Cantidades dinámicas 2

1.1 ¿Qué es un sistema de partículas?

Un sistema de partículas es un conjunto de cuerpos que elegimos analizar como un todo. Por ejemplo:

• Dos bloques unidos por una cuerda.
• Varias masas conectadas por cordeles y poleas.
• Un camión con un cajón sobre su plataforma.
• Dos bloques unidos por un resorte.

Las fuerzas que actúan sobre el sistema se clasifican en dos tipos.

Fuerzas externas

Son las que ejercen agentes que no pertenecen al sistema. Ejemplos: el peso, la normal de la mesa, una fuerza aplicada por una persona, la fricción con el piso.

Fuerzas internas

Son las que se ejercen entre sí los cuerpos que forman parte del sistema. Ejemplos: la tensión de una cuerda que une dos bloques, la fuerza de contacto entre bloques apilados, la fuerza de un resorte que une dos masas.

La idea fundamental es que, al analizar el sistema completo, las fuerzas internas se cancelan entre sí por la tercera ley de Newton. Si el bloque A tira del bloque B con una tensión $T$, el bloque B tira de A con una tensión de igual módulo y sentido opuesto. Al sumar todas las fuerzas sobre el sistema, esas tensiones se anulan.

1.2 Segunda ley para un sistema de masas

Si los cuerpos del sistema se mueven juntos, es decir, si tienen la misma aceleración, se cumple:

$$\sum \vec{F}_{\text{externas}}=M_{\text{total}}\,\vec{a}$$

donde $M_{\text{total}}$ es la suma de las masas y $\vec{a}$ es la aceleración común.

Esta ecuación es muy potente porque permite hallar la aceleración del sistema sin necesidad de conocer las fuerzas internas.

Procedimiento general para resolver problemas de sistemas de bloques

1. Elegir el sistema completo de masas que se mueven juntas.
2. Dibujar únicamente las fuerzas externas al sistema.
3. Aplicar $\sum F_{\text{ext}}=M_{\text{total}}a$ en la dirección del movimiento.
4. Una vez conocida la aceleración, aislar un cuerpo o un subsistema para hallar las fuerzas internas, como tensiones o fuerzas de contacto.

Ejemplo conceptual breve

Dos bloques de masas $m_1=2\,\text{kg}$ y $m_2=3\,\text{kg}$ están sobre una mesa horizontal lisa, unidos por una cuerda ideal. Una fuerza horizontal de $20\,\text{N}$ jala al bloque $m_1$.

Para hallar la aceleración se toma el sistema completo:

$$F=(m_1+m_2)a$$

$$20=(2+3)a$$

$$a=4\,\text{m/s}^2$$

Para hallar la tensión en la cuerda, se aísla $m_2$. Sobre $m_2$ solo actúa la tensión en la dirección horizontal:

$$T=m_2 a$$

$$T=3(4)=12\,\text{N}$$

La tensión es menor que la fuerza externa porque parte de los $20\,\text{N}$ se emplea en acelerar al bloque $m_1$.

1.3 Sistemas con poleas ideales

Cuando los bloques están unidos por una cuerda que pasa por una polea ideal, se asume que:

• La polea tiene masa despreciable.
• No hay fricción en la polea.
• La cuerda es inextensible y de masa despreciable.

En estas condiciones, la polea solo cambia la dirección de la tensión, pero no su módulo. Además, los bloques conectados tienen la misma magnitud de aceleración.

Para resolver estos problemas:

• Se elige un sentido positivo del movimiento.
• Se plantea la segunda ley para el sistema completo tomando en cuenta las fuerzas que favorecen el movimiento y las que se oponen.
• Se obtiene la aceleración.
• Para hallar tensiones, se aísla un bloque o un tramo del sistema.

1.4 Fricción y fuerzas inclinadas en sistemas acelerados

Cuando hay fricción cinética, es indispensable calcular correctamente la normal en cada cuerpo antes de usar:

$$f_k=\mu_k N$$

Un error frecuente es suponer que la normal siempre vale $mg$. Si una fuerza externa tiene componente vertical, la normal cambia.

Caso típico: bloque arrastrado por una fuerza inclinada

Un bloque de masa $m$ se encuentra sobre una superficie horizontal rugosa. Se le aplica una fuerza $F$ formando un ángulo $\theta$ con la horizontal, con componente vertical hacia arriba.

En el eje vertical:

$$N+F\,\mathrm{sen}\,\theta=mg$$

Por lo tanto:

$$N=mg-F\,\mathrm{sen}\,\theta$$

En el eje horizontal:

$$F\cos\theta-f_k=ma$$

Y como $f_k=\mu_k N$:

$$F\cos\theta-\mu_k(mg-F\,\mathrm{sen}\,\theta)=ma$$

Si la componente vertical de $F$ fuese hacia abajo, entonces $N=mg+F\,\mathrm{sen}\,\theta$.

Plano inclinado con fricción

Si un bloque se desliza hacia abajo por un plano inclinado:

• Eje perpendicular al plano:

$$N=mg\cos\theta$$

• Eje paralelo al plano:

$$mg\,\mathrm{sen}\,\theta-f_k=ma$$

donde $f_k=\mu_k mg\cos\theta$.

1.5 Fuerzas internas elásticas en sistemas

Cuando dos cuerpos están unidos por un resorte, la fuerza que el resorte ejerce sobre cada cuerpo tiene la misma magnitud $F=kx$, pero sentidos opuestos. Si el sistema se mueve y existe fricción, muchas veces conviene aislar cada bloque por separado.

2.1 La necesidad de una fuerza centrípeta

Consideremos una esfera atada a una cuerda que descansa sobre una mesa horizontal lisa. Si se le da un golpe perpendicular a la cuerda, la esfera comienza a describir una circunferencia. Su rapidez puede mantenerse constante, pero su velocidad vectorial cambia continuamente de dirección.

Cambiar la dirección de la velocidad requiere una aceleración: la aceleración centrípeta, dirigida hacia el centro de la trayectoria.

Por la segunda ley de Newton, si hay aceleración centrípeta, debe existir una fuerza resultante en la dirección radial dirigida hacia el centro: la fuerza centrípeta $F_{cp}$.

Es importante entender que la fuerza centrípeta no es un nuevo tipo de fuerza. Es el nombre que recibe la componente de la fuerza resultante que apunta hacia el centro. Puede ser:

• Una tensión.
• Una fricción.
• Una normal.
• Una componente del peso.
• Una combinación de varias fuerzas.

En el ejemplo de la mesa horizontal, sobre la esfera actúan tres fuerzas: el peso $mg$, la normal $N$ de la mesa y la tensión $T$ de la cuerda. El peso y la normal se cancelan. La tensión, que apunta hacia el centro, es la fuerza centrípeta.

2.2 Ejes radial y tangencial

Para analizar un movimiento circular conviene usar un sistema de ejes que acompaña al cuerpo.

• Eje radial: dirección que une el cuerpo con el centro de la circunferencia, positivo hacia el centro. En este eje se aplica la segunda ley para la fuerza centrípeta:

$$F_{cp}=m a_{cp}$$

• Eje tangencial: dirección perpendicular al radio, tangente a la trayectoria. En este eje se producen los cambios en la rapidez:

$$F_T=m a_T$$

En un movimiento circular uniforme (MCU), la rapidez es constante, por lo que $a_T=0$ y $F_T=0$. Solo existe fuerza centrípeta.

En un movimiento circular no uniforme, existen ambas componentes, centrípeta y tangencial.

2.3 Fórmulas básicas de la fuerza centrípeta

La aceleración centrípeta se calcula con:

$$a_{cp}=\frac{v^2}{r}=\omega^2 r$$

donde $v$ es la rapidez tangencial, $\omega$ la rapidez angular y $r$ el radio de la trayectoria.

Por lo tanto, la fuerza centrípeta es:

$$F_{cp}=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2 r$$

Además:

$$v=\omega r$$

$$\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$$

$$\omega = \frac{2\pi}{60}\,\text{RPM}$$

Fórmula práctica de la fuerza centrípeta

$$F_{cp} = \sum F_{\text{hacia el centro}} - \sum F_{\text{alejándose del centro}}$$

Es decir, se suman las componentes radiales de las fuerzas que apuntan hacia el centro y se restan las que apuntan hacia afuera. El resultado debe ser igual a $m a_{cp}$.

2.4 Movimiento circular horizontal

En un plano horizontal, las fuerzas verticales suelen cancelarse, y la fuerza centrípeta la proporciona una fuerza horizontal.

Caso 1: Esfera atada a una cuerda sobre mesa lisa

Sobre la esfera actúan el peso $mg$ y la normal $N$ en la dirección vertical, y la tensión $T$ hacia el centro en la dirección horizontal.

En el eje vertical:

$$N=mg$$

En el eje radial:

$$T=m\frac{v^2}{r}$$

Caso 2: Plataforma circular y fricción

Una persona o una moneda sobre una plataforma giratoria tiende a resbalar hacia afuera. La fuerza que la mantiene en su trayectoria circular es la fricción estática $f_s$, dirigida hacia el centro.

$$f_s=m\omega^2 r$$

La fricción estática no puede superar $\mu_s N$. Como sobre una superficie horizontal $N=mg$, la condición límite es:

$$m\omega^2 r=\mu_s mg$$

De aquí se deduce:

$$\omega_{\max}=\sqrt{\frac{\mu_s g}{r}}$$

$$r_{\max}=\frac{\mu_s g}{\omega^2}$$

$$v_{\max}=\sqrt{\mu_s g r}$$

Caso 3: Péndulo cónico

Una esfera atada a una cuerda que forma un ángulo $\theta$ con la vertical gira en un plano horizontal. Sobre la esfera actúan el peso $mg$ y la tensión $T$.

En el eje vertical:

$$T\cos\theta=mg$$

En el eje radial:

$$T\,\mathrm{sen}\,\theta=m\omega^2 r$$

Como $r=L\,\mathrm{sen}\,\theta$, se pueden relacionar la tensión, la rapidez angular y el ángulo.

Caso 4: Superficie semiesférica lisa

Si una partícula gira dentro de una superficie semiesférica lisa, la única fuerza de contacto es la normal $N$, perpendicular a la superficie. La normal tiene una componente vertical que equilibra al peso y una componente horizontal que actúa como fuerza centrípeta.

Caso 5: Curva peraltada sin fricción

En una carretera peraltada, la normal $N$ tiene una componente horizontal que proporciona la fuerza centrípeta. Si el ángulo de peralte es $\theta$ y no hay fricción, la velocidad segura es:

$$v=\sqrt{g r \tan\theta}$$

Se obtiene de:

$$N\cos\theta=mg$$

$$N\,\mathrm{sen}\,\theta=m\frac{v^2}{r}$$

Dividiendo ambas ecuaciones:

$$\tan\theta=\frac{v^2}{gr}$$

Si existe fricción, se agrega su componente según corresponda.

2.5 Movimiento circular vertical

En un círculo vertical, el peso tiene una componente tangencial que puede acelerar o frenar al cuerpo. Por eso la rapidez, en general, no es constante.

Punto más bajo

Sobre el cuerpo actúan el peso $mg$ hacia abajo y la tensión $T$ hacia arriba. La dirección radial positiva es hacia el centro, es decir, hacia arriba.

$$T-mg=m\frac{v^2}{r}$$

Por lo tanto, la tensión máxima se produce en el punto más bajo:

$$T=m\frac{v^2}{r}+mg$$

Punto más alto

En el punto más alto, tanto el peso como la tensión apuntan hacia abajo, es decir, hacia el centro.

$$T+mg=m\frac{v^2}{r}$$

La tensión mínima se produce en el punto más alto:

$$T=m\frac{v^2}{r}-mg$$

Para que una cuerda no se afloje, la tensión no puede ser negativa. El caso límite es $T=0$ en el punto más alto:

$$mg=m\frac{v_{\min}^2}{r}$$

$$v_{\min}=\sqrt{gr}$$

Si el cuerpo se mueve por el interior de un rizo circular, la normal juega un papel similar a la tensión. En el punto más alto, la normal mínima puede ser cero, y la rapidez mínima también es $\sqrt{gr}$.

Punto intermedio

Si el cuerpo está en una posición que forma un ángulo $\theta$ con la vertical, se descompone el peso en una componente radial $mg\cos\theta$ y una componente tangencial $mg\,\mathrm{sen}\,\theta$.

La ecuación radial depende de si el punto está debajo o arriba del centro, pero siempre se plantea sumando las fuerzas hacia el centro y restando las que apuntan hacia afuera.

2.6 Fuerza tangencial y movimiento circular no uniforme

En un movimiento circular no uniforme, además de la aceleración centrípeta existe una aceleración tangencial $a_T$, que cambia el módulo de la velocidad.

La segunda ley en el eje tangencial se escribe:

$$F_T=m a_T$$

La aceleración tangencial se relaciona con la aceleración angular $\alpha$ mediante:

$$a_T=\alpha r$$

La aceleración total del cuerpo es la resultante vectorial de la aceleración centrípeta y la tangencial:

$$a=\sqrt{a_{cp}^2+a_T^2}$$

De manera similar, la fuerza resultante tiene dos componentes:

$$F_R=\sqrt{F_{cp}^2+F_T^2}$$