Cantidades cinemáticas

¿Qué es el movimiento mecánico?

Un cuerpo experimenta movimiento mecánico cuando cambia de posición de manera continua respecto de un sistema de referencia al transcurrir el tiempo.

La frase más importante de esta definición es «respecto de un sistema de referencia». El movimiento no es una propiedad absoluta de los cuerpos: depende de quién lo observa. Un pasajero sentado en un bus está en reposo respecto del bus, pero está en movimiento respecto de la pista. No es incorrecto decir que está en reposo o en movimiento: simplemente hay que aclarar el sistema de referencia.

Elementos de un sistema de referencia

Para ubicar un cuerpo en el espacio y en el tiempo, un sistema de referencia consta de tres elementos básicos:

1. Cuerpo de referencia: un objeto o punto físico desde el cual se miden las posiciones. Por ejemplo, el frontis del Palacio de Justicia en el centro de Lima, el hito kilométrico cero de una carretera o la estación de un tren.

2. Sistema de coordenadas: un conjunto de ejes o distancias que permiten asignar un número (o varios) a cada posición. Para movimientos en línea recta suele usarse un eje $X$; para movimientos en un plano, ejes $X$ e $Y$; para movimientos en el espacio, tres ejes.

3. Reloj o cronómetro: instrumento que permite medir los instantes o intervalos de tiempo.

Por ejemplo, si un camión blindado es monitoreado por GPS a lo largo de la avenida Arequipa, el cuerpo de referencia puede ser la sede de la empresa de seguridad; el sistema de coordenadas, un eje $X$ orientado a lo largo de la avenida con distancias en kilómetros; y el reloj, el sistema GPS que registra la hora en cada posición.

Cuando elegimos un sistema de referencia, también debemos fijar una dirección positiva. En una recta, lo usual es tomar como positivo el sentido hacia la derecha o hacia el norte, y negativo hacia la izquierda o hacia el sur. El signo de la posición indica de qué lado del origen se encuentra el cuerpo.

Móvil, trayectoria y recorrido

Al cuerpo que estudiamos y que cambia de posición respecto del sistema de referencia se le llama móvil. Para simplificar, muchas veces se le trata como una partícula: un punto material.

La trayectoria es la línea imaginaria que el móvil va describiendo durante su movimiento. Puede ser:

• rectilínea, como un bus que recorre la Panamericana en un tramo sin curvas;
• curva, como un automóvil que toma una rotonda;
• circunferencial, como la cabina de una rueda de un parque de diversiones;
• parabólica, como una pelota de fútbol luego de ser pateada en tiro libre, si despreciamos el rozamiento del aire.

El recorrido —también llamado longitud de la trayectoria— es una magnitud escalar que mide cuántos metros, kilómetros u otras unidades de longitud hay a lo largo de la trayectoria. Se denota frecuentemente con $e$ o $s$. Es distinto del desplazamiento, como veremos a continuación.

Vector posición $\vec{r}$

La posición de un cuerpo es el lugar que ocupa en el espacio respecto del sistema de referencia, en un instante dado. En una recta se representa por una coordenada $x(t)$; en un plano, por un par $(x(t), y(t))$; en el espacio, por una terna. Como esa posición tiene magnitud, dirección y sentido respecto del origen, se le puede asociar un vector $\vec{r}$, llamado vector posición.

Por ejemplo, si en un eje $X$ un automóvil se encuentra en $x=+30\ \mathrm{m}$, su vector posición respecto del origen es:

$$\vec{r}=+30\,\hat{i}\ \mathrm{m} \quad\text{o simplemente}\quad x=+30\ \mathrm{m}.$$

Si se encuentra en $x=-20\ \mathrm{m}$, el vector es:

$$\vec{r}=-20\,\hat{i}\ \mathrm{m}.$$

El signo no es un adorno: indica que el cuerpo está 20 metros a la izquierda del origen.

Posición inicial, posición final e intervalo de tiempo

Cuando describimos un movimiento entre dos instantes, denotamos:

• $t_0$: instante inicial;
• $t_f$: instante final;
• $\vec{r}_0$ o $x_0$: posición inicial;
• $\vec{r}_f$ o $x_f$: posición final.

El intervalo de tiempo transcurrido es:

$$\Delta t = t_f - t_0$$

y siempre es positivo si $t_f > t_0$. Se mide en segundos, minutos, horas, etc.

Desplazamiento $\Delta\vec{r}$

El desplazamiento es una magnitud vectorial que indica el cambio de posición del móvil entre dos instantes. Se define como:

$$\Delta\vec{r} = \vec{r}_f - \vec{r}_0$$

En una dimensión:

$$\Delta x = x_f - x_0$$

El desplazamiento tiene tres características:

• su módulo es la distancia en línea recta entre la posición inicial y la final;
• su dirección es la de la recta que une ambas posiciones;
• su sentido va desde la posición inicial hacia la posición final.

Si un móvil sale de $x_0=+10\ \mathrm{m}$ y llega a $x_f=+25\ \mathrm{m}$, su desplazamiento es:

$$\Delta x = 25\ \mathrm{m} - 10\ \mathrm{m} = +15\ \mathrm{m}.$$

El signo positivo indica que se movió 15 m en el sentido positivo del eje.

Si en cambio sale de $x_0=+15\ \mathrm{m}$ y llega a $x_f=+7\ \mathrm{m}$:

$$\Delta x = 7\ \mathrm{m} - 15\ \mathrm{m} = -8\ \mathrm{m}.$$

El signo negativo indica que se desplazó 8 m en sentido contrario al positivo.

Distancia como módulo del desplazamiento

La distancia entre dos puntos es el módulo del desplazamiento y, por tanto, es una magnitud escalar siempre no negativa. En el ejemplo anterior, aunque el desplazamiento es $-8\ \mathrm{m}$, la distancia entre las posiciones es $8\ \mathrm{m}$.

En una dimensión:

$$d = |\Delta x| = |x_f - x_0|.$$

Distancia recorrida y desplazamiento: dos conceptos diferentes

Este es uno de los puntos donde suelen aparecer los errores. La distancia recorrida (o recorrido $e$) es la longitud total de la trayectoria que el móvil recorre, y el desplazamiento $\Delta\vec{r}$ es el cambio neto de posición. No son lo mismo, salvo en un caso especial.

Pensemos en un dirigible de vigilancia que sube desde el parque Kennedy en Miraflores, avanza 20 m al norte, luego 10 m al sur y se detiene. Su desplazamiento neto será de $20\ \mathrm{m} - 10\ \mathrm{m} = +10\ \mathrm{m}$ hacia el norte. Pero su distancia recorrida será de $20\ \mathrm{m} + 10\ \mathrm{m} = 30\ \mathrm{m}$.

En general:

• desplazamiento $\Delta\vec{r}$: vector desde la posición inicial a la final;
• distancia recorrida $e$: suma de los tramos de la trayectoria, sin importar la dirección;
• módulo del desplazamiento $|\Delta\vec{r}|$: longitud en línea recta de la posición inicial a la final.

Solo cuando la trayectoria es rectilínea y el móvil nunca cambia el sentido del movimiento, la distancia recorrida coincide con el módulo del desplazamiento.

Podemos resumirlo en una tabla:

El desplazamiento no nos dice nada sobre la rapidez con que ocurrió el cambio de posición. Para eso necesitamos comparar el desplazamiento con el intervalo de tiempo empleado. Aparecen así dos cantidades distintas: la rapidez media (escalar) y la velocidad media (vectorial).

Velocidad media $\vec{v}_m$

La velocidad media es una magnitud vectorial definida como el desplazamiento del móvil dividido entre el intervalo de tiempo correspondiente:

$$\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}.$$

En una dimensión:

$$v_{m,x} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_0}{t_f - t_0}.$$

Su unidad en el SI es el metro por segundo ($\mathrm{m/s}$).

Si un automóvil se desplaza de $x_0=+10\ \mathrm{m}$ a $x_f=+25\ \mathrm{m}$ entre $t_0=2\ \mathrm{s}$ y $t_f=5\ \mathrm{s}$, su velocidad media es:

$$\vec{v}_m = \frac{25\ \mathrm{m} - 10\ \mathrm{m}}{5\ \mathrm{s} - 2\ \mathrm{s}} = \frac{15\ \mathrm{m}}{3\ \mathrm{s}} = +5\ \mathrm{m/s}.$$

El signo positivo indica que la velocidad media tiene el mismo sentido que el eje positivo.

Si en otro caso $\Delta x = -8\ \mathrm{m}$ y $\Delta t = 2\ \mathrm{s}$:

$$\vec{v}_m = \frac{-8\ \mathrm{m}}{2\ \mathrm{s}} = -4\ \mathrm{m/s}.$$

Rapidez media $v_{(r,m)}$

La rapidez media es una magnitud escalar definida como el cociente entre la distancia recorrida y el intervalo de tiempo:

$$v_{r,m} = \frac{e}{\Delta t}.$$

En el ejemplo anterior, aunque el desplazamiento sea $-8\ \mathrm{m}$, si el móvil recorrió 8 m en 2 s, su rapidez media es:

$$v_{r,m} = \frac{8\ \mathrm{m}}{2\ \mathrm{s}} = 4\ \mathrm{m/s}.$$

Diferencia entre rapidez media y módulo de la velocidad media

La rapidez media usa la longitud de la trayectoria y el módulo de la velocidad media usa la longitud del desplazamiento. Por la relación entre ambas longitudes:

$$e \ge |\Delta\vec{r}|$$

se cumple que:

$$v_{r,m} \ge |\vec{v}_m|.$$

La igualdad $v_{r,m}=|\vec{v}_m|$ se da únicamente cuando el móvil se mueve en línea recta y en un solo sentido, sin retroceder. Si la trayectoria es curva o si el móvil cambia de sentido, la rapidez media es estrictamente mayor que el módulo de la velocidad media.

Cómo calcular la rapidez media en tramos con rapideces constantes

En problemas de admisión es común que un móvil recorra tramos iguales con diferentes rapideces. Un método seguro es:

1. separar el movimiento en tramos;
2. calcular el tiempo de cada tramo con $t=\frac{\text{distancia del tramo}}{\text{rapidez del tramo}}$;
3. sumar las distancias para obtener $e$ y sumar los tiempos para obtener $\Delta t$;
4. aplicar $v_{r,m} = e / \Delta t$.

Así se evita el error de promediar directamente rapideces.

La velocidad media describe el movimiento entre dos instantes, pero no nos dice qué tan rápido se mueve el cuerpo en un instante preciso. Si un bus recorre 60 km en 1 h, su rapidez media es $60\ \mathrm{km/h}$, pero quizás en un tramo iba a $30\ \mathrm{km/h}$, luego a $90\ \mathrm{km/h}$ y después se detuvo en un peaje. Necesitamos una cantidad que describa el movimiento en cada instante.

Definición de velocidad instantánea

La velocidad instantánea $\vec{v}(t)$ es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo $\Delta t$ se hace cada vez más pequeño, tendiendo a cero:

$$\vec{v}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}.$$

En lenguaje más cercano: es la velocidad media calculada sobre un intervalo tan pequeño que el móvil casi no cambia de dirección ni de rapidez. Matemáticamente, la velocidad instantánea es la derivada del vector posición respecto del tiempo.

En una dimensión:

$$v_x(t) = \frac{dx}{dt}.$$

El signo de $v_x$ indica el sentido instantáneo del movimiento: positivo si se mueve en el sentido positivo del eje, negativo si se mueve en sentido contrario.

Dirección de la velocidad instantánea

Una propiedad fundamental, muy usada en los problemas, es que la velocidad instantánea siempre es tangente a la trayectoria en el punto donde se encuentra el móvil. Su sentido coincide con el sentido del movimiento.

• Si la trayectoria es rectilínea, la velocidad instantánea tiene la dirección de la recta.
• Si la trayectoria es una curva, la velocidad instantánea es tangente a la curva en cada punto. Por eso, aunque la rapidez no cambie en un movimiento circular, la velocidad instantánea sí cambia porque su dirección cambia continuamente.

Rapidez instantánea

La rapidez instantánea $v(t)$ es el módulo de la velocidad instantánea:

$$v(t) = |\vec{v}(t)|.$$

Mientras que la velocidad instantánea es un vector, la rapidez instantánea es un escalar siempre mayor o igual que cero. El velocímetro de un auto muestra la rapidez instantánea.

La velocidad de un cuerpo no siempre es constante. Un bus que sale de un paradero aumenta su rapidez; al acercarse a un semáforo la disminuye; al tomar una curva cambia la dirección de su velocidad. La magnitud cinemática que describe qué tan rápido cambia la velocidad es la aceleración.

Aceleración media $\vec{a}_m$

La aceleración media es el cambio de la velocidad instantánea dividido entre el intervalo de tiempo en que ocurre ese cambio:

$$\vec{a}_m = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}_f - \vec{v}_0}{t_f - t_0}.$$

En una dimensión:

$$a_{m,x} = \frac{v_{f,x} - v_{0,x}}{\Delta t}.$$

Su unidad en el SI es el metro por segundo al cuadrado ($\mathrm{m/s^2}$).

Por ejemplo, si un motociclista que viaja por la Costa Verde pasa de $v_{0,x}=+5\ \mathrm{m/s}$ a $v_{f,x}=+17\ \mathrm{m/s}$ en $4\ \mathrm{s}$, su aceleración media es:

$$a_{m,x} = \frac{17\ \mathrm{m/s} - 5\ \mathrm{m/s}}{4\ \mathrm{s}} = \frac{12\ \mathrm{m/s}}{4\ \mathrm{s}} = +3\ \mathrm{m/s^2}.$$

Esto significa que, en promedio, su velocidad aumenta $3\ \mathrm{m/s}$ por cada segundo.

Signo de la aceleración

En una dimensión, la aceleración tiene signo. Un error frecuente es creer que una aceleración negativa siempre significa que el móvil está frenando. En realidad:

• si la aceleración tiene el mismo sentido que la velocidad (mismo signo), la rapidez aumenta;
• si la aceleración tiene sentido opuesto a la velocidad (signos contrarios), la rapidez disminuye.

Por ejemplo, si un auto se mueve hacia la izquierda con $v_x=-20\ \mathrm{m/s}$ y su aceleración es $a_x=-4\ \mathrm{m/s^2}$, su rapidez (módulo) aumenta, porque velocidad y aceleración tienen el mismo signo. Está acelerando, aunque la aceleración sea negativa. Para decidir si «acelera» o «frena» hay que comparar signos de $v$ y $a$.

Aceleración instantánea $\vec{a}(t)$

Así como pasamos de la velocidad media a la instantánea, definimos la aceleración instantánea como el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero:

$$\vec{a}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt}.$$

En una dimensión:

$$a_x(t) = \frac{dv_x}{dt}.$$

Como la velocidad es a su vez la derivada de la posición, la aceleración es la segunda derivada de la posición respecto del tiempo en una dimensión:

$$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}.$$

Importancia vectorial de la aceleración

La aceleración instantánea describe cualquier cambio del vector velocidad, no solo de su módulo. En un movimiento rectilíneo en el que el móvil aumenta o disminuye su rapidez, la aceleración tiene la dirección del movimiento. Pero en un movimiento circular uniforme, aunque la rapidez es constante, la velocidad cambia de dirección, y existe una aceleración dirigida hacia el centro de la circunferencia. En este curso introductorio no desarrollaremos la aceleración centrípeta, pero conviene saber que «aceleración» no es sinónimo de «aumento de rapidez»: es cambio de vector velocidad.

Las cantidades cinemáticas son, en general, funciones del tiempo. La posición $\vec{r}(t)$, la velocidad $\vec{v}(t)$ y la aceleración $\vec{a}(t)$ pueden cambiar instante a instante. Una forma muy poderosa de visualizar y analizar estos cambios es mediante gráficas.

En los exámenes de admisión, sobre todo los de la UNMSM, es recurrente pedir que se interpreten gráficas de posición contra tiempo ($x-t$), velocidad contra tiempo ($v-t$) y, con menor frecuencia, aceleración contra tiempo ($a-t$). Vamos a construir esas relaciones desde lo básico.

Gráfica posición versus tiempo ($x-t$)

En una gráfica $x$ vs $t$, el eje horizontal representa el tiempo y el vertical la posición. Cada punto de la curva indica dónde se encuentra el móvil en un instante.

• El desplazamiento entre dos instantes $t_1$ y $t_2$ es simplemente:

$$\Delta x = x(t_2) - x(t_1).$$

• La velocidad media en ese intervalo es la pendiente de la recta secante que une los puntos $(t_1,x_1)$ y $(t_2,x_2)$:

$$v_{m,x} = \frac{\Delta x}{\Delta t}.$$

• La velocidad instantánea en un instante $t$ es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto:

$$v_x(t) = \frac{dx}{dt}.$$

Si la tangente es ascendente, la velocidad es positiva; si es descendente, la velocidad es negativa; si la tangente es horizontal, la velocidad instantánea es cero (el móvil cambia momentáneamente de sentido o está en reposo).

Una recta con pendiente constante en una gráfica $x-t$ indica movimiento con velocidad constante. Una curva con pendiente que varía indica que la velocidad cambia con el tiempo.

Gráfica velocidad versus tiempo ($v-t$)

Esta es la gráfica más preguntada en el contexto de cantidades cinemáticas. Aquí el eje vertical representa la velocidad instantánea $v_x(t)$.

Propiedades clave:

1. La pendiente de la gráfica $v-t$ en un instante es la aceleración instantánea:

$$a_x = \frac{dv_x}{dt}.$$

2. El área bajo la gráfica $v-t$ entre dos instantes es igual al desplazamiento $\Delta x$ del móvil en ese intervalo. Esto proviene de que en intervalos muy pequeños, el desplazamiento es $v_x\,dt$, y al sumar todas esas pequeñas contribuciones se obtiene el área.

3. El área total tomando el valor absoluto de la velocidad es la distancia recorrida. Si la gráfica atraviesa el eje del tiempo (velocidad negativa), el área geométrica corresponde a desplazamientos en sentido contrario. Para hallar la distancia recorrida, sumamos las áreas sin importar el signo.

Por ejemplo, si la velocidad es $+4\ \mathrm{m/s}$ durante $2\ \mathrm{s}$ y luego $-2\ \mathrm{m/s}$ durante $3\ \mathrm{s}$:

• desplazamiento:

$$\Delta x = (+4)(2) + (-2)(3) = 8 - 6 = +2\ \mathrm{m};$$

• distancia recorrida:

$$e = |4 \times 2| + |(-2) \times 3| = 8 + 6 = 14\ \mathrm{m}.$$

Este tipo de interpretación fue exactamente lo que se pidió en un problema de admisión 2022-I.

Gráfica aceleración versus tiempo ($a-t$)

En una gráfica $a_x$ vs $t$:

• la pendiente no se usa tanto en este nivel introductorio;
• el área bajo la gráfica entre dos instantes es igual al cambio de velocidad:

$$\Delta v_x = \int_{t_1}^{t_2} a_x\,dt.$$

Si la aceleración es constante, el área es un rectángulo o, en general, una figura geométrica simple, y el cambio de velocidad es:

$$\Delta v_x = a_x\,\Delta t.$$

Ejemplo de movimiento con aceleración constante

Cuando la aceleración es constante e igual a $a_x$, las funciones temporales toman formas sencillas. No desarrollaremos aquí el MRUV, pero conviene presentar las formas para entender las gráficas:

• posición: $x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{1}{2} a_x t^2$;
• velocidad: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$;
• aceleración: $a_x(t) = a_x = \text{constante}$.

En una gráfica $v-t$, esta aceleración constante produce una línea recta; en una gráfica $x-t$, una parábola; en una gráfica $a-t$, una línea horizontal.

Caso particular: velocidad constante (preparación para el MRU)

Si la velocidad es constante en módulo, dirección y sentido, la aceleración es cero. La gráfica $v-t$ es una recta horizontal y la gráfica $x-t$ es una recta inclinada. La pendiente de la recta $x-t$ es la velocidad constante. En ese caso, además:

• la trayectoria es rectilínea;
• la rapidez media coincide con la rapidez instantánea;
• la distancia recorrida coincide con el módulo del desplazamiento;
• la velocidad media y la instantánea son iguales.

Este es el escenario del siguiente tema, el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), que se estudiará con detalle.