Transformaciones trigonométricas I: de suma o diferencia de senos y cosenos a producto

Partamos de un caso concreto. Queremos simplificar la expresión

$$\frac{\operatorname{sen}80^\circ+\operatorname{sen}40^\circ}{\cos80^\circ+\cos40^\circ}.$$

Los ángulos $80^\circ$ y $40^\circ$ no son notables, y sumarlos directamente no nos da una expresión simple. Pero si pudiéramos escribir $\operatorname{sen}80^\circ+\operatorname{sen}40^\circ$ como un producto, quizás podríamos cancelar factores con el denominador.

Eso es exactamente lo que hacen las identidades de transformación de suma o diferencia a producto: convierten

$$\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B$$

en una expresión con $\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right)$ y $\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$, es decir, en un producto de dos razones trigonométricas.

La clave es que los argumentos nuevos son la semisuma y la semidiferencia de los ángulos originales.

Las identidades fundamentales de suma o diferencia a producto son las siguientes:

$$\boxed{\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B =2\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)}$$

$$\boxed{\operatorname{sen}A-\operatorname{sen}B =2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right)}$$

$$\boxed{\cos A+\cos B =2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)}$$

$$\boxed{\cos A-\cos B =-2\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right)}$$

Observa con cuidado las diferencias:

• En suma de senos aparece $\operatorname{sen}$ de la semisuma y $\cos$ de la semidiferencia.
• En diferencia de senos aparece $\cos$ de la semisuma y $\operatorname{sen}$ de la semidiferencia.
• En suma de cosenos aparecen dos cosenos.
• En diferencia de cosenos aparecen dos senos y un signo negativo.

Deducción de la primera fórmula

Para convencernos de que estas fórmulas no salen de la nada, deduzcamos la primera.

Sabemos, por identidades de ángulos compuestos, que

$$\operatorname{sen}(x+y)=\operatorname{sen}x\cos y+\cos x\operatorname{sen}y$$

$$\operatorname{sen}(x-y)=\operatorname{sen}x\cos y-\cos x\operatorname{sen}y.$$

Sumando ambas igualdades:

$$\operatorname{sen}(x+y)+\operatorname{sen}(x-y)=2\operatorname{sen}x\cos y.$$

Ahora hagamos el cambio de variable

$$A=x+y,\qquad B=x-y.$$

Despejando $x$ e $y$:

$$x=\frac{A+B}{2},\qquad y=\frac{A-B}{2}.$$

Reemplazamos:

$$\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B =2\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right).$$

Queda así demostrada la primera identidad.

Deducción de las demás

Restando las identidades de $\operatorname{sen}(x+y)$ y $\operatorname{sen}(x-y)$:

$$\operatorname{sen}(x+y)-\operatorname{sen}(x-y)=2\cos x\operatorname{sen}y.$$

Con el mismo cambio de variable:

$$\operatorname{sen}A-\operatorname{sen}B =2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right).$$

Para cosenos, partimos de:

$$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\operatorname{sen}x\operatorname{sen}y$$

$$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\operatorname{sen}x\operatorname{sen}y.$$

Sumando:

$$\cos(x+y)+\cos(x-y)=2\cos x\cos y.$$

Es decir,

$$\cos A+\cos B =2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right).$$

Restando:

$$\cos(x+y)-\cos(x-y)=-2\operatorname{sen}x\operatorname{sen}y.$$

Luego,

$$\cos A-\cos B =-2\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right).$$

Así quedan justificadas las cuatro identidades.

Veamos cómo funcionan las fórmulas con ángulos concretos.

Ejemplo 1

Transformemos

$$\operatorname{sen}80^\circ+\operatorname{sen}40^\circ.$$

Aquí $A=80^\circ$ y $B=40^\circ$. Calculamos:

$$\frac{A+B}{2}=\frac{80^\circ+40^\circ}{2}=60^\circ,\qquad \frac{A-B}{2}=\frac{80^\circ-40^\circ}{2}=20^\circ.$$

Entonces:

$$\operatorname{sen}80^\circ+\operatorname{sen}40^\circ =2\operatorname{sen}60^\circ\cos20^\circ.$$

Como $\operatorname{sen}60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$,

$$\operatorname{sen}80^\circ+\operatorname{sen}40^\circ =\sqrt3\cos20^\circ.$$

Ejemplo 2

Transformemos

$$\operatorname{sen}80^\circ-\operatorname{sen}40^\circ.$$

Con los mismos ángulos:

$$\operatorname{sen}80^\circ-\operatorname{sen}40^\circ =2\cos60^\circ\operatorname{sen}20^\circ.$$

Como $\cos60^\circ=\frac12$,

$$\operatorname{sen}80^\circ-\operatorname{sen}40^\circ =\operatorname{sen}20^\circ.$$

Ejemplo 3

Ahora

$$\cos80^\circ+\cos40^\circ.$$

$$\cos80^\circ+\cos40^\circ =2\cos60^\circ\cos20^\circ =\cos20^\circ.$$

Ejemplo 4

Finalmente,

$$\cos80^\circ-\cos40^\circ.$$

$$\cos80^\circ-\cos40^\circ =-2\operatorname{sen}60^\circ\operatorname{sen}20^\circ =-\sqrt3\operatorname{sen}20^\circ.$$

Observa cómo en cada caso la semisuma fue $60^\circ$, un ángulo notable, lo que simplificó el resultado.

Cuando vas a transformar una expresión, lo primero es identificar claramente quiénes son $A$ y $B$. No importa el orden en la suma, pero en las diferencias sí debes respetar el orden en que aparecen los términos.

Por ejemplo, para transformar

$$\operatorname{sen}10^\circ-\operatorname{sen}50^\circ,$$

tomamos $A=10^\circ$, $B=50^\circ$. Entonces:

$$\frac{A+B}{2}=\frac{10^\circ+50^\circ}{2}=30^\circ,\qquad \frac{A-B}{2}=\frac{10^\circ-50^\circ}{2}=-20^\circ.$$

Aplicamos la fórmula de diferencia de senos:

$$\operatorname{sen}10^\circ-\operatorname{sen}50^\circ =2\cos30^\circ\operatorname{sen}(-20^\circ).$$

Como $\operatorname{sen}(-20^\circ)=-\operatorname{sen}20^\circ$,

$$\operatorname{sen}10^\circ-\operatorname{sen}50^\circ =2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot(-\operatorname{sen}20^\circ) =-\sqrt3\operatorname{sen}20^\circ.$$

Si hubiéramos escrito $\operatorname{sen}50^\circ-\operatorname{sen}10^\circ$, habríamos obtenido $+\sqrt3\operatorname{sen}20^\circ$. Por eso, en diferencias, mantén el orden dado.

Un caso muy común en los problemas es cuando los argumentos son simétricos respecto de un ángulo notable. Por ejemplo:

$$\operatorname{sen}(x+30^\circ)+\operatorname{sen}(x-30^\circ).$$

Tomamos $A=x+30^\circ$, $B=x-30^\circ$:

$$\frac{A+B}{2}=x,\qquad \frac{A-B}{2}=30^\circ.$$

Por lo tanto,

$$\operatorname{sen}(x+30^\circ)+\operatorname{sen}(x-30^\circ) =2\operatorname{sen}x\cos30^\circ =\sqrt3\operatorname{sen}x.$$

Esta técnica de reducir bloques del tipo $(x+a)\pm(x-a)$ es muy utilizada.

Muchas veces una expresión no parece una suma de senos o cosenos porque uno de los términos es un número. Por ejemplo:

$$\sqrt{3}-2\operatorname{sen}10^\circ.$$

Aquí no vemos $\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B$, porque $\sqrt{3}$ no es un seno. Pero podemos forzarlo recordando que:

$$1=2\operatorname{sen}30^\circ=2\cos60^\circ$$

$$\sqrt{2}=2\operatorname{sen}45^\circ=2\cos45^\circ$$

$$\sqrt{3}=2\operatorname{sen}60^\circ=2\cos30^\circ$$

Así,

$$\sqrt{3}-2\operatorname{sen}10^\circ =2\operatorname{sen}60^\circ-2\operatorname{sen}10^\circ =2(\operatorname{sen}60^\circ-\operatorname{sen}10^\circ).$$

Ahora sí aplicamos la transformación:

$$\operatorname{sen}60^\circ-\operatorname{sen}10^\circ =2\cos35^\circ\operatorname{sen}25^\circ.$$

Por lo tanto,

$$\sqrt{3}-2\operatorname{sen}10^\circ =4\cos35^\circ\operatorname{sen}25^\circ.$$

Este artificio es muy frecuente en los problemas de simplificación.

Otro ejemplo:

$$1-2\operatorname{sen}10^\circ =2\operatorname{sen}30^\circ-2\operatorname{sen}10^\circ =4\cos20^\circ\operatorname{sen}10^\circ.$$

También podemos usar la versión con cosenos:

$$\sqrt{3}+2\cos50^\circ =2\cos30^\circ+2\cos50^\circ =4\cos40^\circ\cos10^\circ.$$

En general, cuando veas una constante multiplicando a $2\operatorname{sen}\theta$ o $2\cos\theta$, intenta convertirla en una razón trigonométrica con el factor $2$.

Una de las aplicaciones más importantes de estas transformaciones es la simplificación de fracciones. Veamos el caso más clásico:

$$\frac{\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B}{\cos A+\cos B}.$$

Transformamos numerador y denominador:

$$\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B =2\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$$\cos A+\cos B =2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right).$$

Al dividir, se cancela el factor común $2\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$, siempre que no sea cero:

$$\frac{\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B}{\cos A+\cos B} =\tan\left(\frac{A+B}{2}\right).$$

De manera similar se obtienen otros cocientes útiles:

$$\frac{\operatorname{sen}A-\operatorname{sen}B}{\cos A+\cos B} =\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$$\frac{\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B}{\cos B-\cos A} =\cot\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$$\frac{\cos A-\cos B}{\operatorname{sen}A-\operatorname{sen}B} =-\tan\left(\frac{A+B}{2}\right).$$

No es necesario memorizar todas si entiendes el mecanismo: transformar, factorizar y cancelar. Pero conviene familiarizarse con las más frecuentes.

Veamos un ejemplo numérico. Simplifiquemos

$$\frac{\operatorname{sen}70^\circ+\operatorname{sen}10^\circ}{\cos70^\circ+\cos10^\circ}.$$

Según la fórmula, esto debe ser

$$\tan\left(\frac{70^\circ+10^\circ}{2}\right)=\tan40^\circ.$$

Comprobemos transformando cada parte:

$$\operatorname{sen}70^\circ+\operatorname{sen}10^\circ =2\operatorname{sen}40^\circ\cos30^\circ$$

$$\cos70^\circ+\cos10^\circ =2\cos40^\circ\cos30^\circ.$$

Entonces,

$$\frac{\operatorname{sen}70^\circ+\operatorname{sen}10^\circ}{\cos70^\circ+\cos10^\circ} =\frac{2\operatorname{sen}40^\circ\cos30^\circ}{2\cos40^\circ\cos30^\circ} =\tan40^\circ.$$

Este tipo de razones aparece con frecuencia cuando hay condiciones como $A+B=60^\circ$ o $A+B=90^\circ$.

A veces no se pide transformar solo dos términos, sino una suma de varios senos o cosenos. En esos casos conviene agrupar por pares de manera estratégica, buscando que cada pareja tenga la misma semisuma para luego poder factorizar.

Veamos un caso muy ilustrativo. Queremos reducir:

$$M=\operatorname{sen}7^\circ+\operatorname{sen}21^\circ+\operatorname{sen}35^\circ+\operatorname{sen}49^\circ.$$

Podemos agrupar así:

$$M=(\operatorname{sen}7^\circ+\operatorname{sen}49^\circ) +(\operatorname{sen}21^\circ+\operatorname{sen}35^\circ).$$

Para el primer par:

$$\frac{7^\circ+49^\circ}{2}=28^\circ,\qquad \frac{7^\circ-49^\circ}{2}=-21^\circ.$$

Entonces,

$$\operatorname{sen}7^\circ+\operatorname{sen}49^\circ =2\operatorname{sen}28^\circ\cos(-21^\circ) =2\operatorname{sen}28^\circ\cos21^\circ.$$

Para el segundo par:

$$\frac{21^\circ+35^\circ}{2}=28^\circ,\qquad \frac{21^\circ-35^\circ}{2}=-7^\circ.$$

$$\operatorname{sen}21^\circ+\operatorname{sen}35^\circ =2\operatorname{sen}28^\circ\cos(-7^\circ) =2\operatorname{sen}28^\circ\cos7^\circ.$$

Sumamos:

$$M=2\operatorname{sen}28^\circ(\cos21^\circ+\cos7^\circ).$$

Ahora transformamos la suma de cosenos:

$$\cos21^\circ+\cos7^\circ =2\cos14^\circ\cos7^\circ.$$

Por lo tanto,

$$M=2\operatorname{sen}28^\circ(2\cos14^\circ\cos7^\circ) =4\operatorname{sen}28^\circ\cos14^\circ\cos7^\circ.$$

La clave estuvo en agrupar los términos de modo que ambos pares compartieran la semisuma $28^\circ$. Así se pudo factorizar $2\operatorname{sen}28^\circ$.

El ejemplo anterior nos muestra que las sumas de varios senos no siempre se resuelven cómodamente agrupando. Si los ángulos forman una progresión aritmética, existe una fórmula general muy útil.

Consideremos la suma de $n$ senos cuyos ángulos están en progresión aritmética:

$$S=\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}(\alpha+r) +\operatorname{sen}(\alpha+2r)+\cdots +\operatorname{sen}(\alpha+(n-1)r).$$

Entonces:

$$\boxed{ S=\frac{\operatorname{sen}\left(\frac{nr}{2}\right)} {\operatorname{sen}\left(\frac{r}{2}\right)} \operatorname{sen}\left(\alpha+\frac{(n-1)r}{2}\right) }$$

siempre que $\operatorname{sen}\left(\frac{r}{2}\right)\neq 0$.

Para cosenos:

$$C=\cos\alpha+\cos(\alpha+r) +\cos(\alpha+2r)+\cdots +\cos(\alpha+(n-1)r)$$

$$\boxed{ C=\frac{\operatorname{sen}\left(\frac{nr}{2}\right)} {\operatorname{sen}\left(\frac{r}{2}\right)} \cos\left(\alpha+\frac{(n-1)r}{2}\right) }$$

¿De dónde salen estas fórmulas?

La idea es multiplicar la suma por $2\operatorname{sen}\left(\frac{r}{2}\right)$ y usar una identidad de producto a suma. Para el caso de senos:

$$2\operatorname{sen}(\alpha+kr)\operatorname{sen}\left(\frac{r}{2}\right) = \cos\left(\alpha+\left(k-\frac12\right)r\right) - \cos\left(\alpha+\left(k+\frac12\right)r\right).$$

Al sumar desde $k=0$ hasta $k=n-1$, los términos intermedios se cancelan telescópicamente y queda:

$$2\operatorname{sen}\left(\frac{r}{2}\right)S = \cos\left(\alpha-\frac{r}{2}\right) - \cos\left(\alpha+\frac{(2n-1)r}{2}\right).$$

Luego, transformando la diferencia de cosenos a producto, se obtiene la fórmula.

Este es un método avanzado, pero permite atacar rápidamente sumas de muchos términos.

Aplicación al ejemplo anterior

En $M=\operatorname{sen}7^\circ+\operatorname{sen}21^\circ+\operatorname{sen}35^\circ+\operatorname{sen}49^\circ$, los ángulos están en progresión aritmética con:

$$\alpha=7^\circ,\qquad r=14^\circ,\qquad n=4.$$

Aplicamos la fórmula:

$$M =\frac{\operatorname{sen}\left(\frac{4\cdot14^\circ}{2}\right)} {\operatorname{sen}\left(\frac{14^\circ}{2}\right)} \operatorname{sen}\left(7^\circ+\frac{3\cdot14^\circ}{2}\right)$$

$$M =\frac{\operatorname{sen}28^\circ}{\operatorname{sen}7^\circ} \operatorname{sen}28^\circ =\frac{\operatorname{sen}^2 28^\circ}{\operatorname{sen}7^\circ}.$$

Esta expresión es correcta, aunque no se parece a las alternativas usuales. Para llevarla a la forma $4\operatorname{sen}28^\circ\cos14^\circ\cos7^\circ$ usamos identidades del ángulo doble:

$$\operatorname{sen}28^\circ =2\operatorname{sen}14^\circ\cos14^\circ =4\operatorname{sen}7^\circ\cos7^\circ\cos14^\circ.$$

Entonces,

$$\frac{\operatorname{sen}^2 28^\circ}{\operatorname{sen}7^\circ} =\operatorname{sen}28^\circ\cdot \frac{\operatorname{sen}28^\circ}{\operatorname{sen}7^\circ} =4\operatorname{sen}28^\circ\cos14^\circ\cos7^\circ.$$

Así se ve la equivalencia entre ambos procedimientos.

Cuando los ángulos $A$, $B$ y $C$ son los ángulos internos de un triángulo, se cumple:

$$A+B+C=180^\circ.$$

Esto permite simplificar muchas sumas de senos y cosenos. Las propiedades más usadas son:

$$\boxed{\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B+\operatorname{sen}C =4\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2}$$

$$\boxed{\cos A+\cos B+\cos C =4\operatorname{sen}\frac A2\operatorname{sen}\frac B2\operatorname{sen}\frac C2+1}$$

$$\boxed{\operatorname{sen}2A+\operatorname{sen}2B+\operatorname{sen}2C =4\operatorname{sen}A\operatorname{sen}B\operatorname{sen}C}$$

$$\boxed{\cos2A+\cos2B+\cos2C =-4\cos A\cos B\cos C-1}$$

Veamos la deducción de la primera, para que no sea solo memorización.

Partimos de:

$$\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B =2\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right).$$

Como $A+B=180^\circ-C$,

$$\frac{A+B}{2}=90^\circ-\frac C2.$$

Entonces,

$$\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) =\operatorname{sen}\left(90^\circ-\frac C2\right) =\cos\frac C2.$$

Luego,

$$\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B =2\cos\frac C2\cos\left(\frac{A-B}{2}\right).$$

Además,

$$\operatorname{sen}C =2\operatorname{sen}\frac C2\cos\frac C2.$$

Sumando todo:

$$\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B+\operatorname{sen}C =2\cos\frac C2 \left[ \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)+\operatorname{sen}\frac C2 \right].$$

Pero $\operatorname{sen}\frac C2=\cos\left(90^\circ-\frac C2\right)=\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)$. Así,

$$\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)+\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) =2\cos\frac A2\cos\frac B2.$$

Por lo tanto,

$$\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B+\operatorname{sen}C =2\cos\frac C2\cdot2\cos\frac A2\cos\frac B2 =4\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2.$$

Las demás se demuestran con ideas similares.

Transformaciones trigonométricas I: de suma o diferencia de senos y cosenos a producto

Partamos de un caso concreto. Queremos simplificar la expresión

$$\frac{\operatorname{sen}80^\circ+\operatorname{sen}40^\circ}{\cos80^\circ+\cos40^\circ}.$$

Los ángulos $80^\circ$ y $40^\circ$ no son notables, y sumarlos directamente no nos da una expresión simple. Pero si pudiéramos escribir $\operatorname{sen}80^\circ+\operatorname{sen}40^\circ$ como un producto, quizás podríamos cancelar factores con el denominador.

Eso es exactamente lo que hacen las identidades de transformación de suma o diferencia a producto: convierten

$$\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B$$

en una expresión con $\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right)$ y $\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$, es decir, en un producto de dos razones trigonométricas.

La clave es que los argumentos nuevos son la semisuma y la semidiferencia de los ángulos originales.

Las identidades fundamentales de suma o diferencia a producto son las siguientes:

$$\boxed{\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B =2\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)}$$

$$\boxed{\operatorname{sen}A-\operatorname{sen}B =2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right)}$$

$$\boxed{\cos A+\cos B =2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)}$$

$$\boxed{\cos A-\cos B =-2\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right)}$$

Observa con cuidado las diferencias:

• En suma de senos aparece $\operatorname{sen}$ de la semisuma y $\cos$ de la semidiferencia.
• En diferencia de senos aparece $\cos$ de la semisuma y $\operatorname{sen}$ de la semidiferencia.
• En suma de cosenos aparecen dos cosenos.
• En diferencia de cosenos aparecen dos senos y un signo negativo.

Deducción de la primera fórmula

Para convencernos de que estas fórmulas no salen de la nada, deduzcamos la primera.

Sabemos, por identidades de ángulos compuestos, que

$$\operatorname{sen}(x+y)=\operatorname{sen}x\cos y+\cos x\operatorname{sen}y$$

$$\operatorname{sen}(x-y)=\operatorname{sen}x\cos y-\cos x\operatorname{sen}y.$$

Sumando ambas igualdades:

$$\operatorname{sen}(x+y)+\operatorname{sen}(x-y)=2\operatorname{sen}x\cos y.$$

Ahora hagamos el cambio de variable

$$A=x+y,\qquad B=x-y.$$

Despejando $x$ e $y$:

$$x=\frac{A+B}{2},\qquad y=\frac{A-B}{2}.$$

Reemplazamos:

$$\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B =2\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right).$$

Queda así demostrada la primera identidad.

Deducción de las demás

Restando las identidades de $\operatorname{sen}(x+y)$ y $\operatorname{sen}(x-y)$:

$$\operatorname{sen}(x+y)-\operatorname{sen}(x-y)=2\cos x\operatorname{sen}y.$$

Con el mismo cambio de variable:

$$\operatorname{sen}A-\operatorname{sen}B =2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right).$$

Para cosenos, partimos de:

$$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\operatorname{sen}x\operatorname{sen}y$$

$$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\operatorname{sen}x\operatorname{sen}y.$$

Sumando:

$$\cos(x+y)+\cos(x-y)=2\cos x\cos y.$$

Es decir,

$$\cos A+\cos B =2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right).$$

Restando:

$$\cos(x+y)-\cos(x-y)=-2\operatorname{sen}x\operatorname{sen}y.$$

Luego,

$$\cos A-\cos B =-2\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right).$$

Así quedan justificadas las cuatro identidades.

Veamos cómo funcionan las fórmulas con ángulos concretos.

Ejemplo 1

Transformemos

$$\operatorname{sen}80^\circ+\operatorname{sen}40^\circ.$$

Aquí $A=80^\circ$ y $B=40^\circ$. Calculamos:

$$\frac{A+B}{2}=\frac{80^\circ+40^\circ}{2}=60^\circ,\qquad \frac{A-B}{2}=\frac{80^\circ-40^\circ}{2}=20^\circ.$$

Entonces:

$$\operatorname{sen}80^\circ+\operatorname{sen}40^\circ =2\operatorname{sen}60^\circ\cos20^\circ.$$

Como $\operatorname{sen}60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$,

$$\operatorname{sen}80^\circ+\operatorname{sen}40^\circ =\sqrt3\cos20^\circ.$$

Ejemplo 2

Transformemos

$$\operatorname{sen}80^\circ-\operatorname{sen}40^\circ.$$

Con los mismos ángulos:

$$\operatorname{sen}80^\circ-\operatorname{sen}40^\circ =2\cos60^\circ\operatorname{sen}20^\circ.$$

Como $\cos60^\circ=\frac12$,

$$\operatorname{sen}80^\circ-\operatorname{sen}40^\circ =\operatorname{sen}20^\circ.$$

Ejemplo 3

Ahora

$$\cos80^\circ+\cos40^\circ.$$

$$\cos80^\circ+\cos40^\circ =2\cos60^\circ\cos20^\circ =\cos20^\circ.$$

Ejemplo 4

Finalmente,

$$\cos80^\circ-\cos40^\circ.$$

$$\cos80^\circ-\cos40^\circ =-2\operatorname{sen}60^\circ\operatorname{sen}20^\circ =-\sqrt3\operatorname{sen}20^\circ.$$

Observa cómo en cada caso la semisuma fue $60^\circ$, un ángulo notable, lo que simplificó el resultado.

Cuando vas a transformar una expresión, lo primero es identificar claramente quiénes son $A$ y $B$. No importa el orden en la suma, pero en las diferencias sí debes respetar el orden en que aparecen los términos.

Por ejemplo, para transformar

$$\operatorname{sen}10^\circ-\operatorname{sen}50^\circ,$$

tomamos $A=10^\circ$, $B=50^\circ$. Entonces:

$$\frac{A+B}{2}=\frac{10^\circ+50^\circ}{2}=30^\circ,\qquad \frac{A-B}{2}=\frac{10^\circ-50^\circ}{2}=-20^\circ.$$

Aplicamos la fórmula de diferencia de senos:

$$\operatorname{sen}10^\circ-\operatorname{sen}50^\circ =2\cos30^\circ\operatorname{sen}(-20^\circ).$$