Relaciones métricas I: en el triángulo rectángulo

Imagina un triángulo rectángulo $ABC$, recto en $B$. Trazamos desde $B$ la perpendicular $BH$ a la hipotenusa $AC$. La recta que contiene a $AC$ será nuestro "eje de proyección".

En esta figura aparecen elementos que usaremos constantemente:

• $a = BC$: cateto, proyección sobre la hipotenusa igual a $HC$.
• $b = AB$: cateto, proyección sobre la hipotenusa igual a $AH$.
• $c = AC$: hipotenusa.
• $h = BH$: altura relativa a la hipotenusa.
• $m = AH$: proyección ortogonal del cateto $AB$ sobre la hipotenusa.
• $n = HC$: proyección ortogonal del cateto $BC$ sobre la hipotenusa.

Observa que $m + n = c$, es decir, las dos proyecciones juntas forman la hipotenusa completa.

Ejemplo numérico inmediato.
Si en un triángulo rectángulo los catetos miden $3$ y $4$, la hipotenusa mide $5$. Más adelante veremos que la altura relativa a la hipotenusa mide $2{,}4$, que la proyección del cateto $3$ mide $1{,}8$ y que la proyección del cateto $4$ mide $3{,}2$. Juntas, $1{,}8+3{,}2=5$.

Esta idea de proyección es fundamental: cuando veas las fórmulas $b^2 = c m$, $a^2 = c n$ y $h^2 = mn$, todas se refieren a proyecciones sobre la hipotenusa.

El teorema de Pitágoras es la relación métrica más importante de todo el tema. En todo triángulo rectángulo de catetos $a$ y $b$, e hipotenusa $c$, se cumple

$$a^2 + b^2 = c^2.$$

Esto significa que si conoces dos lados de un triángulo rectángulo, puedes calcular el tercero. La justificación intuitiva es que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Ejemplo.
Si los catetos miden $6$ y $8$, entonces

$$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100,$$

por lo tanto,

$$c = \sqrt{100} = 10.$$

También se puede usar para hallar un cateto. Si la hipotenusa mide $13$ y un cateto mide $5$, el otro cateto es

$$b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12.$$

2.1 Ternas pitagóricas

Hay combinaciones de números enteros que cumplen Pitágoras y conviene reconocerlas de inmediato:

También sirven sus múltiplos: $6,\ 8,\ 10$ equivale a multiplicar la terna $3,\ 4,\ 5$ por $2$.

2.2 Naturaleza de un triángulo

Pitágoras también sirve para saber si un triángulo, dados sus tres lados, es rectángulo, obtusángulo o acutángulo.

Sea $a$ el lado mayor de un triángulo y sean $b$ y $c$ los otros dos. Entonces:

• Si $a^2 = b^2 + c^2$, el triángulo es rectángulo.
• Si $a^2 > b^2 + c^2$, el triángulo es obtusángulo.
• Si $a^2 < b^2 + c^2$, el triángulo es acutángulo.

Ejemplo.
Para lados $5,\ 3,\ 4$:
$5^2 = 25$ y $3^2+4^2=9+16=25$. Como son iguales, el triángulo es rectángulo.

Para lados $7,\ 5,\ 3$:
$7^2=49$ y $5^2+3^2=25+9=34$. Como $49 > 34$, el triángulo es obtusángulo.

Para lados $8,\ 7,\ 6$:
$8^2=64$ y $7^2+6^2=49+36=85$. Como $64 < 85$, el triángulo es acutángulo.

La altura que se traza desde el ángulo recto hasta la hipotenusa divide al triángulo rectángulo en dos triángulos más pequeños. La clave de todo el tema es que esos dos triángulos son semejantes entre sí y también semejantes al triángulo original.

Consideremos nuevamente el triángulo $ABC$, recto en $B$, con altura $BH$. Llamemos $\alpha = m\angle A$ y $\beta = m\angle C$. Como el triángulo es rectángulo, $\alpha + \beta = 90^\circ$.

• En el triángulo $ABH$, el ángulo en $A$ es $\alpha$, el ángulo en $H$ es $90^\circ$. Por lo tanto, el ángulo en $B$ debe ser $\beta$.
• En el triángulo $BHC$, el ángulo en $C$ es $\beta$, el ángulo en $H$ es $90^\circ$. Por lo tanto, el ángulo en $B$ debe ser $\alpha$.

Entonces, los triángulos $ABC$, $ABH$ y $BHC$ tienen los mismos ángulos. Por criterio AA:

$$\triangle ABH \sim \triangle BHC \sim \triangle ABC.$$

Esta doble semejanza es el fundamento de todas las relaciones que veremos a continuación.

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

Con la notación anterior:

$$b^2 = c \cdot m$$

para el cateto $AB$, cuya proyección es $AH = m$, y

$$a^2 = c \cdot n$$

para el cateto $BC$, cuya proyección es $HC = n$.

¿De dónde sale?

De la semejanza entre el triángulo grande y cada triángulo pequeño.

Comparemos $\triangle ABH$ y $\triangle ABC$. Son semejantes. Sus lados correspondientes son:

• La hipotenusa de $\triangle ABH$ es $AB = b$.
• La hipotenusa de $\triangle ABC$ es $AC = c$.
• El cateto menor de $\triangle ABH$ es $AH = m$.
• El cateto correspondiente en $\triangle ABC$ es $AB = b$.

Por semejanza, se cumple:

$$\frac{AH}{AB} = \frac{AB}{AC}.$$

Es decir,

$$\frac{m}{b} = \frac{b}{c}.$$

Multiplicando en cruz:

$$b^2 = c m.$$

De manera análoga, usando $\triangle BHC \sim \triangle ABC$, se obtiene

$$a^2 = c n.$$

Ejemplo numérico.
Si la hipotenusa mide $25$ y la proyección $m$ de un cateto mide $9$, entonces ese cateto mide

$$b = \sqrt{c m} = \sqrt{25 \cdot 9} = \sqrt{225} = 15.$$

La otra proyección sería $n = 25 - 9 = 16$, y el otro cateto mediría

$$a = \sqrt{25 \cdot 16} = \sqrt{400} = 20.$$

Observa que se cumple Pitágoras: $15^2+20^2=225+400=625=25^2$.

Importante. Si sumamos las dos igualdades del teorema del cateto:

$$a^2 + b^2 = c n + c m = c(n+m).$$

Pero $m+n = c$, así que

$$a^2 + b^2 = c^2.$$

Esto muestra que el teorema del cateto también permite deducir Pitágoras.

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Con nuestra notación:

$$h^2 = m \cdot n.$$

¿De dónde sale?

Se obtiene de la semejanza entre los dos triángulos pequeños: $\triangle ABH$ y $\triangle BHC$.

En $\triangle ABH$:

• $AH = m$.
• $BH = h$.

En $\triangle BHC$:

• $BH = h$.
• $HC = n$.

Como son semejantes, se cumple la proporción:

$$\frac{AH}{BH} = \frac{BH}{HC}.$$

Es decir,

$$\frac{m}{h} = \frac{h}{n}.$$

Multiplicando en cruz:

$$h^2 = m n.$$

Ejemplo numérico.
Si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden $4$ y $9$, entonces la altura relativa a la hipotenusa mide

$$h = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6.$$

Este teorema es muy útil cuando se conocen las proyecciones o cuando se pueden calcular a partir de otros datos.

En todo triángulo rectángulo, el producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por la altura relativa a la hipotenusa.

$$a b = c h.$$

¿De dónde sale?

La justificación más sencilla es por áreas.

El área de un triángulo rectángulo se puede calcular de dos formas:

1. Tomando como base un cateto y como altura el otro cateto:

$$A = \frac{1}{2} a b.$$

2. Tomando como base la hipotenusa y como altura la altura relativa a la hipotenusa:

$$A = \frac{1}{2} c h.$$

Como ambas expresiones representan la misma área, se igualan:

$$\frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} c h.$$

Simplificando:

$$a b = c h.$$

Ejemplo numérico.
En un triángulo rectángulo de catetos $5$ y $12$, la hipotenusa mide

$$c = \sqrt{5^2+12^2} = \sqrt{169} = 13.$$

Entonces, la altura relativa a la hipotenusa se calcula:

$$5 \cdot 12 = 13 \cdot h$$

$$60 = 13 h$$

$$h = \frac{60}{13}.$$

El teorema del producto de catetos es especialmente útil cuando se conocen los catetos y se pide la altura relativa a la hipotenusa.

En todo triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos.

$$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}.$$

¿De dónde sale?

Del producto de catetos tenemos:

$$h = \frac{ab}{c}.$$

Elevando al cuadrado:

$$h^2 = \frac{a^2 b^2}{c^2}.$$

Por Pitágoras, $c^2 = a^2 + b^2$. Entonces:

$$h^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}.$$

Tomando recíprocos:

$$\frac{1}{h^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2}.$$

Separando la fracción:

$$\frac{1}{h^2} = \frac{a^2}{a^2 b^2} + \frac{b^2}{a^2 b^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}.$$

Ejemplo numérico.
Para catetos $3$ y $4$:

$$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} = \frac{1}{9} + \frac{1}{16} = \frac{16+9}{144} = \frac{25}{144}.$$

Por lo tanto,

$$h^2 = \frac{144}{25}$$

y

$$h = \frac{12}{5} = 2{,}4.$$

Este teorema no es más que otra forma de expresar la relación entre catetos e hipotenusa. A veces simplifica cálculos cuando se necesita hallar $h$ sin calcular explícitamente la hipotenusa.

En todo triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el ángulo recto hacia la hipotenusa mide la mitad de la hipotenusa.

Si $M$ es el punto medio de la hipotenusa $AC$, entonces:

$$BM = \frac{AC}{2}.$$

¿De dónde sale?

Se puede demostrar de varias formas. Una muy intuitiva es recordar que, si $M$ es el punto medio de la hipotenusa, entonces $M$ es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo rectángulo. Por lo tanto, $M$ equidista de los tres vértices:

$$MA = MB = MC.$$

Pero $MA = MC = \frac{AC}{2}$, así que

$$BM = \frac{AC}{2}.$$

Geométricamente, la mediana $BM$ divide al triángulo rectángulo en dos triángulos isósceles: $\triangle ABM$ y $\triangle BMC$.

Ejemplo numérico.
Si la hipotenusa mide $20$, entonces la mediana relativa a la hipotenusa mide $10$.

Esta propiedad se combina con frecuencia con Pitágoras para resolver problemas de áreas y longitudes.

En muchos problemas de admisión, los triángulos rectángulos no aparecen con lados arbitrarios, sino con ángulos agudos conocidos. Conviene reconocerlos de inmediato.

9.1 Triángulo de $30^\circ$ y $60^\circ$

En un triángulo rectángulo de $30^\circ$, $60^\circ$ y $90^\circ$, los lados guardan la proporción:

$$1 : \sqrt{3} : 2.$$

Es decir:

• El cateto opuesto a $30^\circ$ mide $k$.
• El cateto opuesto a $60^\circ$ mide $k\sqrt{3}$.
• La hipotenusa mide $2k$.

Ejemplo.
Si la hipotenusa mide $10$, entonces el cateto menor mide $5$ y el cateto mayor mide $5\sqrt{3}$.

9.2 Triángulo de $45^\circ$ y $45^\circ$

Es el triángulo rectángulo isósceles. Sus lados están en la proporción:

$$1 : 1 : \sqrt{2}.$$

Si los catetos miden $k$, la hipotenusa mide $k\sqrt{2}$.

Ejemplo.
Si un cateto mide $4$, la hipotenusa mide $4\sqrt{2}$.

9.3 Triángulo de $15^\circ$ y $75^\circ$

Este es un triángulo notable menos inmediato, pero aparece en problemas más avanzados. Si la hipotenusa mide $4k$, entonces la altura relativa a la hipotenusa mide $k$.

Esto se deduce así: sea $ABC$ recto en $B$, con $\angle A = 15^\circ$ y $\angle C = 75^\circ$. Si $AC = 4k$ y $M$ es punto medio de la hipotenusa, entonces la mediana $BM$ mide $2k$. El triángulo $ABM$ es isósceles con $AM = BM = 2k$ y $\angle A = 15^\circ$. Por lo tanto, $\angle ABM = 15^\circ$ y $\angle AMB = 150^\circ$. La altura $BH$ genera un triángulo $BHM$ con ángulo $30^\circ$ en $M$, hipotenusa $BM = 2k$, y cateto opuesto $BH = k$. Así:

$$BH = \frac{AC}{4}.$$

Además, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son:

$$AH = k(2-\sqrt{3}), \qquad HC = k(2+\sqrt{3}).$$

9.4 Triángulo de $37^\circ$ y $53^\circ$

En los exámenes peruanos es muy común el triángulo rectángulo cuyos lados están en proporción:

$$3 : 4 : 5.$$

Se suele asociar, de manera práctica, a los ángulos de $37^\circ$ y $53^\circ$:

• El cateto opuesto a $37^\circ$ mide $3k$.
• El cateto opuesto a $53^\circ$ mide $4k$.
• La hipotenusa mide $5k$.

Debes tener presente que los ángulos no son exactamente $37^\circ$ y $53^\circ$, pero en la práctica preuniversitaria se usan como referencia aceptada para resolver problemas tipo examen.

Ejemplo.
Si en un triángulo rectángulo el ángulo agudo mayor es $53^\circ$ y la hipotenusa mide $20$, entonces:

• Cateto opuesto a $53^\circ$: $4k$.
• Hipotenusa: $5k = 20 \Rightarrow k = 4$.
• Cateto opuesto a $53^\circ$: $4(4) = 16$.
• Cateto opuesto a $37^\circ$: $3(4) = 12$.

9.5 Otras ternas pitagóricas usuales

También se usan con cierta frecuencia las ternas:

• $5,\ 12,\ 13$
• $7,\ 24,\ 25$
• $8,\ 15,\ 17$

Cuando en un problema aparezcan dos lados de estas ternas, el tercero se puede deducir sin necesidad de hacer todo el cálculo de Pitágoras.

10.1 Propiedad de las distancias en un rectángulo

En un rectángulo $ABCD$, si $P$ es un punto cualquiera del plano, se cumple:

$$PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2.$$

Esta propiedad es muy útil cuando en un rectángulo se conocen tres distancias desde $P$ a tres vértices y se pide la cuarta.

Justificación.
Coloca el rectángulo en el plano cartesiano con $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,b)$, $D(0,b)$. Si $P=(x,y)$, entonces:

$$PA^2 = x^2+y^2,$$

$$PC^2 = (x-a)^2+(y-b)^2,$$

$$PB^2 = (x-a)^2+y^2,$$

$$PD^2 = x^2+(y-b)^2.$$

Sumando:

$$PA^2+PC^2 = x^2+y^2+(x-a)^2+(y-b)^2,$$

$$PB^2+PD^2 = (x-a)^2+y^2+x^2+(y-b)^2.$$

Ambas sumas son iguales, por lo tanto,

$$PA^2+PC^2 = PB^2+PD^2.$$

Ejemplo numérico.
En un rectángulo $ABCD$, un punto $P$ interior dista $AP=5$, $BP=6$ y $CP=9$. Para hallar $PD$:

$$5^2+9^2 = 6^2+PD^2$$

$$25+81 = 36+PD^2$$

$$106 = 36+PD^2$$

$$PD^2 = 70$$

$$PD = \sqrt{70}.$$

10.2 Distancia entre dos cilindros tangentes apoyados en un piso

Dos cilindros circulares de radios $R$ y $r$ están apoyados en un piso horizontal y son tangentes entre sí. Se desea hallar la distancia $x$ entre los puntos de contacto de cada cilindro con el piso.

Los centros de los cilindros están a alturas $R$ y $r$ sobre el piso. La distancia entre centros es $R+r$. La diferencia de alturas entre los centros es $R-r$. Por Pitágoras:

$$x^2 + (R-r)^2 = (R+r)^2.$$

Desarrollando:

$$x^2 = (R+r)^2 - (R-r)^2$$

$$x^2 = (R^2+2Rr+r^2) - (R^2-2Rr+r^2)$$

$$x^2 = 4Rr$$

$$x = 2\sqrt{Rr}.$$

Ejemplo numérico.
Dos cilindros de radios $9$ y $4$ son tangentes exteriormente y están apoyados en el piso. La distancia entre los puntos de contacto con el piso es

$$x = 2\sqrt{9\cdot 4} = 2\sqrt{36} = 2\cdot 6 = 12.$$

Cuando enfrentes un problema de relaciones métricas en triángulos rectángulos, sigue este orden:

1. Identifica el triángulo rectángulo. A veces no está dibujado; debes trazarlo o descubrirlo en la figura.

2. Traza la altura relativa a la hipotenusa si el problema menciona proyecciones o si necesitas formar triángulos semejantes.

3. Coloca símbolos a los lados, proyecciones y alturas. Usa una notación fija, por ejemplo $a$, $b$, $c$, $h$, $m$, $n$.

4. Elige la relación métrica según los datos.

   • Si tienes dos lados, usa Pitágoras.
   • Si tienes hipotenusa y proyección, usa teorema del cateto.
   • Si tienes proyecciones, usa teorema de la altura.
   • Si tienes catetos e hipotenusa y piden altura, usa producto de catetos.
   • Si la figura es un rectángulo y hay distancias a vértices, usa $PA^2+PC^2=PB^2+PD^2$.

5. Busca triángulos notables. Si hay ángulos de $30^\circ$, $45^\circ$, $37^\circ$, $53^\circ$, $15^\circ$, aprovecha sus proporciones.

6. Verifica con Pitágoras siempre que sea posible.