Ángulos verticales: ángulo de observación, ángulo de depresión. Ángulos de observación

Un ángulo vertical no es un ángulo formado por una recta vertical. El nombre se debe a que el ángulo está contenido en un plano vertical.

Imagina una pared: es un plano vertical. Si en esa pared dibujas al observador, el objeto observado y la visual entre ellos, estás trabajando en un plano vertical. El piso, por contraste, se considera un plano horizontal.

En todo problema de ángulos verticales intervienen dos líneas:

• Línea horizontal: recta imaginaria paralela al piso que pasa por el ojo del observador o por el punto de observación.
• Línea visual: recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto observado.

El ángulo entre estas dos líneas es lo que llamamos ángulo vertical.

Dependiendo de si el objeto observado está por encima o por debajo de la línea horizontal, el ángulo será de elevación o de depresión.

Idea intuitiva

Cuando estás en el suelo y levantas la mirada para ver la parte más alta de un poste, de una torre o de un edificio, el ángulo que tu visual forma con la horizontal se llama ángulo de elevación.

Definición

El ángulo de elevación es el ángulo vertical formado por la línea horizontal que pasa por el ojo del observador y la línea visual, cuando la visual está por encima de dicha horizontal.

Ejemplo numérico inmediato

Desde un punto del suelo situado a $20$ m de la base de un poste, una persona observa la cima con un ángulo de elevación de $45^\circ$. ¿Cuánto mide el poste?

Como el suelo es horizontal y el poste es vertical, se forma un triángulo rectángulo. El cateto adyacente al ángulo de $45^\circ$ es $20$ m; el cateto opuesto es la altura $h$ del poste.

$$\tan 45^\circ = \frac{h}{20}$$

Como $\tan 45^\circ = 1$,

$$1 = \frac{h}{20} \quad\Rightarrow\quad h = 20\text{ m}$$

La altura del poste es $20$ m.

Lo que debes notar

Cuando el observador está en el suelo y observa un objeto vertical, la altura del objeto es el cateto opuesto al ángulo de elevación y la distancia horizontal es el cateto adyacente. Por eso:

$$\tan(\text{ángulo de elevación}) = \frac{\text{altura del objeto}}{\text{distancia horizontal}}$$

siempre que el ojo del observador esté al nivel de la base del objeto.

Idea intuitiva

Cuando estás en lo alto de un edificio y bajas la mirada para ver un auto en la pista, un barco en el mar o la base de una torre, tu visual está por debajo de la horizontal. El ángulo entre la horizontal y tu visual se llama ángulo de depresión.

Definición

El ángulo de depresión es el ángulo vertical formado por la línea horizontal que pasa por el ojo del observador y la línea visual, cuando la visual está por debajo de dicha horizontal.

Ejemplo numérico inmediato

Desde un acantilado de $100$ m de altura, un observador ve una balsa con un ángulo de depresión de $30^\circ$. ¿A qué distancia horizontal de la base del acantilado está la balsa?

El desnivel de $100$ m es el cateto opuesto al ángulo de $30^\circ$, y la distancia horizontal $d$ es el cateto adyacente.

$$\tan 30^\circ = \frac{100}{d}$$

$$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{100}{d}$$

$$d = 100\sqrt{3}\text{ m}$$

Aspecto clave

El ángulo de depresión se mide desde la horizontal hacia abajo, no desde la vertical. Este es uno de los errores más comunes.

Cuando se da una distancia “a lo largo de la visual” y un ángulo de depresión, esa distancia es la hipotenusa del triángulo rectángulo. Entonces se usa seno para calcular el desnivel y coseno para la distancia horizontal.

Imagina dos puntos $A$ y $B$, con $A$ más alto que $B$. Si un observador en $A$ observa $B$ con un ángulo de depresión $\beta$, entonces un observador en $B$ observaría $A$ con un ángulo de elevación $\beta$.

Ambos ángulos son iguales.

¿Por qué?

La horizontal que pasa por $A$ y la horizontal que pasa por $B$ son rectas paralelas. La visual que une $A$ con $B$ es una recta transversal a esas dos paralelas.

El ángulo de depresión en $A$ y el ángulo de elevación en $B$ son ángulos alternos internos. Por lo tanto, son congruentes.

Esta propiedad permite “trasladar” un ángulo de depresión al triángulo rectángulo ubicado en la parte inferior, lo que facilita mucho el planteo.

Ejemplo breve

Si desde lo alto de un edificio se observa un auto con un ángulo de depresión de $37^\circ$, entonces el auto, si mirara hacia el punto de observación, vería ese punto con un ángulo de elevación de $37^\circ$. En el triángulo rectángulo, el ángulo agudo en la base del edificio es $37^\circ$.

¿Qué es?

El ángulo de observación es el ángulo formado por dos líneas visuales que permiten observar la totalidad de un objeto: una visual dirigida a su parte más baja y otra visual dirigida a su parte más alta.

Por ejemplo, para observar completamente un edificio, necesitas trazar una visual a la base y otra a la cima. El ángulo entre esas dos visuales es el ángulo de observación del edificio.

Cuidado con los casos

• Si el observador está en el suelo y el objeto está completamente por encima de él, la visual a la base del objeto es prácticamente horizontal. Entonces el ángulo de observación coincide con el ángulo de elevación a la cima.

• Si el observador está a media altura, de modo que una parte del objeto queda por encima de su horizontal y otra parte queda por debajo, el ángulo de observación es la suma del ángulo de elevación a la cima y el ángulo de depresión a la base.

Ejemplo breve

Desde un punto intermedio, la cima de una torre se observa con elevación de $50^\circ$ y su base con depresión de $20^\circ$. Entonces el ángulo de observación de la torre es:

$$50^\circ + 20^\circ = 70^\circ$$

No siempre se pide explícitamente el ángulo de observación en el examen, pero entenderlo ayuda a interpretar correctamente los problemas en los que se observan simultáneamente la parte superior e inferior de un objeto.

Muchos problemas mencionan que el observador está de pie en el suelo y con una estatura de $1{,}5$ m, o que usa un teodolito a $1{,}60$ m del suelo, o que observa desde la ventana de un edificio.

En esos casos hay que ubicar correctamente el nivel del ojo.

La horizontal que pasa por el ojo del observador divide al objeto observado en dos partes:

• una parte inferior, desde la base del objeto hasta el nivel del ojo;
• una parte superior, desde el nivel del ojo hasta la cima.

La parte inferior suele ser precisamente la altura del observador. La parte superior se calcula con el ángulo de elevación y la distancia horizontal.

Ejemplo

Un topógrafo con un teodolito ubicado a $1{,}60$ m del suelo observa la cima de un peñasco con un ángulo de elevación $\theta$, desde una distancia horizontal de $120$ m. Si $\tan\theta = \frac{3}{4}$, ¿cuál es la altura del peñasco?

La parte que está por encima del nivel del teodolito es:

$$h_1 = 120 \times \tan\theta = 120 \times \frac{3}{4} = 90\text{ m}$$

La altura total del peñasco es:

$$H = h_1 + 1{,}60 = 91{,}60\text{ m}$$

No todos los problemas ocurren en un terreno perfectamente horizontal. A veces se menciona una colina, una cuesta, un camino inclinado o una ladera.

En esos casos se introduce el ángulo de inclinación: el ángulo que forma la superficie inclinada con la horizontal.

Sea $\theta$ el ángulo de inclinación de una colina. Desde un punto de esa colina se puede observar, por ejemplo, la cima de una torre que crece verticalmente desde la ladera. El ángulo de elevación puede estar referido a la horizontal o a la línea de la colina.

Idea clave

Cuando hay una colina inclinada, lo primero es decidir respecto a qué línea está medido cada ángulo.

• Si el ángulo es de inclinación, se mide respecto a la horizontal.
• Si es un ángulo de elevación sobre una colina, puede estar medido respecto a la superficie inclinada.

En el nivel de la UNMSM, las preguntas con colinas son menos frecuentes, pero conviene conocer el concepto porque algunos problemas de compendios y prácticas lo incluyen.

A continuación, un procedimiento ordenado que funciona para la gran mayoría de ejercicios.

Paso 1: Ubica al observador

Determina dónde está el observador. Puede ser una persona, un piloto, una cámara, un topógrafo, etc.

Paso 2: Traza la horizontal que pasa por el ojo del observador

Esta horizontal es la referencia. Si el enunciado no menciona altura del observador, se le suele considerar un punto sobre el plano de referencia; es decir, su horizontal es el propio suelo.

Si hay altura del observador, dibújala y traza la horizontal desde su ojo.

Paso 3: Dibuja las visuales

Cada vez que el enunciado diga “observa”, “visualiza” o similar, traza una línea visual desde el ojo hasta el punto observado.

• Si el punto observado está arriba de la horizontal: ángulo de elevación.
• Si el punto observado está abajo de la horizontal: ángulo de depresión.
• Si se observan dos puntos extremos de un objeto, entre ambas visuales se forma el ángulo de observación.

Paso 4: Marca los triángulos rectángulos

Los objetos verticales y el suelo horizontal forman triángulos rectángulos. Identifica en cada uno:

• cateto vertical: altura o desnivel;
• cateto horizontal: distancia horizontal;
• hipotenusa: visual, si corresponde.

Paso 5: Plantea razones trigonométricas

La razón más usada es la tangente:

$$\tan\theta = \frac{\text{desnivel vertical}}{\text{distancia horizontal}}$$

Si la visual es la hipotenusa, usa:

$$\sin\theta = \frac{\text{desnivel}}{\text{visual}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{distancia horizontal}}{\text{visual}}$$

Paso 6: Usa distancias comunes

En problemas con dos ángulos o dos observadores, suele haber una misma distancia horizontal o una misma altura. Esa cantidad es la que conviene igualar o relacionar.

Paso 7: Resuelve el sistema

Muchas veces se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

9.1 Un observador que se acerca o se aleja de un objeto

Se observa un mismo punto alto desde dos posiciones distintas, con dos ángulos de elevación o de depresión diferentes. La distancia entre las dos posiciones del observador permite plantear una ecuación.

Sea $h$ la altura del objeto y $x$ la distancia horizontal desde la posición más cercana. Si el observador avanza una distancia $d$ hacia el objeto:

$$\text{posición lejana: } h = (x+d)\tan \theta_1$$

$$\text{posición cercana: } h = x \tan \theta_2$$

Igualando $h$, se halla $x$ y luego $h$.

9.2 Dos observadores a lados opuestos de un objeto

Dos cámaras, dos personas o dos puntos en el suelo observan la cima de un poste desde lados opuestos.

Si la distancia entre los dos observadores es $D$, y uno de ellos está a distancia $x$ del objeto, el otro está a $D-x$. Entonces:

$$h = x \tan \alpha$$

$$h = (D-x)\tan \beta$$

Este tipo de problema apareció en la pregunta de la UNMSM 2020-I con ángulos de $30^\circ$ y $60^\circ$.

9.3 Observación de base y cima desde un punto intermedio

Desde una ventana, un globo o cualquier punto situado a media altura, se observa la base de un edificio con depresión $\beta$ y su cima con elevación $\alpha$. Si la distancia horizontal es $d$, la altura del objeto observado es:

$$H = d\tan\alpha + d\tan\beta = d\left(\tan\alpha + \tan\beta\right)$$

La parte correspondiente a la depresión es $d\tan\beta$, y es también la altura a la que se encuentra el observador respecto a la base del objeto observado.

9.4 Móviles: avión, auto o bote en movimiento

Son preguntas de mayor dificultad. Un avión vuela a altura constante y observa un auto en una pista; después de unos segundos, el ángulo de depresión cambia porque el avión, el auto o ambos se han movido.

Lo más importante aquí es dibujar dos instantes y analizar cómo cambia la distancia horizontal entre la proyección del avión sobre el suelo y el auto.

• Si el avión y el auto se mueven en la misma dirección, la distancia horizontal varía según la diferencia de sus recorridos.
• Si el avión avanza más rápido que el auto y lo observa desde atrás, la distancia horizontal entre ambos se reduce.
• Si se mueven en direcciones opuestas, la distancia horizontal cambia según la suma de sus recorridos.

9.5 Objetos alineados en una misma visual

En algunos problemas se dice que dos objetos de alturas diferentes se observan “en una misma dirección” o “alineados”. Esto significa que sus cimas están sobre la misma línea visual desde el ojo del observador.

Si el observador ve la cima de un poste pequeño y la cima de un poste más alto en la misma visual, los triángulos rectángulos formados son semejantes, porque comparten el mismo ángulo de elevación.

9.6 Visual como hipotenusa

No siempre la distancia es horizontal. A veces dicen “el piloto observa un objeto a $5$ km de distancia” o “un topógrafo está a $20$ m de la cima”. Esa distancia está a lo largo de la visual, por lo tanto es la hipotenusa.

En esos casos, para calcular la altura o el desnivel conviene usar el seno o el coseno.

Un ángulo vertical no es un ángulo formado por una recta vertical. El nombre se debe a que el ángulo está contenido en un plano vertical.

Imagina una pared: es un plano vertical. Si en esa pared dibujas al observador, el objeto observado y la visual entre ellos, estás trabajando en un plano vertical. El piso, por contraste, se considera un plano horizontal.

En todo problema de ángulos verticales intervienen dos líneas:

• Línea horizontal: recta imaginaria paralela al piso que pasa por el ojo del observador o por el punto de observación.
• Línea visual: recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto observado.

El ángulo entre estas dos líneas es lo que llamamos ángulo vertical.

Dependiendo de si el objeto observado está por encima o por debajo de la línea horizontal, el ángulo será de elevación o de depresión.

Idea intuitiva

Cuando estás en el suelo y levantas la mirada para ver la parte más alta de un poste, de una torre o de un edificio, el ángulo que tu visual forma con la horizontal se llama ángulo de elevación.

Definición

El ángulo de elevación es el ángulo vertical formado por la línea horizontal que pasa por el ojo del observador y la línea visual, cuando la visual está por encima de dicha horizontal.

Ejemplo numérico inmediato

Desde un punto del suelo situado a $20$ m de la base de un poste, una persona observa la cima con un ángulo de elevación de $45^\circ$. ¿Cuánto mide el poste?

Como el suelo es horizontal y el poste es vertical, se forma un triángulo rectángulo. El cateto adyacente al ángulo de $45^\circ$ es $20$ m; el cateto opuesto es la altura $h$ del poste.

$$\tan 45^\circ = \frac{h}{20}$$

Como $\tan 45^\circ = 1$,

$$1 = \frac{h}{20} \quad\Rightarrow\quad h = 20\text{ m}$$

La altura del poste es $20$ m.

Lo que debes notar

Cuando el observador está en el suelo y observa un objeto vertical, la altura del objeto es el cateto opuesto al ángulo de elevación y la distancia horizontal es el cateto adyacente. Por eso:

$$\tan(\text{ángulo de elevación}) = \frac{\text{altura del objeto}}{\text{distancia horizontal}}$$

siempre que el ojo del observador esté al nivel de la base del objeto.

Idea intuitiva

Cuando estás en lo alto de un edificio y bajas la mirada para ver un auto en la pista, un barco en el mar o la base de una torre, tu visual está por debajo de la horizontal. El ángulo entre la horizontal y tu visual se llama ángulo de depresión.

Definición

El ángulo de depresión es el ángulo vertical formado por la línea horizontal que pasa por el ojo del observador y la línea visual, cuando la visual está por debajo de dicha horizontal.

Ejemplo numérico inmediato

Desde un acantilado de $100$ m de altura, un observador ve una balsa con un ángulo de depresión de $30^\circ$. ¿A qué distancia horizontal de la base del acantilado está la balsa?

El desnivel de $100$ m es el cateto opuesto al ángulo de $30^\circ$, y la distancia horizontal $d$ es el cateto adyacente.

$$\tan 30^\circ = \frac{100}{d}$$

$$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{100}{d}$$

$$d = 100\sqrt{3}\text{ m}$$

Aspecto clave

El ángulo de depresión se mide desde la horizontal hacia abajo, no desde la vertical. Este es uno de los errores más comunes.

Cuando se da una distancia “a lo largo de la visual” y un ángulo de depresión, esa distancia es la hipotenusa del triángulo rectángulo. Entonces se usa seno para calcular el desnivel y coseno para la distancia horizontal.

Imagina dos puntos $A$ y $B$, con $A$ más alto que $B$. Si un observador en $A$ observa $B$ con un ángulo de depresión $\beta$, entonces un observador en $B$ observaría $A$ con un ángulo de elevación $\beta$.

Ambos ángulos son iguales.

¿Por qué?

La horizontal que pasa por $A$ y la horizontal que pasa por $B$ son rectas paralelas. La visual que une $A$ con $B$ es una recta transversal a esas dos paralelas.

El ángulo de depresión en $A$ y el ángulo de elevación en $B$ son ángulos alternos internos. Por lo tanto, son congruentes.

Esta propiedad permite “trasladar” un ángulo de depresión al triángulo rectángulo ubicado en la parte inferior, lo que facilita mucho el planteo.

Ejemplo breve

Si desde lo alto de un edificio se observa un auto con un ángulo de depresión de $37^\circ$, entonces el auto, si mirara hacia el punto de observación, vería ese punto con un ángulo de elevación de $37^\circ$. En el triángulo rectángulo, el ángulo agudo en la base del edificio es $37^\circ$.

¿Qué es?

El ángulo de observación es el ángulo formado por dos líneas visuales que permiten observar la totalidad de un objeto: una visual dirigida a su parte más baja y otra visual dirigida a su parte más alta.

Por ejemplo, para observar completamente un edificio, necesitas trazar una visual a la base y otra a la cima. El ángulo entre esas dos visuales es el ángulo de observación del edificio.

Cuidado con los casos

• Si el observador está en el suelo y el objeto está completamente por encima de él, la visual a la base del objeto es prácticamente horizontal. Entonces el ángulo de observación coincide con el ángulo de elevación a la cima.

• Si el observador está a media altura, de modo que una parte del objeto queda por encima de su horizontal y otra parte queda por debajo, el ángulo de observación es la suma del ángulo de elevación a la cima y el ángulo de depresión a la base.

Ejemplo breve

Desde un punto intermedio, la cima de una torre se observa con elevación de $50^\circ$ y su base con depresión de $20^\circ$. Entonces el ángulo de observación de la torre es:

$$50^\circ + 20^\circ = 70^\circ$$

No siempre se pide explícitamente el ángulo de observación en el examen, pero entenderlo ayuda a interpretar correctamente los problemas en los que se observan simultáneamente la parte superior e inferior de un objeto.

Muchos problemas mencionan que el observador está de pie en el suelo y con una estatura de $1{,}5$ m, o que usa un teodolito a $1{,}60$ m del suelo, o que observa desde la ventana de un edificio.

En esos casos hay que ubicar correctamente el nivel del ojo.

La horizontal que pasa por el ojo del observador divide al objeto observado en dos partes:

• una parte inferior, desde la base del objeto hasta el nivel del ojo;
• una parte superior, desde el nivel del ojo hasta la cima.

La parte inferior suele ser precisamente la altura del observador. La parte superior se calcula con el ángulo de elevación y la distancia horizontal.

Ejemplo

Un topógrafo con un teodolito ubicado a $1{,}60$ m del suelo observa la cima de un peñasco con un ángulo de elevación $\theta$, desde una distancia horizontal de $120$ m. Si $\tan\theta = \frac{3}{4}$, ¿cuál es la altura del peñasco?

La parte que está por encima del nivel del teodolito es:

$$h_1 = 120 \times \tan\theta = 120 \times \frac{3}{4} = 90\text{ m}$$

La altura total del peñasco es:

$$H = h_1 + 1{,}60 = 91{,}60\text{ m}$$

No todos los problemas ocurren en un terreno perfectamente horizontal. A veces se menciona una colina, una cuesta, un camino inclinado o una ladera.

En esos casos se introduce el ángulo de inclinación: el ángulo que forma la superficie inclinada con la horizontal.

Sea $\theta$ el ángulo de inclinación de una colina. Desde un punto de esa colina se puede observar, por ejemplo, la cima de una torre que crece verticalmente desde la ladera. El ángulo de elevación puede estar referido a la horizontal o a la línea de la colina.

Idea clave

Cuando hay una colina inclinada, lo primero es decidir respecto a qué línea está medido cada ángulo.

• Si el ángulo es de inclinación, se mide respecto a la horizontal.
• Si es un ángulo de elevación sobre una colina, puede estar medido respecto a la superficie inclinada.

En el nivel de la UNMSM, las preguntas con colinas son menos frecuentes, pero conviene conocer el concepto porque algunos problemas de compendios y prácticas lo incluyen.

A continuación, un procedimiento ordenado que funciona para la gran mayoría de ejercicios.

Paso 1: Ubica al observador

Determina dónde está el observador. Puede ser una persona, un piloto, una cámara, un topógrafo, etc.

Paso 2: Traza la horizontal que pasa por el ojo del observador

Esta horizontal es la referencia. Si el enunciado no menciona altura del observador, se le suele considerar un punto sobre el plano de referencia; es decir, su horizontal es el propio suelo.

Si hay altura del observador, dibújala y traza la horizontal desde su ojo.

Paso 3: Dibuja las visuales

Cada vez que el enunciado diga “observa”, “visualiza” o similar, traza una línea visual desde el ojo hasta el punto observado.

• Si el punto observado está arriba de la horizontal: ángulo de elevación.
• Si el punto observado está abajo de la horizontal: ángulo de depresión.
• Si se observan dos puntos extremos de un objeto, entre ambas visuales se forma el ángulo de observación.

Paso 4: Marca los triángulos rectángulos

Los objetos verticales y el suelo horizontal forman triángulos rectángulos. Identifica en cada uno:

• cateto vertical: altura o desnivel;
• cateto horizontal: distancia horizontal;
• hipotenusa: visual, si corresponde.

Paso 5: Plantea razones trigonométricas

La razón más usada es la tangente:

$$\tan\theta = \frac{\text{desnivel vertical}}{\text{distancia horizontal}}$$

Si la visual es la hipotenusa, usa:

$$\sin\theta = \frac{\text{desnivel}}{\text{visual}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{distancia horizontal}}{\text{visual}}$$

Paso 6: Usa distancias comunes

En problemas con dos ángulos o dos observadores, suele haber una misma distancia horizontal o una misma altura. Esa cantidad es la que conviene igualar o relacionar.

Paso 7: Resuelve el sistema

Muchas veces se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

9.1 Un observador que se acerca o se aleja de un objeto

Se observa un mismo punto alto desde dos posiciones distintas, con dos ángulos de elevación o de depresión diferentes. La distancia entre las dos posiciones del observador permite plantear una ecuación.

Sea $h$ la altura del objeto y $x$ la distancia horizontal desde la posición más cercana. Si el observador avanza una distancia $d$ hacia el objeto:

$$\text{posición lejana: } h = (x+d)\tan \theta_1$$

$$\text{posición cercana: } h = x \tan \theta_2$$

Igualando $h$, se halla $x$ y luego $h$.

9.2 Dos observadores a lados opuestos de un objeto

Dos cámaras, dos personas o dos puntos en el suelo observan la cima de un poste desde lados opuestos.

Si la distancia entre los dos observadores es $D$, y uno de ellos está a distancia $x$ del objeto, el otro está a $D-x$. Entonces:

$$h = x \tan \alpha$$

$$h = (D-x)\tan \beta$$

Este tipo de problema apareció en la pregunta de la UNMSM 2020-I con ángulos de $30^\circ$ y $60^\circ$.

9.3 Observación de base y cima desde un punto intermedio

Desde una ventana, un globo o cualquier punto situado a media altura, se observa la base de un edificio con depresión $\beta$ y su cima con elevación $\alpha$. Si la distancia horizontal es $d$, la altura del objeto observado es:

$$H = d\tan\alpha + d\tan\beta = d\left(\tan\alpha + \tan\beta\right)$$

La parte correspondiente a la depresión es $d\tan\beta$, y es también la altura a la que se encuentra el observador respecto a la base del objeto observado.

9.4 Móviles: avión, auto o bote en movimiento

Son preguntas de mayor dificultad. Un avión vuela a altura constante y observa un auto en una pista; después de unos segundos, el ángulo de depresión cambia porque el avión, el auto o ambos se han movido.

Lo más importante aquí es dibujar dos instantes y analizar cómo cambia la distancia horizontal entre la proyección del avión sobre el suelo y el auto.

• Si el avión y el auto se mueven en la misma dirección, la distancia horizontal varía según la diferencia de sus recorridos.
• Si el avión avanza más rápido que el auto y lo observa desde atrás, la distancia horizontal entre ambos se reduce.
• Si se mueven en direcciones opuestas, la distancia horizontal cambia según la suma de sus recorridos.

9.5 Objetos alineados en una misma visual

En algunos problemas se dice que dos objetos de alturas diferentes se observan “en una misma dirección” o “alineados”. Esto significa que sus cimas están sobre la misma línea visual desde el ojo del observador.

Si el observador ve la cima de un poste pequeño y la cima de un poste más alto en la misma visual, los triángulos rectángulos formados son semejantes, porque comparten el mismo ángulo de elevación.

9.6 Visual como hipotenusa

No siempre la distancia es horizontal. A veces dicen “el piloto observa un objeto a $5$ km de distancia” o “un topógrafo está a $20$ m de la cima”. Esa distancia está a lo largo de la visual, por lo tanto es la hipotenusa.

En esos casos, para calcular la altura o el desnivel conviene usar el seno o el coseno.