Óptica II

La refracción es el fenómeno que ocurre cuando la luz pasa de un medio transparente a otro, por ejemplo del aire al agua. Al cruzar la superficie de separación, llamada interfase, la rapidez de la luz cambia.

Si el rayo incide perpendicularmente a la superficie, no se desvía: sigue en la misma dirección. Pero si incide de manera oblicua, el cambio de rapidez viene acompañado por un cambio de dirección.

La causa de este cambio de dirección es precisamente el cambio de rapidez de la onda luminosa.

Imagina que un rayo de luz llega del aire al agua. En el aire, la luz es muy rápida; en el agua, es más lenta. La parte del frente de onda que entra primero al agua se retrasa respecto a la parte que todavía está en el aire. Ese retraso asimétrico hace que el rayo se desvíe.

La frecuencia de la luz no cambia al pasar de un medio a otro, porque es una propiedad de la fuente. Lo que cambia es su rapidez y su longitud de onda.

Para comparar la rapidez de la luz en distintos medios se define el índice de refracción $n$: $$n = \frac{c}{v}$$ donde:

• $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$ es la rapidez de la luz en el vacío;
• $v$ es la rapidez de la luz en el medio.

Como ningún medio material permite que la luz viaje tan rápido como en el vacío, siempre se cumple: $$n \geq 1$$

El índice de refracción es adimensional, es decir, no tiene unidades.

Algunos valores usuales son:

Un medio con mayor índice de refracción se llama más refringente: la luz viaja más lentamente en él.

Por ejemplo, en el agua $n = 4/3$, por lo que la rapidez de la luz en el agua es: $$v = \frac{c}{n} = \frac{3 \times 10^8}{4/3} = 2{,}25 \times 10^8 \, \text{m/s}$$

También se puede relacionar el índice de refracción con la longitud de onda. Si en el vacío la longitud de onda es $\lambda_0$, al entrar a un medio de índice $n$, la longitud de onda se reduce a: $$\lambda = \frac{\lambda_0}{n}$$

Esto es importante cuando se comparan colores: la frecuencia no cambia, pero la longitud de onda sí.

El estudio cuantitativo de la refracción se resume en dos leyes.

Primera ley: rayo incidente, normal y rayo refractado son coplanares

El rayo incidente, la normal a la superficie y el rayo refractado están en un mismo plano. Ese plano es perpendicular a la interfase.

Esto significa que si el rayo incidente viaja en un plano vertical, el rayo refractado no se desvía hacia un costado, sino que permanece en ese mismo plano vertical.

Segunda ley: ley de Snell

La relación entre los ángulos de incidencia y de refracción está dada por: $$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$$ donde:

• $n_1$ es el índice de refracción del medio desde el cual viaja la luz;
• $n_2$ es el índice de refracción del medio al cual entra la luz;
• $\theta_1$ es el ángulo de incidencia, medido desde la normal;
• $\theta_2$ es el ángulo de refracción, también medido desde la normal.

Ambos ángulos se miden siempre respecto a la normal, no respecto a la superficie.

La ley de Snell permite deducir dos reglas cualitativas muy útiles.

1. Si la luz pasa a un medio más refringente, es decir, con mayor $n$, entonces se desvía acercándose a la normal.

2. Si la luz pasa a un medio menos refringente, es decir, con menor $n$, entonces se desvía alejándose de la normal.

Ejemplo rápido. Un rayo pasa del aire al agua. Si $\theta_1 = 53^\circ$ y $n_{\text{agua}} = 4/3$, aplicando la ley de Snell: $$1 \cdot \sin 53^\circ = \frac{4}{3} \sin \theta_2$$ Como $\sin 53^\circ = 4/5$, se obtiene: $$\frac{4}{5} = \frac{4}{3} \sin \theta_2$$ $$\sin \theta_2 = \frac{3}{5}$$ $$\theta_2 = 37^\circ$$ La luz se acercó a la normal, como corresponde a pasar a un medio más refringente.

Trayectoria dentro de una lámina o capa de un medio

En problemas de admisión es común que un rayo entre a una lámina de caras paralelas, por ejemplo una capa de agua sobre un fondo reflectante, y se pida calcular el tiempo que la luz permanece dentro del medio.

Si la capa tiene espesor $d$ y el ángulo de refracción es $\theta_2$, la distancia que recorre el rayo dentro de la capa en una sola pasada es: $$s = \frac{d}{\cos \theta_2}$$

La rapidez dentro del medio es: $$v = \frac{c}{n}$$

Entonces, el tiempo de una pasada es: $$t = \frac{s}{v} = \frac{d}{\cos \theta_2} \cdot \frac{n}{c}$$ $$t = \frac{n d}{c \cos \theta_2}$$

Si el rayo va hasta el fondo reflectante y regresa a la superficie, el tiempo total se multiplica por 2: $$t_{\text{total}} = \frac{2 n d}{c \cos \theta_2}$$

Este tipo de cálculo combina la ley de Snell con la definición de índice de refracción.

Cuando la luz viaja de un medio más refringente a uno menos refringente, por ejemplo del agua al aire, el rayo refractado se aleja de la normal.

Esto produce una situación especial: si se aumenta gradualmente el ángulo de incidencia, llega un momento en que el ángulo de refracción alcanza $90^\circ$. En ese momento, el rayo refractado sale rasante a la superficie de separación.

El ángulo de incidencia que produce un ángulo de refracción de $90^\circ$ se llama ángulo límite o ángulo crítico $L$.

Aplicando la ley de Snell para este caso: $$n_1 \sin L = n_2 \sin 90^\circ$$ $$n_1 \sin L = n_2$$ $$\sin L = \frac{n_2}{n_1}$$

Aquí $n_1$ es el medio más refringente, desde donde viaja la luz, y $n_2$ es el medio menos refringente, hacia donde intenta salir. Por lo tanto, se debe cumplir: $$n_1 > n_2$$

Si el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite, ya no existe rayo refractado. Toda la luz se refleja de vuelta al medio original. Este fenómeno se llama reflexión interna total.

Para que haya reflexión interna total deben cumplirse dos condiciones:

1. La luz debe viajar desde un medio de mayor índice de refracción hacia uno de menor índice.
2. El ángulo de incidencia debe ser mayor o igual que el ángulo límite.

Ejemplo práctico

Para el agua ($n_1 = 4/3$) en contacto con aire ($n_2 = 1$): $$\sin L = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$$ $$L \approx 48{,}6^\circ$$

Si la luz viaja del agua al aire con un ángulo de incidencia de $60^\circ$, no sale: sufre reflexión interna total.

Aplicaciones

La reflexión interna total es la base de la fibra óptica, usada en telecomunicaciones, medicina endoscópica y redes de internet, también en Perú. La luz viaja por un núcleo de vidrio con mayor índice de refracción y se refleja repetidamente en sus paredes internas, sin escapar.

También explica el brillo intenso del diamante: su alto índice de refracción produce un ángulo límite pequeño, lo que facilita muchas reflexiones internas antes de que la luz salga.

Una aplicación directa de la refracción es el fenómeno de la profundidad aparente: los objetos sumergidos en agua parecen estar más cerca de la superficie de lo que están en realidad.

Si un observador se encuentra en un medio de índice $n_1$ y observa un objeto en un medio de índice $n_2$, la profundidad aparente $h_{\text{ap}}$ se relaciona con la profundidad real $h_{\text{real}}$ mediante: $$\frac{h_{\text{ap}}}{h_{\text{real}}} = \frac{n_1}{n_2}$$ para rayos casi perpendiculares a la superficie.

Por ejemplo, si una moneda está en el fondo de una piscina a una profundidad real de $1{,}0$ m vista desde el aire ($n_1 = 1$) a través del agua ($n_2 = 4/3$): $$h_{\text{ap}} = 1 \cdot \frac{1}{4/3} = 0{,}75 \, \text{m}$$

El observador ve la moneda a $0{,}75$ m de la superficie, no a $1{,}0$ m.

Este resultado se obtiene aplicando la ley de Snell para rayos muy cercanos a la normal, que es la situación habitual cuando se observa verticalmente.

Una lente es un cuerpo transparente, generalmente de vidrio o plástico, limitado por dos superficies, de las cuales al menos una es curva. Las lentes usan la refracción para desviar rayos de luz y formar imágenes.

Se llama lente delgada cuando su espesor es pequeño en comparación con sus radios de curvatura y con la distancia focal. En ese caso se puede considerar que los rayos se desvían en un solo plano central de la lente.

Clasificación según su comportamiento óptico

Las lentes se clasifican en dos grandes grupos.

a) Lentes convergentes o positivas

Son más gruesas en el centro que en los bordes. Cuando un haz de rayos paralelos al eje principal incide sobre una lente convergente, los rayos se refractan y se reúnen en un punto llamado foco principal.

Las formas convergentes más usuales son:

• biconvexa;
• plano-convexa;
• menisco convergente.

En una lente convergente, el foco es real y la distancia focal es positiva.

b) Lentes divergentes o negativas

Son más gruesas en los bordes que en el centro. Cuando un haz de rayos paralelos incide sobre una lente divergente, los rayos se separan al salir. Sus prolongaciones hacia atrás pasan por un punto llamado foco virtual.

Las formas divergentes más usuales son:

• bicóncava;
• plano-cóncava;
• menisco divergente.

En una lente divergente, el foco es virtual y la distancia focal es negativa.

Elementos de una lente delgada

Toda lente delgada tiene los siguientes elementos:

• Centro óptico $O$: punto central de la lente. Un rayo que pasa por él no se desvía.
• Eje principal: recta perpendicular al plano de la lente y que pasa por el centro óptico.
• Focos principales $F$ y $F'$: puntos del eje principal donde se concentran los rayos paralelos, o desde donde parecen provenir.
• Distancia focal $f$: distancia entre el centro óptico y un foco.
• Centros de curvatura $C_1$ y $C_2$: centros de las superficies esféricas.
• Radios de curvatura $R_1$ y $R_2$: radios de esas superficies.

En una lente delgada, los dos focos están a la misma distancia del centro óptico, uno a cada lado.

Para determinar gráficamente la imagen formada por una lente, se usan tres rayos principales.

Rayos principales en lentes convergentes

1. Un rayo que incide paralelo al eje principal se refracta pasando por el foco del otro lado.
2. Un rayo que pasa por el centro óptico $O$ continúa sin desviarse.
3. Un rayo que pasa por el foco del lado del objeto se refracta paralelo al eje principal.

Rayos principales en lentes divergentes

1. Un rayo que incide paralelo al eje principal se refracta de modo que su prolongación pasa por el foco del mismo lado.
2. Un rayo que pasa por el centro óptico $O$ continúa sin desviarse.
3. Un rayo que se dirige hacia el foco del lado opuesto se refracta paralelo al eje principal.

Imágenes en lentes convergentes

La imagen formada por una lente convergente depende de la posición del objeto respecto del foco $F$ y del punto $2F$.

Sea $f$ la distancia focal y $2F$ el punto ubicado al doble de la distancia focal.

El último caso es el que se usa en una lupa: el objeto se coloca muy cerca de la lente, entre el foco y el centro óptico, y se obtiene una imagen virtual, derecha y aumentada.

Imágenes en lentes divergentes

Una lente divergente con un objeto real produce siempre el mismo tipo de imagen:

• virtual;
• derecha;
• de menor tamaño que el objeto;
• ubicada entre el objeto y la lente.

Esto no depende de si el objeto está lejos o cerca.

Para calcular numéricamente la posición y el tamaño de la imagen se usa la ecuación de los focos conjugados o ecuación de Descartes para lentes delgadas: $$\frac{1}{f} = \frac{1}{o} + \frac{1}{i}$$ donde:

• $f$ es la distancia focal;
• $o$ es la distancia del objeto a la lente;
• $i$ es la distancia de la imagen a la lente.

Convención de signos

La convención más utilizada en el examen es:

• $f > 0$ para lentes convergentes;
• $f < 0$ para lentes divergentes;
• $o > 0$ para objetos reales, que normalmente están del lado por donde llega la luz;
• $i > 0$ si la imagen es real y se forma al otro lado de la lente;
• $i < 0$ si la imagen es virtual y se forma del mismo lado que el objeto.

El aumento lateral $A$ se define como: $$A = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{i}{o}$$

Interpretación:

• si $|A| > 1$, la imagen es de mayor tamaño;
• si $|A| < 1$, la imagen es de menor tamaño;
• si $A > 0$, la imagen es derecha y virtual;
• si $A < 0$, la imagen es invertida y real.

Por ejemplo, si una lente convergente tiene $f = 20$ cm y un objeto se coloca a $50$ cm: $$\frac{1}{20} = \frac{1}{50} + \frac{1}{i}$$ $$\frac{1}{i} = \frac{1}{20} - \frac{1}{50} = \frac{5-2}{100} = \frac{3}{100}$$ $$i = \frac{100}{3} \approx 33{,}3 \, \text{cm}$$

La imagen está al otro lado, es real. Su aumento es: $$A = -\frac{i}{o} = -\frac{33{,}3}{50} \approx -0{,}667$$ Por tanto, la imagen es real, invertida y de menor tamaño.

La distancia focal de una lente delgada no es caprichosa: depende de la forma de sus superficies y del material con que está fabricada.

La ecuación del fabricante relaciona la distancia focal $f$, el índice de refracción de la lente $n_L$, el índice de refracción del medio que la rodea $n_m$, y los radios de curvatura de sus dos superficies $R_1$ y $R_2$.

Usando la convención práctica en la que una superficie convexa se considera positiva, una superficie cóncava negativa y una superficie plana tiene radio infinito, la ecuación se escribe: $$\frac{1}{f} = \left( \frac{n_L}{n_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$$

Cuando la lente está en el aire, $n_m \approx 1$, y la ecuación se reduce a: $$\frac{1}{f} = (n_L - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$$

Interpretación

• Si el resultado de $1/f$ es positivo, la lente es convergente.
• Si es negativo, la lente es divergente.
• Una superficie plana tiene $R = \infty$, por lo que su contribución es cero.

Ejemplo. Una lente biconvexa tiene $R_1 = 20$ cm y $R_2 = 20$ cm, y está hecha de vidrio $n_L = 1{,}5$. Como ambas superficies son convexas, ambas tienen signo positivo: $$\frac{1}{f} = (1{,}5 - 1) \left( \frac{1}{0{,}2} + \frac{1}{0{,}2} \right)$$ $$\frac{1}{f} = 0{,}5 (5 + 5) = 5 \, \text{m}^{-1}$$ $$f = 0{,}2 \, \text{m} = 20 \, \text{cm}$$

La lente es convergente con distancia focal de $20$ cm.

Si la lente fuera bicóncava con los mismos radios, ambas superficies serían negativas y se obtendría $f = -20$ cm: lente divergente.

Esta ecuación es especialmente útil cuando el problema no da directamente la distancia focal, sino los radios de curvatura y el índice de refracción.

La potencia óptica $P$ de una lente mide su capacidad para hacer converger o divergir un haz de luz. Cuanto más corta es la distancia focal, más potente es la lente.

Se define como: $$P = \frac{1}{f}$$ donde $f$ debe expresarse en metros.

La unidad de potencia óptica es la dioptría, cuyo símbolo es $D$: $$1 \, \text{D} = 1 \, \text{m}^{-1}$$

Signos:

• $P > 0$: lente convergente;
• $P < 0$: lente divergente.

Ejemplo. Una lente convergente con $f = 20$ cm tiene: $$f = 0{,}20 \, \text{m}$$ $$P = \frac{1}{0{,}20} = 5 \, \text{D}$$

Una lente divergente con $f = -50$ cm tiene: $$f = -0{,}50 \, \text{m}$$ $$P = \frac{1}{-0{,}50} = -2 \, \text{D}$$

Lentes delgadas en contacto

Cuando varias lentes delgadas se colocan muy juntas, la potencia total es la suma de las potencias individuales: $$P_{\text{total}} = P_1 + P_2 + P_3 + \dots$$

O equivalentemente: $$\frac{1}{f_{\text{total}}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3} + \dots$$

Esto es útil en problemas donde se combinan lentes, por ejemplo en instrumentos ópticos.

La potencia óptica se usa mucho en optometría y oftalmología para caracterizar lentes correctoras de miopía, hipermetropía y presbicia.