Inducción electromagnética

1.1. Idea intuitiva

El flujo magnético es una magnitud escalar que mide cuántas líneas de campo magnético atraviesan una superficie. Si tienes una espira y un campo magnético uniforme, no es lo mismo colocar la espira perpendicular al campo que colocarla inclinada. En el primer caso muchas líneas la atraviesan; en el segundo, menos; si la espira está paralela al campo, ninguna línea la atraviesa.

Para describir con precisión esta idea se define un vector especial: el vector área.

1.2. Vector área y fórmula del flujo magnético

Considera una superficie plana de área $A$. Su vector área $\vec{A}$ tiene las siguientes características:

• Es perpendicular a la superficie.
• Su módulo es igual al área $A$.
• Para una superficie cerrada, se toma hacia afuera de la superficie.
• Para una superficie abierta, se escoge una de las dos caras como referencia.

Si un campo magnético uniforme $\vec{B}$ atraviesa la superficie formando un ángulo $\theta$ con el vector normal $\vec{n}$, el flujo magnético es:

$$\Phi=\vec{B}\cdot \vec{A}=BA\cos\theta$$

Donde:

• $\Phi$: flujo magnético, en weber (Wb).
• $B$: módulo del campo magnético, en tesla (T).
• $A$: área de la superficie, en metros cuadrados (m²).
• $\theta$: ángulo entre $\vec{B}$ y el vector normal $\vec{n}$ a la superficie.

$$1\,\text{Wb}=1\,\text{T}\cdot \text{m}^{2}$$

La componente útil para el flujo es la componente perpendicular a la superficie: $B\cos\theta$. Por eso:

$$\Phi=(B\cos\theta)A$$

1.3. Casos importantes

Debes dominar estos tres casos:

El signo del flujo no es una cuestión física absoluta: depende de cómo se haya elegido el sentido positivo de la normal. Si el campo atraviesa la superficie saliendo por la cara elegida como positiva, el flujo es positivo. Si atraviesa en sentido contrario, es negativo.

1.4. Ángulo con el plano, no con la normal

Un error muy común es usar directamente el ángulo que el campo forma con el plano de la espira. La fórmula $\Phi=BA\cos\theta$ usa el ángulo con la normal. Si te dicen que el campo forma un ángulo $\beta$ con el plano, entonces:

$$\theta=90^{\circ}-\beta$$

Por tanto:

$$\Phi=BA\cos(90^{\circ}-\beta)=BA\sin\beta$$

Por ejemplo, si el campo forma $53^\circ$ con el plano de la espira, entonces forma $37^\circ$ con la normal.

1.5. Flujo magnético en una bobina de $N$ espiras

En una bobina plana de $N$ espiras iguales, cada espira es atravesada por el mismo flujo:

$$\Phi_{1}=BA\cos\theta$$

Sin embargo, al aplicar la ley de Faraday, la fem total es $N$ veces la fem producida por una espira. Por eso se usa el llamado enlace de flujo:

$$\Phi_{\rm total}=N\Phi_{1}=NBA\cos\theta$$

Debes distinguir dos cosas:

• El flujo que atraviesa cada espira es $BA\cos\theta$.
• El flujo total concatenado por la bobina, que es el que se usa en Faraday, es $N$ veces ese valor.

1.6. Flujo neto en una superficie cerrada

Si se toma una superficie cerrada dentro de un campo magnético, como un cubo o una esfera, el flujo neto es siempre cero:

$$\Phi_{\rm neto}^{(\text{superficie cerrada})}=0$$

Esto ocurre porque las líneas de campo magnético son cerradas: toda línea que entra a la superficie por una cara sale por otra. Por tanto, el flujo entrante y el saliente tienen igual magnitud, pero signos opuestos.

Si en un problema aparece la superficie lateral de un cono dentro de un campo magnético uniforme, se puede usar este resultado: el flujo por la superficie lateral es igual en magnitud y de signo contrario al flujo por la base circular.

1.7. Variación del flujo magnético

Para la inducción electromagnética, lo más importante no es el valor del flujo, sino su variación:

$$\Delta \Phi=\Phi_{\rm final}-\Phi_{\rm inicial}$$

El flujo puede variar por tres causas:

1. Cambia $B$: el campo magnético se hace más intenso o más débil.
2. Cambia $A$: la espira se deforma, se encoge o una barra amplía el área de un circuito.
3. Cambia $\theta$: la espira gira dentro del campo magnético.

Si una espira gira con rapidez angular constante $\omega$, el ángulo con la normal varía como:

$$\theta(t)=\omega t+\theta_{0}$$

Entonces el flujo en cualquier instante es:

$$\Phi(t)=BA\cos(\omega t+\theta_{0})$$

La constante $\theta_{0}$ se determina con la condición inicial. Por ejemplo, si inicialmente el campo magnético es paralelo a la superficie, entonces inicialmente forma $90^\circ$ con la normal y se cumple $\cos\theta_{0}=0$.

2.1. El experimento de Faraday

Faraday observó que, al mover un imán hacia una bobina conductora cerrada, se registraba una corriente eléctrica. Al alejarlo, la corriente aparecía en sentido contrario. Si el imán permanecía en reposo, no había corriente.

Lo importante no es la presencia del imán, sino que el flujo magnético a través de la bobina cambie.

Este fenómeno se llama inducción electromagnética. La corriente producida se llama corriente inducida, y el voltaje que la origina se llama fuerza electromotriz inducida o fem inducida.

2.2. Condiciones para que exista corriente inducida

Para que circule corriente inducida deben cumplirse dos condiciones:

1. El flujo magnético a través del circuito debe variar.
2. Debe existir un camino conductor cerrado.

Esto explica por qué en algunos experimentos no hay corriente:

• Anillo de porcelana: es aislante, no tiene cargas libres en cantidad suficiente; aunque el flujo varíe, no circula una corriente apreciable.
• Anillo de aluminio con un corte: es conductor, pero el corte impide que exista un circuito cerrado. Puede inducirse una fem entre los extremos del corte, pero no circula corriente sostenida.

3.1. Enunciado de la ley de Faraday

Faraday encontró que la fem inducida media en un circuito es directamente proporcional a la rapidez con que cambia el flujo magnético:

$$\varepsilon_{\rm media}=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$$

Para una bobina de $N$ espiras:

$$\varepsilon_{\rm media}=-N\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$$

Donde:

• $\varepsilon_{\rm media}$: fem inducida media, en voltios (V).
• $\Delta \Phi=\Phi_f-\Phi_i$: variación del flujo magnético, en weber (Wb).
• $\Delta t$: intervalo de tiempo, en segundos (s).
• $N$: número de espiras.

La unidad de la fem inducida es:

$$\frac{\text{Wb}}{\text{s}}=\text{T}\cdot \frac{\text{m}^{2}}{\text{s}}=\text{V}$$

El signo negativo está asociado a la ley de Lenz, como veremos más adelante. En muchos problemas solo interesa la magnitud; en ese caso se usa:

$$|\varepsilon|=N\frac{|\Delta \Phi|}{\Delta t}$$

Si el flujo varía de manera no uniforme, la fem instantánea se obtiene como la derivada:

$$\varepsilon(t)=-N\frac{d\Phi}{dt}$$

Pero en los problemas de admisión suelen presentarse variaciones uniformes, en las cuales la fem media coincide con la fem instantánea.

3.2. Tres formas de inducir fem

Como el flujo es $\Phi=BA\cos\theta$, se puede variar cambiando $B$, cambiando $A$ o cambiando $\theta$.

a) Campo magnético variable

Si $A$ y $\theta$ permanecen constantes, y el campo $\vec{B}$ cambia uniformemente, entonces:

$$|\varepsilon|=NA\frac{|\Delta B|}{\Delta t}$$

Esta expresión se usa cuando el campo es perpendicular a la espira o a la bobina.

Cuando $B(t)$ es una función lineal del tiempo, por ejemplo $B(t)=3t+1$, su rapidez de cambio es la pendiente:

$$\frac{\Delta B}{\Delta t}=3\,\text{T/s}$$

Entonces la fem inducida es constante.

b) Área variable

Si el campo magnético es constante y el área efectiva de la espira cambia, por ejemplo porque una barra se desliza o porque la espira se deforma, entonces:

$$|\varepsilon|=NB\frac{|\Delta A|}{\Delta t}$$

c) Orientación variable

Si la espira gira dentro de un campo magnético constante, el ángulo $\theta$ cambia con el tiempo. Este caso es la base del generador de corriente alterna, que se desarrolla más adelante.

3.3. Fem, corriente y resistencia

Cuando la fem inducida actúa en un circuito cerrado de resistencia total $R$, la corriente inducida es:

$$I_{\rm ind}=\frac{|\varepsilon_{\rm ind}|}{R}$$

Esto es simplemente la ley de Ohm aplicada al circuito inducido.

3.4. Carga eléctrica inducida

Si se invierte o cambia bruscamente el flujo magnético en un circuito de resistencia $R$, la carga total que circula durante el intervalo se puede calcular así:

De $I=|\varepsilon|/R$ y $|\varepsilon|=N|\Delta \Phi|/\Delta t$:

$$I=\frac{N|\Delta \Phi|}{R\Delta t}$$

La carga total es:

$$Q=I\Delta t$$

Por lo tanto:

$$Q=\frac{N|\Delta \Phi|}{R}$$

Como puedes ver, la carga inducida no depende del tiempo que tarde el cambio, sino solo de la variación total de flujo y de la resistencia.

4.1. Enunciado

La ley de Lenz determina el sentido de la corriente inducida. Su enunciado es:

La corriente inducida circula en un sentido tal que su propio campo magnético se opone a la variación del flujo magnético que la produjo.

Observa que no dice que se opone al campo magnético externo, sino a la variación del flujo. Esta distinción es fundamental.

4.2. Secuencia lógica de la ley de Lenz

Cuando el flujo magnético externo cambia:

$$\Delta\Phi \quad \rightarrow \quad \varepsilon_{\rm ind} \quad \rightarrow \quad I_{\rm ind} \quad \rightarrow \quad \vec{B}_{\rm ind}$$

Y ese campo magnético inducido $\vec{B}_{\rm ind}$ se opone al cambio de flujo.

Hay dos casos:

1. Si el flujo externo aumenta, la corriente inducida genera un campo magnético en sentido contrario al campo externo, para tratar de reducir el flujo total.

2. Si el flujo externo disminuye, la corriente inducida genera un campo magnético en el mismo sentido que el campo externo, para tratar de mantener el flujo.

4.3. Regla de la mano derecha

Para encontrar el sentido de la corriente inducida:

1. Determina la dirección del campo magnético externo.
2. Determina si el flujo externo está aumentando o disminuyendo.
3. Determina la dirección del campo magnético inducido $\vec{B}_{\rm ind}$ aplicando Lenz.
4. Usa la regla de la mano derecha: coloca el pulgar en la dirección de $\vec{B}_{\rm ind}$; los dedos flexionados indican el sentido de la corriente inducida.

4.4. Ejemplo cualitativo: imán y espira

Cuando un imán se acerca a una espira, el flujo a través de ella aumenta. La espira reacciona creando una corriente cuyo campo magnético genera un polo magnético que repele al imán. En cambio, si el imán se aleja, la espira genera un polo magnético que atrae al imán.

Este comportamiento es una consecuencia de la conservación de la energía: si la corriente inducida ayudara siempre al movimiento, se obtendría energía de la nada.

5.1. Situación típica

Una barra conductora de longitud $L$ se desliza con velocidad constante $v$ sobre dos rieles conductores, dentro de un campo magnético uniforme $\vec{B}$ perpendicular al plano del circuito.

Al moverse la barra, el área del circuito cambia. Si la barra se desplaza una distancia $x$, el área aumentará en:

$$\Delta A=L\Delta x$$

Como $\Delta x=v\Delta t$, entonces:

$$\frac{\Delta A}{\Delta t}=Lv$$

Aplicando Faraday para $N=1$ y $B$ constante:

$$\varepsilon=-B\frac{\Delta A}{\Delta t}$$

Por lo tanto, la fem inducida en la barra móvil es:

$$\varepsilon=BLv$$

Esta ecuación vale cuando $\vec{B}$ es perpendicular al plano del circuito y a la barra.

Si el campo forma un ángulo $\theta$ con la normal a la superficie, se usa la componente perpendicular:

$$\varepsilon=(B\cos\theta)Lv$$

5.2. Explicación mediante la fuerza magnética

En el tema anterior vimos que una carga en movimiento dentro de un campo magnético experimenta fuerza:

$$\vec{F}=q\,\vec{v}\times \vec{B}$$

En la barra móvil, los electrones de conducción se mueven junto con la barra con velocidad $v$. Dentro del campo magnético, esos electrones sienten una fuerza a lo largo de la barra. Esto produce una separación de cargas: un extremo queda positivo y el otro negativo. Esa separación genera un campo eléctrico interno.

En equilibrio, la fem neta entre los extremos de la barra es:

$$\varepsilon=BLv$$

5.3. Corriente inducida y fuerza magnética sobre la barra

Si el circuito está cerrado con una resistencia total $R$, circulará una corriente:

$$I=\frac{\varepsilon}{R}=\frac{BLv}{R}$$

Sobre la barra, que ahora conduce corriente dentro del campo magnético, actúa una fuerza magnética:

$$F_{\rm mag}=ILB$$

Por la ley de Lenz, esta fuerza se opone al movimiento de la barra. Si se quiere mantener la barra con velocidad constante, debe aplicarse una fuerza externa de igual magnitud:

$$F_{\rm ext}=F_{\rm mag}=ILB$$

Sustituyendo la corriente:

$$F_{\rm ext}=\left(\frac{BLv}{R}\right)LB$$

$$F_{\rm ext}=\frac{B^{2}L^{2}v}{R}$$

La potencia mecánica necesaria es:

$$P_{\rm ext}=F_{\rm ext}v=\frac{B^{2}L^{2}v^{2}}{R}$$

Esta potencia es igual a la potencia eléctrica disipada en la resistencia:

$$P=\frac{\varepsilon^{2}}{R}$$

6.1. Espira que gira en un campo magnético

El generador eléctrico es una aplicación directa de la inducción electromagnética. Consiste, básicamente, en una bobina que gira dentro de un campo magnético uniforme.

Considera una bobina de $N$ espiras y área $A$, que gira con rapidez angular constante $\omega$. Si en $t=0$ el campo magnético es perpendicular al plano de la bobina, se puede tomar:

$$\Phi(t)=NBA\cos(\omega t)$$

Aplicando Faraday:

$$\varepsilon(t)=-N\frac{d\Phi}{dt}$$

$$\varepsilon(t)=NBA\omega\sin(\omega t)$$

La fem es una función senoidal del tiempo. Su valor máximo es:

$$\varepsilon_{\max}=NBA\omega$$

6.2. Corriente alterna

Si el circuito tiene resistencia total $R$, la corriente inducida también varía senoidalmente:

$$I(t)=\frac{\varepsilon_{\max}}{R}\sin(\omega t)$$

Se define:

$$V(t)=V_{0}\sin(\omega t)$$

$$I(t)=I_{0}\sin(\omega t)$$

Donde:

• $V_{0}$: voltaje máximo o valor pico.
• $I_{0}=\frac{V_{0}}{R}$: corriente máxima o valor pico.
• $\omega$: frecuencia angular.
• $T=\frac{2\pi}{\omega}$: período.
• $f=\frac{1}{T}$: frecuencia.

En el Perú, la corriente alterna domiciliaria tiene una frecuencia de $60\,\text{Hz}$.

6.3. Valores eficaces

Para una corriente alterna senoidal, los valores eficaces se definen como:

$$V_{\rm ef}=\frac{V_{0}}{\sqrt{2}}$$

$$I_{\rm ef}=\frac{I_{0}}{\sqrt{2}}$$

La potencia media disipada en una resistencia pura es:

$$P_{\rm media}=V_{\rm ef}I_{\rm ef}$$

Equivalentemente:

$$P_{\rm media}=\frac{V_{0}I_{0}}{2}$$

Estos valores son importantes porque los instrumentos de corriente alterna suelen medir valores eficaces.

7.1. Función y estructura

Un transformador es un dispositivo que permite aumentar o disminuir el voltaje de una corriente alterna. Está formado por:

• Un núcleo de hierro o material ferromagnético.
• Una bobina primaria, conectada al voltaje de entrada.
• Una bobina secundaria, conectada a la salida.

El funcionamiento se basa en la inducción electromagnética:

1. La corriente alterna en la bobina primaria genera un flujo magnético cambiante en el núcleo.
2. El núcleo concentra y conduce ese flujo hacia la bobina secundaria.
3. Al variar el flujo en la secundaria, se induce una fem en ella.

7.2. Relación de voltajes en un transformador ideal

En un transformador ideal, sin pérdidas de flujo, todo el flujo producido por la primaria llega a la secundaria. Entonces:

$$\frac{V_{p}}{V_{s}}=\frac{N_{p}}{N_{s}}$$

O, de manera equivalente:

$$\frac{V_{s}}{V_{p}}=\frac{N_{s}}{N_{p}}$$

Donde:

• $V_{p}$: voltaje en el primario.
• $V_{s}$: voltaje en el secundario.
• $N_{p}$: número de espiras del primario.
• $N_{s}$: número de espiras del secundario.

7.3. Relación de corrientes

Si no hay pérdidas de potencia, la potencia de entrada es igual a la potencia de salida:

$$V_{p}I_{p}=V_{s}I_{s}$$

Combinando con la relación de voltajes:

$$\frac{I_{s}}{I_{p}}=\frac{N_{p}}{N_{s}}$$

Así:

Los transformadores elevadores se usan en las centrales eléctricas para elevar el voltaje y reducir las pérdidas en las líneas de transmisión. Los transformadores reductores se usan en los hogares y en cargadores.

7.4. Pérdida de flujo magnético

En un transformador real, una fracción del flujo magnético producido por la bobina primaria no llega a la secundaria. A esto se le llama pérdida de flujo.

Si una fracción $\alpha$ del flujo se pierde, entonces solo queda:

$$\eta_{\Phi}=1-\alpha$$

La relación de voltajes se modifica:

$$\frac{V_{s}}{V_{p}}=\eta_{\Phi}\frac{N_{s}}{N_{p}}$$

Por ejemplo, si hay una pérdida de flujo del $10\%$, entonces $\eta_{\Phi}=0{,}90$. En ese caso:

$$\frac{V_{s}}{V_{p}}=0{,}90\,\frac{N_{s}}{N_{p}}$$

7.5. El transformador solo funciona con corriente alterna

Como el transformador se basa en la variación del flujo magnético, no funciona con corriente continua. Si se conecta una batería al primario, durante un instante muy breve puede inducirse algo en el secundario, pero luego el flujo se vuelve constante y la fem inducida desaparece.