Cilindro recto

Imagina que tienes un prisma recto cuya base es un polígono regular de muchos lados, por ejemplo un octógono regular. El volumen es

$$V = A_{\text{base}} \cdot h.$$

El área lateral es

$$A_L = (2p_{\text{base}}) \cdot h.$$

Si vas aumentando el número de lados del polígono regular, la base se acerca cada vez más a un círculo. El perímetro del polígono se acerca a $2\pi r$ y su área se acerca a $\pi r^2$. En el límite, se obtiene un cilindro circular recto.

Por eso, las fórmulas del cilindro recto tienen la misma estructura que las del prisma recto:

• área lateral: perímetro de la base por altura;
• volumen: área de la base por altura.

En geometría, un cilindro circular recto, también llamado cilindro de revolución, es el sólido que se genera al hacer girar una región rectangular $360^\circ$ alrededor de uno de sus lados.

Es decir:

Un rectángulo gira alrededor de un eje que coincide con uno de sus lados. El lado opuesto, al girar, genera la superficie lateral curva. Los otros dos lados, perpendiculares al eje, generan dos círculos congruentes que son las bases.

Este es el tipo de cilindro que estudiaremos en este tema.

Desde otro punto de vista, un cilindro recto es un cilindro en el que las generatrices son perpendiculares a los planos de las bases. En el cilindro circular recto, las bases son círculos y las generatrices son perpendiculares a ellas.

Elementos

Los elementos del cilindro circular recto son:

• Bases: son dos círculos congruentes y paralelos.
• Altura $h$: distancia entre los planos de las bases.
• Radio $r$: radio de cada base.
• Generatriz $g$: segmento sobre la superficie lateral que une puntos correspondientes de las bases.
• Eje: recta que pasa por los centros de las bases.

En el cilindro recto, la generatriz y la altura miden exactamente lo mismo:

$$g = h.$$

Esto no ocurre en un cilindro oblicuo, donde las generatrices son oblicuas a las bases y la altura es menor que la generatriz.

Las características del cilindro circular recto son:

1. Sus bases son círculos congruentes situados en planos paralelos.
2. Todas las generatrices tienen la misma longitud.
3. En el cilindro recto, las generatrices son perpendiculares a las bases.
4. La altura coincide con la generatriz: $h = g$.

Estas propiedades simplifican mucho los cálculos.

Un recurso muy importante para entender el área lateral es imaginar que cortamos la superficie lateral del cilindro a lo largo de una generatriz y la estiramos sobre un plano.

Al hacerlo, obtenemos un rectángulo.

¿Por qué la base del rectángulo mide $2\pi r$?

Porque al estirar la superficie lateral, el borde inferior, que era una circunferencia, se convierte en un segmento de longitud igual al perímetro de la base:

$$\ell_{\circ} = 2\pi r.$$

La altura del rectángulo es simplemente la altura del cilindro $h$.

Este desarrollo nos da una interpretación visual muy útil para:

• calcular el área lateral;
• resolver problemas de recorridos mínimos sobre el manto;
• entender cómo construir un cilindro a partir de una hoja rectangular.

Área de la superficie lateral

Del desarrollo anterior se obtiene directamente:

$$\boxed{A_L = 2\pi r h}$$

donde $r$ es el radio de la base y $h$ es la altura.

También puede escribirse como:

$$A_L = (2\pi r) \cdot h,$$

es decir, el perímetro de la base multiplicado por la altura, igual que en el prisma recto.

Ejemplo breve

Un cilindro recto tiene radio $4$ cm y altura $10$ cm. Su área lateral es

$$A_L = 2\pi(4)(10) = 80\pi \ \text{cm}^2.$$

Área de la superficie total

El área total es la suma del área lateral y el área de las dos bases circulares.

Cada base tiene área $\pi r^2$. Como hay dos bases:

$$A_{\text{bases}} = 2\pi r^2.$$

Entonces:

$$\boxed{A_T = A_L + 2A_{\text{base}} = 2\pi r h + 2\pi r^2}$$

Factorizando:

$$\boxed{A_T = 2\pi r (h + r)}$$

Esta es la fórmula más práctica para el cilindro circular recto.

Ejemplo breve

Para el mismo cilindro de radio $4$ cm y altura $10$ cm:

$$A_T = 2\pi(4)(10 + 4) = 8\pi(14) = 112\pi \ \text{cm}^2.$$

El volumen de un cilindro recto se calcula multiplicando el área de la base por la altura:

$$\boxed{V = \pi r^2 h}$$

Justificación

Como el cilindro recto puede verse como el límite de un prisma recto de base regular con muchísimos lados, su volumen respeta la misma fórmula:

$$V = A_{\text{base}} \cdot h.$$

También se puede justificar con el principio de Cavalieri: todas las secciones horizontales de un cilindro recto son círculos congruentes de área $\pi r^2$. Por lo tanto, el volumen es:

$$V = \pi r^2 \cdot h.$$

Ejemplo breve

Un cilindro recto tiene radio $3$ m y altura $10$ m. Su volumen es

$$V = \pi(3)^2(10) = 90\pi \ \text{m}^3.$$

Un caso particular muy recurrente en los exámenes es el cilindro equilátero.

Un cilindro recto es equilátero cuando su sección axial es un cuadrado. Como veremos, esto equivale a que la altura sea igual al diámetro de la base:

$$\boxed{h = 2r}$$

Es decir, la generatriz mide lo mismo que el diámetro de la base.

En un cilindro equilátero:

• $h = 2r$;
• $A_L = 2\pi r(2r) = 4\pi r^2$;
• $A_T = 2\pi r(2r + r) = 6\pi r^2$;
• $V = \pi r^2(2r) = 2\pi r^3$.

Este caso aparece en muchos problemas porque la relación $h = 2r$ permite despejar rápidamente el radio cuando se conoce alguno de los otros datos.

Ejemplo breve

Si un cilindro equilátero tiene volumen $54\pi\ \text{cm}^3$, entonces:

$$2\pi r^3 = 54\pi \quad \Rightarrow \quad r^3 = 27 \quad \Rightarrow \quad r = 3 \ \text{cm}.$$

Luego $h = 6$ cm.

Sección axial

La sección axial de un cilindro recto es la intersección del cilindro con un plano que contiene al eje.

Es decir, se corta el cilindro con un plano vertical que pasa por los centros de las bases.

La sección axial es un rectángulo cuyas dimensiones son:

$$\text{ancho} = 2r, \qquad \text{alto} = h.$$

Por lo tanto, el área de la sección axial es:

$$\boxed{A_{\text{axial}} = 2r h}$$

En el cilindro equilátero, la sección axial es un cuadrado, porque $2r = h$.

Sección transversal

Una sección transversal es una sección producida por un plano paralelo a las bases. En un cilindro recto, toda sección transversal es un círculo congruente a las bases.

Esto es importante para problemas de volúmenes y para el principio de Cavalieri.

Aunque el tema principal es el cilindro recto, en los exámenes UNMSM se ha evaluado también el cilindro oblicuo de sección recta circular. Además, comprenderlo te ayudará a dominar mejor el tronco de cilindro.

Un cilindro oblicuo de sección recta circular es aquel cuyas generatrices no son perpendiculares a las bases, pero cuya sección recta es un círculo.

La sección recta es la sección producida por un plano perpendicular a las generatrices.

En este cilindro:

• Las bases son elipses, no círculos.
• La sección recta es un círculo de radio $r$.
• La generatriz mide $g$.
• La altura $h$ es la distancia perpendicular entre los planos de las bases.

Relación entre la base elíptica y la sección recta

La base elíptica es la proyección de la sección recta sobre un plano inclinado, o al revés: la proyección ortogonal de la base elíptica sobre el plano de la sección recta es el círculo.

Si $\theta$ es el ángulo diedro entre el plano de la base elíptica y el plano de la sección recta, entonces por proyección de áreas:

$$\boxed{A_{\text{base}} \cos \theta = A_{\text{sección recta}}}$$

Es decir:

$$A_{\text{base}} \cos \theta = \pi r^2.$$

Altura del cilindro oblicuo

La altura se relaciona con la generatriz mediante:

$$\boxed{h = g \cos \theta}$$

pues la generatriz es perpendicular a la sección recta, y la altura es su componente perpendicular a las bases.

Área lateral

El área lateral del cilindro oblicuo de sección recta circular se calcula con el perímetro de la sección recta multiplicado por la generatriz:

$$\boxed{A_L = 2\pi r g}$$

Volumen

El volumen se puede calcular de dos maneras equivalentes:

$$\boxed{V = A_{\text{sección recta}} \cdot g = \pi r^2 g}$$

o también:

$$\boxed{V = A_{\text{base}} \cdot h}$$

Ambas expresiones dan lo mismo:

$$\pi r^2 g = \left(\frac{\pi r^2}{\cos \theta}\right) (g \cos \theta).$$

Un tronco de cilindro circular recto es la parte de un cilindro recto comprendida entre una de sus bases circulares y un plano no paralelo a ella que corta a todas las generatrices.

En este sólido tenemos:

• una base circular de radio $r$;
• una base elíptica producida por el plano inclinado;
• dos generatrices notables: la generatriz máxima $g_{max}$ y la generatriz mínima $g_{min}$;
• el segmento que une el centro de la base circular con el centro de la elipse, cuya longitud llamaremos altura media $h_m$.

Altura media

Si el plano inclinado corta al cilindro recto, la generatriz máxima y la generatriz mínima son diametralmente opuestas.

La altura correspondiente al centro de la base circular es el promedio de ambas generatrices:

$$\boxed{h_m = \frac{g_{max} + g_{min}}{2}}$$

Esta altura media es el segmento que va del centro de la base circular al centro de la base elíptica.

Área lateral del tronco de cilindro recto

La superficie lateral, al desarrollarse, ya no es exactamente un rectángulo, sino una figura de altura variable. Sin embargo, su área puede calcularse como si se tratara de un rectángulo de base $2\pi r$ y altura $h_m$:

$$\boxed{A_L = 2\pi r h_m = 2\pi r \cdot \frac{g_{max}+g_{min}}{2}}$$

O bien:

$$\boxed{A_L = \pi r (g_{max} + g_{min})}$$

Volumen del tronco de cilindro recto

El volumen se calcula como el área de la base circular multiplicada por la altura media:

$$\boxed{V = \pi r^2 h_m = \pi r^2 \cdot \frac{g_{max}+g_{min}}{2}}$$

¿Por qué?

Podemos imaginarnos que, para cada punto de la base circular, la generatriz hasta el plano inclinado tiene una longitud que varía linealmente desde $g_{min}$ hasta $g_{max}$. El promedio de todas esas generatrices es precisamente $h_m$. Entonces, el volumen equivale al de un cilindro recto de la misma base y altura $h_m$.

Relación entre $g_{max}$, $g_{min}$, el radio y el ángulo de inclinación

Muy frecuentemente se pide hallar el radio o el ángulo entre la base circular y la base elíptica.

En ese corte vertical se forma un triángulo rectángulo en el que:

$$\boxed{\tan \theta = \frac{g_{max} - g_{min}}{2r}}$$

Equivalentemente:

$$\boxed{g_{max} - g_{min} = 2r \tan \theta}$$

Esta relación es muy útil. Por ejemplo, si te dan $g_{max}$, $g_{min}$ y el ángulo $\theta$, puedes despejar $r$:

$$r = \frac{g_{max} - g_{min}}{2\tan \theta}.$$

Área de la base elíptica

La base superior de un tronco de cilindro recto es una elipse.

Los semiejes de esa elipse son:

• semieje menor: $b = r$, porque el ancho de la elipse en la dirección perpendicular a la inclinación es igual al diámetro de la base circular;
• semieje mayor: $a = \frac{r}{\cos \theta}$, porque en la dirección de máxima pendiente, el diámetro circular $2r$ se proyecta sobre el plano inclinado.

El área de una elipse de semiejes $a$ y $b$ es:

$$\boxed{A_{\text{elipse}} = \pi a b}$$

Por lo tanto:

$$\boxed{A_{\text{elipse}} = \pi \left(\frac{r}{\cos \theta}\right) r = \frac{\pi r^2}{\cos \theta}}$$

Esto coincide con la relación de proyección de áreas:

$$A_{\text{elipse}} \cos \theta = \pi r^2.$$

Área total del tronco de cilindro recto

Para hallar el área total del tronco de cilindro recto se suman:

• el área lateral $A_L = 2\pi r h_m$;
• el área de la base circular $A_{\circ}=\pi r^2$;
• el área de la base elíptica $A_{\text{elipse}} = \frac{\pi r^2}{\cos \theta}$.

Entonces:

$$\boxed{A_T = 2\pi r h_m + \pi r^2 + \frac{\pi r^2}{\cos \theta}}$$

El desarrollo de la superficie lateral del cilindro recto también sirve para resolver problemas en los que un insecto, una hormiga o una cuerda se desplaza sobre el manto.

Método

1. Se corta el manto a lo largo de una generatriz y se extiende en un rectángulo.
2. Se ubican los dos puntos en ese rectángulo.
3. La menor distancia sobre la superficie lateral corresponde a una línea recta en el desarrollo.
4. Si hay dos caminos posibles, se comparan las dos diagonales y se elige la menor.

Caso típico

Un punto $P$ está en la base inferior y otro punto $Q$ está en la base superior, separados angularmente por un arco de $\theta$.

En el desarrollo del manto, la separación horizontal entre $P$ y $Q$ es la longitud del arco correspondiente:

$$d_h = r\theta,$$

donde $\theta$ se mide en radianes. Si el arco es media circunferencia, $d_h = \pi r$; si es una vuelta completa, $d_h = 2\pi r$.

La separación vertical es la altura $h$.

Entonces, la menor distancia sobre el manto es:

$$\boxed{d = \sqrt{d_h^2 + h^2}}$$

Hay que considerar también el camino en el otro sentido alrededor del cilindro, con desplazamiento horizontal $2\pi r - d_h$, y elegir la menor de las dos diagonales.

Un tipo de problema muy común es el de inmersión de un sólido dentro de un cilindro que contiene agua.

El principio es el siguiente:

Si un objeto se sumerge completamente en un líquido contenido en un cilindro recto, el volumen del objeto es igual al volumen del líquido desplazado, y ese volumen desplazado produce un aumento en el nivel del agua.

Si el radio del cilindro es $r$ y el nivel del agua sube $\Delta h$, entonces:

$$\boxed{V_{\text{objeto}} = \pi r^2 \cdot \Delta h}$$

Por lo tanto, si se pide cuánto sube el nivel:

$$\boxed{\Delta h = \frac{V_{\text{objeto}}}{\pi r^2}}$$

Observaciones

• El objeto debe quedar completamente sumergido.
• El recipiente no debe derramar líquido; si fuera posible derrame, el análisis cambia.
• El volumen desplazado no depende de la forma del objeto, solo de su volumen.

En admisión también se combina el cilindro recto con otros sólidos, especialmente con el cono.

Un caso frecuente es un cono inscrito en un cilindro recto con la misma base y la misma altura.

Recordemos que el volumen de un cono de revolución es:

$$V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h.$$

Entonces, si un cono y un cilindro comparten la misma base y la misma altura, el volumen del cono es un tercio del volumen del cilindro:

$$V_{\text{cono}} = \frac{1}{3} V_{\text{cilindro}}.$$

Por lo tanto, el volumen de la región comprendida entre el cilindro y el cono inscrito es:

$$V_{\text{cilindro}} - V_{\text{cono}} = \frac{2}{3}\pi r^2 h.$$

Este tipo de relación se sigue usando en los temas de pirámide y cono.