Relaciones métricas II: Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo

Tomemos un triángulo $ABC$ y fijemos como base el lado $AC=b$. Trazamos la altura $BH=h$ desde $B$ hacia la recta $AC$.

Sea $H$ el pie de la perpendicular.

Si $H$ está entre $A$ y $C$, llamamos:

• $AH=m$: proyección de $AB$ sobre $AC$.
• $HC=n$: proyección de $BC$ sobre $AC$.

En ese caso:

$$m+n=b$$

Cuando el triángulo es obtusángulo, la altura puede caer fuera del lado. Por ejemplo, si el ángulo en $A$ es obtuso, el pie $H$ queda en la prolongación de $CA$ más allá de $A$.

Esta idea de proyección es la base del primer teorema importante.

El teorema de Euclides relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y la proyección de uno de ellos.

2.1 Lado opuesto a un ángulo agudo

Consideremos nuevamente el triángulo $ABC$ con base $AC=b$, altura $BH=h$ y $AH=m$, suponiendo que $H$ cae dentro de $AC$.

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo $ABH$:

$$c^2 = h^2 + m^2$$

En el triángulo rectángulo $BHC$, como $HC=b-m$, se tiene:

$$a^2 = h^2 + (b-m)^2$$

Desarrollamos:

$$a^2 = h^2 + b^2 - 2bm + m^2$$

Pero $h^2 + m^2 = c^2$. Reemplazando:

$$\boxed{a^2 = b^2 + c^2 - 2bm}$$

Aquí:

• $a=BC$ es el lado opuesto al ángulo en $A$.
• $m$ es la proyección de $AB=c$ sobre $AC=b$.

Ejemplo numérico:
Si $AB=7$, $AC=5$, y la proyección de $AB$ sobre $AC$ es $m=1$, entonces:

$$BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(1)$$

$$BC^2 = 25+49-10=64$$

$$BC=8$$

2.2 Lado opuesto a un ángulo obtuso

Si el ángulo en $A$ es obtuso, la altura $BH$ cae fuera del lado $AC$. Si $AH=m$ y $H$ queda más allá de $A$, entonces:

$$HC = b + m$$

Aplicando Pitágoras:

$$c^2 = h^2 + m^2$$

y

$$a^2 = h^2 + (b+m)^2$$

Desarrollamos:

$$a^2 = h^2 + b^2 + 2bm + m^2$$

Nuevamente $h^2+m^2=c^2$. Por lo tanto:

$$\boxed{a^2 = b^2 + c^2 + 2bm}$$

Ejemplo numérico:
Si $AB=6$, $AC=7$, el ángulo en $A$ es obtuso y la proyección exterior es $m=2$, entonces:

$$BC^2 = 7^2 + 6^2 + 2(7)(2)$$

$$BC^2 = 49+36+28=113$$

$$BC = \sqrt{113}$$

2.3 Forma en diferencias de proyecciones

De las relaciones anteriores también se obtiene una forma muy práctica. Si $H$ está dentro de $AC$, teníamos:

$$a^2 = h^2 + n^2$$

$$c^2 = h^2 + m^2$$

Restando:

$$a^2 - c^2 = n^2 - m^2$$

Pero $n=HC$ y $m=AH$, con $m+n=b$. Entonces:

$$a^2 - c^2 = (n-m)(n+m) = b(n-m)$$

Es decir:

$$\boxed{a^2 - c^2 = b(n-m)}$$

Esta versión es útil cuando se pregunta por la diferencia de cuadrados de dos lados.

A partir del teorema del coseno, que veremos enseguida, se obtiene un criterio para clasificar un triángulo por sus ángulos.

Sea $a$ el lado mayor del triángulo. Comparando $a^2$ con $b^2+c^2$:

Ejemplos:

• Lados $3,4,5$:
  $5^2 = 25$ y $3^2+4^2=25$. Como son iguales, es rectángulo.

• Lados $3,5,7$:
  $7^2 = 49$ y $3^2+5^2=34$. Como $49>34$, es obtusángulo.

• Lados $5,7,8$:
  $8^2 = 64$ y $5^2+7^2=74$. Como $64<74$, es acutángulo.

El teorema del coseno generaliza el teorema de Euclides para cualquier ángulo, sin importar si es agudo u obtuso.

En un triángulo $ABC$:

$$\boxed{a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A}$$

Análogamente:

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

¿De dónde sale?

Si el ángulo $A$ es agudo, en el triángulo rectángulo $ABH$ se tiene:

$$\cos A = \frac{m}{c}$$

Por lo tanto $m=c\cos A$. Reemplazando en $a^2=b^2+c^2-2bm$:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2b(c\cos A)$$

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

Si $A$ es obtuso, $\cos A$ es negativo y la fórmula sigue funcionando, porque el signo menos por un coseno negativo produce el signo más del caso obtuso.

¿Para qué sirve?

1. Si conoces dos lados y el ángulo comprendido, puedes hallar el tercer lado.
2. Si conoces los tres lados, puedes hallar cualquier ángulo despejando:

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

Ejemplo numérico:
Si $AB=5$, $AC=8$ y $\angle A = 60^\circ$, hallemos $BC$.

Usamos:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

$$a^2 = 8^2 + 5^2 - 2(8)(5)\cos 60^\circ$$

$$a^2 = 64+25 - 80\left(\frac12\right)$$

$$a^2 = 89 - 40 = 49$$

$$a=7$$

Por lo tanto, $BC=7$.

Una ceviana es un segmento trazado desde un vértice de un triángulo hasta un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación.

El teorema de Stewart permite calcular la longitud de una ceviana si se conocen los lados del triángulo y cómo la ceviana divide al lado.

Consideremos un triángulo $ABC$. Sea $AD$ una ceviana interior, con $D$ en $BC$.

Llamamos:

$$BC=a,\qquad CA=b,\qquad AB=c$$

$$AD=x,\qquad BD=m,\qquad DC=n$$

Entonces:

$$\boxed{b^2m + c^2n = a(x^2 + mn)}$$

Recuerda que:

$$a = m+n$$

Justificación breve

Sea $\theta$ el ángulo $\angle ADC$. En el triángulo $ADC$:

$$b^2 = x^2 + n^2 - 2xn\cos\theta$$

En el triángulo $ABD$, el ángulo $\angle ADB = 180^\circ - \theta$, y por lo tanto $\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$:

$$c^2 = x^2 + m^2 + 2xm\cos\theta$$

Multiplicando la primera ecuación por $m$, la segunda por $n$, y sumando, se eliminan los términos con coseno y se obtiene la fórmula de Stewart.

Ejemplo numérico:
En un triángulo $ABC$, $AB=7$, $AC=5$, $BC=8$. Desde $A$ se traza una ceviana $AD$ hacia $BC$, tal que $BD=3$ y $DC=5$. Hallemos $AD=x$.

Aplicamos Stewart:

$$b^2m + c^2n = a(x^2+mn)$$

Aquí $b=5$, $c=7$, $a=8$, $m=3$, $n=5$.

$$5^2(3) + 7^2(5) = 8(x^2+3\cdot 5)$$

$$75 + 245 = 8(x^2+15)$$

$$320 = 8x^2 + 120$$

$$200 = 8x^2$$

$$x^2 = 25$$

$$x = 5$$

Por lo tanto, la ceviana mide $5$.

La mediana es un caso particular de ceviana. Si $D$ es el punto medio de $BC$, entonces:

$$m = n = \frac a2$$

Sustituyendo en el teorema de Stewart:

$$b^2\left(\frac a2\right) + c^2\left(\frac a2\right) = a\left(x^2 + \frac a2\cdot \frac a2\right)$$

$$\frac a2(b^2+c^2) = a\left(x^2 + \frac{a^2}{4}\right)$$

Dividiendo entre $a/2$:

$$\boxed{b^2 + c^2 = 2x^2 + \frac{a^2}{2}}$$

o equivalentemente:

$$\boxed{x = \frac12 \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}}$$

donde $x$ es la mediana trazada hacia el lado $a$.

Ejemplo numérico:
En un triángulo de lados $5,7,8$, hallemos la mediana relativa al lado $8$.

Tomamos $a=8$, $b=5$, $c=7$.

$$x = \frac12\sqrt{2(5^2)+2(7^2)-8^2}$$

$$x = \frac12\sqrt{50+98-64}$$

$$x = \frac12\sqrt{84}$$

$$x = \sqrt{21}$$

Por lo tanto, la mediana mide $\sqrt{21}$.

7.1 Bisectriz interior

Sea $AD$ la bisectriz interior del ángulo $A$, con $D$ en $BC$.

La bisectriz interior cumple el teorema de la bisectriz:

$$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$$

Es decir:

$$\frac mn = \frac cb$$

Además, la longitud de la bisectriz interior está dada por:

$$\boxed{x^2 = bc - mn}$$

Justificación rápida

Por el teorema de la bisectriz:

$$\frac mn = \frac cb$$

Entonces existe un factor $k$ tal que:

$$m = ck,\qquad n = bk$$

Como $m+n=a$:

$$ck + bk = a$$

$$k = \frac{a}{b+c}$$

Luego:

$$m = \frac{ac}{b+c},\qquad n = \frac{ab}{b+c}$$

Aplicando Stewart y simplificando se obtiene:

$$x^2 = bc - mn$$

Ejemplo numérico:
En un triángulo $ABC$, $AB=6$, $AC=8$, $BC=7$. Hallemos la bisectriz interior desde $A$.

Por el teorema de la bisectriz:

$$\frac{BD}{DC} = \frac{6}{8} = \frac34$$

Como $BD+DC=7$, se obtiene:

$$BD = 3,\qquad DC = 4$$

Aplicamos la fórmula:

$$x^2 = 6\cdot 8 - 3\cdot 4$$

$$x^2 = 48 - 12 = 36$$

$$x = 6$$

La bisectriz interior mide $6$.

7.2 Bisectriz exterior

La bisectriz exterior de un ángulo también genera una relación importante.

Si $AD$ es la bisectriz exterior del ángulo $A$ y corta la prolongación de $BC$ en $D$, se cumple:

$$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$$

La longitud $x=AD$ se calcula con:

$$\boxed{x^2 = mn - bc}$$

donde $m$ y $n$ son los segmentos determinados por $D$ sobre la recta $BC$, medidos desde $D$ hasta $B$ y desde $D$ hasta $C$, respectivamente.

Es una fórmula análoga a la de la bisectriz interior, pero con los productos cambiados de signo.

7.3 Fórmula trigonométrica para la bisectriz

Si se conoce el ángulo $A=\theta$ y los lados que lo forman $b=AC$ y $c=AB$, la bisectriz interior $x$ también puede calcularse como:

$$\boxed{x = \frac{2bc\cos(\theta/2)}{b+c}}$$

Esta forma es útil cuando el dato es el ángulo y no los segmentos en que la bisectriz divide al lado opuesto.

Para calcular una altura a partir de los tres lados se usa la fórmula de Herón.

Sea $p$ el semiperímetro de un triángulo de lados $a,b,c$:

$$p = \frac{a+b+c}{2}$$

El área $S$ del triángulo es:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Como el área también es:

$$S = \frac12 \cdot \text{base} \cdot \text{altura}$$

entonces la altura relativa al lado $a$ es:

$$\boxed{h_a = \frac{2}{a}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$$

Análogamente:

$$h_b = \frac{2}{b}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$h_c = \frac{2}{c}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Ejemplo numérico clásico:
Un triángulo tiene lados $13,14,15$. Hallemos la altura relativa al lado $14$.

Calculamos el semiperímetro:

$$p = \frac{13+14+15}{2} = 21$$

El área es:

$$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$$

$$S = \sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}$$

$$S = \sqrt{7056} = 84$$

La altura relativa al lado $14$ es:

$$h = \frac{2S}{14} = \frac{168}{14} = 12$$

Por lo tanto, la altura mide $12$.

9.1 Suma de los cuadrados de las medianas

Si $m_a$, $m_b$ y $m_c$ son las medianas de un triángulo de lados $a,b,c$, entonces:

$$\boxed{m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac34(a^2+b^2+c^2)}$$

Esta propiedad se obtiene al sumar las tres expresiones de la mediana.

9.2 Cuadrilátero de diagonales perpendiculares

En todo cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares, la suma de los cuadrados de dos lados opuestos es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados opuestos.

Si $ABCD$ es un cuadrilátero con $AC\perp BD$, entonces:

$$\boxed{AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2}$$

Se justifica aplicando Pitágoras en los cuatro triángulos rectángulos que se forman alrededor de la intersección de las diagonales.

9.3 Propiedad del rectángulo

En un rectángulo $ABCD$, para cualquier punto $P$ se cumple:

$$\boxed{PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2}$$

Esta propiedad se demuestra con el teorema de la mediana. Sea $O$ el centro del rectángulo, es decir, el punto donde se cortan las diagonales.

En el triángulo $APC$, como $O$ es punto medio de $AC$, la mediana $PO$ cumple:

$$PA^2 + PC^2 = 2PO^2 + \frac{AC^2}{2}$$

En el triángulo $BPD$, como $O$ es punto medio de $BD$:

$$PB^2 + PD^2 = 2PO^2 + \frac{BD^2}{2}$$

Pero en un rectángulo las diagonales son iguales:

$$AC = BD$$

Por lo tanto:

$$PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$$

Esta propiedad es muy útil cuando se dan tres distancias desde un punto $P$ a tres vértices de un rectángulo y se pide la cuarta.