Fundamentos cuánticos

1.1. El problema del cuerpo negro

Un cuerpo negro es un objeto ideal que absorbe toda la radiación que le llega y, por lo mismo, también es un emisor perfecto de radiación electromagnética. Los físicos del siglo XIX estudiaron cómo un cuerpo negro caliente emite energía en distintas longitudes de onda.

Al calentar un metal, por ejemplo, este emite radiación cuyo color cambia con la temperatura: rojo, luego anaranjado, luego blanco. La física clásica, basada en ondas continuas, predecía que un cuerpo negro debería emitir una cantidad infinita de energía en las longitudes de onda muy cortas, algo absurdo que se conoció como la catástrofe ultravioleta.

La falla de la predicción clásica mostró que la energía de la radiación no podía intercambiarse de manera continua.

1.2. El cuanto de energía de Planck

En 1900, el físico alemán Max Planck propuso una idea revolucionaria:

La energía de la radiación electromagnética no se emite ni se absorbe de forma continua; se transfiere en porciones discretas llamadas cuantos o fotones.

La energía de cada fotón está determinada por la frecuencia de la radiación:

$$E = h f$$

donde $h$ es la constante de Planck:

$$h = 6{,}63\times 10^{-34} \, \text{J}\cdot\text{s}$$

o, en unidades atómicas,

$$h = 4{,}14\times 10^{-15} \, \text{eV}\cdot\text{s}.$$

Como la luz viaja con $c = \lambda f$, podemos escribir $f = c/\lambda$ y obtener:

$$E = \frac{hc}{\lambda}$$

Esta es la fórmula más usada cuando el problema da la longitud de onda. El producto $hc$ aparece constantemente:

$$hc = 1240 \, \text{eV}\cdot\text{nm}$$

Esta versión es muy práctica: si la longitud de onda está en nanómetros ($\text{nm}$), la energía del fotón se obtiene en $\text{eV}$ dividiendo:

$$E(\text{eV}) = \frac{1240 \, \text{eV}\cdot\text{nm}}{\lambda(\text{nm})}.$$

Un fotón no tiene masa ni carga eléctrica; es la cantidad mínima de energía que puede tener una radiación electromagnética de una frecuencia dada.

1.3. El electrón-voltio

A escala atómica, el joule es una unidad demasiado grande. Por eso se usa el electrón-voltio ($\text{eV}$):

$$1 \, \text{eV} = 1{,}6\times 10^{-19} \, \text{J}.$$

Un electrón que se acelera mediante una diferencia de potencial de 1 voltio gana exactamente 1 eV de energía cinética.

1.4. Potencia e intensidad de un haz de fotones

Un haz de luz monocromática de frecuencia $f$ está formado por un número enorme de fotones, cada uno con energía $hf$. Si en un tiempo $t$ se emiten $N$ fotones, la energía total es:

$$E = N h f = \frac{N h c}{\lambda}.$$

La potencia del haz es:

$$P = \frac{E}{t} = \frac{N h f}{t}.$$

Si el haz incide perpendicularmente sobre un área $A$, su intensidad es:

$$I = \frac{P}{A}.$$

Así, aumentar la intensidad de un haz de una misma frecuencia significa aumentar el número de fotones que llegan por segundo, no la energía de cada fotón. Este punto será clave para entender el efecto fotoeléctrico.

2.1. ¿En qué consiste el fenómeno?

El efecto fotoeléctrico es la emisión de electrones por la superficie de un metal cuando sobre él incide radiación electromagnética de frecuencia suficientemente alta.

Fue observado por primera vez por Heinrich Hertz en 1887, mientras experimentaba con ondas electromagnéticas: notó que una chispa saltaba más fácilmente entre dos electrodos cuando la luz ultravioleta incidía sobre ellos. A los electrones emitidos se les llama fotoelectrones.

2.2. Observaciones experimentales

Los experimentos con metales iluminados mostraron cuatro hechos fundamentales:

1. Existencia de una frecuencia umbral. Para cada metal existe una frecuencia mínima $f_0$, llamada frecuencia umbral, por debajo de la cual no se emite ningún electrón, sin importar cuán intensa sea la luz.

2. Independencia de la intensidad sobre la energía cinética máxima. La energía cinética máxima de los fotoelectrones no depende de la intensidad de la luz; depende de la frecuencia de la radiación. Una luz intensa de baja frecuencia no produce efecto; una luz débil de alta frecuencia sí lo produce.

3. La intensidad controla el número de electrones. Si la frecuencia es suficiente, al aumentar la intensidad se emiten más fotoelectrones por segundo, pero cada uno no sale con más energía.

4. Emisión inmediata. Los electrones se emiten prácticamente en el instante en que la luz incide sobre el metal, sin tiempo de retardo apreciable.

2.3. ¿Por qué la física clásica no podía explicarlo?

Según la teoría ondulatoria clásica, la energía de una onda se distribuye de forma continua. Una onda más intensa debería entregar más energía a los electrones, y con el tiempo suficiente, incluso luz de baja frecuencia debería acumular energía y arrancarlos. Además, la emisión debería tener un retardo mientras el electrón acumula energía.

Nada de eso se observa. Por eso, el efecto fotoeléctrico se convirtió en una de las evidencias más fuertes de que la luz también se comporta como partícula.

2.4. Explicación de Einstein: la ecuación fotoeléctrica

En 1905, Albert Einstein explicó el efecto fotoeléctrico usando la hipótesis de Planck.

Cuando un fotón incide sobre un metal, interacciona con un único electrón y le entrega toda su energía $hf$. Para que el electrón escape del metal debe vencer la atracción de los iones de la superficie. Esa energía mínima necesaria se llama función trabajo y se denota con $\phi$ (o $W$).

Si la energía del fotón es mayor que la función trabajo, el excedente se convierte en energía cinética del electrón. Aplicando conservación de la energía:

$$h f = \phi + E_{C,\text{máx}}$$

donde $E_{C,\text{máx}}$ es la energía cinética máxima de los fotoelectrones. Esta expresión se conoce como ecuación fotoeléctrica de Einstein.

La función trabajo es característica de cada metal y se interpreta como la energía mínima para extraer un electrón de su superficie. Si el fotón tiene exactamente esa energía, el electrón apenas escapa, con energía cinética cero:

$$h f_0 = \phi$$

por lo que:

$$f_0 = \frac{\phi}{h}$$

y, en términos de longitud de onda umbral $\lambda_0$,

$$\lambda_0 = \frac{hc}{\phi}.$$

Así, el efecto fotoeléctrico se produce solo si:

$$h f \geq \phi \quad \text{o} \quad \lambda \leq \lambda_0.$$

2.5. Potencial de frenado

En el experimento del efecto fotoeléctrico se coloca el metal emisor (cátodo) y una placa receptora (ánodo) dentro de un tubo al vacío. Si se aplica una diferencia de potencial $V$ con el ánodo positivo, los electrones son atraídos y se detecta una corriente eléctrica.

Si se invierte la polaridad y se aumenta el voltaje, se puede frenar a los electrones más rápidos. El valor de voltaje para el cual la corriente se anula se llama potencial de frenado $V_0$. En ese momento, el trabajo eléctrico $e V_0$ iguala a la energía cinética máxima:

$$e V_0 = E_{C,\text{máx}}.$$

Combinando con la ecuación de Einstein:

$$h f = \phi + e V_0$$

o, en términos de longitud de onda:

$$\frac{hc}{\lambda} = \phi + e V_0.$$

Esta es una de las ecuaciones más utilizadas en los problemas de admisión.

2.6. Gráfica de la energía cinética en función de la frecuencia

La ecuación $E_{C,\text{máx}} = h f - \phi$ tiene la forma de una recta:

$$y = m x + b,$$

donde la pendiente es la constante de Planck $h$ y el intercepto horizontal es la frecuencia umbral $f_0$.

De esta gráfica se deduce:

• Para $f < f_0$, no hay emisión de electrones.
• Para $f = f_0$, $E_{C,\text{máx}} = 0$.
• Para $f > f_0$, al aumentar $f$ crece la energía cinética máxima.

2.7. Relación entre intensidad y número de fotoelectrones

Si se mantiene constante la frecuencia de la luz por encima de la frecuencia umbral, la intensidad del haz es proporcional al número de fotones incidentes por segundo. Cada fotón puede arrancar, en las condiciones más favorables, un electrón. Por ello, la corriente eléctrica medida es proporcional a la intensidad de la luz.

Sin embargo, la energía cinética máxima de cada fotoelectrón no cambia con la intensidad: cambia el número de electrones emitidos, no su rapidez máxima.

2.8. Funciones de trabajo de algunos metales

A partir de los problemas de admisión, es útil recordar valores típicos:

Estos valores no siempre se dan; muchas veces hay que calcularlos a partir de la frecuencia o la longitud de onda umbral. La función trabajo depende del metal, no de la radiación incidente.

2.9. Aplicaciones del efecto fotoeléctrico

El efecto fotoeléctrico está en la base de muchos dispositivos:

• Células fotoeléctricas: convierten luz en corriente eléctrica. Se usan en sensores de puertas, alarmas y sistemas de control automático.
• Paneles solares: en centrales fotovoltaicas, la radiación solar extrae electrones en semiconductores y genera electricidad. En el Perú, donde la radiación solar es alta en zonas como Arequipa, Moquegua y Tacna, esta tecnología es cada vez más importante.
• Fotómetros: miden la intensidad de la luz a través de la corriente producida.
• Cámaras digitales y sensores de imagen: los fotones liberan electrones en los píxeles del sensor.

3.1. El límite de la medición simultánea

En la física clásica se supone que podemos medir la posición y la velocidad de una partícula con exactitud ilimitada, al menos en teoría. En el mundo cuántico, esto no es posible.

El principio de incertidumbre, formulado por Werner Heisenberg en 1927, establece:

Es imposible conocer simultáneamente y con precisión arbitraria la posición y la cantidad de movimiento de una partícula.

Matemáticamente, la relación entre la incertidumbre en la posición $\Delta x$ y la incertidumbre en la cantidad de movimiento $\Delta p$ es:

$$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2},$$

donde

$$\hbar = \frac{h}{2\pi}$$

es la constante reducida de Planck.

Para estimaciones en el nivel preuniversitario, muchos problemas usan la versión simplificada:

$$\Delta x \cdot \Delta p \geq h$$

o directamente toman el producto mínimo como $h$. Si el problema no lo especifica, conviene observar el dato de $h$ y seguir la expresión que permita resolver.

La cantidad de movimiento es $p = m v$, por lo que si la incertidumbre en la velocidad es $\Delta v$, entonces:

$$\Delta p = m \Delta v.$$

Este principio no se debe a imperfecciones de los instrumentos de medición: es una propiedad fundamental de la naturaleza. Cuanto más intentamos localizar una partícula con precisión, más incierta se vuelve su cantidad de movimiento, y viceversa.

3.2. ¿Por qué no lo notamos en la vida diaria?

Porque la constante de Planck $h$ es extraordinariamente pequeña. Para objetos macroscópicos, las incertidumbres resultantes son despreciables frente a sus dimensiones. En cambio, para partículas como electrones, átomos o fotones, la incertidumbre es significativa.

3.3. Interpretación física

El principio de incertidumbre implica que en el mundo cuántico no existen trayectorias exactas como en la mecánica clásica. Un electrón en un átomo no describe una órbita definida; solo podemos hablar de la probabilidad de encontrarlo en una región del espacio.

Este límite es también la base para entender por qué el electrón no cae al núcleo: si estuviera confinado en una región muy pequeña del espacio, su incertidumbre en cantidad de movimiento sería enorme, lo que implicaría una gran energía cinética. El equilibrio entre localización y movimiento mantiene estable al átomo.

4.1. ¿Qué es la radiactividad?

La radiactividad es la emisión espontánea de partículas o radiación electromagnética por núcleos atómicos inestables.

Fue descubierta por Henri Becquerel en 1896, al observar que sales de uranio impresionaban placas fotográficas sin ser expuestas a la luz. Posteriormente, Marie y Pierre Curie investigaron este fenómeno y descubrieron nuevos elementos radiactivos.

Un núcleo atómico es estable cuando el número de protones y neutrones es adecuado. Si hay un exceso o defecto de neutrones, o un núcleo demasiado pesado, el núcleo tiende a transformarse mediante emisiones radiactivas hasta alcanzar una configuración más estable.

4.2. Tipos de radiación

La radiación emitida puede ser de tres tipos principales:

La radiación alfa es pesada y con mucha carga, por lo que ioniza fuertemente la materia, pero pierde energía rápido y no penetra. La radiación beta tiene más penetración. La radiación gamma es una onda electromagnética muy energética, sin carga ni masa, que atraviesa la mayoría de materiales y solo se bloquea eficazmente con gruesas capas de plomo o concreto.

4.3. Ley de desintegración radiactiva

La desintegración de un núcleo radiactivo es un proceso estadístico. Si en un instante hay $N_0$ núcleos sin desintegrar, al cabo de un tiempo $t$ quedan:

$$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$

donde $\lambda$ es la constante de desintegración, característica de cada isótopo.

Una magnitud más intuitiva es el periodo de semidesintegración o vida media, $T_{1/2}$: el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de los núcleos de una muestra. Se relaciona con $\lambda$ mediante:

$$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}.$$

Después de una vida media queda la mitad; después de dos vidas medias, la cuarta parte; después de tres, la octava parte.

4.4. Importancia y usos de la radiactividad

La radiactividad tiene aplicaciones en múltiples campos.

• Medicina. Los isótopos radiactivos se usan para diagnosticar y tratar enfermedades. Por ejemplo, el yodo-131 se emplea en el tratamiento de afecciones de la tiroides; el tecnecio-99m, en gammagrafías para obtener imágenes de órganos internos; y la radioterapia con cobalto-60 se usa para destruir células cancerosas.

• Industria. La radiación gamma permite hacer radiografías industriales para detectar grietas en tuberías o estructuras metálicas. También se usa en medidores de espesor y control de calidad.

• Agricultura y conservación de alimentos. La irradiación de alimentos elimina microorganismos y retrasa la maduración, prolongando su vida útil.

• Datación. El carbono-14, con una vida media de unos 5730 años, permite estimar la edad de restos orgánicos antiguos.

• Generación de energía. En las centrales nucleares, la fisión de núcleos pesados como el uranio-235 libera gran cantidad de energía, que se transforma en electricidad. El Perú cuenta con un centro de investigación nuclear en Huarangal (Lima), donde se producen radioisótopos y se realizan aplicaciones en salud y agricultura.

La radiación también representa riesgos si no se maneja con protección adecuada, pues puede dañar células y tejidos. Por eso su uso exige estrictas normas de seguridad y blindajes apropiados.