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Tema 20 de 35Trigonometría

Reducción al primer cuadrante I: ángulos menores a una vuelta

Aprenderás a reducir ángulos positivos menores de 360° al primer cuadrante, usando el ángulo de referencia y el signo adecuado para calcular razones trigonométricas con rapidez y sin calculadora.

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El porqué del tema

¿Para qué estudiamos este tema?

En el tema anterior aprendiste a calcular razones trigonométricas de ángulos como 300°300° usando identidades de ángulos compuestos: por ejemplo, escribiendo cos⁡300°=cos⁡(360°−60°)=cos⁡360°cos⁡60°+sen⁡360°sen⁡60°. \cos 300°=\cos(360°-60°)=\cos360°\cos60°+\operatorname{sen}360°\operatorname{sen}60°. Ese método es correcto, pero resulta largo si se aplica cada vez. La reducción al primer cuadrante convierte ese proceso en una regla rápida: toda razón trigonométrica de un ángulo no agudo puede expresarse como una razón trigonométrica de un ángulo agudo, anteponiendo un signo. Así, todos los ángulos entre 0°0° y 360°360° se “reducen” al primer cuadrante, donde conocemos los ángulos notables.

Este tema responde a una pregunta práctica: ¿cómo calcular sen⁡150°\operatorname{sen}150°, cos⁡240°\cos240° o tan⁡328°\tan328° sin una calculadora y sin tablas? En los exámenes de admisión, estos ángulos aparecen combinados en expresiones, triángulos y problemas aplicados. Por ejemplo, en un examen reciente de San Marcos se pedía calcular una expresión con tan⁡148°\tan 148° y tan⁡328°\tan 328°; ambos ángulos se reducen a 32°32°. Dominar las reglas de reducción permite simplificar esas expresiones con seguridad y rapidez.

En esta primera parte trabajaremos solo con ángulos positivos menores que una vuelta, es decir, entre 0°0° y 360°360°. En el siguiente tema extenderemos el método a ángulos mayores que una vuelta usando vueltas completas.

Antes de empezar

Lo que necesitas saber antes

Antes de reducir, debes recordar algunos conceptos básicos.

Un ángulo en posición normal tiene su vértice en el origen del sistema de coordenadas, su lado inicial en el semieje positivo de abscisas y su lado terminal girando en sentido antihorario. Según la ubicación del lado terminal, el ángulo pertenece al I, II, III o IV cuadrante.

Las razones trigonométricas de un ángulo agudo se definen en un triángulo rectángulo: sen⁡θ=cateto opuestohipotenusa,cos⁡θ=cateto adyacentehipotenusa,tan⁡θ=cateto opuestocateto adyacente. \operatorname{sen}\theta=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}},\qquad \cos\theta=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}},\qquad \tan\theta=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}. Las razones recíprocas son: csc⁡θ=1sen⁡θ,sec⁡θ=1cos⁡θ,cot⁡θ=1tan⁡θ. \csc\theta=\frac{1}{\operatorname{sen}\theta},\qquad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\qquad \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}.

También necesitamos los ángulos notables: 30°45°60°sen⁡122232cos⁡322212tan⁡1313 \begin{array}{c|ccc} & 30° & 45° & 60° \\ \hline \operatorname{sen} & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} \\ \tan & \frac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \sqrt{3} \end{array}

Finalmente, recuerda las co-razones. El prefijo “co” indica complemento: para un ángulo agudo θ\theta, sen⁡(90°−θ)=cos⁡θ,cos⁡(90°−θ)=sen⁡θ,tan⁡(90°−θ)=cot⁡θ. \operatorname{sen}(90°-\theta)=\cos\theta,\qquad \cos(90°-\theta)=\operatorname{sen}\theta,\qquad \tan(90°-\theta)=\cot\theta. Las parejas de co-razones son: sen⁡↔cos⁡,tan⁡↔cot⁡,sec⁡↔csc⁡. \operatorname{sen}\leftrightarrow \cos,\qquad \tan\leftrightarrow \cot,\qquad \sec\leftrightarrow \csc. Este hecho será la clave de las reglas con 90°90° y 270°270°.

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1. Idea central: ángulo de referencia y reducción al primer cuadrante

Imagina que quieres calcular cos⁡300° \cos 300° . Sabemos que 300°300° está en el IV cuadrante. Su lado terminal forma un ángulo agudo de 60°60° con el semieje positivo de abscisas. Al comparar las coordenadas de los puntos de intersección con la circunferencia unitaria, se observa que los valores absolutos son los mismos que los de 60°60°.

Ángulos de 60° y 300° en la circunferencia unitaria

Así, la abscisa de 300°300° es igual a la de 60°60°, y la ordenada tiene el mismo valor absoluto pero con signo negativo. Por lo tanto: cos⁡300°=+cos⁡60°=12. \cos300°=+\cos60°=\frac{1}{2}. Eso es reducir al primer cuadrante: expresar una razón trigonométrica de un ángulo no agudo en términos de un ángulo agudo, anteponiendo el signo correspondiente.

1.1 Definición de ángulo de referencia

Sea α \alpha un ángulo positivo en posición normal, menor que una vuelta. Si α \alpha no está en el I cuadrante, su ángulo de referencia, denotado por αr \alpha_r , es el ángulo agudo que forma su lado terminal con el eje xx, ya sea el semieje positivo o el negativo.

En la práctica:

  • Si α \alpha está en el II cuadrante, αr=180°−α \alpha_r=180°-\alpha .
  • Si α \alpha está en el III cuadrante, αr=α−180° \alpha_r=\alpha-180° .
  • Si α \alpha está en el IV cuadrante, αr=360°−α \alpha_r=360°-\alpha .
  • Si α \alpha está en el I cuadrante, αr=α \alpha_r=\alpha .

Ejemplos:

  • α=120° \alpha=120° está en II C; su ángulo de referencia es 60°60°.
  • α=200° \alpha=200° está en III C; su ángulo de referencia es 20°20°.
  • α=310° \alpha=310° está en IV C; su ángulo de referencia es 50°50°.

1.2 Propiedad fundamental

Si α \alpha es un ángulo menor que una vuelta y αr \alpha_r es su ángulo de referencia, entonces las razones trigonométricas de α \alpha y de αr \alpha_r tienen los mismos valores absolutos. El signo depende del cuadrante al que pertenece α \alpha . Es decir: RT⁡(α)=±RT⁡(αr). \operatorname{RT}(\alpha)=\pm \operatorname{RT}(\alpha_r). El signo es el que corresponde a la razón trigonométrica en el cuadrante original de α \alpha .

Ejemplos:

  • 150°150° está en II C, su referencia es 30°30°. El seno en II es positivo, así que sen⁡150°=+sen⁡30°=12. \operatorname{sen}150°=+\operatorname{sen}30°=\frac{1}{2}.
  • 225°225° está en III C, su referencia es 45°45°. El coseno en III es negativo, así que cos⁡225°=−cos⁡45°=−22. \cos225°=-\cos45°=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • 300°300° está en IV C, su referencia es 60°60°. La tangente en IV es negativa, así que tan⁡300°=−tan⁡60°=−3. \tan300°=-\tan60°=-\sqrt{3}.

Esta idea es la base de todo. Sin embargo, en los problemas se usan reglas más mecánicas basadas en los ángulos cuadrantales 90°90°, 180°180°, 270°270° y 360°360°. Veremos que esas reglas son solo una forma rápida de aplicar el ángulo de referencia.

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2. Signos de las razones trigonométricas

Para reducir correctamente, debes recordar el signo de cada razón en cada cuadrante. Basta recordar los signos de las razones básicas y, a partir de ellas, deducir los de las recíprocas.

En el I cuadrante todas las razones son positivas. En el II cuadrante, el seno y su recíproca, la cosecante, son positivos; el resto son negativos. En el III cuadrante, la tangente y su recíproca, la cotangente, son positivos; el resto son negativos. En el IV cuadrante, el coseno y su recíproca, la secante, son positivos; el resto son negativos.

Signos de las razones trigonométricas por cuadrantes

Tabla completa: Cuadrantesen⁡cos⁡tan⁡cot⁡sec⁡csc⁡I++++++II+−−−−+III−−++−−IV−+−−+− \begin{array}{c|cccccc} \text{Cuadrante} & \operatorname{sen} & \cos & \tan & \cot & \sec & \csc \\ \hline I & + & + & + & + & + & + \\ II & + & - & - & - & - & + \\ III & - & - & + & + & - & - \\ IV & - & + & - & - & + & - \end{array}

Ejemplos rápidos:

  • tan⁡150° \tan150° en II C: negativa.
  • cos⁡350° \cos350° en IV C: positiva.
  • sen⁡200° \operatorname{sen}200° en III C: negativa.
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3. Reglas de reducción con ángulos del eje X: \(180°\pm\theta\), \(360°-\theta\)

Cuando el ángulo se expresa usando 180°180° o 360°360°, el ángulo de referencia se mide respecto al eje xx. Por esa razón, la razón trigonométrica conserva su nombre: el seno sigue siendo seno, el coseno sigue siendo coseno, la tangente sigue siendo tangente, etc. Solamente se antepone el signo que corresponde al cuadrante original.

3.1 Regla general

Si θ \theta es un ángulo agudo, entonces: RT⁡(180°−θ)=RT⁡(θ)con signo de II C, \operatorname{RT}(180°-\theta)=\operatorname{RT}(\theta)\quad\text{con signo de II C}, RT⁡(180°+θ)=RT⁡(θ)con signo de III C, \operatorname{RT}(180°+\theta)=\operatorname{RT}(\theta)\quad\text{con signo de III C}, RT⁡(360°−θ)=RT⁡(θ)con signo de IV C. \operatorname{RT}(360°-\theta)=\operatorname{RT}(\theta)\quad\text{con signo de IV C}.

En consecuencia:

Para 180°−θ180°-\theta, que está en II C: sen⁡(180°−θ)=+sen⁡θ,cos⁡(180°−θ)=−cos⁡θ,tan⁡(180°−θ)=−tan⁡θ, \operatorname{sen}(180°-\theta)=+\operatorname{sen}\theta,\qquad \cos(180°-\theta)=-\cos\theta,\qquad \tan(180°-\theta)=-\tan\theta, cot⁡(180°−θ)=−cot⁡θ,sec⁡(180°−θ)=−sec⁡θ,csc⁡(180°−θ)=+csc⁡θ. \cot(180°-\theta)=-\cot\theta,\qquad \sec(180°-\theta)=-\sec\theta,\qquad \csc(180°-\theta)=+\csc\theta.

Para 180°+θ180°+\theta, que está en III C: sen⁡(180°+θ)=−sen⁡θ,cos⁡(180°+θ)=−cos⁡θ,tan⁡(180°+θ)=+tan⁡θ, \operatorname{sen}(180°+\theta)=-\operatorname{sen}\theta,\qquad \cos(180°+\theta)=-\cos\theta,\qquad \tan(180°+\theta)=+\tan\theta, cot⁡(180°+θ)=+cot⁡θ,sec⁡(180°+θ)=−sec⁡θ,csc⁡(180°+θ)=−csc⁡θ. \cot(180°+\theta)=+\cot\theta,\qquad \sec(180°+\theta)=-\sec\theta,\qquad \csc(180°+\theta)=-\csc\theta.

Para 360°−θ360°-\theta, que está en IV C: sen⁡(360°−θ)=−sen⁡θ,cos⁡(360°−θ)=+cos⁡θ,tan⁡(360°−θ)=−tan⁡θ, \operatorname{sen}(360°-\theta)=-\operatorname{sen}\theta,\qquad \cos(360°-\theta)=+\cos\theta,\qquad \tan(360°-\theta)=-\tan\theta, cot⁡(360°−θ)=−cot⁡θ,sec⁡(360°−θ)=+sec⁡θ,csc⁡(360°−θ)=−csc⁡θ. \cot(360°-\theta)=-\cot\theta,\qquad \sec(360°-\theta)=+\sec\theta,\qquad \csc(360°-\theta)=-\csc\theta.

No es necesario memorizar las doce fórmulas. Basta recordar la regla general: eje X, se mantiene la razón, y luego aplicar la tabla de signos.

Ángulos de reducción al eje X: 180°−θ, 180°+θ y 360°−θ

3.2 Ejemplos con eje X

Ejemplo 1. Reducir sen⁡150° \operatorname{sen}150°.

Como 150°=180°−30°150°=180°-30°, el ángulo está en II C. El seno en II es positivo y la razón se mantiene: sen⁡150°=sen⁡(180°−30°)=+sen⁡30°=12. \operatorname{sen}150°=\operatorname{sen}(180°-30°)=+\operatorname{sen}30°=\frac{1}{2}.

Ejemplo 2. Reducir cos⁡240° \cos240°.

Como 240°=180°+60°240°=180°+60°, está en III C. El coseno en III es negativo: cos⁡240°=cos⁡(180°+60°)=−cos⁡60°=−12. \cos240°=\cos(180°+60°)=-\cos60°=-\frac{1}{2}.

Ejemplo 3. Reducir tan⁡330° \tan330°.

Como 330°=360°−30°330°=360°-30°, está en IV C. La tangente en IV es negativa: tan⁡330°=tan⁡(360°−30°)=−tan⁡30°=−13. \tan330°=\tan(360°-30°)=-\tan30°=-\frac{1}{\sqrt{3}}.

Ejemplo 4. Reducir sec⁡120° \sec120°.

Como 120°=180°−60°120°=180°-60°, está en II C. La secante en II es negativa: sec⁡120°=sec⁡(180°−60°)=−sec⁡60°=−2. \sec120°=\sec(180°-60°)=-\sec60°=-2.

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4. Reglas de reducción con ángulos del eje Y: \(90°\pm\theta\), \(270°\pm\theta\)

Cuando el ángulo se expresa usando 90°90° o 270°270°, el ángulo de referencia se mide respecto al eje yy. Geométricamente, al girar 90°90° los papeles de los catetos opuesto y adyacente se intercambian. Por eso, la razón trigonométrica cambia a su co-razón: el seno pasa a coseno, la tangente a cotangente, la secante a cosecante, y viceversa. Luego se antepone el signo según el cuadrante original.

4.1 Regla general

Si θ \theta es agudo, entonces: RT⁡(90°−θ)=co-RT⁡(θ)(I C, todas positivas), \operatorname{RT}(90°-\theta)=\operatorname{co-RT}(\theta)\quad\text{(I C, todas positivas)}, RT⁡(90°+θ)=co-RT⁡(θ)con signo de II C, \operatorname{RT}(90°+\theta)=\operatorname{co-RT}(\theta)\quad\text{con signo de II C}, RT⁡(270°−θ)=co-RT⁡(θ)con signo de III C, \operatorname{RT}(270°-\theta)=\operatorname{co-RT}(\theta)\quad\text{con signo de III C}, RT⁡(270°+θ)=co-RT⁡(θ)con signo de IV C. \operatorname{RT}(270°+\theta)=\operatorname{co-RT}(\theta)\quad\text{con signo de IV C}.

Recuerda que: sen⁡↔cos⁡,tan⁡↔cot⁡,sec⁡↔csc⁡. \operatorname{sen}\leftrightarrow\cos,\qquad \tan\leftrightarrow\cot,\qquad \sec\leftrightarrow\csc.

Casos particulares:

Para 90°−θ90°-\theta, que está en I C: sen⁡(90°−θ)=+cos⁡θ,cos⁡(90°−θ)=+sen⁡θ,tan⁡(90°−θ)=+cot⁡θ, \operatorname{sen}(90°-\theta)=+\cos\theta,\qquad \cos(90°-\theta)=+\operatorname{sen}\theta,\qquad \tan(90°-\theta)=+\cot\theta, cot⁡(90°−θ)=+tan⁡θ,sec⁡(90°−θ)=+csc⁡θ,csc⁡(90°−θ)=+sec⁡θ. \cot(90°-\theta)=+\tan\theta,\qquad \sec(90°-\theta)=+\csc\theta,\qquad \csc(90°-\theta)=+\sec\theta.

Para 90°+θ90°+\theta, que está en II C: sen⁡(90°+θ)=+cos⁡θ,cos⁡(90°+θ)=−sen⁡θ,tan⁡(90°+θ)=−cot⁡θ, \operatorname{sen}(90°+\theta)=+\cos\theta,\qquad \cos(90°+\theta)=-\operatorname{sen}\theta,\qquad \tan(90°+\theta)=-\cot\theta, cot⁡(90°+θ)=−tan⁡θ,sec⁡(90°+θ)=−csc⁡θ,csc⁡(90°+θ)=+sec⁡θ. \cot(90°+\theta)=-\tan\theta,\qquad \sec(90°+\theta)=-\csc\theta,\qquad \csc(90°+\theta)=+\sec\theta.

Para 270°−θ270°-\theta, que está en III C: sen⁡(270°−θ)=−cos⁡θ,cos⁡(270°−θ)=−sen⁡θ,tan⁡(270°−θ)=+cot⁡θ, \operatorname{sen}(270°-\theta)=-\cos\theta,\qquad \cos(270°-\theta)=-\operatorname{sen}\theta,\qquad \tan(270°-\theta)=+\cot\theta, cot⁡(270°−θ)=+tan⁡θ,sec⁡(270°−θ)=−csc⁡θ,csc⁡(270°−θ)=−sec⁡θ. \cot(270°-\theta)=+\tan\theta,\qquad \sec(270°-\theta)=-\csc\theta,\qquad \csc(270°-\theta)=-\sec\theta.

Para 270°+θ270°+\theta, que está en IV C: sen⁡(270°+θ)=−cos⁡θ,cos⁡(270°+θ)=+sen⁡θ,tan⁡(270°+θ)=−cot⁡θ, \operatorname{sen}(270°+\theta)=-\cos\theta,\qquad \cos(270°+\theta)=+\operatorname{sen}\theta,\qquad \tan(270°+\theta)=-\cot\theta, cot⁡(270°+θ)=−tan⁡θ,sec⁡(270°+θ)=+csc⁡θ,csc⁡(270°+θ)=−sec⁡θ. \cot(270°+\theta)=-\tan\theta,\qquad \sec(270°+\theta)=+\csc\theta,\qquad \csc(270°+\theta)=-\sec\theta.

La regla general es: eje Y, cambia a co-razón, y luego se aplica el signo del cuadrante.

Ángulos en posición normal con referencia al eje Y

4.2 Ejemplos con eje Y

Ejemplo 1. Reducir sen⁡120° \operatorname{sen}120°.

Como 120°=90°+30°120°=90°+30°, está en II C. El seno en II es positivo, y al usar 90°90° cambia a coseno: sen⁡120°=sen⁡(90°+30°)=+cos⁡30°=32. \operatorname{sen}120°=\operatorname{sen}(90°+30°)=+\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Ejemplo 2. Reducir cos⁡200° \cos200°.

Como 200°=270°−70°200°=270°-70°, está en III C. El coseno en III es negativo, y cambia a seno: cos⁡200°=cos⁡(270°−70°)=−sen⁡70°. \cos200°=\cos(270°-70°)=-\operatorname{sen}70°.

Ejemplo 3. Reducir tan⁡310° \tan310°.

Como 310°=270°+40°310°=270°+40°, está en IV C. La tangente en IV es negativa, y cambia a cotangente: tan⁡310°=tan⁡(270°+40°)=−cot⁡40°. \tan310°=\tan(270°+40°)=-\cot40°.

Ejemplo 4. Reducir csc⁡300° \csc300°.

Como 300°=270°+30°300°=270°+30°, está en IV C. La cosecante en IV es negativa, y cambia a secante: csc⁡300°=csc⁡(270°+30°)=−sec⁡30°=−23. \csc300°=\csc(270°+30°)=-\sec30°=-\frac{2}{\sqrt{3}}.

4.3 ¿Eje X o eje Y? Ambos son válidos

Un mismo ángulo puede reducirse de varias formas. Por ejemplo, cos⁡300° \cos300° se puede ver como: cos⁡300°=cos⁡(360°−60°)=+cos⁡60°=12, \cos300°=\cos(360°-60°)=+\cos60°=\frac{1}{2}, o también como: cos⁡300°=cos⁡(270°+30°)=+sen⁡30°=12. \cos300°=\cos(270°+30°)=+\operatorname{sen}30°=\frac{1}{2}. Ambos procedimientos son correctos.

En general se elige la forma que produzca el ángulo agudo más conveniente. Por ejemplo, para 150°150° es natural usar 180°−30°180°-30°, pero 90°+60°90°+60° también funciona: sen⁡150°=sen⁡(180°−30°)=+sen⁡30°=12, \operatorname{sen}150°=\operatorname{sen}(180°-30°)=+\operatorname{sen}30°=\frac{1}{2}, sen⁡150°=sen⁡(90°+60°)=+cos⁡60°=12. \operatorname{sen}150°=\operatorname{sen}(90°+60°)=+\cos60°=\frac{1}{2}.

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5. Estrategia general para reducir ángulos menores que una vuelta

Para aplicar las reglas en cualquier problema, conviene seguir estos pasos:

  1. Identifica el cuadrante del ángulo original y, con eso, el signo de la razón que vas a reducir.
  2. Expresa el ángulo como 90°±θ90°\pm\theta, 180°±θ180°\pm\theta, 270°±θ270°\pm\theta o 360°−θ360°-\theta, eligiendo θ \theta agudo.
  3. Aplica la regla:
    • Si usaste 180°180° o 360°360°, la razón no cambia;
    • si usaste 90°90° o 270°270°, la razón cambia a su co-razón.
  4. Antepone el signo del paso 1.
  5. Evalúa la razón del ángulo agudo obtenido.

Una observación importante: las fórmulas de reducción son identidades, es decir, formalmente valen para cualquier valor de θ\theta para el cual las razones estén definidas. Sin embargo, la regla práctica de signo supone que θ\theta es agudo, porque así 90°+θ90°+\theta, 180°−θ180°-\theta, etc., quedan ubicados en cuadrantes conocidos. Por eso, al descomponer un ángulo, busca siempre que la parte que acompaña al ángulo cuadrantal sea aguda.

Ejemplo aplicado: Reduce cot⁡250° \cot250°.

  • 250°250° está en III C. La cotangente en III es positiva.
  • Elegimos 250°=270°−20°250°=270°-20°, con θ=20° \theta=20° agudo.
  • Como se usó 270°270°, cambia a co-razón: cot⁡→tan⁡\cot \to \tan.
  • El signo es positivo.
  • Entonces: cot⁡250°=cot⁡(270°−20°)=+tan⁡20°. \cot250°=\cot(270°-20°)=+\tan20°.

Comprobación por ángulo de referencia: 250°250° en III C tiene referencia 70°70°. La cotangente en III es positiva, así que cot⁡250°=+cot⁡70° \cot250°=+\cot70°. Como cot⁡70°=tan⁡20° \cot70°=\tan20°, el resultado coincide.

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6. Razones trigonométricas de ángulos negativos

Aunque este tema se centra en ángulos positivos menores que una vuelta, con frecuencia aparecen ángulos negativos en las expresiones. Las razones de −θ-\theta se obtienen por simetría respecto al eje xx.

Ángulos θ y −θ: simetría respecto al eje x

Para cualquier θ \theta : sen⁡(−θ)=−sen⁡θ,cos⁡(−θ)=cos⁡θ,tan⁡(−θ)=−tan⁡θ, \operatorname{sen}(-\theta)=-\operatorname{sen}\theta,\qquad \cos(-\theta)=\cos\theta,\qquad \tan(-\theta)=-\tan\theta, cot⁡(−θ)=−cot⁡θ,sec⁡(−θ)=sec⁡θ,csc⁡(−θ)=−csc⁡θ. \cot(-\theta)=-\cot\theta,\qquad \sec(-\theta)=\sec\theta,\qquad \csc(-\theta)=-\csc\theta. Así, el coseno y la secante son funciones pares; las demás son impares.

Estas fórmulas permiten reducir expresiones como: sen⁡(−120°)=−sen⁡120°. \operatorname{sen}(-120°)=-\operatorname{sen}120°. Luego se reduce 120°120° normalmente: −sen⁡120°=−sen⁡(180°−60°)=−sen⁡60°=−32. -\operatorname{sen}120°=-\operatorname{sen}(180°-60°)=-\operatorname{sen}60°=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

En el siguiente tema, al descomponer ángulos mayores que una vuelta, también pueden aparecer restos negativos; por eso conviene dominar estas reglas.

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7. Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales

Los ángulos 0°0°, 90°90°, 180°180°, 270°270° y 360°360° son la base de las reglas de reducción. Sus razones se obtienen directamente de los puntos de intersección del lado terminal con la circunferencia unitaria.

R.T.0°90°180°270°360°sen⁡010−10cos⁡10−101tan⁡0no definida0no definida0cot⁡no definida0no definida0no definidasec⁡1no definida−1no definida1csc⁡no definida1no definida−1no definida \begin{array}{c|ccccc} \text{R.T.} & 0° & 90° & 180° & 270° & 360° \\ \hline \operatorname{sen} & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \cos & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \tan & 0 & \text{no definida} & 0 & \text{no definida} & 0 \\ \cot & \text{no definida} & 0 & \text{no definida} & 0 & \text{no definida} \\ \sec & 1 & \text{no definida} & -1 & \text{no definida} & 1 \\ \csc & \text{no definida} & 1 & \text{no definida} & -1 & \text{no definida} \end{array}

No es necesario memorizarlas todas: se deducen pensando en los puntos (1,0)(1,0), (0,1)(0,1), (−1,0)(-1,0), (0,−1)(0,-1) y recordando que no se puede dividir entre cero.

Estas razones aparecen al simplificar expresiones como: sen⁡270°+cos⁡180°=−1+(−1)=−2. \operatorname{sen}270°+\cos180°=-1+(-1)=-2.

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8. Reducción en radianes

En los textos y exámenes se usa con frecuencia el sistema radial. Las mismas reglas se traducen de la siguiente manera: RT⁡(π2±θ)=±co-RT⁡(θ), \operatorname{RT}\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)=\pm\operatorname{co-RT}(\theta), RT⁡(π±θ)=±RT⁡(θ), \operatorname{RT}(\pi\pm\theta)=\pm\operatorname{RT}(\theta), RT⁡(3π2±θ)=±co-RT⁡(θ), \operatorname{RT}\left(\frac{3\pi}{2}\pm\theta\right)=\pm\operatorname{co-RT}(\theta), RT⁡(2π−θ)=±RT⁡(θ), \operatorname{RT}(2\pi-\theta)=\pm\operatorname{RT}(\theta), donde θ \theta se considera agudo.

Ejemplos: sen⁡(π+π6)=−sen⁡π6=−12, \operatorname{sen}\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\operatorname{sen}\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}, porque π+π6=7π6 \pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6} está en III C, donde el seno es negativo, y al usar π \pi la razón se mantiene.

cos⁡(3π2−π3)=−sen⁡π3=−32, \cos\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right) =-\operatorname{sen}\frac{\pi}{3} =-\frac{\sqrt{3}}{2}, porque 3π2−π3=7π6 \frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{6} está en III C, el coseno es negativo y al usar 3π2 \frac{3\pi}{2} cambia a seno.

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9. Aplicación a ángulos de un triángulo

Una de las aplicaciones más importantes de la reducción aparece en los triángulos. Si AA, BB y CC son ángulos internos de un triángulo, entonces: A+B+C=180°. A+B+C=180°. De aquí se obtienen relaciones muy útiles: A+B=180°−C⇒sen⁡(A+B)=sen⁡(180°−C)=+sen⁡C, A+B=180°-C\quad\Rightarrow\quad \operatorname{sen}(A+B)=\operatorname{sen}(180°-C)=+\operatorname{sen}C, A+B=180°−C⇒cos⁡(A+B)=cos⁡(180°−C)=−cos⁡C, A+B=180°-C\quad\Rightarrow\quad \cos(A+B)=\cos(180°-C)=-\cos C, B+C=180°−A⇒tan⁡(B+C)=tan⁡(180°−A)=−tan⁡A. B+C=180°-A\quad\Rightarrow\quad \tan(B+C)=\tan(180°-A)=-\tan A.

Estas simplificaciones son frecuentes en problemas de admisión que combinan triángulos y reducción.

Ejemplo. En un triángulo ABCABC, simplifica: E=sen⁡(A+B)sen⁡C+tan⁡(B+C)tan⁡A. E=\frac{\operatorname{sen}(A+B)}{\operatorname{sen}C}+\frac{\tan(B+C)}{\tan A}. Como A+B=180°−CA+B=180°-C y B+C=180°−AB+C=180°-A: E=sen⁡(180°−C)sen⁡C+tan⁡(180°−A)tan⁡A=sen⁡Csen⁡C+−tan⁡Atan⁡A=1−1=0. E=\frac{\operatorname{sen}(180°-C)}{\operatorname{sen}C}+\frac{\tan(180°-A)}{\tan A} =\frac{\operatorname{sen}C}{\operatorname{sen}C}+\frac{-\tan A}{\tan A} =1-1=0.

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10. Deducción de algunas reglas con ángulos compuestos

Como estudiaron en el tema anterior, las identidades de ángulos compuestos permiten justificar las reglas de reducción. Por ejemplo, sen⁡(180°+θ)=sen⁡180°cos⁡θ+cos⁡180°sen⁡θ=0⋅cos⁡θ+(−1)⋅sen⁡θ=−sen⁡θ. \operatorname{sen}(180°+\theta) =\operatorname{sen}180°\cos\theta+\cos180°\operatorname{sen}\theta =0\cdot\cos\theta+(-1)\cdot\operatorname{sen}\theta =-\operatorname{sen}\theta. Análogamente, cos⁡(90°+θ)=cos⁡90°cos⁡θ−sen⁡90°sen⁡θ=0⋅cos⁡θ−1⋅sen⁡θ=−sen⁡θ. \cos(90°+\theta) =\cos90°\cos\theta-\operatorname{sen}90°\operatorname{sen}\theta =0\cdot\cos\theta-1\cdot\operatorname{sen}\theta =-\operatorname{sen}\theta. Este es el fundamento analítico de las reglas. Sin embargo, en la práctica no se desarrolla la expansión: se aplica directamente la regla rápida.

Cuidado

Errores frecuentes

  1. Olvidar el signo. Escribir sen⁡(180°+θ)=+sen⁡θ \operatorname{sen}(180°+\theta)=+\operatorname{sen}\theta es incorrecto. 180°+θ180°+\theta está en III C, donde el seno es negativo. Lo correcto es sen⁡(180°+θ)=−sen⁡θ. \operatorname{sen}(180°+\theta)=-\operatorname{sen}\theta.

  2. Cambiar la razón cuando se usa 180°180° o 360°360°. Por ejemplo, creer que cos⁡(180°−θ)=−sen⁡θ. \cos(180°-\theta)=-\operatorname{sen}\theta. Eso es falso. Como se usa 180°180°, el coseno conserva su nombre: cos⁡(180°−θ)=−cos⁡θ. \cos(180°-\theta)=-\cos\theta.

  3. No cambiar a co-razón cuando se usa 90°90° o 270°270°. Creer que tan⁡(270°−θ)=+tan⁡θ \tan(270°-\theta)=+\tan\theta es incorrecto. La tangente cambia a cotangente: tan⁡(270°−θ)=+cot⁡θ. \tan(270°-\theta)=+\cot\theta.

  4. Confundir las co-razones. Las parejas son: sen⁡↔cos⁡,tan⁡↔cot⁡,sec⁡↔csc⁡. \operatorname{sen}\leftrightarrow\cos,\qquad \tan\leftrightarrow\cot,\qquad \sec\leftrightarrow\csc. No intercambiar, por ejemplo, seno con cosecante.

  5. Tomar mal el ángulo de referencia. Para un ángulo en III C, la referencia no es 360°−α360°-\alpha, sino α−180° \alpha-180°. Usar mal la referencia produce signos o ángulos equivocados.

  6. Aplicar las reglas a θ\theta no agudo sin cuidado. En la reducción al primer cuadrante se supone θ \theta agudo para asignar el signo. Si θ \theta no es agudo, el ángulo compuesto puede quedar en otro cuadrante y el signo podría variar. Descompón siempre de modo que la parte restante sea aguda.

  7. Creer que 90°−θ90°-\theta tiene signo negativo. Si θ \theta es agudo, 90°−θ90°-\theta está en I C, donde todas las razones son positivas. Por ejemplo, sen⁡(90°−θ)=+cos⁡θ, \operatorname{sen}(90°-\theta)=+\cos\theta, sin signo negativo.

  8. Olvidar que la secante y la cosecante también siguen las reglas de co-razón y signo. Por ejemplo, sec⁡(90°+θ)=−csc⁡θ, \sec(90°+\theta)=-\csc\theta, no +sec⁡θ+\sec\theta.

Aprende resolviendo

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Calcular el valor de E=sen⁡150°+cos⁡240°+tan⁡315°. E=\operatorname{sen}150°+\cos240°+\tan315°.

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Ejemplo 2

Simplificar, para xx agudo, la expresión K=sen⁡(180°−x)⋅sec⁡(90°+x)cot⁡(270°−x)⋅cos⁡(180°+x). K=\frac{\operatorname{sen}(180°-x)\cdot \sec(90°+x)} {\cot(270°-x)\cdot \cos(180°+x)}.

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Ejemplo 3

Si θ \theta es agudo y tan⁡(180°+θ)=2 \tan(180°+\theta)=2 , halle el valor de E=sec⁡(90°+θ)+cot⁡(270°−θ). E=\sec(90°+\theta)+\cot(270°-\theta).

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Ejemplo 4

Si 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2}, simplificar M=sen⁡(3π2−x)⋅cot⁡(π+x)cos⁡(π2−x)⋅tan⁡(2π−x). M=\frac{\operatorname{sen}\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\cdot \cot(\pi+x)} {\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cdot \tan(2\pi-x)}.

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Lo que viene

Hacia el siguiente tema

Ya sabes reducir cualquier ángulo positivo menor que una vuelta al primer cuadrante. En la siguiente sesión abordaremos los ángulos mayores que 360°360° o mayores que 2π2\pi. La idea será descomponerlos como un número entero de vueltas más un residuo, usando que dos ángulos coterminales tienen las mismas razones trigonométricas: RT⁡(360°n+θ)=RT⁡(θ),RT⁡(2πn+θ)=RT⁡(θ). \operatorname{RT}(360°n+\theta)=\operatorname{RT}(\theta),\qquad \operatorname{RT}(2\pi n+\theta)=\operatorname{RT}(\theta). Después de eliminar las vueltas completas, aplicaremos al residuo todas las reglas que has aprendido aquí. Así completaremos el sistema de reducción para cualquier ángulo real.

Ir al siguiente tema: Reducción al primer cuadrante II: ángulos mayores a una vuelta

¿Lo dominas?

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20 preguntas de práctica tipo admisión y 3 preguntas reales de San Marcos, con clave y resolución explicada.

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El porqué del tema

¿Para qué estudiamos este tema?

En el tema anterior aprendiste a calcular razones trigonométricas de ángulos como 300°300° usando identidades de ángulos compuestos: por ejemplo, escribiendo cos⁡300°=cos⁡(360°−60°)=cos⁡360°cos⁡60°+sen⁡360°sen⁡60°. \cos 300°=\cos(360°-60°)=\cos360°\cos60°+\operatorname{sen}360°\operatorname{sen}60°. Ese método es correcto, pero resulta largo si se aplica cada vez. La reducción al primer cuadrante convierte ese proceso en una regla rápida: toda razón trigonométrica de un ángulo no agudo puede expresarse como una razón trigonométrica de un ángulo agudo, anteponiendo un signo. Así, todos los ángulos entre 0°0° y 360°360° se “reducen” al primer cuadrante, donde conocemos los ángulos notables.

Este tema responde a una pregunta práctica: ¿cómo calcular sen⁡150°\operatorname{sen}150°, cos⁡240°\cos240° o tan⁡328°\tan328° sin una calculadora y sin tablas? En los exámenes de admisión, estos ángulos aparecen combinados en expresiones, triángulos y problemas aplicados. Por ejemplo, en un examen reciente de San Marcos se pedía calcular una expresión con tan⁡148°\tan 148° y tan⁡328°\tan 328°; ambos ángulos se reducen a 32°32°. Dominar las reglas de reducción permite simplificar esas expresiones con seguridad y rapidez.

En esta primera parte trabajaremos solo con ángulos positivos menores que una vuelta, es decir, entre 0°0° y 360°360°. En el siguiente tema extenderemos el método a ángulos mayores que una vuelta usando vueltas completas.

Antes de empezar

Lo que necesitas saber antes

Antes de reducir, debes recordar algunos conceptos básicos.

Un ángulo en posición normal tiene su vértice en el origen del sistema de coordenadas, su lado inicial en el semieje positivo de abscisas y su lado terminal girando en sentido antihorario. Según la ubicación del lado terminal, el ángulo pertenece al I, II, III o IV cuadrante.

Las razones trigonométricas de un ángulo agudo se definen en un triángulo rectángulo: sen⁡θ=cateto opuestohipotenusa,cos⁡θ=cateto adyacentehipotenusa,tan⁡θ=cateto opuestocateto adyacente. \operatorname{sen}\theta=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}},\qquad \cos\theta=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}},\qquad \tan\theta=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}. Las razones recíprocas son: csc⁡θ=1sen⁡θ,sec⁡θ=1cos⁡θ,cot⁡θ=1tan⁡θ. \csc\theta=\frac{1}{\operatorname{sen}\theta},\qquad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\qquad \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}.

También necesitamos los ángulos notables: 30°45°60°sen⁡122232cos⁡322212tan⁡1313 \begin{array}{c|ccc} & 30° & 45° & 60° \\ \hline \operatorname{sen} & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} \\ \tan & \frac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \sqrt{3} \end{array}

Finalmente, recuerda las co-razones. El prefijo “co” indica complemento: para un ángulo agudo θ\theta, sen⁡(90°−θ)=cos⁡θ,cos⁡(90°−θ)=sen⁡θ,tan⁡(90°−θ)=cot⁡θ. \operatorname{sen}(90°-\theta)=\cos\theta,\qquad \cos(90°-\theta)=\operatorname{sen}\theta,\qquad \tan(90°-\theta)=\cot\theta. Las parejas de co-razones son: sen⁡↔cos⁡,tan⁡↔cot⁡,sec⁡↔csc⁡. \operatorname{sen}\leftrightarrow \cos,\qquad \tan\leftrightarrow \cot,\qquad \sec\leftrightarrow \csc. Este hecho será la clave de las reglas con 90°90° y 270°270°.

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1. Idea central: ángulo de referencia y reducción al primer cuadrante

Imagina que quieres calcular cos⁡300° \cos 300° . Sabemos que 300°300° está en el IV cuadrante. Su lado terminal forma un ángulo agudo de 60°60° con el semieje positivo de abscisas. Al comparar las coordenadas de los puntos de intersección con la circunferencia unitaria, se observa que los valores absolutos son los mismos que los de 60°60°.

Ángulos de 60° y 300° en la circunferencia unitaria

Así, la abscisa de 300°300° es igual a la de 60°60°, y la ordenada tiene el mismo valor absoluto pero con signo negativo. Por lo tanto: cos⁡300°=+cos⁡60°=12. \cos300°=+\cos60°=\frac{1}{2}. Eso es reducir al primer cuadrante: expresar una razón trigonométrica de un ángulo no agudo en términos de un ángulo agudo, anteponiendo el signo correspondiente.

1.1 Definición de ángulo de referencia

Sea α \alpha un ángulo positivo en posición normal, menor que una vuelta. Si α \alpha no está en el I cuadrante, su ángulo de referencia, denotado por αr \alpha_r , es el ángulo agudo que forma su lado terminal con el eje xx, ya sea el semieje positivo o el negativo.

En la práctica:

  • Si α \alpha está en el II cuadrante, αr=180°−α \alpha_r=180°-\alpha .
  • Si α \alpha está en el III cuadrante, αr=α−180° \alpha_r=\alpha-180° .
  • Si α \alpha está en el IV cuadrante, αr=360°−α \alpha_r=360°-\alpha .
  • Si α \alpha está en el I cuadrante, αr=α \alpha_r=\alpha .

Ejemplos:

  • α=120° \alpha=120° está en II C; su ángulo de referencia es 60°60°.
  • α=200° \alpha=200° está en III C; su ángulo de referencia es 20°20°.
  • α=310° \alpha=310° está en IV C; su ángulo de referencia es 50°50°.

1.2 Propiedad fundamental

Si α \alpha es un ángulo menor que una vuelta y αr \alpha_r es su ángulo de referencia, entonces las razones trigonométricas de α \alpha y de αr \alpha_r tienen los mismos valores absolutos. El signo depende del cuadrante al que pertenece α \alpha . Es decir: RT⁡(α)=±RT⁡(αr). \operatorname{RT}(\alpha)=\pm \operatorname{RT}(\alpha_r). El signo es el que corresponde a la razón trigonométrica en el cuadrante original de α \alpha .

Ejemplos:

  • 150°150° está en II C, su referencia es 30°30°. El seno en II es positivo, así que sen⁡150°=+sen⁡30°=12. \operatorname{sen}150°=+\operatorname{sen}30°=\frac{1}{2}.
  • 225°225° está en III C, su referencia es 45°45°. El coseno en III es negativo, así que cos⁡225°=−cos⁡45°=−22. \cos225°=-\cos45°=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • 300°300° está en IV C, su referencia es 60°60°. La tangente en IV es negativa, así que tan⁡300°=−tan⁡60°=−3. \tan300°=-\tan60°=-\sqrt{3}.

Esta idea es la base de todo. Sin embargo, en los problemas se usan reglas más mecánicas basadas en los ángulos cuadrantales 90°90°, 180°180°, 270°270° y 360°360°. Veremos que esas reglas son solo una forma rápida de aplicar el ángulo de referencia.

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2. Signos de las razones trigonométricas

Para reducir correctamente, debes recordar el signo de cada razón en cada cuadrante. Basta recordar los signos de las razones básicas y, a partir de ellas, deducir los de las recíprocas.

En el I cuadrante todas las razones son positivas. En el II cuadrante, el seno y su recíproca, la cosecante, son positivos; el resto son negativos. En el III cuadrante, la tangente y su recíproca, la cotangente, son positivos; el resto son negativos. En el IV cuadrante, el coseno y su recíproca, la secante, son positivos; el resto son negativos.

Signos de las razones trigonométricas por cuadrantes

Tabla completa: Cuadrantesen⁡cos⁡tan⁡cot⁡sec⁡csc⁡I++++++II+−−−−+III−−++−−IV−+−−+− \begin{array}{c|cccccc} \text{Cuadrante} & \operatorname{sen} & \cos & \tan & \cot & \sec & \csc \\ \hline I & + & + & + & + & + & + \\ II & + & - & - & - & - & + \\ III & - & - & + & + & - & - \\ IV & - & + & - & - & + & - \end{array}

Ejemplos rápidos:

  • tan⁡150° \tan150° en II C: negativa.
  • cos⁡350° \cos350° en IV C: positiva.
  • sen⁡200° \operatorname{sen}200° en III C: negativa.
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3. Reglas de reducción con ángulos del eje X: \(180°\pm\theta\), \(360°-\theta\)

Cuando el ángulo se expresa usando 180°180° o 360°360°, el ángulo de referencia se mide respecto al eje xx. Por esa razón, la razón trigonométrica conserva su nombre: el seno sigue siendo seno, el coseno sigue siendo coseno, la tangente sigue siendo tangente, etc. Solamente se antepone el signo que corresponde al cuadrante original.

3.1 Regla general

Si θ \theta es un ángulo agudo, entonces: RT⁡(180°−θ)=RT⁡(θ)con signo de II C, \operatorname{RT}(180°-\theta)=\operatorname{RT}(\theta)\quad\text{con signo de II C}, RT⁡(180°+θ)=RT⁡(θ)con signo de III C, \operatorname{RT}(180°+\theta)=\operatorname{RT}(\theta)\quad\text{con signo de III C}, RT⁡(360°−θ)=RT⁡(θ)con signo de IV C. \operatorname{RT}(360°-\theta)=\operatorname{RT}(\theta)\quad\text{con signo de IV C}.

En consecuencia:

Para 180°−θ180°-\theta, que está en II C: sen⁡(180°−θ)=+sen⁡θ,cos⁡(180°−θ)=−cos⁡θ,tan⁡(180°−θ)=−tan⁡θ, \operatorname{sen}(180°-\theta)=+\operatorname{sen}\theta,\qquad \cos(180°-\theta)=-\cos\theta,\qquad \tan(180°-\theta)=-\tan\theta, cot⁡(180°−θ)=−cot⁡θ,sec⁡(180°−θ)=−sec⁡θ,csc⁡(180°−θ)=+csc⁡θ. \cot(180°-\theta)=-\cot\theta,\qquad \sec(180°-\theta)=-\sec\theta,\qquad \csc(180°-\theta)=+\csc\theta.

Para 180°+θ180°+\theta, que está en III C: sen⁡(180°+θ)=−sen⁡θ,cos⁡(180°+θ)=−cos⁡θ,tan⁡(180°+θ)=+tan⁡θ, \operatorname{sen}(180°+\theta)=-\operatorname{sen}\theta,\qquad \cos(180°+\theta)=-\cos\theta,\qquad \tan(180°+\theta)=+\tan\theta, cot⁡(180°+θ)=+cot⁡θ,sec⁡(180°+θ)=−sec⁡θ,csc⁡(180°+θ)=−csc⁡θ. \cot(180°+\theta)=+\cot\theta,\qquad \sec(180°+\theta)=-\sec\theta,\qquad \csc(180°+\theta)=-\csc\theta.

Para 360°−θ360°-\theta, que está en IV C: sen⁡(360°−θ)=−sen⁡θ,cos⁡(360°−θ)=+cos⁡θ,tan⁡(360°−θ)=−tan⁡θ, \operatorname{sen}(360°-\theta)=-\operatorname{sen}\theta,\qquad \cos(360°-\theta)=+\cos\theta,\qquad \tan(360°-\theta)=-\tan\theta, cot⁡(360°−θ)=−cot⁡θ,sec⁡(360°−θ)=+sec⁡θ,csc⁡(360°−θ)=−csc⁡θ. \cot(360°-\theta)=-\cot\theta,\qquad \sec(360°-\theta)=+\sec\theta,\qquad \csc(360°-\theta)=-\csc\theta.

No es necesario memorizar las doce fórmulas. Basta recordar la regla general: eje X, se mantiene la razón, y luego aplicar la tabla de signos.

Ángulos de reducción al eje X: 180°−θ, 180°+θ y 360°−θ

3.2 Ejemplos con eje X

Ejemplo 1. Reducir sen⁡150° \operatorname{sen}150°.

Como 150°=180°−30°150°=180°-30°, el ángulo está en II C. El seno en II es positivo y la razón se mantiene: sen⁡150°=sen⁡(180°−30°)=+sen⁡30°=12. \operatorname{sen}150°=\operatorname{sen}(180°-30°)=+\operatorname{sen}30°=\frac{1}{2}.

Ejemplo 2. Reducir cos⁡240° \cos240°.

Como 240°=180°+60°240°=180°+60°, está en III C. El coseno en III es negativo: cos⁡240°=cos⁡(180°+60°)=−cos⁡60°=−12. \cos240°=\cos(180°+60°)=-\cos60°=-\frac{1}{2}.

Ejemplo 3. Reducir tan⁡330° \tan330°.

Como 330°=360°−30°330°=360°-30°, está en IV C. La tangente en IV es negativa: tan⁡330°=tan⁡(360°−30°)=−tan⁡30°=−13. \tan330°=\tan(360°-30°)=-\tan30°=-\frac{1}{\sqrt{3}}.

Ejemplo 4. Reducir sec⁡120° \sec120°.

Como 120°=180°−60°120°=180°-60°, está en II C. La secante en II es negativa: sec⁡120°=sec⁡(180°−60°)=−sec⁡60°=−2. \sec120°=\sec(180°-60°)=-\sec60°=-2.

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4. Reglas de reducción con ángulos del eje Y: \(90°\pm\theta\), \(270°\pm\theta\)

Cuando el ángulo se expresa usando 90°90° o 270°270°, el ángulo de referencia se mide respecto al eje yy. Geométricamente, al girar 90°90° los papeles de los catetos opuesto y adyacente se intercambian. Por eso, la razón trigonométrica cambia a su co-razón: el seno pasa a coseno, la tangente a cotangente, la secante a cosecante, y viceversa. Luego se antepone el signo según el cuadrante original.

4.1 Regla general

Si θ \theta es agudo, entonces: RT⁡(90°−θ)=co-RT⁡(θ)(I C, todas positivas), \operatorname{RT}(90°-\theta)=\operatorname{co-RT}(\theta)\quad\text{(I C, todas positivas)}, RT⁡(90°+θ)=co-RT⁡(θ)con signo de II C, \operatorname{RT}(90°+\theta)=\operatorname{co-RT}(\theta)\quad\text{con signo de II C}, RT⁡(270°−θ)=co-RT⁡(θ)con signo de III C, \operatorname{RT}(270°-\theta)=\operatorname{co-RT}(\theta)\quad\text{con signo de III C}, RT⁡(270°+θ)=co-RT⁡(θ)con signo de IV C. \operatorname{RT}(270°+\theta)=\operatorname{co-RT}(\theta)\quad\text{con signo de IV C}.

Recuerda que: sen⁡↔cos⁡,tan⁡↔cot⁡,sec⁡↔csc⁡. \operatorname{sen}\leftrightarrow\cos,\qquad \tan\leftrightarrow\cot,\qquad \sec\leftrightarrow\csc.

Casos particulares:

Para 90°−θ90°-\theta, que está en I C: sen⁡(90°−θ)=+cos⁡θ,cos⁡(90°−θ)=+sen⁡θ,tan⁡(90°−θ)=+cot⁡θ, \operatorname{sen}(90°-\theta)=+\cos\theta,\qquad \cos(90°-\theta)=+\operatorname{sen}\theta,\qquad \tan(90°-\theta)=+\cot\theta, cot⁡(90°−θ)=+tan⁡θ,sec⁡(90°−θ)=+csc⁡θ,csc⁡(90°−θ)=+sec⁡θ. \cot(90°-\theta)=+\tan\theta,\qquad \sec(90°-\theta)=+\csc\theta,\qquad \csc(90°-\theta)=+\sec\theta.

Para 90°+θ90°+\theta, que está en II C: sen⁡(90°+θ)=+cos⁡θ,cos⁡(90°+θ)=−sen⁡θ,tan⁡(90°+θ)=−cot⁡θ, \operatorname{sen}(90°+\theta)=+\cos\theta,\qquad \cos(90°+\theta)=-\operatorname{sen}\theta,\qquad \tan(90°+\theta)=-\cot\theta, cot⁡(90°+θ)=−tan⁡θ,sec⁡(90°+θ)=−csc⁡θ,csc⁡(90°+θ)=+sec⁡θ. \cot(90°+\theta)=-\tan\theta,\qquad \sec(90°+\theta)=-\csc\theta,\qquad \csc(90°+\theta)=+\sec\theta.

Para 270°−θ270°-\theta, que está en III C: sen⁡(270°−θ)=−cos⁡θ,cos⁡(270°−θ)=−sen⁡θ,tan⁡(270°−θ)=+cot⁡θ, \operatorname{sen}(270°-\theta)=-\cos\theta,\qquad \cos(270°-\theta)=-\operatorname{sen}\theta,\qquad \tan(270°-\theta)=+\cot\theta, cot⁡(270°−θ)=+tan⁡θ,sec⁡(270°−θ)=−csc⁡θ,csc⁡(270°−θ)=−sec⁡θ. \cot(270°-\theta)=+\tan\theta,\qquad \sec(270°-\theta)=-\csc\theta,\qquad \csc(270°-\theta)=-\sec\theta.

Para 270°+θ270°+\theta, que está en IV C: sen⁡(270°+θ)=−cos⁡θ,cos⁡(270°+θ)=+sen⁡θ,tan⁡(270°+θ)=−cot⁡θ, \operatorname{sen}(270°+\theta)=-\cos\theta,\qquad \cos(270°+\theta)=+\operatorname{sen}\theta,\qquad \tan(270°+\theta)=-\cot\theta, cot⁡(270°+θ)=−tan⁡θ,sec⁡(270°+θ)=+csc⁡θ,csc⁡(270°+θ)=−sec⁡θ. \cot(270°+\theta)=-\tan\theta,\qquad \sec(270°+\theta)=+\csc\theta,\qquad \csc(270°+\theta)=-\sec\theta.

La regla general es: eje Y, cambia a co-razón, y luego se aplica el signo del cuadrante.

Ángulos en posición normal con referencia al eje Y

4.2 Ejemplos con eje Y

Ejemplo 1. Reducir sen⁡120° \operatorname{sen}120°.

Como 120°=90°+30°120°=90°+30°, está en II C. El seno en II es positivo, y al usar 90°90° cambia a coseno: sen⁡120°=sen⁡(90°+30°)=+cos⁡30°=32. \operatorname{sen}120°=\operatorname{sen}(90°+30°)=+\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Ejemplo 2. Reducir cos⁡200° \cos200°.

Como 200°=270°−70°200°=270°-70°, está en III C. El coseno en III es negativo, y cambia a seno: cos⁡200°=cos⁡(270°−70°)=−sen⁡70°. \cos200°=\cos(270°-70°)=-\operatorname{sen}70°.

Ejemplo 3. Reducir tan⁡310° \tan310°.

Como 310°=270°+40°310°=270°+40°, está en IV C. La tangente en IV es negativa, y cambia a cotangente: tan⁡310°=tan⁡(270°+40°)=−cot⁡40°. \tan310°=\tan(270°+40°)=-\cot40°.

Ejemplo 4. Reducir csc⁡300° \csc300°.

Como 300°=270°+30°300°=270°+30°, está en IV C. La cosecante en IV es negativa, y cambia a secante: csc⁡300°=csc⁡(270°+30°)=−sec⁡30°=−23. \csc300°=\csc(270°+30°)=-\sec30°=-\frac{2}{\sqrt{3}}.

4.3 ¿Eje X o eje Y? Ambos son válidos

Un mismo ángulo puede reducirse de varias formas. Por ejemplo, cos⁡300° \cos300° se puede ver como: cos⁡300°=cos⁡(360°−60°)=+cos⁡60°=12, \cos300°=\cos(360°-60°)=+\cos60°=\frac{1}{2}, o también como: cos⁡300°=cos⁡(270°+30°)=+sen⁡30°=12. \cos300°=\cos(270°+30°)=+\operatorname{sen}30°=\frac{1}{2}. Ambos procedimientos son correctos.

En general se elige la forma que produzca el ángulo agudo más conveniente. Por ejemplo, para 150°150° es natural usar 180°−30°180°-30°, pero 90°+60°90°+60° también funciona: sen⁡150°=sen⁡(180°−30°)=+sen⁡30°=12, \operatorname{sen}150°=\operatorname{sen}(180°-30°)=+\operatorname{sen}30°=\frac{1}{2}, sen⁡150°=sen⁡(90°+60°)=+cos⁡60°=12. \operatorname{sen}150°=\operatorname{sen}(90°+60°)=+\cos60°=\frac{1}{2}.

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5. Estrategia general para reducir ángulos menores que una vuelta

Para aplicar las reglas en cualquier problema, conviene seguir estos pasos:

  1. Identifica el cuadrante del ángulo original y, con eso, el signo de la razón que vas a reducir.
  2. Expresa el ángulo como 90°±θ90°\pm\theta, 180°±θ180°\pm\theta, 270°±θ270°\pm\theta o 360°−θ360°-\theta, eligiendo θ \theta agudo.
  3. Aplica la regla:
    • Si usaste 180°180° o 360°360°, la razón no cambia;
    • si usaste 90°90° o 270°270°, la razón cambia a su co-razón.
  4. Antepone el signo del paso 1.
  5. Evalúa la razón del ángulo agudo obtenido.

Una observación importante: las fórmulas de reducción son identidades, es decir, formalmente valen para cualquier valor de θ\theta para el cual las razones estén definidas. Sin embargo, la regla práctica de signo supone que θ\theta es agudo, porque así 90°+θ90°+\theta, 180°−θ180°-\theta, etc., quedan ubicados en cuadrantes conocidos. Por eso, al descomponer un ángulo, busca siempre que la parte que acompaña al ángulo cuadrantal sea aguda.

Ejemplo aplicado: Reduce cot⁡250° \cot250°.

  • 250°250° está en III C. La cotangente en III es positiva.
  • Elegimos 250°=270°−20°250°=270°-20°, con θ=20° \theta=20° agudo.
  • Como se usó 270°270°, cambia a co-razón: cot⁡→tan⁡\cot \to \tan.
  • El signo es positivo.
  • Entonces: cot⁡250°=cot⁡(270°−20°)=+tan⁡20°. \cot250°=\cot(270°-20°)=+\tan20°.

Comprobación por ángulo de referencia: 250°250° en III C tiene referencia 70°70°. La cotangente en III es positiva, así que cot⁡250°=+cot⁡70° \cot250°=+\cot70°. Como cot⁡70°=tan⁡20° \cot70°=\tan20°, el resultado coincide.

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6. Razones trigonométricas de ángulos negativos

Aunque este tema se centra en ángulos positivos menores que una vuelta, con frecuencia aparecen ángulos negativos en las expresiones. Las razones de −θ-\theta se obtienen por simetría respecto al eje xx.

Ángulos θ y −θ: simetría respecto al eje x

Para cualquier θ \theta : sen⁡(−θ)=−sen⁡θ,cos⁡(−θ)=cos⁡θ,tan⁡(−θ)=−tan⁡θ, \operatorname{sen}(-\theta)=-\operatorname{sen}\theta,\qquad \cos(-\theta)=\cos\theta,\qquad \tan(-\theta)=-\tan\theta, cot⁡(−θ)=−cot⁡θ,sec⁡(−θ)=sec⁡θ,csc⁡(−θ)=−csc⁡θ. \cot(-\theta)=-\cot\theta,\qquad \sec(-\theta)=\sec\theta,\qquad \csc(-\theta)=-\csc\theta. Así, el coseno y la secante son funciones pares; las demás son impares.

Estas fórmulas permiten reducir expresiones como: sen⁡(−120°)=−sen⁡120°. \operatorname{sen}(-120°)=-\operatorname{sen}120°. Luego se reduce 120°120° normalmente: −sen⁡120°=−sen⁡(180°−60°)=−sen⁡60°=−32. -\operatorname{sen}120°=-\operatorname{sen}(180°-60°)=-\operatorname{sen}60°=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

En el siguiente tema, al descomponer ángulos mayores que una vuelta, también pueden aparecer restos negativos; por eso conviene dominar estas reglas.

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7. Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales

Los ángulos 0°0°, 90°90°, 180°180°, 270°270° y 360°360° son la base de las reglas de reducción. Sus razones se obtienen directamente de los puntos de intersección del lado terminal con la circunferencia unitaria.

R.T.0°90°180°270°360°sen⁡010−10cos⁡10−101tan⁡0no definida0no definida0cot⁡no definida0no definida0no definidasec⁡1no definida−1no definida1csc⁡no definida1no definida−1no definida \begin{array}{c|ccccc} \text{R.T.} & 0° & 90° & 180° & 270° & 360° \\ \hline \operatorname{sen} & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \cos & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \tan & 0 & \text{no definida} & 0 & \text{no definida} & 0 \\ \cot & \text{no definida} & 0 & \text{no definida} & 0 & \text{no definida} \\ \sec & 1 & \text{no definida} & -1 & \text{no definida} & 1 \\ \csc & \text{no definida} & 1 & \text{no definida} & -1 & \text{no definida} \end{array}

No es necesario memorizarlas todas: se deducen pensando en los puntos (1,0)(1,0), (0,1)(0,1), (−1,0)(-1,0), (0,−1)(0,-1) y recordando que no se puede dividir entre cero.

Estas razones aparecen al simplificar expresiones como: sen⁡270°+cos⁡180°=−1+(−1)=−2. \operatorname{sen}270°+\cos180°=-1+(-1)=-2.

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8. Reducción en radianes

En los textos y exámenes se usa con frecuencia el sistema radial. Las mismas reglas se traducen de la siguiente manera: RT⁡(π2±θ)=±co-RT⁡(θ), \operatorname{RT}\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)=\pm\operatorname{co-RT}(\theta), RT⁡(π±θ)=±RT⁡(θ), \operatorname{RT}(\pi\pm\theta)=\pm\operatorname{RT}(\theta), RT⁡(3π2±θ)=±co-RT⁡(θ), \operatorname{RT}\left(\frac{3\pi}{2}\pm\theta\right)=\pm\operatorname{co-RT}(\theta), RT⁡(2π−θ)=±RT⁡(θ), \operatorname{RT}(2\pi-\theta)=\pm\operatorname{RT}(\theta), donde θ \theta se considera agudo.

Ejemplos: sen⁡(π+π6)=−sen⁡π6=−12, \operatorname{sen}\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\operatorname{sen}\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}, porque π+π6=7π6 \pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6} está en III C, donde el seno es negativo, y al usar π \pi la razón se mantiene.

cos⁡(3π2−π3)=−sen⁡π3=−32, \cos\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right) =-\operatorname{sen}\frac{\pi}{3} =-\frac{\sqrt{3}}{2}, porque 3π2−π3=7π6 \frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{6} está en III C, el coseno es negativo y al usar 3π2 \frac{3\pi}{2} cambia a seno.

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9. Aplicación a ángulos de un triángulo

Una de las aplicaciones más importantes de la reducción aparece en los triángulos. Si AA, BB y CC son ángulos internos de un triángulo, entonces: A+B+C=180°. A+B+C=180°. De aquí se obtienen relaciones muy útiles: A+B=180°−C⇒sen⁡(A+B)=sen⁡(180°−C)=+sen⁡C, A+B=180°-C\quad\Rightarrow\quad \operatorname{sen}(A+B)=\operatorname{sen}(180°-C)=+\operatorname{sen}C, A+B=180°−C⇒cos⁡(A+B)=cos⁡(180°−C)=−cos⁡C, A+B=180°-C\quad\Rightarrow\quad \cos(A+B)=\cos(180°-C)=-\cos C, B+C=180°−A⇒tan⁡(B+C)=tan⁡(180°−A)=−tan⁡A. B+C=180°-A\quad\Rightarrow\quad \tan(B+C)=\tan(180°-A)=-\tan A.

Estas simplificaciones son frecuentes en problemas de admisión que combinan triángulos y reducción.

Ejemplo. En un triángulo ABCABC, simplifica: E=sen⁡(A+B)sen⁡C+tan⁡(B+C)tan⁡A. E=\frac{\operatorname{sen}(A+B)}{\operatorname{sen}C}+\frac{\tan(B+C)}{\tan A}. Como A+B=180°−CA+B=180°-C y B+C=180°−AB+C=180°-A: E=sen⁡(180°−C)sen⁡C+tan⁡(180°−A)tan⁡A=sen⁡Csen⁡C+−tan⁡Atan⁡A=1−1=0. E=\frac{\operatorname{sen}(180°-C)}{\operatorname{sen}C}+\frac{\tan(180°-A)}{\tan A} =\frac{\operatorname{sen}C}{\operatorname{sen}C}+\frac{-\tan A}{\tan A} =1-1=0.

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10. Deducción de algunas reglas con ángulos compuestos

Como estudiaron en el tema anterior, las identidades de ángulos compuestos permiten justificar las reglas de reducción. Por ejemplo, sen⁡(180°+θ)=sen⁡180°cos⁡θ+cos⁡180°sen⁡θ=0⋅cos⁡θ+(−1)⋅sen⁡θ=−sen⁡θ. \operatorname{sen}(180°+\theta) =\operatorname{sen}180°\cos\theta+\cos180°\operatorname{sen}\theta =0\cdot\cos\theta+(-1)\cdot\operatorname{sen}\theta =-\operatorname{sen}\theta. Análogamente, cos⁡(90°+θ)=cos⁡90°cos⁡θ−sen⁡90°sen⁡θ=0⋅cos⁡θ−1⋅sen⁡θ=−sen⁡θ. \cos(90°+\theta) =\cos90°\cos\theta-\operatorname{sen}90°\operatorname{sen}\theta =0\cdot\cos\theta-1\cdot\operatorname{sen}\theta =-\operatorname{sen}\theta. Este es el fundamento analítico de las reglas. Sin embargo, en la práctica no se desarrolla la expansión: se aplica directamente la regla rápida.

Cuidado

Errores frecuentes

  1. Olvidar el signo. Escribir sen⁡(180°+θ)=+sen⁡θ \operatorname{sen}(180°+\theta)=+\operatorname{sen}\theta es incorrecto. 180°+θ180°+\theta está en III C, donde el seno es negativo. Lo correcto es sen⁡(180°+θ)=−sen⁡θ. \operatorname{sen}(180°+\theta)=-\operatorname{sen}\theta.

  2. Cambiar la razón cuando se usa 180°180° o 360°360°. Por ejemplo, creer que cos⁡(180°−θ)=−sen⁡θ. \cos(180°-\theta)=-\operatorname{sen}\theta. Eso es falso. Como se usa 180°180°, el coseno conserva su nombre: cos⁡(180°−θ)=−cos⁡θ. \cos(180°-\theta)=-\cos\theta.

  3. No cambiar a co-razón cuando se usa 90°90° o 270°270°. Creer que tan⁡(270°−θ)=+tan⁡θ \tan(270°-\theta)=+\tan\theta es incorrecto. La tangente cambia a cotangente: tan⁡(270°−θ)=+cot⁡θ. \tan(270°-\theta)=+\cot\theta.

  4. Confundir las co-razones. Las parejas son: sen⁡↔cos⁡,tan⁡↔cot⁡,sec⁡↔csc⁡. \operatorname{sen}\leftrightarrow\cos,\qquad \tan\leftrightarrow\cot,\qquad \sec\leftrightarrow\csc. No intercambiar, por ejemplo, seno con cosecante.

  5. Tomar mal el ángulo de referencia. Para un ángulo en III C, la referencia no es 360°−α360°-\alpha, sino α−180° \alpha-180°. Usar mal la referencia produce signos o ángulos equivocados.

  6. Aplicar las reglas a θ\theta no agudo sin cuidado. En la reducción al primer cuadrante se supone θ \theta agudo para asignar el signo. Si θ \theta no es agudo, el ángulo compuesto puede quedar en otro cuadrante y el signo podría variar. Descompón siempre de modo que la parte restante sea aguda.

  7. Creer que 90°−θ90°-\theta tiene signo negativo. Si θ \theta es agudo, 90°−θ90°-\theta está en I C, donde todas las razones son positivas. Por ejemplo, sen⁡(90°−θ)=+cos⁡θ, \operatorname{sen}(90°-\theta)=+\cos\theta, sin signo negativo.

  8. Olvidar que la secante y la cosecante también siguen las reglas de co-razón y signo. Por ejemplo, sec⁡(90°+θ)=−csc⁡θ, \sec(90°+\theta)=-\csc\theta, no +sec⁡θ+\sec\theta.

Aprende resolviendo

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Calcular el valor de E=sen⁡150°+cos⁡240°+tan⁡315°. E=\operatorname{sen}150°+\cos240°+\tan315°.

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Ejemplo 2

Simplificar, para xx agudo, la expresión K=sen⁡(180°−x)⋅sec⁡(90°+x)cot⁡(270°−x)⋅cos⁡(180°+x). K=\frac{\operatorname{sen}(180°-x)\cdot \sec(90°+x)} {\cot(270°-x)\cdot \cos(180°+x)}.

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Ejemplo 3

Si θ \theta es agudo y tan⁡(180°+θ)=2 \tan(180°+\theta)=2 , halle el valor de E=sec⁡(90°+θ)+cot⁡(270°−θ). E=\sec(90°+\theta)+\cot(270°-\theta).

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Ejemplo 4

Si 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2}, simplificar M=sen⁡(3π2−x)⋅cot⁡(π+x)cos⁡(π2−x)⋅tan⁡(2π−x). M=\frac{\operatorname{sen}\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\cdot \cot(\pi+x)} {\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cdot \tan(2\pi-x)}.

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Lo que viene

Hacia el siguiente tema

Ya sabes reducir cualquier ángulo positivo menor que una vuelta al primer cuadrante. En la siguiente sesión abordaremos los ángulos mayores que 360°360° o mayores que 2π2\pi. La idea será descomponerlos como un número entero de vueltas más un residuo, usando que dos ángulos coterminales tienen las mismas razones trigonométricas: RT⁡(360°n+θ)=RT⁡(θ),RT⁡(2πn+θ)=RT⁡(θ). \operatorname{RT}(360°n+\theta)=\operatorname{RT}(\theta),\qquad \operatorname{RT}(2\pi n+\theta)=\operatorname{RT}(\theta). Después de eliminar las vueltas completas, aplicaremos al residuo todas las reglas que has aprendido aquí. Así completaremos el sistema de reducción para cualquier ángulo real.

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