Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)

Imagina dos autos que parten del reposo. El primero alcanza $20\ \text{m/s}$ en $10\ \text{s}$; el segundo alcanza $20\ \text{m/s}$ en $5\ \text{s}$. En ambos casos el cambio de rapidez es el mismo ($20\ \text{m/s}$), pero el segundo lo logra en menos tiempo. Decimos que el segundo tiene mayor aceleración.

1.1 Definición

La aceleración media es una magnitud vectorial que mide el cambio de velocidad por unidad de tiempo: $$\vec{a}_m=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\frac{\vec{v}_f-\vec{v}_0}{\Delta t}$$ donde:

• $\vec{v}_0$ es la velocidad inicial,
• $\vec{v}_f$ es la velocidad final,
• $\Delta t$ es el intervalo de tiempo.

En el Sistema Internacional la aceleración se mide en: $$\frac{\text{m/s}}{\text{s}}=\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$$

Decir que un móvil tiene una aceleración de $3\ \text{m/s}^2$ significa que su velocidad cambia $3\ \text{m/s}$ cada segundo. No significa que recorra $3\ \text{m}$ cada segundo; ese es un error frecuente que aclararemos más adelante.

1.2 Aceleración media e instantánea

En general, la aceleración media se calcula entre dos instantes. Si la aceleración es constante, la aceleración media y la instantánea tienen el mismo valor en todo el movimiento. Eso es justamente lo que ocurre en el MRUV.

1.3 Aceleración en un movimiento rectilíneo

En una trayectoria recta, la aceleración solo puede apuntar a favor o en contra del movimiento. Esto produce dos casos:

Ejemplo: si un auto se mueve hacia la derecha a $10\ \text{m/s}$ y su rapidez aumenta a $16\ \text{m/s}$ en $2\ \text{s}$, su aceleración media es $$a=\frac{16-10}{2}=3\ \text{m/s}^2$$ hacia la derecha, en la misma dirección que la velocidad.

Si el mismo auto frena desde $16\ \text{m/s}$ hasta $10\ \text{m/s}$ en $2\ \text{s}$, la aceleración tendrá módulo $3\ \text{m/s}^2$, pero apuntará hacia la izquierda, opuesta a la velocidad.

Un móvil describe un movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) cuando:

1. su trayectoria es una línea recta;
2. su aceleración es constante, es decir, no cambia en módulo ni en dirección.

Que la aceleración sea constante significa que en intervalos de tiempo iguales la velocidad cambia cantidades iguales. Por ejemplo, si un auto parte del reposo con $a=4\ \text{m/s}^2$, su rapidez aumenta $4\ \text{m/s}$ cada segundo:

Observa:

• los cambios de velocidad en cada segundo son iguales: $4\ \text{m/s}$;
• los desplazamientos en intervalos de tiempo iguales no son iguales, porque el móvil va cada vez más rápido.

En forma gráfica, la velocidad de un MRUV cambia de manera lineal, y su posición cambia de manera parabólica. Esto lo trabajaremos en la sección de gráficas.

Para resolver problemas del MRUV necesitamos relacionar cinco magnitudes:

$$v_0,\quad v_f,\quad a,\quad d,\quad t$$

donde:

• $v_0$ es la rapidez inicial o velocidad inicial;
• $v_f$ es la rapidez final o velocidad final;
• $a$ es el módulo de la aceleración;
• $d$ es la distancia recorrida en el tramo analizado;
• $t$ es el tiempo transcurrido.

3.1 Convención de signos

En la modalidad preuniversitaria peruana se suele trabajar con $a$ como módulo, es decir, como una cantidad positiva. El signo se coloca según el efecto del movimiento:

Las cuatro ecuaciones operativas son:

1. Velocidad en función del tiempo: $$v_f=v_0 \pm at$$

2. Posición o distancia en función del tiempo: $$d=v_0 t \pm \frac12 a t^2$$

3. Velocidad en función de la distancia (Torricelli): $$v_f^2=v_0^2 \pm 2ad$$

4. Distancia en función de la velocidad media: $$d=\frac{(v_0+v_f)}{2}\,t$$

En la segunda ecuación, el signo siempre se usa:

• $+$ si la rapidez aumenta;
• $-$ si la rapidez disminuye.

La cuarta ecuación es especialmente útil porque, en un MRUV, la velocidad media es el promedio de la velocidad inicial y la final.

3.2 ¿De dónde salen estas ecuaciones?

No hace falta memorizarlas como fórmulas mágicas. Se construyen así:

• De la definición de aceleración: $$a=\frac{v_f-v_0}{t}$$ se despeja: $$v_f=v_0+at$$

• Como la velocidad cambia linealmente, la velocidad media en un MRUV es: $$v_m=\frac{v_0+v_f}{2}$$ Por tanto, el desplazamiento o distancia recorrida es: $$d=v_m t=\frac{(v_0+v_f)}{2}t$$

• Si sustituimos $v_f=v_0+at$ en la ecuación anterior: $$d=\frac{v_0+(v_0+at)}{2}t=\frac{2v_0+at}{2}t=v_0t+\frac12 at^2$$

• Si eliminamos el tiempo entre las ecuaciones $v_f=v_0+at$ y $d=\frac{(v_0+v_f)}{2}t$, se obtiene la ecuación de Torricelli: $$v_f^2=v_0^2+2ad$$

3.3 Lectura de la ecuación de posición

Muchos problemas de admisión no te dan las variables por separado, sino una ecuación de posición: $$x(t)=x_0+v_0t+\frac12 at^2$$ Al compararla con la forma: $$x(t)=\alpha+\beta t+\gamma t^2$$ se identifica:

• $x_0=\alpha$: posición inicial;
• $v_0=\beta$: velocidad inicial;
• $\frac12 a=\gamma$, por lo que $a=2\gamma$.

Por ejemplo, si se da: $$x(t)=2t^2+t+1$$ entonces: $$x_0=1,\qquad v_0=1\ \text{m/s},\qquad \frac12 a=2\ \Rightarrow\ a=4\ \text{m/s}^2$$ Así, la velocidad en función del tiempo es: $$v(t)=v_0+at=1+4t$$

El desplazamiento entre $t=0$ y otro instante $t$ se calcula como: $$\Delta x=x(t)-x(0)$$

3.4 Casos particulares importantes

Si el móvil parte del reposo ($v_0=0$), las ecuaciones se reducen bastante: $$v_f=at$$ $$d=\frac12 at^2$$ $$v_f^2=2ad$$

Si el móvil frena hasta detenerse ($v_f=0$), la distancia de frenado se obtiene de: $$0=v_0^2-2ad\ \Rightarrow\ d=\frac{v_0^2}{2a}$$ Esta expresión es muy usada en problemas de tránsito y seguridad vial.

Un error muy común es suponer que el desplazamiento y la distancia recorrida son siempre iguales. En un MRUV sin cambio de sentido son iguales, pero si el móvil frena, se detiene y luego regresa, la distancia recorrida es mayor que el módulo del desplazamiento.

Para analizar estos casos:

1. Se determina si el móvil cambia de sentido. El cambio de sentido ocurre cuando $v=0$.
2. Si la velocidad inicial y la aceleración tienen sentidos opuestos, el móvil frena, se detiene y luego regresa.
3. El instante en que se detiene se obtiene de: $$0=v_0+at\ \Rightarrow\ t=\frac{|v_0|}{|a|}$$
4. Se calcula la distancia recorrida por tramos: de ida hasta detenerse y de regreso.

Ejemplo breve: un cuerpo parte con $v_0=+10\ \text{m/s}$ y $a=-5\ \text{m/s}^2$. Su velocidad se anula en: $$t=\frac{10}{5}=2\ \text{s}$$ Luego regresa. Si se pide la distancia entre $t=0$ y $t=3\ \text{s}$, se debe calcular la distancia en los primeros $2\ \text{s}$ y sumarla a la distancia en el segundo tramo.

Hay problemas que preguntan cuánto recorre un móvil “en el segundo n”, “entre el segundo $n$ y el $n+1$” o “durante el enésimo segundo de movimiento”. No se refieren a todo el movimiento, sino a un intervalo de un segundo específico.

5.1 Fórmula del enésimo segundo

La distancia recorrida durante el enésimo segundo se puede calcular como: $$d_n=d(n)-d(n-1)$$ Para un MRUV con $v_0$ y aceleración constante se llega a: $$d_n=v_0\pm \frac{a}{2}(2n-1)$$ donde el signo $+$ se usa si la rapidez aumenta y el signo $-$ si disminuye.

Si el móvil parte del reposo, esta fórmula se vuelve: $$d_n=\frac{a}{2}(2n-1)$$

5.2 Números de Galileo

Si un móvil parte del reposo y se desplaza con MRUV, las distancias recorridas en intervalos de tiempo iguales y consecutivos guardan la proporción: $$1:3:5:7:\cdots$$

Por ejemplo, para un móvil que parte del reposo con $a=4\ \text{m/s}^2$, definimos: $$k=\frac{a}{2}=2\ \text{m}$$ Entonces:

• en el primer segundo recorre $1k=2\ \text{m}$;
• en el segundo segundo recorre $3k=6\ \text{m}$;
• en el tercer segundo recorre $5k=10\ \text{m}$;
• en el cuarto segundo recorre $7k=14\ \text{m}$.

La distancia total en $n$ segundos es: $$d=\frac12 a n^2$$ y las distancias acumuladas en tiempos iguales guardan la proporción: $$1:4:9:16:\cdots$$

Saber interpretar gráficas es tan importante como manejar las fórmulas. En un MRUV la aceleración es constante, así que las tres gráficas usuales tienen formas muy definidas.

6.1 Gráfica aceleración–tiempo $a-t$

Como la aceleración es constante, la gráfica es una recta horizontal.

La propiedad fundamental es: $$\text{Área bajo la gráfica }a-t=\Delta v$$

Si la aceleración cambia por tramos, se analiza cada tramo como un MRUV independiente.

6.2 Gráfica velocidad–tiempo $v-t$

En el MRUV, la velocidad cambia linealmente: $$v(t)=v_0+at$$ Por eso su gráfica es una recta inclinada.

Propiedades:

• la pendiente de la recta es la aceleración;
• el área entre la recta y el eje del tiempo es el desplazamiento;
• si se usa el área en valor absoluto, se obtiene la distancia recorrida.

En un movimiento desacelerado, la recta $v-t$ es decreciente y su pendiente es negativa.

6.3 Gráfica posición–tiempo $x-t$

Como la ecuación de posición es cuadrática: $$x(t)=x_0+v_0t+\frac12 at^2$$ su gráfica es una parábola.

Propiedades:

• la pendiente de la recta tangente en cualquier punto es la velocidad instantánea;
• en el vértice de la parábola la velocidad vale cero;
• la concavidad depende del signo de la aceleración: si $a>0$, la parábola se abre hacia arriba; si $a<0$, hacia abajo.

Aunque cada problema es distinto, un procedimiento ordenado ayuda mucho.

1. Haz un esquema del tramo: ubica el punto inicial, el final, y si el móvil frena o acelera.
2. Convierte unidades si es necesario, sobre todo km/h a m/s.
3. Identifica los datos: $v_0$, $v_f$, $a$, $d$, $t$. Al menos tres datos permiten elegir la ecuación adecuada.
4. Elige la ecuación que relacione los datos y la incógnita.
5. Aplica signos con cuidado. Si la rapidez aumenta, usa $+$; si disminuye, usa $-$.
6. Analiza el resultado y verifica que sea físicamente razonable.

7.1 Movimientos en dos o más etapas

Algunos problemas combinan dos MRUV, como un auto que acelera y luego frena hasta detenerse. En ese caso:

• se resuelve cada etapa por separado;
• la velocidad final de la primera etapa es la inicial de la segunda;
• la distancia total es la suma de las distancias de cada etapa.

Los problemas de “un móvil alcanza a otro” se resuelven escribiendo la posición de cada móvil en función del tiempo y luego igualando las posiciones.

Por ejemplo, si un móvil $A$ parte detrás de un móvil $B$ y ambos se mueven en la misma dirección:

• $x_A(t)=x_{0A}+v_{0A}t+\frac12 a_A t^2$
• $x_B(t)=x_{0B}+v_B t$ si $B$ se mueve con MRU.

Cuando $A$ alcanza a $B$: $$x_A(t)=x_B(t)$$ Con el tiempo obtenido, se calcula la distancia recorrida por cualquier móvil usando su propia ecuación.

El movimiento vertical de caída libre es un MRUV con trayectoria vertical y aceleración igual a la de la gravedad: $$g=9,8\ \text{m/s}^2$$ En los problemas de admisión se suele aproximar: $$g=10\ \text{m/s}^2$$

Decir que $g=10\ \text{m/s}^2$ significa que, en caída libre, la rapidez del cuerpo cambia $10\ \text{m/s}$ en cada segundo. La gravedad siempre está dirigida hacia abajo.

9.1 Ecuaciones del MVCL

Si elegimos un eje vertical $y$ positivo hacia arriba, la aceleración es: $$a=-g$$ y las ecuaciones quedan:

$$v_f=v_0-gt$$ $$y=y_0+v_0t-\frac12 gt^2$$ $$v_f^2=v_0^2-2g(y-y_0)$$ $$y-y_0=\frac{(v_0+v_f)}{2}t$$

Si el cuerpo sube, la gravedad frena su ascenso; si baja, aumenta su rapidez.

9.2 Tiempo de subida y altura máxima

Cuando se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con rapidez $v_0$, la altura máxima se alcanza cuando la velocidad se anula: $$0=v_0-gt_s\ \Rightarrow\ t_s=\frac{v_0}{g}$$ La altura máxima es: $$h_{\max}=\frac{v_0^2}{2g}$$

El tiempo total de vuelo hasta regresar al mismo nivel es: $$t_v=2t_s=\frac{2v_0}{g}$$

9.3 Propiedades de simetría

En un lanzamiento vertical desde el suelo:

• a la misma altura, la rapidez de subida es igual a la rapidez de bajada;
• el tiempo de subida entre dos niveles es igual al tiempo de bajada entre los mismos niveles;
• los desplazamientos en cada segundo de caída libre, partiendo del reposo, son $5\ \text{m}$, $15\ \text{m}$, $25\ \text{m}$, etc., con $g=10\ \text{m/s}^2$.

Muchos problemas de admisión conectan el MRUV con la segunda ley de Newton: $$F_{\text{neto}}=ma$$

Si una fuerza neta constante actúa sobre un cuerpo de masa $m$, este adquiere una aceleración constante y describe un MRUV. Por eso, los problemas de dinámica con aceleración constante se resuelven en dos pasos:

1. usar las ecuaciones del MRUV para hallar la aceleración;
2. aplicar $F=ma$ para hallar la fuerza, la masa o la aceleración.

También puede aparecer una fuerza de fricción que frena a un cuerpo. En ese caso, la cinemática permite calcular la aceleración de frenado, y luego se determina la fuerza mediante la segunda ley de Newton.

Aunque este tema se centra en el movimiento rectilíneo, las mismas estructuras matemáticas se usan para rotaciones con aceleración angular constante. En lugar de posición, velocidad y aceleración lineales, se usan las variables angulares:

Las ecuaciones son análogas:

$$\omega_f=\omega_0\pm \alpha t$$ $$\theta=\omega_0t\pm \frac12 \alpha t^2$$ $$\omega_f^2=\omega_0^2\pm 2\alpha \theta$$ $$\theta=\frac{(\omega_0+\omega_f)}{2}t$$

Esto no es un tema ajeno: si una rueda gira con aceleración angular constante, un punto de su borde recorre arcos de manera similar a como un cuerpo recorre distancias en un MRUV. La relación entre arco y ángulo es: $$s=\theta R$$ y entre velocidad lineal y angular: $$v=\omega R$$