Impulso y cantidad de movimiento

La idea intuitiva

Piensa en un automóvil pequeño y un bus que se desplazan a la misma velocidad. Si ambos frenan con la misma fuerza, el auto se detiene antes que el bus. ¿Por qué? Porque, a igual velocidad, el bus tiene más masa y resulta más difícil de frenar.

Ahora piensa en dos autos idénticos: uno se mueve a $20\,\text{m/s}$ y el otro a $40\,\text{m/s}$. El segundo es más difícil de detener. La cantidad de movimiento combina estos dos factores: masa y velocidad.

Definición

La cantidad de movimiento o momentum lineal de una partícula es una magnitud vectorial definida como:

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

donde:

• $\vec{p}$ es la cantidad de movimiento;
• $m$ es la masa del cuerpo, en kilogramos;
• $\vec{v}$ es su velocidad, en metros por segundo.

En el SI, la unidad de cantidad de movimiento es:

$$\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}}$$

equivalente a $\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

Características importantes

• Es una magnitud vectorial: tiene módulo, dirección y sentido.
• Tiene la misma dirección y el mismo sentido que la velocidad.
• Depende del sistema de referencia, porque la velocidad depende del observador.
• En un movimiento unidimensional, el signo de $\vec{p}$ depende del signo de la velocidad.

Ejemplo breve

Un balón de fútbol de $0{,}4\,\text{kg}$ viaja hacia la derecha a $25\,\text{m/s}$. Tomando la derecha como positiva:

$$p = mv = 0{,}4(25) = 10\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$$

Su cantidad de movimiento es $+10\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$. Si el mismo balón fuera hacia la izquierda a $25\,\text{m/s}$:

$$p = 0{,}4(-25) = -10\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$$

El signo negativo indica el sentido.

Cuando tenemos varios cuerpos, la cantidad de movimiento total del sistema es la suma vectorial de las cantidades de movimiento de cada cuerpo:

$$\vec{p}_{\text{sistema}} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 + \cdots$$

o bien:

$$\vec{p}_{\text{sistema}} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 + \cdots + m_n\vec{v}_n$$

Es muy importante sumar vectorialmente, es decir, respetando los signos cuando los movimientos están en una misma recta.

Ejemplo breve

Dos carritos se mueven sobre una pista horizontal:

• carrito A: $m_A = 1\,\text{kg}$, velocidad $+4\,\text{m/s}$;
• carrito B: $m_B = 2\,\text{kg}$, velocidad $-3\,\text{m/s}$.

Entonces:

$$p_A = 1(4) = +4\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$$

$$p_B = 2(-3) = -6\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$$

$$p_{\text{sistema}} = +4 + (-6) = -2\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$$

El sistema, en total, tiene cantidad de movimiento hacia la izquierda.

Definición

El impulso de una fuerza mide la acción de esa fuerza durante un intervalo de tiempo. Si una fuerza constante $\vec{F}$ actúa durante un tiempo $\Delta t$, el impulso $\vec{I}$ es:

$$\vec{I} = \vec{F}\Delta t$$

El impulso es una magnitud vectorial: tiene la misma dirección y sentido que la fuerza.

Su unidad en el SI es:

$$\text{N}\cdot\text{s}$$

que es equivalente a $\text{kg}\cdot\text{m/s}$.

Fuerza media

En muchos casos reales —un golpe, una patada, el disparo de un arma, un choque— la fuerza no es constante. Cambia rápidamente durante el contacto. Para estos casos se define una fuerza media $\vec{F}_m$, que es una fuerza constante equivalente que produciría el mismo impulso en el mismo intervalo de tiempo:

$$\vec{I} = \vec{F}_m \Delta t$$

de donde:

$$\vec{F}_m = \frac{\vec{I}}{\Delta t}$$

La fuerza media es especialmente útil porque la fuerza instantánea en un impacto puede ser difícil de medir.

Ejemplo breve

Una pelota de golf recibe un impulso de $2{,}5\,\text{N}\cdot\text{s}$ durante $0{,}01\,\text{s}$. La fuerza media impulsora es:

$$F_m = \frac{2{,}5}{0{,}01} = 250\,\text{N}$$

Cuando sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, cada una produce un impulso. El impulso resultante es la suma vectorial de todos los impulsos individuales:

$$\vec{I}_{\text{res}} = \vec{I}_1 + \vec{I}_2 + \vec{I}_3 + \cdots$$

Como las fuerzas se suman vectorialmente para obtener la fuerza resultante $\vec{F}_R$, el impulso resultante también se puede calcular como:

$$\vec{I}_{\text{res}} = \vec{F}_R \Delta t$$

siempre que $\vec{F}_R$ sea constante, o usando la fuerza resultante media si la fuerza cambia.

Esta idea es la puerta de entrada al teorema fundamental del tema.

Cuando la fuerza no es constante, una forma práctica de calcular el impulso es mediante la gráfica $F$ vs $t$. En una gráfica donde el eje horizontal es el tiempo y el eje vertical es la fuerza:

• el área bajo la curva representa el impulso;
• si la fuerza es positiva (sobre el eje horizontal), el impulso es positivo;
• si la fuerza es negativa (debajo del eje), el impulso es negativo.

Para una fuerza variable, el área se puede descomponer en rectángulos, triángulos o trapecios.

Fuerza media y gráfica

Si el impulso $I$ se conoce como área bajo la gráfica, y el intervalo de tiempo es $\Delta t$, la fuerza media $F_m$ se puede interpretar como la altura de un rectángulo de base $\Delta t$ y área igual al impulso:

$$F_m = \frac{I}{\Delta t}$$

Este es el resultado central del tema.

Partamos de la segunda ley de Newton. Para una masa $m$ constante:

$$\vec{F}_R = m\vec{a}$$

Como la aceleración media es $\vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$, se cumple:

$$\vec{F}_R \Delta t = m(\vec{v}_f - \vec{v}_0)$$

El lado izquierdo es el impulso resultante $\vec{I}_{\text{res}}$. El lado derecho es la variación de la cantidad de movimiento $\Delta \vec{p}$. Por lo tanto:

$$\vec{I}_{\text{res}} = \Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_0$$

o, equivalentemente:

$$\vec{I}_{\text{res}} = m\vec{v}_f - m\vec{v}_0$$

Esta es una ampliación de la segunda ley de Newton: el impulso resultante que actúa sobre un cuerpo es igual al cambio de su cantidad de movimiento.

¿Qué significa?

Si un objeto recibe un impulso grande, su cantidad de movimiento cambia mucho. Si la masa es constante, eso implica que su velocidad cambia mucho. Por eso una patada fuerte a un balón liviano produce un gran aumento de rapidez.

En una dimensión, se escribe:

$$I_{\text{res}} = m v_f - m v_0$$

donde los signos de las velocidades dependen del sentido.

Aplicación típica

Un cuerpo en reposo recibe un impulso $I$ por una fuerza media $F_m$ durante $\Delta t$:

$$F_m \Delta t = m(v_f - 0)$$

entonces:

$$v_f = \frac{F_m \Delta t}{m}$$

y también:

$$F_m = \frac{m v_f}{\Delta t}$$

Observación

No confundas impulso con trabajo. El trabajo se mide en joules ($\text{N}\cdot\text{m}$) y es una magnitud escalar. El impulso se mide en $\text{N}\cdot\text{s}$ y es vectorial. El trabajo relaciona fuerza con desplazamiento; el impulso relaciona fuerza con tiempo.

¿De dónde sale?

Consideremos un sistema de partículas. De la relación anterior aplicada a todo el sistema:

$$\vec{I}_{\text{ext}} = \Delta \vec{p}_{\text{sistema}}$$

donde $\vec{I}_{\text{ext}}$ es el impulso producido solo por las fuerzas externas. Las fuerzas internas —por ejemplo, las que se hacen dos cuerpos al chocar— no cambian la cantidad de movimiento total del sistema, porque se presentan en pares de acción y reacción, y sus impulsos se cancelan.

Si el impulso externo resultante es nulo, o tan pequeño que se puede despreciar:

$$\vec{I}_{\text{ext}} = 0$$

entonces:

$$\Delta \vec{p}_{\text{sistema}} = 0$$

es decir:

$$\vec{p}_{\text{sistema, inicial}} = \vec{p}_{\text{sistema, final}}$$

Esta es la ley de conservación de la cantidad de movimiento:

Si sobre un sistema no actúan fuerzas externas, o la resultante de las fuerzas externas es nula, la cantidad de movimiento total del sistema se conserva.

¿Qué significa físicamente?

Las fuerzas internas pueden cambiar el movimiento de cada cuerpo dentro del sistema, pero no pueden cambiar el movimiento total del sistema. Solo lo redistribuyen. Por ejemplo, si un patinador empuja a otro, ambos se mueven en direcciones opuestas, pero el producto masa-velocidad total permanece igual.

Aplicaciones clásicas

Retroceso de un arma o cañón.
El sistema arma + proyectil está inicialmente en reposo, por lo que su cantidad de movimiento inicial es cero. Al disparar, el proyectil sale hacia adelante y el arma retrocede, de modo que los impulsos internos cumplen:

$$0 = m_{\text{proyectil}} v_{\text{proyectil}} + m_{\text{arma}} v_{\text{arma}}$$

Por eso el cañón retrocede en sentido opuesto al proyectil.

Explosiones.
En una explosión, un cuerpo se fragmenta en varios pedazos. Como las fuerzas internas de la explosión son enormes comparadas con las externas durante ese instante, se desprecia el impulso externo y se cumple:

$$\vec{p}_{\text{inicial}} = \vec{p}_{\text{final}}$$

Si el cuerpo estaba en reposo, los momentos de los fragmentos deben sumar vectorialmente cero.

Disparo con gases.
En un fusil real, no solo salen la bala y el retroceso del arma: también se expulsan gases. El sistema bala + fusil + gases es el que conserva su cantidad de movimiento total.

Importante

La conservación de la cantidad de movimiento no depende de si los cuerpos se deforman, se rompen o se pegan. Por eso es tan útil en choques y explosiones.

Un choque es una interacción violenta entre dos o más cuerpos que ocurre en un intervalo de tiempo muy corto. Durante ese tiempo, las fuerzas internas son muy grandes en comparación con las fuerzas externas; por ello, en todo choque se puede despreciar el impulso externo y aplicar conservación de la cantidad de movimiento.

Clasificamos los choques según lo que ocurre con la energía cinética:

En todos ellos se conserva la cantidad de movimiento del sistema, siempre que las fuerzas externas sean despreciables.

El coeficiente de restitución $e$ mide cuán elástico es un choque. Para un choque frontal entre dos cuerpos se define:

$$e = \frac{\text{rapidez relativa de separación}}{\text{rapidez relativa de acercamiento}}$$

En una dimensión, si $u_1$ y $u_2$ son las velocidades antes del choque y $v_1$ y $v_2$ las velocidades después:

$$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$$

tomando los signos según un eje definido.

Sus valores posibles son:

$$0 \le e \le 1$$

• $e = 1$: choque elástico, los cuerpos se separan con la misma rapidez relativa con que se acercaban.
• $0 < e < 1$: choque inelástico, la rapidez relativa de separación es menor.
• $e = 0$: choque completamente inelástico; los cuerpos quedan pegados, por lo que la rapidez relativa de separación es cero.

Choque contra una pared o contra el piso

Si un cuerpo choca contra una pared fija o contra el piso, la rapidez con que rebota es:

$$v_{\text{rebote}} = e\, v_{\text{impacto}}$$

donde $v_{\text{impacto}}$ es la rapidez justo antes del choque y $v_{\text{rebote}}$ la rapidez justo después.

Si un cuerpo cae desde una altura $h_0$ y rebota sin otras pérdidas, la altura máxima después del rebote es:

$$h_f = e^2 h_0$$

Esto se debe a que la energía cinética antes del impacto es proporcional a $v_{\text{impacto}}^2$, y la energía cinética de rebote es proporcional a $e^2 v_{\text{impacto}}^2$.

En un choque elástico se conservan dos magnitudes:

1. La cantidad de movimiento del sistema:
   $$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$$

2. La energía cinética del sistema:
   $$\frac{1}{2}m_1 u_1^2 + \frac{1}{2}m_2 u_2^2 = \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2$$

También se cumple $e = 1$.

Un caso particular muy importante es el choque elástico entre dos masas iguales. Si una está en reposo, la primera se detiene y la segunda sale con la velocidad que traía la primera. Es lo que se observa aproximadamente en las bolitas de billar o en el péndulo de Newton.

En un choque inelástico, la cantidad de movimiento del sistema se conserva, pero la energía cinética no se conserva. Una parte de ella se transforma en calor, sonido, deformaciones permanentes u otras formas de energía.

Para resolverlo se usa:

• conservación de la cantidad de movimiento;
• el coeficiente de restitución si se conoce;
• o las condiciones del problema.

La energía cinética disipada $Q$ se calcula como:

$$Q = E_{C,\text{inicial}} - E_{C,\text{final}}$$

misma relación que viste en energía mecánica.

Es un caso particular de choque inelástico en el que los cuerpos quedan pegados después del choque y se mueven con una velocidad común $\vec{v}_f$. Aquí:

$$e = 0$$

La conservación de la cantidad de movimiento queda:

$$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)v_f$$

de donde:

$$v_f = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2}$$

La energía cinética final es menor que la inicial; es el choque con mayor pérdida de energía cinética posible para esas velocidades iniciales.

Una explosión es, en cierto sentido, un choque al revés: al inicio hay un solo cuerpo y al final hay varios fragmentos. También se usa conservación de la cantidad de movimiento.

Si el cuerpo inicial está en reposo:

$$0 = m_1 v_1 + m_2 v_2 + \cdots$$

Esto obliga a que los fragmentos salgan en direcciones tales que sus momentos sumen cero. Por eso, en un fusil, el arma retrocede hacia atrás mientras la bala y los gases salen hacia adelante.