Energía y potencial electrostático

1.1. ¿Qué es?

Imagina dos esferas pequeñas electrizadas con cargas del mismo signo, unidas por un hilo aislante. Mientras el hilo las mantiene juntas, el sistema está en reposo. Si se corta el hilo, las esferas se rechazan y comienzan a moverse: ganan energía cinética.

¿De dónde salió esa energía cinética?

Salió de la energía que el sistema tenía almacenada debido a la interacción eléctrica entre las cargas. A esa energía almacenada por la configuración de las cargas se le llama energía potencial electrostática.

Para dos cargas puntuales $q_1$ y $q_2$ separadas una distancia $d$, la energía potencial electrostática es

$$\boxed{U = k\frac{q_1 q_2}{d}}$$

donde:

• $U$ se mide en joules $\mathrm{J}$.
• $q_1$ y $q_2$ se reemplazan con su signo.
• $d$ es la distancia de separación entre las cargas.

1.2. Signo de la energía potencial

La energía potencial electrostática puede ser positiva o negativa:

• Si $q_1$ y $q_2$ tienen el mismo signo, el producto $q_1 q_2$ es positivo y $U>0$. El sistema tiende a separarse por repulsión.
• Si $q_1$ y $q_2$ tienen signos opuestos, el producto $q_1 q_2$ es negativo y $U<0$. El sistema está ligado por atracción.
• Si las cargas están infinitamente separadas, $U=0$.

Un valor negativo de $U$ indica que, para separar las cargas, un agente externo debería realizar trabajo positivo sobre el sistema.

1.3. Energía potencial de un sistema de varias cargas

Si se tienen tres o más cargas, la energía potencial total del sistema es la suma de las energías potenciales de todas las parejas posibles, sin repetir parejas:

$$U_{\text{sistema}} = \sum_{\text{parejas}} k\frac{q_i q_j}{r_{ij}}$$

Por ejemplo, para tres cargas $q_1$, $q_2$ y $q_3$ separadas por distancias $r_{12}$, $r_{13}$ y $r_{23}$:

$$U = k\frac{q_1 q_2}{r_{12}} + k\frac{q_1 q_3}{r_{13}} + k\frac{q_2 q_3}{r_{23}}$$

Este cálculo es clave: cuando se pregunta por la energía potencial de una distribución, hay que considerar todas las parejas.

2.1. Definición

Cuando colocamos una carga de prueba $q_0$ dentro del campo eléctrico generado por una carga $Q$, el sistema adquiere una energía potencial eléctrica

$$U = k\frac{Q q_0}{d}.$$

Si dividimos esa energía potencial entre la carga de prueba $q_0$, obtenemos una cantidad que ya no depende de $q_0$:

$$V = \frac{U}{q_0}.$$

A esta cantidad se le llama potencial eléctrico y es una característica del punto del campo, no de la carga de prueba.

Para una carga puntual $Q$:

$$\boxed{V = k\frac{Q}{d}}$$

Unidades:

$$[V] = \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}} = \text{voltio} = \mathrm{V}.$$

Un voltio significa que una carga de $1\ \mathrm{C}$ colocada en ese punto tendría una energía potencial de $1\ \mathrm{J}$.

2.2. Energía potencial de una carga en un punto

La expresión $V=U/q_0$ también se usa al revés:

$$\boxed{U = q_0 V}$$

Es decir, una carga $q_0$ colocada en un punto donde el potencial es $V$ tiene una energía potencial eléctrica $U=q_0 V$.

2.3. Potencial de cargas positivas y negativas

El potencial eléctrico es una magnitud escalar, por lo tanto puede ser positivo, negativo o nulo.

• Una carga fuente $Q>0$ produce en sus alrededores potenciales positivos.

  $$V = k\frac{+Q}{d}>0.$$

• Una carga fuente $Q<0$ produce potenciales negativos.

  $$V = k\frac{-Q}{d}<0.$$

• Muy lejos de la carga, $d\to\infty$, el potencial tiende a cero.

El potencial eléctrico no tiene dirección ni sentido. En cambio, el campo eléctrico sí es vectorial.

2.4. Potencial eléctrico debido a varias cargas

Como el potencial es escalar, para calcular el potencial total en un punto debido a varias cargas se realiza una suma algebraica:

$$V_P = V_1 + V_2 + V_3 + \cdots + V_n$$

$$V_P = k\frac{q_1}{d_1} + k\frac{q_2}{d_2} + k\frac{q_3}{d_3} + \cdots + k\frac{q_n}{d_n}$$

Cada carga se reemplaza con su signo.

Esta es una gran ventaja frente al campo eléctrico, donde se deben sumar vectores.

2.5. Gráfica del potencial de una carga puntual

Para una carga puntual positiva:

$$V = k\frac{Q}{r}.$$

Esta ecuación muestra que el potencial disminuye cuando aumenta la distancia $r$. Su gráfica $V$ en función de $r$ es una hipérbola decreciente.

Si en la gráfica se conoce la pareja $(r,V)$, se puede deducir el valor de $kQ$ y luego calcular $V$ para otra distancia.

3.1. Definición

Una superficie equipotencial es el conjunto de puntos que tienen el mismo potencial eléctrico.

Como el potencial de una carga puntual es

$$V = k\frac{Q}{r},$$

todos los puntos que están a la misma distancia $r$ de la carga tienen el mismo potencial. Por lo tanto, las superficies equipotenciales de una carga puntual son esferas concéntricas con centro en la carga.

3.2. Propiedades importantes

1. Las líneas de campo eléctrico son perpendiculares a las superficies equipotenciales.

   En una carga puntual, las líneas de campo son radiales y las superficies equipotenciales son esféricas centradas en la carga; por eso se cortan perpendicularmente.

2. Sobre una superficie equipotencial, el potencial no cambia.

   Si $V_A=V_B$, entonces

   $$W_{\text{campo},A\to B} = q_0(V_A-V_B)=0.$$

   El campo eléctrico no realiza trabajo al mover una carga a lo largo de una superficie equipotencial.

3. El potencial disminuye en la dirección del campo eléctrico.

   El campo eléctrico apunta de las zonas de mayor potencial hacia las zonas de menor potencial.

4. En un conductor en equilibrio electrostático, toda su superficie es equipotencial.

   Esto se aplica a esferas conductoras, placas metálicas y, en general, a cualquier conductor cargado en equilibrio.

4.1. Trabajo del campo eléctrico

Cuando una carga $q_0$ se mueve desde un punto $A$ hasta un punto $B$ dentro de un campo eléctrico, el trabajo realizado por la fuerza eléctrica del campo es

$$\boxed{W_{\text{campo},A\to B} = q_0 (V_A - V_B)}$$

Aquí $q_0$ se reemplaza con su signo.

Esta expresión es general: vale para campos uniformes y no uniformes, para una o varias cargas.

También se puede escribir como

$$W_{\text{campo}} = -\Delta U$$

donde

$$\Delta U = U_B - U_A = q_0(V_B - V_A).$$

4.2. Interpretación según el signo

Para entender el signo del trabajo, analicemos dos casos:

• Si $q_0>0$ y se mueve de mayor a menor potencial ($V_A>V_B$), entonces

  $$W_{\text{campo}} = q_0(V_A-V_B)>0.$$

  El campo hace trabajo positivo y la partícula tiende a acelerarse.

• Si $q_0<0$ y se mueve de mayor a menor potencial, entonces

  $$W_{\text{campo}} = q_0(V_A-V_B)<0.$$

  El campo hace trabajo negativo. Una carga negativa, al ser soltada, tiende a moverse hacia potenciales mayores, porque la fuerza sobre ella es opuesta al campo.

4.3. El trabajo no depende de la trayectoria

La fuerza eléctrica es conservativa. Por lo tanto, el trabajo del campo al ir de $A$ a $B$ solo depende de los potenciales $V_A$ y $V_B$, no del camino seguido.

Esto permite resolver problemas sin necesidad de conocer la trayectoria exacta.

4.4. Trabajo del agente externo

Si un agente externo traslada una carga $q_0$ lentamente o con rapidez constante desde $A$ hasta $B$, sin efectos gravitatorios, se cumple que el trabajo neto es aproximadamente cero:

$$W_{\text{agente externo}} + W_{\text{campo}} = 0.$$

Por lo tanto,

$$\boxed{W_{\text{agente externo},A\to B} = -W_{\text{campo},A\to B}}$$

o también

$$\boxed{W_{\text{agente externo},A\to B} = q_0 (V_B - V_A)}$$

Esto significa que el agente externo debe hacer trabajo positivo si mueve una carga positiva hacia potenciales mayores, y trabajo negativo si la mueve hacia potenciales menores (porque el campo ya lo empujaría en ese sentido).

Si la carga se trae desde el infinito hasta un punto $P$, consideramos $V_\infty=0$, de modo que

$$W_{\text{agente externo}} = q_0 V_P.$$

4.5. Trabajo del campo y energía cinética

Si la única fuerza que hace trabajo neto es la fuerza eléctrica, entonces

$$W_{\text{campo}} = \Delta K.$$

Para una carga $q_0$ que se mueve desde $A$ hasta $B$:

$$q_0(V_A-V_B) = \frac12 m v_B^2 - \frac12 m v_A^2.$$

Este resultado se usa mucho en problemas de partículas aceleradas por diferencias de potencial.

5.1. Campo eléctrico uniforme

Un campo eléctrico uniforme es aquel que tiene el mismo módulo, dirección y sentido en toda una región. Se representa mediante líneas de fuerza rectas, paralelas e igualmente espaciadas.

El ejemplo más común es el campo entre dos placas metálicas planas, paralelas y cargadas con signos opuestos.

5.2. Diferencia de potencial en un campo uniforme

Si un campo eléctrico uniforme $\vec{E}$ está dirigido de mayor a menor potencial, y dos puntos $A$ y $B$ están separados una distancia $d$ medida en la dirección del campo, entonces

$$\boxed{V_A - V_B = E d}$$

Equivalentemente,

$$\boxed{E = \frac{V_A - V_B}{d}}$$

La distancia $d$ debe ser la componente del desplazamiento en la dirección del campo. Si el desplazamiento entre $A$ y $B$ forma un ángulo $\theta$ con la dirección del campo, se usa

$$V_A - V_B = E\, d\cos\theta.$$

5.3. Unidades del campo eléctrico

De la relación

$$E = \frac{\Delta V}{d}$$

se obtiene que el campo eléctrico puede medirse en

$$1\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}} = 1\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}.$$

Ambas unidades son equivalentes.

5.4. El potencial disminuye en la dirección del campo

En un campo uniforme:

• El potencial es mayor cerca de la placa positiva.
• El potencial es menor cerca de la placa negativa.
• El vector campo eléctrico apunta de la placa positiva hacia la placa negativa, es decir, de mayor a menor potencial.
• Las superficies equipotenciales son planos perpendiculares al campo.
• Si se toma el eje $x$ en la dirección del campo, el potencial varía linealmente con $x$:

$$V(x) = V_A - E(x-x_A).$$

5.5. Fuerza sobre una carga en un campo uniforme

Una carga $q$ dentro de un campo uniforme experimenta una fuerza

$$F = qE.$$

Si la diferencia de potencial entre placas separadas una distancia $d$ es $\Delta V$, entonces

$$F = q\left( \frac{\Delta V}{d} \right).$$

Un caso particular que aparece con frecuencia es el de una esfera conductora cargada.

Para una esfera conductora de radio $R$ y carga $Q$:

• Para puntos exteriores $r \ge R$:

  $$V = k\frac{Q}{r}$$

  Es decir, fuera de la esfera el potencial es el mismo que el de una carga puntual situada en el centro.

• Para puntos en la superficie e interiores $r \le R$:

  $$V = k\frac{Q}{R}$$

  En el interior del conductor en equilibrio, el campo eléctrico es nulo, por lo tanto el potencial es constante e igual al de la superficie.

Esta propiedad se aplica a esferas metálicas, burbujas conductoras o gotas cargadas, siempre que se consideren en equilibrio electrostático.