Prisma recto

La idea de prisma se puede construir de manera intuitiva: se toma un polígono contenido en un plano y, desde uno de sus vértices, se traza una recta perpendicular al plano. Si trasladamos esa recta a lo largo de todo el polígono, la superficie barrida se llama superficie prismática. Luego, se corta esa superficie con dos planos paralelos entre sí. La porción de espacio comprendida entre ambos planos y la superficie prismática es el prisma.

Esta construcción resalta una propiedad clave: las dos bases son polígonos congruentes y paralelos, y todas las aristas laterales son paralelas entre sí.

Cuando la recta que se traslada es perpendicular al plano de la base, las aristas laterales resultan perpendiculares a los planos de las bases, y el prisma se llama prisma recto. Si la recta no es perpendicular, se obtiene un prisma oblicuo.

En un prisma recto, todas las caras laterales son rectángulos. En un prisma oblicuo, las caras laterales son paralelogramos que no son rectángulos.

Elementos del prisma recto

• Bases: son los dos polígonos congruentes y paralelos; en un prisma recto, sus planos son paralelos.
• Caras laterales: son rectángulos en un prisma recto; su número coincide con el número de lados de la base.
• Aristas básicas: son los lados de los polígonos de las bases.
• Aristas laterales: son los segmentos que unen los vértices correspondientes de ambas bases; en un prisma recto, son perpendiculares a las bases y tienen la misma longitud.
• Altura: es la distancia entre los planos de las bases. En un prisma recto, la altura es igual a la longitud de la arista lateral.
• Vértices: puntos donde concurren las aristas.

Ejemplo numérico inmediato: consideremos un prisma recto cuya base es un triángulo de lados $3$, $4$ y $5$ cm, y cuya altura es $10$ cm. La base es un triángulo rectángulo, así que su área es $A_b = \frac{3\cdot 4}{2}=6$ cm². Como la altura es $10$, el volumen se calcula multiplicando el área de la base por la altura: $V = 6\cdot 10 = 60$ cm³. Este resultado es directo y lo formalizaremos en el apartado de volumen.

Los prismas se nombran según el polígono de la base:

Prisma regular
Un prisma regular es un prisma recto cuya base es un polígono regular. Por ejemplo:

• Prisma triangular regular: base triángulo equilátero.
• Prisma cuadrangular regular: base cuadrado.
• Prisma hexagonal regular: base hexágono regular.

En un prisma regular, todas las caras laterales son rectángulos congruentes, porque las aristas básicas son iguales y las aristas laterales son iguales.

Algunas áreas de bases regulares frecuentes:

• Triángulo equilátero de lado $a$: $A = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
• Cuadrado de lado $a$: $A = a^2$.
• Hexágono regular de lado $a$: $A = 6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Estas áreas son fundamentales para calcular volúmenes de prismas regulares.

Para un prisma recto, el cálculo del área lateral es muy simple. Las caras laterales son rectángulos; cada una tiene por base un lado de la base del prisma y por altura la altura del prisma.

Si la base tiene lados $l_1,l_2,\dots,l_n$, el área lateral es la suma de las áreas de estos rectángulos: $$A_{SL} = l_1 h + l_2 h + \cdots + l_n h = (l_1 + l_2 + \cdots + l_n)h.$$ La suma $l_1+\cdots+l_n$ es el perímetro de la base, que denotamos $2p_{\text{base}}$. Por lo tanto: $$A_{SL} = (2p_{\text{base}}) \cdot h.$$

Esta fórmula también se visualiza mediante el desarrollo de la superficie lateral: si se corta el prisma a lo largo de una arista lateral y se extienden las caras laterales, se obtiene un rectángulo cuyo largo es el perímetro de la base y cuyo ancho es la altura del prisma.

El área total de la superficie del prisma incluye el área lateral más las dos bases: $$A_{ST} = A_{SL} + 2A_{\text{base}}.$$

Ejemplo numérico inmediato: en el prisma triangular recto de base $3,4,5$ y altura $10$:

• Perímetro de la base: $2p = 3+4+5=12$.
• Área lateral: $A_{SL}=12\cdot 10=120$.
• Área de la base: $A_b = 6$.
• Área total: $A_{ST}=120+2\cdot 6=132$.

El volumen de un prisma recto se obtiene multiplicando el área de su base por su altura: $$V = A_{\text{base}} \cdot h.$$

Justificación intuitiva: si imaginamos el prisma apilando capas horizontales de área $A_{\text{base}}$ una sobre otra, cada capa tiene un espesor muy pequeño; al sumar todos esos espesores, la altura total es $h$. Como todas las capas tienen la misma área de la base, el volumen es el producto $A_{\text{base}}\cdot h$. Otra forma de verlo: para un prisma rectangular, el volumen es el conocido largo por ancho por alto; el área de la base es largo por ancho, y la altura es el alto. La fórmula se extiende a cualquier polígono de base.

En un prisma recto, la altura coincide con la longitud de la arista lateral, así que también podemos escribir: $$V = A_{\text{base}} \cdot a,$$ donde $a$ es la arista lateral.

Ejemplo numérico inmediato: en el prisma de base $3,4,5$ y altura $10$, $V=6\cdot 10=60$ cm³.

Caso importante: volumen de un prisma triangular

En los prismas triangulares, existe una expresión alternativa para el volumen que es muy útil cuando los datos se refieren a una cara lateral y a la arista opuesta. Consideremos un prisma triangular (recto u oblicuo) $ABC-A'B'C'$. Si tomamos como base una de sus caras laterales, por ejemplo $ABB'A'$, cuya área es $A_{\text{cara}}$, y medimos la distancia perpendicular $d$ desde la arista opuesta $CC'$ al plano de esa cara, entonces el volumen del prisma es: $$V = \frac{1}{2}\,A_{\text{cara}}\cdot d.$$

¿De dónde sale? Para un prisma triangular recto, esto se ve claramente si la base es un triángulo de lado $b$ y altura correspondiente $d_{\text{base}}$. Una cara lateral sobre el lado $b$ tiene área $b\cdot h$ (donde $h$ es la altura del prisma), y la distancia de la arista opuesta a esa cara es la altura del triángulo de la base relativa a $b$, es decir, $d_{\text{base}}$. Entonces: $$\frac{1}{2}(b\cdot h) \cdot d_{\text{base}} = \frac{1}{2} b\, d_{\text{base}}\, h = A_{\text{base}}\cdot h = V.$$ La misma idea se extiende al prisma oblicuo mediante la sección recta.

Un caso particular muy importante es el paralelepípedo rectangular, también llamado rectoedro u ortoedro: es un prisma recto cuyas bases son rectángulos. Si sus dimensiones son $a$, $b$ y $c$, entonces:

• Área de la base: $A_b = ab$.
• Área total: $$A_{ST} = 2(ab + ac + bc).$$
• Volumen: $$V = a\cdot b\cdot c.$$
• Diagonal: $$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.$$

La diagonal se obtiene con el teorema de Pitágoras aplicado en dos pasos. Primero, la diagonal de la base rectangular $a\times b$ es $\sqrt{a^2+b^2}$. Luego, esa diagonal de la base, la altura $c$ y la diagonal del prisma $d$ forman un triángulo rectángulo; por tanto: $$d = \sqrt{(\sqrt{a^2+b^2})^2 + c^2} = \sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$

Un tronco de prisma es la porción de un prisma comprendida entre una de sus bases y un plano no paralelo a las bases que corta todas las aristas laterales. En el caso particular en que el prisma original es recto y se conserva una de sus bases perpendicular a las aristas laterales, hablamos de tronco de prisma recto.

Visualmente, es como si se tomara un prisma recto y se le realizara un corte inclinado, de modo que las aristas laterales ya no tienen todas la misma longitud, pero siguen siendo perpendiculares a la base que se conserva.

Tronco de prisma triangular recto

Si la base que se conserva es un triángulo de área $A_b$, y las longitudes de las tres aristas laterales son $h_1,h_2,h_3$, entonces el volumen del tronco de prisma es: $$V = A_b \cdot \frac{h_1+h_2+h_3}{3}.$$

Justificación intuitiva: el plano inclinado superior tiene una altura variable sobre la base; para un triángulo, la altura promedio del plano es exactamente el promedio aritmético de las alturas de los tres vértices, que coincide con la altura en el centroide del triángulo. Como el volumen de un sólido con base de área $A_b$ y altura variable linealmente es $A_b$ por la altura promedio, se obtiene esa fórmula.

Ejemplo: un tronco de prisma triangular recto tiene base de área $12$ m² y aristas laterales $3$ m, $5$ m y $7$ m. Su volumen es: $$V = 12 \cdot \frac{3+5+7}{3} = 12 \cdot 5 = 60\text{ m}^3.$$

Tronco de prisma de base paralelográmica

Si la base que se conserva es un paralelogramo (en particular un rectángulo o un cuadrado) de área $A_b$, y las longitudes de las cuatro aristas laterales son $h_1,h_2,h_3,h_4$, entonces el volumen es: $$V = A_b \cdot \frac{h_1+h_2+h_3+h_4}{4}.$$

Además, en un tronco de prisma de base paralelográmica se cumple una propiedad muy útil: las sumas de las aristas opuestas son iguales: $$h_1 + h_3 = h_2 + h_4.$$ Esto se debe a que en un paralelogramo, los puntos medios de las diagonales coinciden; el plano superior inclinado no altera esta igualdad. Esta propiedad permite completar una arista faltante o verificar la coherencia de los datos.

Nota: Para troncos de base poligonal de más de cuatro lados, la fórmula del promedio aritmético de las alturas de los vértices no siempre coincide con la altura promedio del plano; se debe utilizar la altura del centroide de la base. En los exámenes, sin embargo, los casos que aparecen son casi siempre triangulares o cuadrangulares.