Fuerza magnética sobre cargas en movimiento dentro de un campo magnético. Análisis del movimiento

Condiciones para que exista fuerza magnética

No toda carga en presencia de un campo magnético experimenta fuerza magnética. Para que esta fuerza aparezca, deben cumplirse dos condiciones:

1. La partícula debe tener carga eléctrica.
2. La partícula debe estar en movimiento dentro del campo magnético.

Además, la fuerza magnética depende de la orientación del movimiento respecto de las líneas de inducción magnética. Una manera intuitiva de verlo es pensar que la carga debe “cortar” líneas de campo magnético. Si la carga está en reposo, o si se mueve paralelamente a las líneas de inducción, la fuerza magnética es nula.

Por ejemplo, un imán y una carga en reposo no interactúan magnéticamente. En cambio, si la misma carga se mueve perpendicularmente a las líneas de campo, la fuerza magnética es máxima.

Módulo de la fuerza magnética

Si una partícula con carga $q$ se mueve con velocidad de módulo $v$ dentro de una región donde existe un campo magnético de magnitud $B$, y si el ángulo entre el vector velocidad $\vec v$ y el vector campo magnético $\vec B$ es $\theta$, entonces el módulo de la fuerza magnética es

$$F_m = |q| v B \sin\theta$$

donde:

• $|q|$ es el valor absoluto de la carga de la partícula, en coulomb (C).
• $v$ es la rapidez de la partícula, en metros por segundo (m/s).
• $B$ es la magnitud del campo magnético, en tesla (T).
• $\theta$ es el ángulo entre $\vec v$ y $\vec B$.

De esta fórmula se deducen tres casos importantes:

Dirección y sentido de la fuerza magnética

La fuerza magnética no tiene la misma dirección que la velocidad ni que el campo magnético. Es siempre perpendicular al plano formado por $\vec v$ y $\vec B$. Es decir,

$$\vec F_m \perp \vec v \quad \text{y} \quad \vec F_m \perp \vec B.$$

Para determinar el sentido de la fuerza magnética se utiliza la regla de la palma izquierda (también llamada regla de la mano izquierda). El procedimiento es el siguiente:

1. Se extiende la mano izquierda con los dedos en el sentido de la velocidad $\vec v$.
2. Se orienta la palma de modo que las líneas de inducción magnética $\vec B$ entren en la palma.
3. El dedo pulgar extendido indica el sentido de la fuerza magnética $\vec F_m$ para una carga positiva.

Si la partícula tiene carga negativa, se aplica el mismo procedimiento suponiendo que fuera positiva y, al final, se invierte el sentido de la fuerza.

También puede usarse la forma vectorial, que es más compacta y útil para problemas con componentes:

$$\vec F_m = q\,\vec v \times \vec B$$

donde $\times$ representa el producto vectorial. Para una carga positiva, el sentido de $\vec F_m$ es el de $\vec v \times \vec B$; para una carga negativa, el producto vectorial se multiplica por un número negativo, por lo que el sentido se invierte.

La fuerza magnética no realiza trabajo

Una propiedad fundamental de la fuerza magnética es que, al ser siempre perpendicular a la velocidad, no realiza trabajo. La potencia instantánea asociada a una fuerza es

$$P = \vec F_m \cdot \vec v = F_m v \cos 90^\circ = 0.$$

Por lo tanto, la fuerza magnética no cambia la rapidez de la partícula, solo cambia la dirección de su velocidad. En consecuencia, la energía cinética de una partícula que se mueve únicamente bajo la acción de un campo magnético permanece constante.

Esta propiedad es esencial para entender por qué el movimiento dentro de un campo magnético uniforme puede ser circular uniforme: la fuerza magnética actúa como una fuerza centrípeta, cambiando la dirección de la velocidad pero no su módulo.

Vamos a analizar lo que ocurre cuando una partícula cargada ingresa a una región con un campo magnético uniforme $\vec B$. Supondremos que solo actúa la fuerza magnética; es decir, despreciamos la fuerza de gravedad y cualquier otra fuerza.

El tipo de trayectoria depende únicamente del ángulo entre la velocidad inicial $\vec v$ y el campo magnético $\vec B$.

Caso 1: velocidad paralela al campo magnético

Si $\vec v \parallel \vec B$, entonces $\theta = 0^\circ$ o $\theta = 180^\circ$, y por lo tanto

$$F_m = |q| v B \sin \theta = 0.$$

Al no haber fuerza neta, la partícula mantiene su velocidad constante y describe un movimiento rectilíneo uniforme.

Este caso es simple, pero importante: una carga puede moverse a gran velocidad dentro de un campo magnético intenso sin desviarse si su dirección es paralela a las líneas de inducción.

Caso 2: velocidad perpendicular al campo magnético

Si una partícula ingresa con velocidad $\vec v$ perpendicular al campo magnético uniforme $\vec B$, la fuerza magnética es

$$F_m = |q| v B$$

y es siempre perpendicular a la velocidad. Por lo tanto, la fuerza magnética no puede cambiar la rapidez; solo cambia la dirección de la velocidad. Como el campo magnético es uniforme, el módulo de la fuerza permanece constante.

Una fuerza de módulo constante y siempre perpendicular a la velocidad es exactamente la condición para que una partícula describa un movimiento circular uniforme (MCU). La fuerza magnética actúa como fuerza centrípeta.

Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección centrípeta:

$$F_m = F_c$$

$$|q| v B = \frac{m v^2}{r}$$

Despejando el radio $r$ de la órbita:

$$r = \frac{m v}{|q| B}$$

donde $m$ es la masa de la partícula.

Esta expresión tiene varias consecuencias importantes:

• El radio es directamente proporcional a la masa $m$ y a la rapidez $v$.
• El radio es inversamente proporcional a la carga $|q|$ y al campo magnético $B$.
• Para una misma partícula, si aumenta la rapidez, el radio de la órbita también aumenta.

Periodo y frecuencia del movimiento circular

En un movimiento circular uniforme, el periodo $T$ es el tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta completa. Como la trayectoria es una circunferencia de longitud $2\pi r$ y la rapidez $v$ es constante:

$$T = \frac{2\pi r}{v}$$

Sustituyendo $r = mv/(|q|B)$:

$$T = \frac{2\pi m}{|q| B}$$

La frecuencia $f$, que es el número de vueltas por unidad de tiempo, es

$$f = \frac{1}{T} = \frac{|q| B}{2\pi m}.$$

La frecuencia angular $\omega$ es

$$\omega = 2\pi f = \frac{|q| B}{m}.$$

Un resultado muy importante, y que suele aparecer en el examen, es que el periodo no depende de la rapidez de la partícula. Si la partícula ingresa más rápido, recorre una circunferencia de mayor radio, pero tarda exactamente el mismo tiempo en dar una vuelta. Esto se debe a que, al aumentar $v$, el radio $r$ aumenta en la misma proporción, por lo que el cociente $2\pi r/v$ no cambia.

Caso 3: velocidad oblicua al campo magnético

Si la velocidad inicial $\vec v$ forma un ángulo $\theta$ con el campo magnético $\vec B$, con $0^\circ < \theta < 90^\circ$ (o también $90^\circ < \theta < 180^\circ$, usando el ángulo menor), la situación es más general.

Para analizar este movimiento, se descompone la velocidad en dos componentes:

• Una componente paralela al campo: $v_\parallel = v \cos\theta$.
• Una componente perpendicular al campo: $v_\perp = v \sin\theta$.

La componente $v_\parallel$ no es afectada por la fuerza magnética, porque una velocidad paralela a $\vec B$ no produce fuerza. Por lo tanto, la partícula avanza con movimiento rectilíneo uniforme a lo largo de la dirección del campo.

La componente $v_\perp$ sí produce una fuerza magnética, que obliga a la partícula a describir un movimiento circular en el plano perpendicular a $\vec B$.

La combinación de un movimiento circular en un plano y un avance uniforme perpendicular a ese plano produce una trayectoria llamada hélice. Es el movimiento que describe, por ejemplo, una partícula del viento solar al quedar atrapada por el campo magnético terrestre.

El radio de la hélice se calcula usando solo la componente perpendicular de la velocidad:

$$r = \frac{m v_\perp}{|q| B} = \frac{m v \sin\theta}{|q| B}.$$

El periodo de cada vuelta es el mismo que en el caso perpendicular, porque no depende de la velocidad:

$$T = \frac{2\pi m}{|q| B}.$$

El paso de la hélice $p$ es la distancia que la partícula avanza en la dirección del campo durante una vuelta completa. Se obtiene multiplicando la componente paralela de la velocidad por el periodo:

$$p = v_\parallel T = v\cos\theta \cdot \frac{2\pi m}{|q| B}.$$

Tabla resumen de trayectorias

En varios problemas de admisión, la partícula no ingresa directamente con una velocidad dada, sino que primero es acelerada mediante una diferencia de potencial eléctrico. Este es, por ejemplo, el principio de muchos espectrómetros de masas y de los tubos de rayos catódicos.

Si una partícula de carga $q$ parte del reposo y es acelerada por una diferencia de potencial $V$, el trabajo realizado por el campo eléctrico es

$$W = qV.$$

Si despreciamos otras pérdidas de energía, este trabajo se convierte en energía cinética:

$$qV = \frac12 mv^2.$$

De aquí se obtiene la rapidez con la que la partícula ingresa al campo magnético:

$$v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}.$$

Si después ingresa perpendicularmente a un campo magnético uniforme $B$, el radio de su órbita será

$$r = \frac{m v}{qB} = \frac{m}{qB}\sqrt{\frac{2qV}{m}}.$$

Simplificando, se obtiene una relación muy útil:

$$r = \sqrt{\frac{2 m V}{q B^2}}$$

o, despejando el voltaje,

$$V = \frac{q B^2 r^2}{2m}.$$

Aquí $q$ se usa como valor positivo, porque la diferencia de potencial entrega energía a la carga. Conviene recordar que la fuerza magnética no realiza trabajo; el aumento de energía cinética lo produce el campo eléctrico acelerador. El campo magnético solo se encarga de desviar la partícula y hacer que describa una trayectoria circular.

Espectrómetro de masas

Un espectrómetro de masas es un dispositivo que permite separar partículas cargadas según su masa o su energía. En su forma más simple, las partículas se aceleran mediante una diferencia de potencial y luego ingresan perpendicularmente a una región con campo magnético uniforme.

Como el radio de la trayectoria es

$$r = \frac{mv}{qB},$$

si el campo magnético $B$ es el mismo para todas las partículas y estas tienen la misma carga, el radio depende de la cantidad de movimiento $mv$. Partículas más pesadas o más rápidas describen órbitas de mayor radio. Esto permite separarlas espacialmente y, conociendo la velocidad o la energía, determinar su masa.

Auroras polares

Un fenómeno natural hermoso que se explica con este tema es la aurora polar. Las partículas cargadas provenientes del viento solar, como protones y electrones, ingresan al campo magnético terrestre. Como su velocidad forma generalmente un ángulo con las líneas de campo, describen trayectorias helicoidales a lo largo de las líneas magnéticas y son guiadas hacia las regiones polares. Allí chocan con los gases de la atmósfera y producen la luminiscencia característica de las auroras.

El ciclotrón

En los aceleradores de partículas llamados ciclotrones, se aprovecha el hecho de que el periodo de una partícula en un campo magnético uniforme no depende de su rapidez. La partícula describe órbitas cada vez mayores a medida que se le suministra energía, pero el tiempo para cada vuelta permanece aproximadamente constante, lo que permite sincronizar el campo eléctrico acelerador.

Condiciones para que exista fuerza magnética

No toda carga en presencia de un campo magnético experimenta fuerza magnética. Para que esta fuerza aparezca, deben cumplirse dos condiciones:

1. La partícula debe tener carga eléctrica.
2. La partícula debe estar en movimiento dentro del campo magnético.

Además, la fuerza magnética depende de la orientación del movimiento respecto de las líneas de inducción magnética. Una manera intuitiva de verlo es pensar que la carga debe “cortar” líneas de campo magnético. Si la carga está en reposo, o si se mueve paralelamente a las líneas de inducción, la fuerza magnética es nula.

Por ejemplo, un imán y una carga en reposo no interactúan magnéticamente. En cambio, si la misma carga se mueve perpendicularmente a las líneas de campo, la fuerza magnética es máxima.

Módulo de la fuerza magnética

Si una partícula con carga $q$ se mueve con velocidad de módulo $v$ dentro de una región donde existe un campo magnético de magnitud $B$, y si el ángulo entre el vector velocidad $\vec v$ y el vector campo magnético $\vec B$ es $\theta$, entonces el módulo de la fuerza magnética es

$$F_m = |q| v B \sin\theta$$

donde:

• $|q|$ es el valor absoluto de la carga de la partícula, en coulomb (C).
• $v$ es la rapidez de la partícula, en metros por segundo (m/s).
• $B$ es la magnitud del campo magnético, en tesla (T).
• $\theta$ es el ángulo entre $\vec v$ y $\vec B$.

De esta fórmula se deducen tres casos importantes:

Dirección y sentido de la fuerza magnética

La fuerza magnética no tiene la misma dirección que la velocidad ni que el campo magnético. Es siempre perpendicular al plano formado por $\vec v$ y $\vec B$. Es decir,

$$\vec F_m \perp \vec v \quad \text{y} \quad \vec F_m \perp \vec B.$$

Para determinar el sentido de la fuerza magnética se utiliza la regla de la palma izquierda (también llamada regla de la mano izquierda). El procedimiento es el siguiente:

1. Se extiende la mano izquierda con los dedos en el sentido de la velocidad $\vec v$.
2. Se orienta la palma de modo que las líneas de inducción magnética $\vec B$ entren en la palma.
3. El dedo pulgar extendido indica el sentido de la fuerza magnética $\vec F_m$ para una carga positiva.

Si la partícula tiene carga negativa, se aplica el mismo procedimiento suponiendo que fuera positiva y, al final, se invierte el sentido de la fuerza.

También puede usarse la forma vectorial, que es más compacta y útil para problemas con componentes:

$$\vec F_m = q\,\vec v \times \vec B$$

donde $\times$ representa el producto vectorial. Para una carga positiva, el sentido de $\vec F_m$ es el de $\vec v \times \vec B$; para una carga negativa, el producto vectorial se multiplica por un número negativo, por lo que el sentido se invierte.

La fuerza magnética no realiza trabajo

Una propiedad fundamental de la fuerza magnética es que, al ser siempre perpendicular a la velocidad, no realiza trabajo. La potencia instantánea asociada a una fuerza es

$$P = \vec F_m \cdot \vec v = F_m v \cos 90^\circ = 0.$$

Por lo tanto, la fuerza magnética no cambia la rapidez de la partícula, solo cambia la dirección de su velocidad. En consecuencia, la energía cinética de una partícula que se mueve únicamente bajo la acción de un campo magnético permanece constante.

Esta propiedad es esencial para entender por qué el movimiento dentro de un campo magnético uniforme puede ser circular uniforme: la fuerza magnética actúa como una fuerza centrípeta, cambiando la dirección de la velocidad pero no su módulo.

Vamos a analizar lo que ocurre cuando una partícula cargada ingresa a una región con un campo magnético uniforme $\vec B$. Supondremos que solo actúa la fuerza magnética; es decir, despreciamos la fuerza de gravedad y cualquier otra fuerza.

El tipo de trayectoria depende únicamente del ángulo entre la velocidad inicial $\vec v$ y el campo magnético $\vec B$.

Caso 1: velocidad paralela al campo magnético

Si $\vec v \parallel \vec B$, entonces $\theta = 0^\circ$ o $\theta = 180^\circ$, y por lo tanto

$$F_m = |q| v B \sin \theta = 0.$$

Al no haber fuerza neta, la partícula mantiene su velocidad constante y describe un movimiento rectilíneo uniforme.

Este caso es simple, pero importante: una carga puede moverse a gran velocidad dentro de un campo magnético intenso sin desviarse si su dirección es paralela a las líneas de inducción.

Caso 2: velocidad perpendicular al campo magnético

Si una partícula ingresa con velocidad $\vec v$ perpendicular al campo magnético uniforme $\vec B$, la fuerza magnética es

$$F_m = |q| v B$$

y es siempre perpendicular a la velocidad. Por lo tanto, la fuerza magnética no puede cambiar la rapidez; solo cambia la dirección de la velocidad. Como el campo magnético es uniforme, el módulo de la fuerza permanece constante.

Una fuerza de módulo constante y siempre perpendicular a la velocidad es exactamente la condición para que una partícula describa un movimiento circular uniforme (MCU). La fuerza magnética actúa como fuerza centrípeta.

Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección centrípeta:

$$F_m = F_c$$

$$|q| v B = \frac{m v^2}{r}$$

Despejando el radio $r$ de la órbita:

$$r = \frac{m v}{|q| B}$$

donde $m$ es la masa de la partícula.

Esta expresión tiene varias consecuencias importantes:

• El radio es directamente proporcional a la masa $m$ y a la rapidez $v$.
• El radio es inversamente proporcional a la carga $|q|$ y al campo magnético $B$.
• Para una misma partícula, si aumenta la rapidez, el radio de la órbita también aumenta.

Periodo y frecuencia del movimiento circular

En un movimiento circular uniforme, el periodo $T$ es el tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta completa. Como la trayectoria es una circunferencia de longitud $2\pi r$ y la rapidez $v$ es constante:

$$T = \frac{2\pi r}{v}$$

Sustituyendo $r = mv/(|q|B)$:

$$T = \frac{2\pi m}{|q| B}$$

La frecuencia $f$, que es el número de vueltas por unidad de tiempo, es

$$f = \frac{1}{T} = \frac{|q| B}{2\pi m}.$$

La frecuencia angular $\omega$ es

$$\omega = 2\pi f = \frac{|q| B}{m}.$$

Un resultado muy importante, y que suele aparecer en el examen, es que el periodo no depende de la rapidez de la partícula. Si la partícula ingresa más rápido, recorre una circunferencia de mayor radio, pero tarda exactamente el mismo tiempo en dar una vuelta. Esto se debe a que, al aumentar $v$, el radio $r$ aumenta en la misma proporción, por lo que el cociente $2\pi r/v$ no cambia.

Caso 3: velocidad oblicua al campo magnético

Si la velocidad inicial $\vec v$ forma un ángulo $\theta$ con el campo magnético $\vec B$, con $0^\circ < \theta < 90^\circ$ (o también $90^\circ < \theta < 180^\circ$, usando el ángulo menor), la situación es más general.

Para analizar este movimiento, se descompone la velocidad en dos componentes:

• Una componente paralela al campo: $v_\parallel = v \cos\theta$.
• Una componente perpendicular al campo: $v_\perp = v \sin\theta$.

La componente $v_\parallel$ no es afectada por la fuerza magnética, porque una velocidad paralela a $\vec B$ no produce fuerza. Por lo tanto, la partícula avanza con movimiento rectilíneo uniforme a lo largo de la dirección del campo.

La componente $v_\perp$ sí produce una fuerza magnética, que obliga a la partícula a describir un movimiento circular en el plano perpendicular a $\vec B$.

La combinación de un movimiento circular en un plano y un avance uniforme perpendicular a ese plano produce una trayectoria llamada hélice. Es el movimiento que describe, por ejemplo, una partícula del viento solar al quedar atrapada por el campo magnético terrestre.

El radio de la hélice se calcula usando solo la componente perpendicular de la velocidad:

$$r = \frac{m v_\perp}{|q| B} = \frac{m v \sin\theta}{|q| B}.$$

El periodo de cada vuelta es el mismo que en el caso perpendicular, porque no depende de la velocidad:

$$T = \frac{2\pi m}{|q| B}.$$

El paso de la hélice $p$ es la distancia que la partícula avanza en la dirección del campo durante una vuelta completa. Se obtiene multiplicando la componente paralela de la velocidad por el periodo:

$$p = v_\parallel T = v\cos\theta \cdot \frac{2\pi m}{|q| B}.$$

Tabla resumen de trayectorias

En varios problemas de admisión, la partícula no ingresa directamente con una velocidad dada, sino que primero es acelerada mediante una diferencia de potencial eléctrico. Este es, por ejemplo, el principio de muchos espectrómetros de masas y de los tubos de rayos catódicos.

Si una partícula de carga $q$ parte del reposo y es acelerada por una diferencia de potencial $V$, el trabajo realizado por el campo eléctrico es

$$W = qV.$$

Si despreciamos otras pérdidas de energía, este trabajo se convierte en energía cinética:

$$qV = \frac12 mv^2.$$

De aquí se obtiene la rapidez con la que la partícula ingresa al campo magnético:

$$v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}.$$

Si después ingresa perpendicularmente a un campo magnético uniforme $B$, el radio de su órbita será

$$r = \frac{m v}{qB} = \frac{m}{qB}\sqrt{\frac{2qV}{m}}.$$

Simplificando, se obtiene una relación muy útil:

$$r = \sqrt{\frac{2 m V}{q B^2}}$$

o, despejando el voltaje,

$$V = \frac{q B^2 r^2}{2m}.$$

Aquí $q$ se usa como valor positivo, porque la diferencia de potencial entrega energía a la carga. Conviene recordar que la fuerza magnética no realiza trabajo; el aumento de energía cinética lo produce el campo eléctrico acelerador. El campo magnético solo se encarga de desviar la partícula y hacer que describa una trayectoria circular.

Espectrómetro de masas

Un espectrómetro de masas es un dispositivo que permite separar partículas cargadas según su masa o su energía. En su forma más simple, las partículas se aceleran mediante una diferencia de potencial y luego ingresan perpendicularmente a una región con campo magnético uniforme.

Como el radio de la trayectoria es

$$r = \frac{mv}{qB},$$

si el campo magnético $B$ es el mismo para todas las partículas y estas tienen la misma carga, el radio depende de la cantidad de movimiento $mv$. Partículas más pesadas o más rápidas describen órbitas de mayor radio. Esto permite separarlas espacialmente y, conociendo la velocidad o la energía, determinar su masa.

Auroras polares

Un fenómeno natural hermoso que se explica con este tema es la aurora polar. Las partículas cargadas provenientes del viento solar, como protones y electrones, ingresan al campo magnético terrestre. Como su velocidad forma generalmente un ángulo con las líneas de campo, describen trayectorias helicoidales a lo largo de las líneas magnéticas y son guiadas hacia las regiones polares. Allí chocan con los gases de la atmósfera y producen la luminiscencia característica de las auroras.

El ciclotrón

En los aceleradores de partículas llamados ciclotrones, se aprovecha el hecho de que el periodo de una partícula en un campo magnético uniforme no depende de su rapidez. La partícula describe órbitas cada vez mayores a medida que se le suministra energía, pero el tiempo para cada vuelta permanece aproximadamente constante, lo que permite sincronizar el campo eléctrico acelerador.