión dan distancias a los ejes y, a partir de ellas, piden reconstruir las coordenadas.

Puntos, circunferencias y regiones

Como la distancia de un punto $P(x;y)$ al origen es

$$d(P;O)=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\sqrt{x^2+y^2},$$

la ecuación

$$x^2+y^2=r^2$$

representa una circunferencia centrada en el origen y de radio $r$. De manera análoga:

• $x^2+y^2>r^2$ representa el exterior del círculo de radio $r$.
• $x^2+y^2<r^2$ representa el interior del círculo de radio $r$.

La desigualdad es estricta cuando la frontera no está incluida; la frontera se dibuja punteada. En cambio, si la desigualdad es $\ge$ o $\le$, la frontera se dibuja continua.

También aparecen regiones asociadas a expresiones lineales, por ejemplo $y>x$. Para interpretarla, se dibuja la recta $y=x$, que es la diagonal principal formada por todos los puntos cuyo valor de abscisa es igual al de ordenada. La desigualdad $y>x$ corresponde a los puntos que están por encima de esa recta, porque en ellos la ordenada es mayor que la abscisa. La desigualdad $y<x$ corresponde a los puntos que están por debajo.

Para hallar la intersección de dos regiones, se sombrea únicamente la zona donde se cumplen simultáneamente todas las condiciones.

Idea intuitiva y deducción

Imagina dos puntos $A(x_1;y_1)$ y $B(x_2;y_2)$. Si trazamos una horizontal por $A$ y una vertical por $B$, se forma un triángulo rectángulo.

• El cateto horizontal mide $|x_2-x_1|$.
• El cateto vertical mide $|y_2-y_1|$.
• La distancia $AB$ es la hipotenusa.

Por el teorema de Pitágoras:

$$(AB)^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2.$$

Por lo tanto,

$$\boxed{d(A;B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}.$$

El orden de los puntos no importa, porque las diferencias están elevadas al cuadrado.

Ejemplo: Si $A(2;3)$ y $B(6;6)$,

$$d(A;B)=\sqrt{(6-2)^2+(6-3)^2} =\sqrt{4^2+3^2} =\sqrt{16+9} =\sqrt{25} =5.$$

Así, la distancia entre $A$ y $B$ es $5$ unidades.

Casos particulares

• Si los puntos tienen la misma ordenada, $y_1=y_2$, el segmento es horizontal y su longitud es $d=|x_2-x_1|$.
• Si tienen la misma abscisa, $x_1=x_2$, el segmento es vertical y su longitud es $d=|y_2-y_1|$.
• Si la distancia es $0$, los puntos coinciden.

Uso para clasificar triángulos

Una aplicación directa de la distancia entre dos puntos es determinar la clase de triángulo que forman tres puntos dados. Para ello se calculan las longitudes de los tres lados:

• Si los tres lados son iguales, el triángulo es equilátero.
• Si exactamente dos lados son iguales, el triángulo es isósceles.
• Si el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, el triángulo es rectángulo.
• Si ningún lado es igual y no cumple Pitágoras, puede ser escaleno acutángulo u obtusángulo, según sus ángulos.

Ejemplo: Para $A(1;2)$, $B(5;2)$ y $C(1;6)$:

$$AB=|5-1|=4,\qquad AC=|6-2|=4,$$ $$BC=\sqrt{(5-1)^2+(2-6)^2}=\sqrt{4^2+(-4)^2}=\sqrt{32}.$$

Como $AB=AC$, el triángulo es isósceles. Además, $AB^2+AC^2=16+16=32=BC^2$, por lo que también es rectángulo.

Definición y fórmula

El punto medio $M$ de un segmento $AB$ es el punto que está exactamente a la mitad del segmento, es decir, aquel que lo divide en dos segmentos congruentes: $AM=MB$.

Sus coordenadas se obtienen promediando las coordenadas de los extremos:

$$\boxed{M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)}.$$

La justificación es directa: si se desea que el punto esté a la mitad, su abscisa debe estar a la mitad entre las abscisas de los extremos, y lo mismo con su ordenada.

Ejemplo: Para $A(-2;4)$ y $B(6;-2)$:

$$M\left(\frac{-2+6}{2};\frac{4+(-2)}{2}\right) =M\left(\frac{4}{2};\frac{2}{2}\right) =M(2;1).$$

Puede verificarse que

$$AM=\sqrt{(2-(-2))^2+(1-4)^2} =\sqrt{16+9}=5,$$ $$MB=\sqrt{(6-2)^2+(-2-1)^2} =\sqrt{16+9}=5.$$

En efecto, $AM=MB$.

Punto simétrico respecto de un punto

Si $B$ es el punto medio del segmento $AA'$, entonces $A'$ es el punto simétrico de $A$ respecto de $B$. Conocidos $A$ y $B$, se puede hallar $A'$ despejando de la fórmula del punto medio:

$$A'\left(2x_B-x_A;\,2y_B-y_A\right).$$

Ejemplo: Si $A(1;2)$ y $B(3;0)$,

$$A'\left(2(3)-1;\,2(0)-2\right) =(6-1;0-2) =(5;-2).$$

Así, $B$ es el punto medio de $A(1;2)$ y $A'(5;-2)$.

Vértices de un paralelogramo

En todo paralelogramo, las diagonales se bisecan; es decir, tienen el mismo punto medio. Por eso, si los vértices son $A$, $B$, $C$ y $D$ en orden, se cumple:

$$x_A+x_C=x_B+x_D, \qquad y_A+y_C=y_B+y_D.$$

Esta propiedad permite calcular el cuarto vértice cuando se conocen los otros tres.

Ejemplo: Tres vértices de un paralelogramo son $A(1;2)$, $B(5;2)$ y $C(7;6)$. Hallar el cuarto vértice $D$.

Como $A$ y $C$ son opuestos, deben cumplir:

$$1+7=x_B+x_D=5+x_D$$ $$2+6=y_B+y_D=2+y_D.$$

De la primera, $x_D=3$; de la segunda, $y_D=6$. Por lo tanto, $D=(3;6)$.

No siempre interesa el punto que está exactamente a la mitad. Muchas veces se pide un punto que divide al segmento en una proporción particular, por ejemplo «el punto que está al doble de distancia de $A$ que de $B$».

Definición de razón

Sea $P$ un punto sobre el segmento $AB$, entre $A$ y $B$. Si

$$\frac{AP}{PB}=r,$$

entonces se dice que $P$ divide al segmento $AB$ en la razón $r$. Como $P$ está dentro del segmento, en este contexto $r>0$.

Si se indica $AP:PB=m:n$, entonces

$$r=\frac{AP}{PB}=\frac{m}{n}.$$

Fórmula de la división

Dados $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$ y la razón $r=\dfrac{AP}{PB}$, las coordenadas de $P(x;y)$ son:

$$\boxed{ P\left(\frac{x_1+r\,x_2}{1+r};\,\frac{y_1+r\,y_2}{1+r}\right) }.$$

La idea es que las coordenadas de $P$ son un promedio ponderado de las coordenadas de los extremos. Si $r$ es grande, $P$ se acerca a $B$; si $r$ es pequeño, $P$ se acerca a $A$.

Ejemplo: Sea $A(2;3)$ y $B(10;9)$. Si $AP:PB=3:1$, entonces $r=3$.

$$P\left(\frac{2+3(10)}{1+3};\frac{3+3(9)}{1+3}\right) = P\left(\frac{32}{4};\frac{30}{4}\right) = P(8;7.5).$$

Como $AP:PB=3:1$, $AP$ representa $\frac{3}{4}$ del total y $PB$ representa $\frac{1}{4}$. Por eso $P$ está más cerca de $B$.

Caso importante: trisección

Un punto de trisección divide al segmento en la razón $1:2$ o $2:1$. Por ejemplo, el punto de trisección más cercano a $A$ cumple

$$AP:PB=1:2,$$

por lo que $r=\frac{1}{2}$. El más cercano a $B$ cumple $AP:PB=2:1$, es decir $r=2$.

Ejemplo: Dados $A(1;2)$ y $B(7;8)$, el punto de trisección más cercano a $A$ tiene $r=1/2$:

$$P\left(\frac{1+\frac12(7)}{1+\frac12};\,\frac{2+\frac12(8)}{1+\frac12}\right) = P\left(\frac{1+3.5}{1.5};\,\frac{2+4}{1.5}\right) = P(3;4).$$

El punto de trisección más cercano a $B$ tendría $r=2$:

$$Q\left(\frac{1+2(7)}{3};\,\frac{2+2(8)}{3}\right) = Q(5;6).$$

Relación con el punto medio

Si $r=1$, entonces $AP=PB$, y la fórmula de división se convierte en la del punto medio:

$$P\left(\frac{x_1+x_2}{2};\,\frac{y_1+y_2}{2}\right).$$

Esto muestra que ambos temas no son independientes: el punto medio es un caso particular de la división de un segmento.

Qué es el baricentro

En un triángulo, una mediana es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas concurren en un punto llamado baricentro, que se denota usualmente $G$. El baricentro es el centro de gravedad del triángulo; si se recorta la figura en un material uniforme, se equilibraría sobre ese punto.

Una propiedad geométrica fundamental es que el baricentro divide a cada mediana en la razón $2:1$, contando desde el vértice hacia el punto medio del lado opuesto.

Fórmula del baricentro

Si los vértices del triángulo son

$$A(x_1;y_1),\quad B(x_2;y_2),\quad C(x_3;y_3),$$

entonces las coordenadas del baricentro son

$$\boxed{ G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3};\,\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) }.$$

Es decir, el baricentro es el promedio aritmético de las coordenadas de los tres vértices.

Esta fórmula se puede justificar usando la división de un segmento. El punto medio del lado $BC$ es

$$M_{BC}\left(\frac{x_2+x_3}{2};\,\frac{y_2+y_3}{2}\right).$$

La mediana trazada desde $A$ va de $A$ a $M_{BC}$. Como $G$ divide a esta mediana en la razón $AG:GM_{BC}=2:1$, se usa $r=2$:

$$G\left(\frac{x_A+2x_{M_{BC}}}{1+2};\,\frac{y_A+2y_{M_{BC}}}{1+2}\right).$$

Sustituyendo $M_{BC}$:

$$x_G=\frac{x_1+2\left(\frac{x_2+x_3}{2}\right)}{3} =\frac{x_1+x_2+x_3}{3}.$$

Lo mismo ocurre con la ordenada.

Ejemplo: Para $A(0;0)$, $B(6;0)$ y $C(0;6)$,

$$G\left(\frac{0+6+0}{3};\,\frac{0+0+6}{3}\right)=G(2;2).$$

Aplicación a triángulos apoyados sobre los ejes

Muchos problemas de admisión presentan triángulos isósceles con un lado sobre uno de los ejes. En estos casos conviene aprovechar la simetría:

• Si el lado desigual está sobre el eje $Y$, sus extremos tienen abscisa $0$.
• El vértice opuesto queda sobre la mediatriz de ese lado, que en este caso es una recta horizontal.
• Las distancias dadas a los ejes permiten reconstruir cada coordenada.

Por ejemplo, si un triángulo isósceles $ABC$ tiene su base $AC$ sobre el eje $Y$, con $A(0;a)$ y $C(0;c)$, y el vértice $B$ está en el primer cuadrante a una distancia $b$ del eje $Y$, entonces $B=(b;y_B)$, donde $y_B$ es la ordenada de la mediatriz de $AC$:

$$y_B=\frac{a+c}{2}.$$

Luego se aplica la fórmula del baricentro sumando las abscisas y las ordenadas de los tres vértices.

Región triangular

Una región triangular es la porción del plano encerrada por un triángulo, incluidos sus lados y su interior. Si se conocen las coordenadas de los tres vértices, no hace falta dibujar el triángulo a escala para calcular su área: existe una fórmula algebraica.

Fórmula del área por determinantes

Dados

$$A(x_1;y_1),\quad B(x_2;y_2),\quad C(x_3;y_3),$$

el área $S$ de la región triangular $ABC$ es

$$\boxed{ S=\frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2) \right| }.$$

También se puede escribir mediante un arreglo:

$$S=\frac{1}{2} \left| \begin{array}{cc} x_1 & y_1\\ x_2 & y_2\\ x_3 & y_3\\ x_1 & y_1 \end{array} \right|.$$

En este arreglo se repite la primera fila al final. Luego se suman los productos en diagonal hacia abajo y se restan los productos en diagonal hacia arriba:

• Suma hacia abajo: $x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1$.
• Suma hacia arriba: $y_1x_2+y_2x_3+y_3x_1$.
• Diferencia: $(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1)-(y_1x_2+y_2x_3+y_3x_1)$.
• Se toma valor absoluto y se divide entre 2.

Ejemplo: Para $A(0;0)$, $B(4;0)$ y $C(0;6)$:

$$\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 4 & 0\\ 0 & 6\\ 0 & 0 \end{array}$$

Suma hacia abajo:

$$0\cdot0+4\cdot6+0\cdot0=24.$$

Suma hacia arriba:

$$0\cdot4+0\cdot0+6\cdot0=0.$$

Diferencia:

$$24-0=24.$$

Por lo tanto,

$$S=\frac{1}{2}|24|=12.$$

Geométricamente, el triángulo tiene base $4$ y altura $6$, por lo que su área es

$$\frac{1}{2}\cdot4\cdot6=12.$$

La fórmula coincide.

Condición de colinealidad

Si tres puntos están alineados, no forman triángulo; en ese caso, el área calculada con la fórmula es $0$. Por eso, para verificar si tres puntos $A$, $B$ y $C$ son colineales, basta comprobar si

$$\frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|=0.$$

Ejemplo: Para $A(1;2)$, $B(3;5)$ y $C(5;8)$:

$$1(5-8)+3(8-2)+5(2-5) = 1(-3)+3(6)+5(-3) = -3+18-15=0.$$

El área es $0$; por lo tanto, los puntos son colineales.

Extensión a polígonos

La fórmula del determinante puede extenderse a una región poligonal convexa de $n$ vértices. Se colocan las coordenadas de los vértices consecutivamente en sentido antihorario, se repite el primer vértice al final y se aplica el mismo procedimiento. Para los exámenes de este nivel, lo más frecuente es el triángulo, pero conviene saber que la idea es general.