Estática de fluidos 1

Un fluido es toda sustancia que puede fluir y adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Se clasifican en:

Cuando un fluido está en reposo, no puede resistir esfuerzos tangenciales: si empujas un líquido lateralmente, este se desliza. Por eso, en un fluido en equilibrio las fuerzas que ejerce sobre las superficies son siempre perpendiculares a ellas.

Esta propiedad explica por qué la presión se define usando la fuerza perpendicular a la superficie, no la fuerza total.

2.1. Definición

La densidad $\rho$ es una magnitud escalar que mide la cantidad de masa contenida en cada unidad de volumen de una sustancia.

Para un material homogéneo:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

donde:

• $m$ es la masa de la sustancia.
• $V$ es el volumen que ocupa.

La densidad es una propiedad intensiva: no importa si tomamos un vaso o una piscina de agua, la densidad del agua sigue siendo la misma.

2.2. Unidades y conversión

En el Sistema Internacional:

$$[\rho] = \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$$

También se usa mucho:

$$[\rho] = \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$$

La equivalencia fundamental es:

$$1\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 1000\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$$

Por ejemplo, el agua tiene:

$$\rho_{\text{agua}} = 1\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 1000\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$$

2.3. Densidades de algunas sustancias

Observa que el mercurio es mucho más denso que el agua: un litro de mercurio tiene una masa de 13,6 kg, mientras que un litro de agua tiene una masa de 1 kg.

2.4. Densidad relativa y peso específico

La densidad relativa de una sustancia es la comparación de su densidad con la del agua:

$$\rho_{\text{relativa}} = \frac{\rho_{\text{sustancia}}}{\rho_{\text{agua}}}$$

Por ejemplo, la densidad relativa del aceite de densidad $800\text{ kg/m}^3$ es $0,8$.

Otra magnitud útil es el peso específico $\gamma$, que mide el peso por unidad de volumen:

$$\gamma = \frac{F_g}{V} = \rho g$$

En el SI se mide en $\text{N/m}^3$. Mientras que la densidad es masa por volumen, el peso específico es peso por volumen.

3.1. Definición

La presión $P$ es una magnitud escalar que describe cómo se distribuye una fuerza perpendicular sobre una superficie.

Si una fuerza normal $F_N$ se reparte uniformemente sobre un área $A$, la presión media es:

$$P = \frac{F_N}{A}$$

Unidad en el SI:

$$[P] = \frac{\text{N}}{\text{m}^2} = \text{pascal} = \text{Pa}$$

Así, $1\text{ Pa}$ significa que sobre cada metro cuadrado actúa una fuerza normal de $1\text{ N}$.

3.2. ¿Fuerza o presión?

Un error común es confundir fuerza con presión. La fuerza se mide en newtons y la presión en pascales, es decir, fuerza por unidad de área.

Por ejemplo, una persona de $600\text{ N}$ de peso parada sobre una tabla de $2\text{ m}^2$ ejerce una presión de:

$$P = \frac{600}{2} = 300\text{ Pa}$$

Si la misma persona se para sobre una base de $0,02\text{ m}^2$, la presión será:

$$P = \frac{600}{0,02} = 30\,000\text{ Pa}$$

La fuerza sigue siendo $600\text{ N}$, pero la presión se multiplicó por cien.

3.3. Solo la componente perpendicular genera presión

Si una fuerza no es perpendicular a la superficie, solo se usa su componente normal $F_N$. La componente tangencial no contribuye a la presión.

Por ejemplo, si una fuerza $F$ forma un ángulo $\theta$ con la superficie, la componente normal es:

$$F_N = F \cos\theta$$

y la presión es:

$$P = \frac{F \cos\theta}{A}$$

En un fluido en reposo, todas las fuerzas de contacto con las paredes del recipiente son normales, así que esta distinción es muy natural.

4.1. Idea fenomenológica

Cuando te sumerges en una piscina, sientes mayor presión en los oídos a mayor profundidad. También observamos que una botella con un agujero en la base lanza el agua con mayor rapidez si el nivel de agua está más alto.

La presión hidrostática es la presión que ejerce un líquido en reposo debido a su propio peso.

4.2. Deducción de la fórmula

Consideremos un líquido de densidad $\rho$ en reposo dentro de un recipiente. Tomemos una superficie horizontal de área $A$ ubicada a una profundidad $h$ desde la superficie libre.

La columna de líquido situada encima de esa área tiene:

• Volumen: $V = A h$
• Masa: $m = \rho V = \rho A h$
• Peso: $F_g = mg = \rho A h g$

Como el líquido está en reposo, el peso de la columna se equilibra con la fuerza normal que ejerce el líquido inferior sobre esa área. La presión en la superficie $A$ debida al peso del líquido es:

$$P_H = \frac{F_N}{A} = \frac{\rho A h g}{A}$$

Simplificando:

$$P_H = \rho g h$$

donde:

• $\rho$ es la densidad del líquido (kg/m³),
• $g$ es la aceleración de la gravedad (m/s²),
• $h$ es la profundidad medida desde la superficie libre del líquido (m).

La unidad de $P_H$ es el pascal (Pa).

4.3. Observaciones importantes

1. La presión hidrostática depende únicamente de la densidad, la gravedad y la profundidad. No depende de la forma del recipiente ni de la cantidad total de líquido.
2. A mayor profundidad, mayor presión. Por eso el agua sale con más fuerza por un agujero ubicado más abajo.
3. Todos los puntos de un mismo líquido en reposo ubicados a la misma profundidad soportan la misma presión. La línea que une esos puntos se llama línea isóbara.
4. La presión hidrostática actúa en todas direcciones: sobre el fondo, las paredes y dentro del líquido.

4.4. Aplicaciones

• Represas: la pared debe ser más ancha en la base porque allí la presión hidrostática es mayor.
• Tanques elevados: en las casas, los tanques de agua se ubican en los techos para que la columna de agua genere una presión adecuada en las cañerías.
• Manguera de nivel: los albañiles usan una manguera transparente llena de agua para trasladar niveles de un punto a otro. Como los puntos de la superficie libre de un mismo líquido en reposo tienen la misma presión, el agua busca el mismo nivel en ambos extremos. Esto es la base de los vasos comunicantes.

5.1. Definición

La presión atmosférica $P_{\text{atm}}$ es la presión que ejerce el peso de la atmósfera terrestre sobre los cuerpos y superficies.

Aunque no la percibimos normalmente, vivimos sumergidos en un océano de aire. La atmósfera está formada por gases y se extiende hasta decenas de kilómetros de altura. Sobre cada centímetro cuadrado de la superficie terrestre se apoya una columna de aire cuyo peso genera presión.

5.2. Valor a nivel del mar

A nivel del mar, la presión atmosférica es máxima, porque encima de un punto se encuentra toda la columna de aire. Su valor normal es:

$$P_{\text{atm}} = 101\,325\text{ Pa} \approx 1,013\times 10^5\text{ Pa}$$

Equivalencias útiles:

En los problemas de admisión suele usarse:

$$P_{\text{atm}} \approx 10^5\text{ Pa}$$

para simplificar los cálculos.

5.3. Variación con la altitud

La presión atmosférica disminuye a medida que subimos, porque queda menos aire encima de nosotros. En una montaña alta, la presión es menor que a nivel del mar, lo que dificulta la respiración.

Para estimar esta variación en problemas introductorios, se suele considerar el aire como un fluido homogéneo de densidad constante. Entonces, entre dos alturas $h_1$ y $h_2$, la variación de presión tiene la misma forma que la presión hidrostática:

$$\Delta P = \rho_{\text{aire}} g \Delta h$$

donde $\Delta h = h_2 - h_1$ es la diferencia de alturas.

Si subimos, la presión final es menor que la inicial:

$$P_{\text{arriba}} = P_{\text{abajo}} - \rho_{\text{aire}} g \Delta h$$

Hay que notar que en la atmósfera real la densidad del aire no es constante: disminuye con la altitud y la temperatura. Sin embargo, para problemas de física preuniversitaria, el modelo de aire homogéneo es suficiente.

5.4. Medición de la presión atmosférica: el barómetro

La presión atmosférica se mide con un barómetro. El barómetro de mercurio consiste en un tubo lleno de mercurio invertido sobre una cubeta del mismo líquido. La presión atmosférica sobre la cubeta equilibra la columna de mercurio.

A nivel del mar, la altura de la columna de mercurio es $760\text{ mm}$, lo que da origen a la unidad mmHg:

$$1\text{ atm} = 760\text{ mmHg}$$

6.1. ¿Qué mide un manómetro?

Un manómetro es un instrumento que mide la diferencia entre la presión de un fluido y la presión atmosférica. Esa diferencia se llama presión manométrica $P_{\text{man}}$.

$$P_{\text{man}} = P_{\text{absoluta}} - P_{\text{atm}}$$

La presión absoluta es la presión total real en un punto. La presión manométrica es lo que marca el manómetro. Por ejemplo, si un manómetro de llanta marca $30\text{ psi}$, significa que la presión dentro de la llanta excede en $30\text{ psi}$ a la presión atmosférica externa.

6.2. Presión absoluta en un líquido expuesto a la atmósfera

Consideremos un recipiente abierto que contiene un líquido de densidad $\rho$. En un punto situado a una profundidad $h$, la presión total o absoluta es la suma de la presión atmosférica y la presión hidrostática:

$$P_{\text{absoluta}} = P_{\text{atm}} + \rho g h$$

Entonces, la presión manométrica en ese punto es:

$$P_{\text{man}} = P_{\text{absoluta}} - P_{\text{atm}} = \rho g h$$

Es decir, cuando un líquido está abierto a la atmósfera, la presión manométrica coincide con la presión hidrostática.

6.3. Ejemplo conceptual

Una persona baja al fondo de una piscina de $3\text{ m}$ de profundidad. La presión manométrica es:

$$P_{\text{man}} = \rho g h = 1000 \times 10 \times 3 = 30\,000\text{ Pa}$$

La presión absoluta es:

$$P_{\text{abs}} = 10^5 + 30\,000 = 1,3\times 10^5\text{ Pa}$$

El manómetro marcaría $30\,000\text{ Pa}$, pero la presión real que soporta la persona es $130\,000\text{ Pa}$.

6.4. Presión manométrica positiva y negativa

• Si $P_{\text{abs}} > P_{\text{atm}}$, la presión manométrica es positiva: el fluido está comprimido respecto a la atmósfera.
• Si $P_{\text{abs}} < P_{\text{atm}}$, la presión manométrica es negativa: se habla de vacío parcial o succión.

Un ejemplo de presión manométrica negativa es el interior de una pajilla cuando succionamos un refresco: la presión dentro de la boca y de la pajilla es menor que la atmosférica, por lo que la presión atmosférica empuja el líquido hacia arriba.

En un mismo líquido en reposo, consideremos dos puntos $A$ y $B$ ubicados a profundidades $h_A$ y $h_B$, respectivamente. La diferencia de presiones entre ellos es:

$$P_A - P_B = \rho g (h_A - h_B)$$

Si $A$ está más profundo que $B$, entonces $h_A > h_B$ y $P_A > P_B$. Esta expresión es el principio fundamental de la hidrostática.

También se puede escribir como:

$$\Delta P = \rho g \Delta h$$

donde $\Delta h$ es la diferencia de profundidades.

Esta fórmula se aplica tanto a líquidos como a gases en reposo cuando se considera densidad constante. Por eso la usamos para calcular la variación de la presión atmosférica con la altitud en el modelo de aire homogéneo.

7.1. Líneas isóbaras y vasos comunicantes

Si dos puntos están a la misma profundidad en un mismo líquido en reposo, sus presiones son iguales:

$$P_A = P_B$$

La línea horizontal que une esos puntos se llama línea isóbara.

En los vasos comunicantes, el líquido busca nivelar las superficies libres porque, si el líquido es el mismo y la presión en la superficie libre es la atmosférica, todos los puntos situados a un mismo nivel horizontal deben tener la misma presión.