Condensadores

Imaginemos un conductor esférico aislado, inicialmente neutro. Si le transferimos carga eléctrica, su potencial eléctrico aumenta. La experiencia muestra que, para un conductor de forma y tamaño fijos, la carga $Q$ que adquiere es directamente proporcional a su potencial $V$. Es decir,

$$Q \propto V.$$

La constante de proporcionalidad se denomina capacitancia y se representa con la letra $C$. Por lo tanto,

$$C=\frac{Q}{V}.$$

Esta última expresión también se puede interpretar como:

$$Q=CV,$$

lo que significa que, para una diferencia de potencial dada, un conductor con mayor capacitancia almacena más carga.

1.1 Capacidad eléctrica y capacitancia

Conviene distinguir dos términos que a veces se confunden:

• Capacidad eléctrica es la propiedad de los cuerpos conductores de poder almacenar carga eléctrica.
• Capacitancia es la medida cuantitativa de esa capacidad.

Por ejemplo, un conductor esférico de radio $R$ en el vacío tiene un potencial dado por

$$V=k\frac{Q}{R},$$

donde $k$ es la constante de Coulomb. Despejando la relación $C=Q/V$, obtenemos

$$C=\frac{R}{k}=4\pi\varepsilon_0 R.$$

Observa que la capacitancia de la esfera depende solamente de su geometría (radio) y del medio que la rodea, no de la carga almacenada ni del potencial. Esta es una propiedad general: la capacitancia es una característica geométrica del conductor o del sistema de conductores.

1.2 Unidad de capacitancia

En el SI, la unidad de capacitancia es el faradio ($F$), en honor a Michael Faraday. De la definición $C=Q/V$,

$$1\,\mathrm{F}=1\,\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{V}}.$$

El faradio resulta ser una unidad muy grande para la mayoría de los dispositivos prácticos. Por ello se utilizan con frecuencia submúltiplos:

Por ejemplo, un condensador de $10\,\mu\mathrm{F}$ equivale a $10\times10^{-6}\,\mathrm{F}=10^{-5}\,\mathrm{F}$.

Un condensador es un sistema formado por dos conductores separados por un material aislante, llamado dieléctrico. Los conductores suelen denominarse placas, armaduras o electrodos. Cuando se conecta el condensador a una batería, una de las placas adquiere carga positiva $+Q$ y la otra una carga negativa $-Q$, de modo que la carga neta del condensador sigue siendo nula.

La diferencia de potencial $V_{AB}$ entre las placas está relacionada con la magnitud de la carga almacenada $Q$ mediante

$$C=\frac{Q}{V_{AB}},$$

donde $Q$ se toma como la magnitud de la carga de una de las placas, sin signo.

2.1 Proceso de carga de un condensador

Al conectar un condensador descargado a una batería ideal de voltaje $V$, ocurre un proceso transitorio:

1. La batería genera un campo eléctrico en los conductores, que impulsa a los electrones libres desde una placa hacia la otra a través del circuito.
2. La placa que pierde electrones queda con carga positiva; la que los recibe, con carga negativa.
3. A medida que se acumulan cargas opuestas, se origina un campo eléctrico entre las placas y, con él, una diferencia de potencial que se opone al avance de más carga.
4. El flujo de carga cesa cuando la diferencia de potencial entre las placas $V_{AB}$ se iguala al voltaje de la batería $V$.

En ese momento, la carga almacenada es

$$Q=CV.$$

Si el condensador se desconecta de la batería, idealmente conserva su carga y la energía almacenada en su campo eléctrico.

2.2 Símbolo del condensador

En los diagramas de circuitos se representa con dos líneas paralelas del mismo tamaño (o una ligeramente curva en algunos estilos). En este texto usaremos la representación estándar.

La batería se representa con una línea larga (terminal positivo) y una línea corta (terminal negativo). En los circuitos de capacitores, la batería es la fuente de voltaje.

El condensador más simple y más importante para el nivel preuniversitario es el condensador de placas paralelas. Consiste en dos placas conductoras planas, de área $A$, separadas por una distancia $d$ mucho menor que las dimensiones lineales de las placas. En esta configuración, el campo eléctrico entre las placas es prácticamente uniforme.

3.1 Capacitancia sin dieléctrico (vacío o aire)

Si entre las placas hay vacío o aire, la capacitancia viene dada por

$$C_0=\varepsilon_0\frac{A}{d},$$

donde:

• $A$ es el área de cada placa, en metros cuadrados ($\mathrm{m^2}$).
• $d$ es la distancia entre las placas, en metros ($\mathrm{m}$).
• $\varepsilon_0$ es la permitividad eléctrica del vacío, $$\varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\,\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}.$$

La fórmula muestra que la capacitancia:

• Aumenta si se incrementa el área de las placas.
• Disminuye si se aumenta la distancia entre ellas.

Esto es lógico: placas más grandes pueden alojar más carga, y placas más cercanas producen una interacción eléctrica más intensa para el mismo voltaje.

3.2 Efecto del dieléctrico

Si entre las placas se introduce un material aislante o dieléctrico, la capacitancia aumenta. El dieléctrico se caracteriza por una constante dieléctrica relativa $\varepsilon_r$ (también llamada permitividad relativa o, en algunos textos, $K$). La capacitancia con dieléctrico es

$$C=\varepsilon_r C_0=\varepsilon_r\varepsilon_0\frac{A}{d}.$$

Puesto que el dieléctrico reduce el campo eléctrico neto entre las placas, el condensador puede almacenar más carga para la misma diferencia de potencial, lo que equivale a una mayor capacitancia.

Algunos valores típicos de constante dieléctrica relativa son:

En el aire o el vacío, $\varepsilon_r=1$, por lo que la fórmula se reduce a $C_0$. Para cualquier otro dieléctrico, $\varepsilon_r>1$ y la capacitancia se multiplica por ese factor.

3.3 Cálculo de la carga y el voltaje

Una vez conocida $C$, la relación fundamental $Q=CV$ permite calcular cualquiera de las tres magnitudes si se conocen las otras dos. Por ejemplo, si un condensador de $5\,\mu\mathrm{F}$ se conecta a $12\,\mathrm{V}$, la carga almacenada es

$$Q=CV=(5\times10^{-6})(12)=60\times10^{-6}\,\mathrm{C}=60\,\mu\mathrm{C}.$$

Los condensadores pueden conectarse entre sí para obtener una capacitancia equivalente distinta. Decimos que dos o más condensadores están en serie cuando se conectan uno a continuación del otro, de manera que la placa de un condensador se conecta a la placa del siguiente, y así sucesivamente. En esta conexión, la corriente de carga solo tiene un camino.

4.1 Características de la conexión en serie

1. Todos los condensadores almacenan la misma carga.
   Esto es consecuencia de la conservación de la carga eléctrica. Si la placa derecha de $C_1$ adquiere carga $-q$, la placa izquierda de $C_2$ adquiere carga $+q$, y así sucesivamente. Por tanto, $$q_1=q_2=q_3=q.$$

2. El voltaje total se reparte entre los condensadores.
   La diferencia de potencial entre los extremos de la asociación es la suma de los voltajes de cada condensador: $$V_{AB}=V_1+V_2+V_3.$$

3. La capacitancia equivalente es menor que la menor de las capacitancias individuales.
   Esto puede parecer sorprendente, pero ocurre porque en serie el voltaje se reparte, de modo que para la misma carga la asociación presenta un voltaje total mayor.

4.2 Deducción de la capacitancia equivalente

Para un condensador equivalente único que reemplace a la asociación en serie, debe cumplirse que, al aplicarle el voltaje total $V_{AB}$, almacene la misma carga $q$. Es decir,

$$V_{AB}=\frac{q}{C_{\mathrm{eq}}}.$$

Como $V_{AB}=V_1+V_2+V_3$ y cada $V_i=q/C_i$, tenemos

$$\frac{q}{C_{\mathrm{eq}}}=\frac{q}{C_1}+\frac{q}{C_2}+\frac{q}{C_3}.$$

Cancelando $q$, obtenemos

$$\frac{1}{C_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}.$$

Para $n$ condensadores en serie:

$$\frac{1}{C_{\mathrm{eq}}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{C_i}.$$

4.3 Caso particular: dos condensadores en serie

Cuando solo hay dos condensadores, la fórmula anterior se puede reescribir como

$$C_{\mathrm{eq}}=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}.$$

Esta expresión es muy práctica y aparece con frecuencia en los exámenes.

Si los $n$ condensadores son idénticos, cada uno de capacitancia $C$, entonces

$$C_{\mathrm{eq}}=\frac{C}{n}.$$

Por ejemplo, dos condensadores de $6\,\mu\mathrm{F}$ en serie tienen una equivalente de $3\,\mu\mathrm{F}$.

Decimos que dos o más condensadores están en paralelo cuando todas sus placas positivas están unidas entre sí a un mismo punto, y todas sus placas negativas están unidas entre sí a otro punto. En consecuencia, todos los condensadores quedan sometidos a la misma diferencia de potencial.

5.1 Características de la conexión en paralelo

1. Todos los condensadores tienen el mismo voltaje.
   Al estar conectadas las placas positivas entre sí y las negativas entre sí, la diferencia de potencial $V_{AB}$ es la misma para todos.

2. La carga total es la suma de las cargas individuales.
   La carga total almacenada por el sistema es $$q=q_1+q_2+q_3.$$

3. La capacitancia equivalente es mayor que la mayor de las capacitancias individuales.
   Al conectar condensadores en paralelo, se aumenta el área efectiva de placas, por lo que la capacidad total aumenta.

5.2 Deducción de la capacitancia equivalente

Para el condensador equivalente, debe cumplirse

$$q=C_{\mathrm{eq}}V_{AB}.$$

Como $q=q_1+q_2+q_3$ y $q_i=C_i V_{AB}$,

$$C_{\mathrm{eq}}V_{AB}=C_1 V_{AB}+C_2 V_{AB}+C_3 V_{AB}.$$

Cancelando $V_{AB}$,

$$C_{\mathrm{eq}}=C_1+C_2+C_3.$$

En general, para $n$ condensadores en paralelo:

$$C_{\mathrm{eq}}=\sum_{i=1}^{n}C_i.$$

Si todos tienen la misma capacitancia $C$,

$$C_{\mathrm{eq}}=nC.$$

Por ejemplo, tres condensadores de $2\,\mu\mathrm{F}$ en paralelo dan $6\,\mu\mathrm{F}$.

5.3 Relación entre cargas y capacidades

Como el voltaje es el mismo, la carga de cada condensador es directamente proporcional a su capacitancia:

$$q_i=C_i V.$$

Así, el condensador de mayor capacitancia almacena mayor carga.

En la mayoría de problemas de admisión no se presentan simplemente condensadores en serie o en paralelo puros; se muestran circuitos mixtos, en los que algunos grupos están en serie y otros en paralelo. El objetivo es casi siempre hallar la capacitancia equivalente entre dos terminales $A$ y $B$.

6.1 Reducción paso a paso

El método general es reducir el circuito por partes, desde los grupos más internos hacia los terminales.

1. Identificar grupos de condensadores que estén claramente en serie o en paralelo.
2. Reemplazar cada grupo por su condensador equivalente.
3. Redibujar el circuito simplificado.
4. Repetir el proceso hasta obtener un único condensador entre $A$ y $B$.

Por ejemplo, si entre $A$ y $B$ se tiene un condensador de $4\,\mu\mathrm{F}$ en paralelo con una rama formada por dos condensadores de $4\,\mu\mathrm{F}$ en serie, primero se reduce la rama en serie: $C_{\mathrm{serie}}=\frac{4\times4}{4+4}=2\,\mu\mathrm{F}$. Luego el paralelo: $C_{\mathrm{eq}}=4+2=6\,\mu\mathrm{F}$.

En los circuitos de admisión, las figuras suelen contener entre tres y cinco condensadores. La clave está en no intentar memorizar fórmulas raras, sino en identificar correctamente qué terminales comparten los condensadores.

6.2 Puntos equipotenciales y simetrías

Un recurso muy útil en circuitos con cables sin elementos intermedios es la idea de puntos equipotenciales. Si dos puntos están unidos por un conductor ideal, están al mismo potencial y pueden considerarse como un solo nodo. Esto permite reorganizar el circuito y descubrir paralelos que no son evidentes a simple vista.

Por ejemplo, si varios condensadores están conectados todos entre los mismos nodos $A$ y $B$, entonces están en paralelo, aunque el dibujo los muestre en posiciones separadas.

También se puede aprovechar la simetría del circuito: si al dividir el circuito por un plano de simetría los puntos correspondientes tienen el mismo potencial, se pueden unir o separar sin alterar la capacitancia equivalente.

6.3 Uso de la capacitancia equivalente

Una vez hallada $C_{\mathrm{eq}}$, podemos tratar todo el sistema como si fuera un único condensador conectado a la fuente. Eso permite calcular:

• La carga total suministrada por la fuente: $q_{\mathrm{total}}=C_{\mathrm{eq}}V$.
• La energía total almacenada: $U=\frac{1}{2}C_{\mathrm{eq}}V^2$.

Después, si se desea conocer voltajes o cargas en condensadores individuales, se deshace la reducción paso a paso.

Un condensador cargado almacena energía potencial eléctrica en el campo eléctrico que existe entre sus placas. Esta energía es la que permite, por ejemplo, que el flash de una cámara emita un destello intenso en un tiempo muy corto.

7.1 Deducción y fórmulas

Al cargar un condensador, la batería realiza trabajo para mover cargas de una placa a otra. La primera carga que se transfiere no encuentra oposición, pero a medida que las placas se cargan, el campo eléctrico se intensifica y la batería debe realizar más trabajo para mover cargas adicionales. El voltaje promedio durante la carga es $V/2$, de modo que el trabajo total es

$$U=\frac{1}{2}qv.$$

Sustituyendo $q=CV$, obtenemos

$$U=\frac{1}{2}CV^2.$$

O, despejando $V=q/C$,

$$U=\frac{q^2}{2C}.$$

Por lo tanto, se dispone de tres expresiones equivalentes:

$$U=\frac{1}{2}qV=\frac{1}{2}CV^2=\frac{q^2}{2C}.$$

La unidad de energía en el SI es el julio ($J$). En los problemas con capacitancias pequeñas, las energías suelen expresarse en microjulios ($\mu\mathrm{J}$) o milijulios ($\mathrm{mJ}$).

7.2 Comparación entre asociaciones

La energía total de una asociación, sea en serie o en paralelo, se puede calcular usando el condensador equivalente:

$$U_{\mathrm{total}}=\frac{1}{2}C_{\mathrm{eq}}V_{\mathrm{total}}^2.$$

Esto no significa que la energía se distribuya de manera uniforme entre los condensadores; cada uno almacena $U_i=\frac{1}{2}C_i V_i^2$ para serie, o $U_i=\frac{1}{2}C_i V^2$ para paralelo.

7.3 Energía y redistribución de carga

Un aspecto conceptual importante es que, al conectar condensadores entre sí, la carga total se conserva, pero la energía no siempre permanece constante. Si un condensador cargado se conecta en paralelo con otro descargado, parte de la energía se disipa en forma de calor o se emite como radiación durante el transitorio. Solo se conserva la carga total, no la energía.