Propagación de la luz

1.1. Naturaleza de la luz

La luz tiene un comportamiento dual:

• En algunos fenómenos se comporta como onda: interferencia, difracción, polarización.
• En otros se comporta como partícula: emisión y absorción de energía en forma de fotones.

Para la óptica geométrica, que es lo que estudiamos aquí, resulta muy útil usar el modelo del rayo luminoso.

Un rayo luminoso es una línea recta orientada que indica la dirección y el sentido de propagación de la energía luminosa.

Un conjunto de rayos forma un haz luminoso. Según cómo se propagan, los haces pueden ser:

En un medio homogéneo, como el aire tranquilo o el vidrio uniforme, la luz se propaga en línea recta. Esto explica fenómenos como la formación de sombras nítidas detrás de los objetos opacos.

1.2. Rapidez de la luz e índice de refracción

En el vacío, la luz viaja con:

$$c = 3 \times 10^8 \ \mathrm{m/s}$$

En el aire su rapidez es casi la misma. En el agua, el vidrio u otros medios transparentes, la luz viaja más lento. La relación entre la rapidez de la luz en el vacío y la rapidez en un medio se llama índice de refracción:

$$n = \frac{c}{v}$$

Donde:

• $n$: índice de refracción del medio.
• $c$: rapidez de la luz en el vacío.
• $v$: rapidez de la luz en el medio.

Como $v < c$, siempre se cumple que $n > 1$ para medios materiales.

En este tema no profundizaremos en la refracción, pero conviene conocer esta idea porque en el siguiente tema, Óptica II, la usaremos para estudiar el cambio de dirección de la luz al pasar de un medio a otro.

1.3. Potencia e intensidad de un haz luminoso

Una fuente luminosa emite energía por segundo. Esa rapidez de emisión de energía se denomina potencia luminosa y se mide en watts ($\mathrm{W}$).

Para conocer cuánta energía llega a una superficie, se usa la intensidad luminosa:

$$I = \frac{P}{A}$$

Donde:

• $I$: intensidad en $\mathrm{W/m^2}$.
• $P$: potencia luminosa en $\mathrm{W}$.
• $A$: área transversal al haz en $\mathrm{m^2}$.

Si el haz tiene sección circular de radio $r$:

$$A = \pi r^2$$

Por lo tanto:

$$I = \frac{P}{\pi r^2}$$

Si una fuente puntual emite luz en todas direcciones por igual, la intensidad a una distancia $R$ se reparte sobre una esfera de área $4\pi R^2$:

$$I = \frac{P}{4\pi R^2}$$

Este concepto es útil en problemas donde se combina óptica con unidades de potencia y área.

1.4. Límites del modelo de rayos

El modelo de rayos es muy útil para espejos y lentes, pero no explica todos los fenómenos luminosos. La interferencia y la difracción, por ejemplo, requieren el modelo ondulatorio.

En el experimento de la doble rendija, la luz produce franjas brillantes y oscuras alternadas de manera regular. Eso no puede explicarse solo con rayos rectos.

2.1. ¿Qué es la reflexión?

La reflexión de la luz es el fenómeno por el cual un rayo luminoso incide sobre una superficie y regresa al mismo medio.

Cuando la luz llega a una frontera entre dos medios, puede ocurrir que:

• una parte se refleje,
• otra parte se transmita al segundo medio,
• otra parte sea absorbida.

En los espejos interesa principalmente la parte reflejada.

2.2. Leyes de la reflexión

Si una superficie es lisa y pulida, la reflexión cumple dos leyes:

1. Primera ley:
   El rayo incidente, la recta normal y el rayo reflejado están en un mismo plano.

2. Segunda ley:
   El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

$$\hat{i} = \hat{r}$$

Ambos ángulos se miden respecto a la normal, no respecto a la superficie.

Si el rayo incide perpendicularmente a la superficie, entonces:

$$\hat{i} = 0$$

y el rayo reflejado también sale perpendicularmente:

$$\hat{r} = 0$$

Es decir, rebota sobre sí mismo.

2.3. Tipos de reflexión

Hay dos tipos de reflexión:

a) Reflexión especular o regular

Ocurre cuando la superficie es muy lisa, como un espejo o el agua en calma.

En este caso, un haz de rayos paralelos se refleja manteniendo el paralelismo. Por eso se pueden formar imágenes nítidas.

b) Reflexión difusa o irregular

Ocurre cuando la superficie es rugosa, como una pared, una hoja de papel o el asfalto.

Cada rayo individual sigue cumpliendo la ley de la reflexión en el punto donde incide, pero como la superficie tiene muchas irregularidades, las normales locales apuntan en direcciones distintas. Por eso los rayos reflejados salen desordenados.

La reflexión difusa es importantísima: gracias a ella podemos ver los objetos no brillantes desde distintos ángulos.

Un espejo plano es una superficie plana y pulida donde se produce reflexión especular.

3.1. Imagen de un objeto puntual

Considera un punto luminoso $O$ frente a un espejo plano.

De ese punto salen rayos en muchas direcciones. Tomemos dos rayos que llegan al espejo:

• Cada uno se refleja cumpliendo $\hat{i} = \hat{r}$.
• Los rayos reflejados se alejan del espejo.
• Si prolongamos esos rayos reflejados hacia atrás del espejo, sus prolongaciones se cruzan en un punto $I$.

Para un observador, los rayos parecen provenir de $I$. Ese punto es la imagen de $O$.

La imagen formada es virtual porque los rayos reflejados no pasan realmente por $I$; solo sus prolongaciones se cruzan allí.

3.2. Características de la imagen en un espejo plano

Para un espejo plano se cumple:

1. La distancia objeto-espejo es igual a la distancia espejo-imagen:

$$d_o = d_i$$

2. El segmento que une el objeto y su imagen es perpendicular al plano del espejo.

3. La imagen es virtual.

4. La imagen es derecha, es decir, no aparece invertida verticalmente.

5. La imagen tiene el mismo tamaño que el objeto.

6. Existe inversión lateral: lo que está a la derecha del objeto aparece a la izquierda en la imagen, y viceversa.

Si el objeto es extenso, cada punto del objeto cumple la misma relación. Por eso la imagen completa conserva la forma y el tamaño.

3.3. El espejo plano como caso límite

Más adelante veremos la ecuación de los espejos esféricos:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

Un espejo plano puede considerarse como un espejo esférico de radio infinito. Como la distancia focal es la mitad del radio:

$$f = \frac{R}{2}$$

Si $R \to \infty$, entonces $f \to \infty$. Así:

$$0 = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

De donde:

$$d_i = -d_o$$

El signo negativo indica que la imagen está detrás del espejo, es decir, es virtual.

3.4. Aplicación: altura mínima de un espejo plano

Una persona de altura $H$ desea verse de cuerpo entero en un espejo plano vertical.

Se puede demostrar que:

$$L_{\min} = \frac{H}{2}$$

Es decir, el espejo debe tener como mínimo la mitad de la altura de la persona.

Además, si los ojos de la persona están a una altura $E$ del piso, el borde inferior del espejo debe colocarse a una altura:

$$y_{\text{inferior}} = \frac{E}{2}$$

Esto se debe a que el rayo que sale de los pies se refleja en el punto medio entre los pies y los ojos; y el rayo que sale de la cabeza se refleja en el punto medio entre la cabeza y los ojos.

3.5. Movimiento del espejo e imagen

Si un objeto está fijo y el espejo plano se desplaza una distancia $x$ hacia el objeto, la imagen se desplaza el doble de esa distancia respecto a su posición inicial.

Por ejemplo:

• Una persona está a $1.0\ \mathrm{m}$ del espejo.
• Su imagen está $1.0\ \mathrm{m}$ detrás del espejo.
• Si el espejo se mueve $0.2\ \mathrm{m}$ hacia la persona, la nueva distancia objeto-espejo es $0.8\ \mathrm{m}$.
• La nueva distancia imagen-espejo también es $0.8\ \mathrm{m}$.
• La imagen se ha desplazado $0.4\ \mathrm{m} = 2 \times 0.2\ \mathrm{m}$.

3.6. Rotación de un espejo plano

Si un espejo plano gira un ángulo $\alpha$, el rayo reflejado gira un ángulo:

$$2\alpha$$

Esto se debe a que cambian simultáneamente la normal y la posición del espejo.

Un espejo esférico es un casquete de una esfera pulida.

Según cuál lado de la superficie esférica sea reflectante, se distinguen dos tipos:

4.1. Espejo cóncavo

• La superficie reflectante es la parte interna del casquete esférico.
• Es convergente: los rayos paralelos al eje principal se reflejan acercándose o concentrándose en un punto.
• Ejemplo: el interior de una cuchara brillante.

4.2. Espejo convexo

• La superficie reflectante es la parte externa del casquete esférico.
• Es divergente: los rayos paralelos al eje principal se reflejan separándose.
• Ejemplo: la parte trasera de una cuchara brillante.

4.3. Elementos geométricos

Los elementos principales son:

• Vértice $V$: centro de la superficie reflectante.
• Centro de curvatura $C$: centro de la esfera de la cual proviene el espejo.
• Radio de curvatura $R$: distancia entre $C$ y $V$.
• Eje principal: recta que pasa por $C$ y $V$.
• Foco $F$: punto donde concurren los rayos reflejados que inciden paralelos al eje principal, o desde donde parecen salir.
• Distancia focal $f$: distancia entre $F$ y $V$.

Para rayos cercanos al eje principal, llamados rayos paraxiales, se cumple:

$$f = \frac{R}{2}$$

4.4. Convención de signos para espejos esféricos

Antes de trabajar con fórmulas, se define una convención:

Para los problemas habituales de admisión, el objeto es real, así que:

$$d_o > 0$$

5.1. Rayos principales

Para construir gráficamente la imagen de un objeto, se trazan dos o más rayos principales.

En un espejo cóncavo

1. Rayo paralelo al eje principal → se refleja pasando por $F$.
2. Rayo que pasa por $F$ → se refleja paralelo al eje principal.
3. Rayo que pasa por $C$ → se refleja sobre sí mismo.
4. Rayo que llega al vértice $V$ → se refleja formando el mismo ángulo con el eje principal.

En un espejo convexo

1. Rayo paralelo al eje principal → se refleja como si procediera de $F$, detrás del espejo.
2. Rayo dirigido hacia $F$ → se refleja paralelo al eje.
3. Rayo dirigido hacia $C$ → se refleja sobre sí mismo.
4. Rayo que llega al vértice $V$ → se refleja simétricamente respecto del eje.

5.2. Imágenes en el espejo cóncavo

El tipo de imagen formada por un espejo cóncavo depende de la posición del objeto respecto a $C$, $F$ y $V$.

Un caso límite importante:

• Si el objeto está muy lejos, se considera $d_o \to \infty$.
  Entonces la imagen se forma aproximadamente en el foco $F$, es real y puntual.

5.3. Imágenes en el espejo convexo

Un espejo convexo siempre produce el mismo tipo de imagen para un objeto real:

• Virtual
• Derecha
• De menor tamaño que el objeto
• Ubicada detrás del espejo, entre $V$ y $F$

Esta es la razón por la que los espejos convexos se usan como retrovisores o espejos de seguridad: permiten ver un campo visual más amplio, aunque la imagen sea reducida.

5.4. Ecuación de los espejos esféricos

La relación entre la distancia focal, la distancia del objeto y la distancia de la imagen se conoce como ecuación de Descartes:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

También:

$$f = \frac{R}{2}$$

El aumento lateral $m$ se define como:

$$m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}$$

Donde:

• $h_i$: altura de la imagen.
• $h_o$: altura del objeto.

Interpretación del aumento:

• Si $|m| > 1$, la imagen es más grande que el objeto.
• Si $|m| < 1$, la imagen es más pequeña.
• Si $|m| = 1$, la imagen y el objeto tienen el mismo tamaño.
• Si $m > 0$, la imagen es derecha.
• Si $m < 0$, la imagen es invertida.

Para un espejo convexo, con $f < 0$, la ecuación siempre da $d_i < 0$ para un objeto real. Por eso su imagen es siempre virtual.