Identidades trigonométricas de ángulos múltiples I: seno y coseno del ángulo doble

Cuando escribimos $\operatorname{sen}2\theta$, nos referimos al seno del ángulo que mide exactamente el doble que $\theta$. Es muy importante no confundir

$$\operatorname{sen}2\theta \quad \text{con} \quad 2\operatorname{sen}\theta.$$

En general, no son iguales. Por ejemplo,

$$\operatorname{sen}60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866,$$

mientras que

$$2\operatorname{sen}30^\circ=2\cdot \frac12=1.$$

Es decir, $\operatorname{sen}60^\circ \neq 2\operatorname{sen}30^\circ$. La relación correcta, como veremos, incluye también al coseno.

Apliquemos la identidad de suma con $x=y=\theta$:

$$\operatorname{sen}(2\theta)=\operatorname{sen}(\theta+\theta) =\operatorname{sen}\theta\cos\theta+\cos\theta\operatorname{sen}\theta.$$

Por lo tanto,

$$\boxed{ \operatorname{sen}2\theta=2\operatorname{sen}\theta\cos\theta }$$

Esta es la identidad más usada del ángulo doble. Nos dice que el seno del doble de un ángulo se puede escribir como el doble producto del seno por el coseno del ángulo original.

Ejemplo numérico

Si $\theta=30^\circ$,

$$\operatorname{sen}60^\circ =2\operatorname{sen}30^\circ\cos30^\circ =2\left(\frac12\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

También se usa al revés:

$$2\operatorname{sen}20^\circ\cos20^\circ=\operatorname{sen}40^\circ.$$

Un caso particular muy frecuente es

$$\operatorname{sen}\theta\cos\theta=\frac12\operatorname{sen}2\theta.$$

Por ejemplo,

$$\operatorname{sen}15^\circ\cos15^\circ =\frac12\operatorname{sen}30^\circ =\frac12\cdot\frac12 =\frac14.$$

Consecuencia importante: $\operatorname{sen}\theta\pm\cos\theta$

Si elevamos al cuadrado la suma o la diferencia de seno y coseno, aparece el seno del ángulo doble:

$$(\operatorname{sen}\theta+\cos\theta)^2 =\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta+2\operatorname{sen}\theta\cos\theta =1+\operatorname{sen}2\theta.$$

Del mismo modo,

$$(\operatorname{sen}\theta-\cos\theta)^2 =1-\operatorname{sen}2\theta.$$

Estas identidades son muy útiles cuando en un problema se conoce $\operatorname{sen}\theta+\cos\theta$ o $\operatorname{sen}\theta-\cos\theta$ y se pide $\operatorname{sen}2\theta$.

Ejemplo breve

Si $\operatorname{sen}\theta+\cos\theta=\frac{6}{5}$, entonces

$$\left(\frac{6}{5}\right)^2=1+\operatorname{sen}2\theta,$$

$$\frac{36}{25}=1+\operatorname{sen}2\theta,$$

$$\operatorname{sen}2\theta=\frac{36}{25}-1=\frac{11}{25}.$$

Aplicamos de nuevo la suma de ángulos:

$$\cos(2\theta)=\cos(\theta+\theta) =\cos\theta\cos\theta-\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\theta.$$

Por lo tanto,

$$\boxed{ \cos2\theta=\cos^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta }$$

Esta es la forma inicial del coseno del ángulo doble. Pero usando $\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1$, se obtienen otras dos versiones equivalentes.

Las tres formas del coseno del ángulo doble

1. Forma en términos de ambos:

$$\cos2\theta=\cos^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta.$$

2. Forma solo con seno:

Como $\cos^2\theta=1-\operatorname{sen}^2\theta$,

$$\cos2\theta =1-\operatorname{sen}^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta =1-2\operatorname{sen}^2\theta.$$

Es decir,

$$\boxed{ \cos2\theta=1-2\operatorname{sen}^2\theta }$$

3. Forma solo con coseno:

Como $\operatorname{sen}^2\theta=1-\cos^2\theta$,

$$\cos2\theta =\cos^2\theta-(1-\cos^2\theta) =2\cos^2\theta-1.$$

Es decir,

$$\boxed{ \cos2\theta=2\cos^2\theta-1 }$$

¿Cuándo usar cada forma?

Conviene elegir la forma según la estructura del problema:

• Si en la expresión aparece $\operatorname{sen}^2\theta$, conviene usar
  $$\cos2\theta=1-2\operatorname{sen}^2\theta.$$
• Si aparece $\cos^2\theta$, conviene usar
  $$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1.$$
• Si aparecen ambos o se busca una factorización, conviene usar
  $$\cos2\theta=\cos^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta.$$

Ejemplos numéricos

Para $\theta=30^\circ$,

$$\cos60^\circ =\cos^2 30^\circ-\operatorname{sen}^2 30^\circ =\frac34-\frac14 =\frac12.$$

También,

$$\cos60^\circ =1-2\operatorname{sen}^2 30^\circ =1-2\left(\frac14\right) =\frac12.$$

Y como ejemplo de factorización,

$$\cos4x=\cos^2 2x-\operatorname{sen}^2 2x.$$

Consecuencia adicional

De la forma $\cos2\theta=\cos^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta$ se deduce:

$$\operatorname{sen}^2\theta-\cos^2\theta=-\cos2\theta.$$

Además, como $\cos^4\theta-\operatorname{sen}^4\theta$ es una diferencia de cuadrados,

$$\cos^4\theta-\operatorname{sen}^4\theta =(\cos^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta)(\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta) =\cos2\theta.$$

Las fórmulas del coseno del ángulo doble permiten “bajar el grado” de $\operatorname{sen}^2\theta$ y $\cos^2\theta$.

De

$$\cos2\theta=1-2\operatorname{sen}^2\theta,$$

despejamos $2\operatorname{sen}^2\theta$:

$$2\operatorname{sen}^2\theta=1-\cos2\theta.$$

Por lo tanto,

$$\boxed{ \operatorname{sen}^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2} }$$

De

$$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1,$$

despejamos $2\cos^2\theta$:

$$2\cos^2\theta=1+\cos2\theta.$$

Por lo tanto,

$$\boxed{ \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2} }$$

Estas se llaman identidades de degradación porque convierten un cuadrado de una razón trigonométrica en una expresión sin exponente, pero con el doble del ángulo.

Ejemplos

Para $\theta=15^\circ$:

$$\operatorname{sen}^2 15^\circ =\frac{1-\cos30^\circ}{2} =\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} =\frac{2-\sqrt{3}}{4}.$$

$$\cos^2 15^\circ =\frac{1+\cos30^\circ}{2} =\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} =\frac{2+\sqrt{3}}{4}.$$

También se usan en sentido inverso:

$$1+\cos6x=2\cos^2 3x,$$

$$1-\cos40^\circ=2\operatorname{sen}^2 20^\circ.$$

Observación sobre los signos

En las identidades de degradación no aparece un símbolo $\pm$ al despejar $\operatorname{sen}^2\theta$ ni $\cos^2\theta$, porque los cuadrados siempre son no negativos. El signo aparecerá recién cuando se estudie el ángulo mitad, al tomar raíz cuadrada para despejar $\operatorname{sen}(\theta/2)$ o $\cos(\theta/2)$.

Partimos de la identidad de tangente de suma:

$$\tan(2\theta)=\tan(\theta+\theta) =\frac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan\theta\tan\theta}.$$

Por lo tanto,

$$\boxed{ \tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} }$$

Condiciones de existencia

La fórmula exige que $\tan\theta$ exista, es decir, $\cos\theta\neq0$, y que el denominador no sea cero:

$$1-\tan^2\theta\neq0.$$

Cuando $1-\tan^2\theta=0$, es decir $\tan\theta=\pm1$, el ángulo doble es $90^\circ$ o un ángulo cuya tangente no está definida.

Ejemplo numérico

Para $\theta=30^\circ$,

$$\tan60^\circ =\frac{2\tan30^\circ}{1-\tan^2 30^\circ} =\frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1-\frac13} =\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac23} =\frac{3}{\sqrt{3}} =\sqrt{3}.$$

Si $\tan\theta=2$,

$$\tan2\theta =\frac{2(2)}{1-2^2} =\frac{4}{-3} =-\frac43.$$

En muchos problemas solo se conoce $\tan\theta$, y se piden $\operatorname{sen}2\theta$ o $\cos2\theta$. Podemos deducir fórmulas directas.

Sabemos que $\operatorname{sen}2\theta=2\operatorname{sen}\theta\cos\theta$. Dividamos numerador y denominador entre $\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1$:

$$\operatorname{sen}2\theta =\frac{2\operatorname{sen}\theta\cos\theta} {\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta}.$$

Dividiendo numerador y denominador entre $\cos^2\theta$, asumiendo $\cos\theta\neq0$:

$$\operatorname{sen}2\theta =\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}.$$

De manera análoga, de $\cos2\theta=\cos^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta$,

$$\cos2\theta =\frac{\cos^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta} {\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta} =\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}.$$

Por lo tanto,

$$\boxed{ \operatorname{sen}2\theta=\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} }$$

$$\boxed{ \cos2\theta=\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta} }$$

Estas fórmulas son muy convenientes porque evitan hallar $\operatorname{sen}\theta$ y $\cos\theta$ por separado.

Ejemplo numérico

Si $\tan\theta=\frac{5}{2}$,

$$\operatorname{sen}2\theta =\frac{2\left(\frac{5}{2}\right)}{1+\left(\frac{5}{2}\right)^2} =\frac{5}{1+\frac{25}{4}} =\frac{5}{\frac{29}{4}} =\frac{20}{29}.$$

$$\cos2\theta =\frac{1-\frac{25}{4}}{1+\frac{25}{4}} =\frac{-\frac{21}{4}}{\frac{29}{4}} =-\frac{21}{29}.$$

Si hacemos $t=\tan\theta$, entonces las razones de $2\theta$ pueden representarse con un triángulo rectángulo auxiliar.

De este triángulo se deducen:

$$\operatorname{sen}2\theta=\frac{2t}{1+t^2},$$

$$\cos2\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2},$$

$$\tan2\theta=\frac{2t}{1-t^2}.$$

Hay que tener cuidado: cuando $t^2>1$, el valor $1-t^2$ es negativo; geométricamente eso solo significa que $2\theta$ está en un cuadrante donde el coseno es negativo. El triángulo no determina por sí solo el signo; el signo lo determina el cuadrante.

A partir del seno y coseno del ángulo doble se obtienen otras identidades muy recurrentes en los exámenes.

$\cot\theta+\tan\theta$

$$\cot\theta+\tan\theta =\frac{\cos\theta}{\operatorname{sen}\theta}+\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta} =\frac{\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta}{\operatorname{sen}\theta\cos\theta} =\frac{1}{\operatorname{sen}\theta\cos\theta}.$$

Como $\operatorname{sen}\theta\cos\theta=\frac12\operatorname{sen}2\theta$,

$$\cot\theta+\tan\theta =\frac{1}{\frac12\operatorname{sen}2\theta} =\frac{2}{\operatorname{sen}2\theta}.$$

Por lo tanto,

$$\boxed{ \cot\theta+\tan\theta=2\csc2\theta }$$

$\cot\theta-\tan\theta$

$$\cot\theta-\tan\theta =\frac{\cos\theta}{\operatorname{sen}\theta}-\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta} =\frac{\cos^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta}{\operatorname{sen}\theta\cos\theta} =\frac{\cos2\theta}{\frac12\operatorname{sen}2\theta} =2\cot2\theta.$$

Por lo tanto,

$$\boxed{ \cot\theta-\tan\theta=2\cot2\theta }$$

Estas dos identidades aparecen con mucha frecuencia en problemas de simplificación.

Ejemplo breve

$$\cot15^\circ+\tan15^\circ =2\csc30^\circ =2\cdot2 =4.$$

$$\cot15^\circ-\tan15^\circ =2\cot30^\circ =2\sqrt{3}.$$

Otras identidades auxiliares

También pueden ser útiles:

$$\sec2\theta+1=\frac{\tan2\theta}{\tan\theta},$$

$$\sec2\theta-1=\tan2\theta\cdot\tan\theta.$$

Para deducirlas basta usar las formas en términos de tangente:

$$\sec2\theta=\frac{1}{\cos2\theta} =\frac{1+\tan^2\theta}{1-\tan^2\theta}.$$

Entonces,

$$\sec2\theta+1 =\frac{1+\tan^2\theta+1-\tan^2\theta}{1-\tan^2\theta} =\frac{2}{1-\tan^2\theta} =\frac{\tan2\theta}{\tan\theta}.$$

De forma similar se obtiene $\sec2\theta-1=\tan2\theta\tan\theta$.

Las identidades de degradación pueden aplicarse varias veces seguidas. Esto permite transformar potencias como $\operatorname{sen}^4x$, $\cos^4x$, $\operatorname{sen}^6x$, etc., en expresiones con ángulos múltiples.

Ejemplo: $\operatorname{sen}^4x$

Usamos $\operatorname{sen}^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$:

$$\operatorname{sen}^4x =(\operatorname{sen}^2x)^2 =\left(\frac{1-\cos2x}{2}\right)^2 =\frac{1-2\cos2x+\cos^2 2x}{4}.$$

Ahora degradamos $\cos^2 2x$:

$$\cos^2 2x=\frac{1+\cos4x}{2}.$$

Entonces,

$$\operatorname{sen}^4x =\frac{1-2\cos2x+\frac{1+\cos4x}{2}}{4} =\frac{3-4\cos2x+\cos4x}{8}.$$

Multiplicando por $8$,

$$8\operatorname{sen}^4x=3-4\cos2x+\cos4x.$$

De manera análoga,

$$8\cos^4x=3+4\cos2x+\cos4x.$$

Sumas notables

De las identidades anteriores se obtienen resultados útiles:

$$\operatorname{sen}^4x+\cos^4x =\frac{3+\cos4x}{4}.$$

Además,

$$\operatorname{sen}^6x+\cos^6x =\frac{5+3\cos4x}{8}.$$

Estos resultados se deducen de la suma de cubos:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),$$

con $a=\operatorname{sen}^2x$ y $b=\cos^2x$, o bien degradando repetidamente.

Estas formas son útiles cuando se pide simplificar expresiones con potencias pares altas o cuando se busca la extensión de una función trigonométrica.

A continuación, un método de trabajo útil cuando un ejercicio mezcla ángulos dobles.

1. Detectar productos $\operatorname{sen}x\cos x$
   Usa $2\operatorname{sen}x\cos x=\operatorname{sen}2x$.

2. Detectar $1+\cos x$ y $1-\cos x$
   Usa degradación: $$1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2},\qquad 1-\cos x=2\operatorname{sen}^2\frac{x}{2}.$$ En esta primera parte, con $x$ representando el ángulo doble.

3. Si aparece $\cos2x$ y un solo cuadrado
   Despeja el cuadrado con las formas $1-2\operatorname{sen}^2x$ o $2\cos^2x-1$.

4. Si solo se conoce $\tan x$
   Usa las fórmulas racionales de $\operatorname{sen}2x$, $\cos2x$ y $\tan2x$.

5. Si aparece $\cot x\pm\tan x$
   Recuerda que se transforman en cosecante o cotangente del ángulo doble.

6. En problemas geométricos
   Cuando un ángulo sea el doble de otro, nombra al menor $\theta$, identifica triángulos rectángulos y plantea $\tan\theta$ y $\tan2\theta$. Luego aplica la fórmula de la tangente del ángulo doble.

Cuando escribimos $\operatorname{sen}2\theta$, nos referimos al seno del ángulo que mide exactamente el doble que $\theta$. Es muy importante no confundir

$$\operatorname{sen}2\theta \quad \text{con} \quad 2\operatorname{sen}\theta.$$

En general, no son iguales. Por ejemplo,

$$\operatorname{sen}60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866,$$

mientras que

$$2\operatorname{sen}30^\circ=2\cdot \frac12=1.$$

Es decir, $\operatorname{sen}60^\circ \neq 2\operatorname{sen}30^\circ$. La relación correcta, como veremos, incluye también al coseno.

Apliquemos la identidad de suma con $x=y=\theta$:

$$\operatorname{sen}(2\theta)=\operatorname{sen}(\theta+\theta) =\operatorname{sen}\theta\cos\theta+\cos\theta\operatorname{sen}\theta.$$

Por lo tanto,

$$\boxed{ \operatorname{sen}2\theta=2\operatorname{sen}\theta\cos\theta }$$

Esta es la identidad más usada del ángulo doble. Nos dice que el seno del doble de un ángulo se puede escribir como el doble producto del seno por el coseno del ángulo original.

Ejemplo numérico

Si $\theta=30^\circ$,

$$\operatorname{sen}60^\circ =2\operatorname{sen}30^\circ\cos30^\circ =2\left(\frac12\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

También se usa al revés:

$$2\operatorname{sen}20^\circ\cos20^\circ=\operatorname{sen}40^\circ.$$

Un caso particular muy frecuente es

$$\operatorname{sen}\theta\cos\theta=\frac12\operatorname{sen}2\theta.$$

Por ejemplo,

$$\operatorname{sen}15^\circ\cos15^\circ =\frac12\operatorname{sen}30^\circ =\frac12\cdot\frac12 =\frac14.$$

Consecuencia importante: $\operatorname{sen}\theta\pm\cos\theta$

Si elevamos al cuadrado la suma o la diferencia de seno y coseno, aparece el seno del ángulo doble:

$$(\operatorname{sen}\theta+\cos\theta)^2 =\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta+2\operatorname{sen}\theta\cos\theta =1+\operatorname{sen}2\theta.$$

Del mismo modo,

$$(\operatorname{sen}\theta-\cos\theta)^2 =1-\operatorname{sen}2\theta.$$

Estas identidades son muy útiles cuando en un problema se conoce $\operatorname{sen}\theta+\cos\theta$ o $\operatorname{sen}\theta-\cos\theta$ y se pide $\operatorname{sen}2\theta$.

Ejemplo breve

Si $\operatorname{sen}\theta+\cos\theta=\frac{6}{5}$, entonces

$$\left(\frac{6}{5}\right)^2=1+\operatorname{sen}2\theta,$$

$$\frac{36}{25}=1+\operatorname{sen}2\theta,$$

$$\operatorname{sen}2\theta=\frac{36}{25}-1=\frac{11}{25}.$$

Aplicamos de nuevo la suma de ángulos:

$$\cos(2\theta)=\cos(\theta+\theta) =\cos\theta\cos\theta-\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\theta.$$

Por lo tanto,

$$\boxed{ \cos2\theta=\cos^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta }$$

Esta es la forma inicial del coseno del ángulo doble. Pero usando $\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1$, se obtienen otras dos versiones equivalentes.

Las tres formas del coseno del ángulo doble

1. Forma en términos de ambos:

$$\cos2\theta=\cos^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta.$$

2. Forma solo con seno:

Como $\cos^2\theta=1-\operatorname{sen}^2\theta$,

$$\cos2\theta =1-\operatorname{sen}^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta =1-2\operatorname{sen}^2\theta.$$

Es decir,

$$\boxed{ \cos2\theta=1-2\operatorname{sen}^2\theta }$$

3. Forma solo con coseno:

Como $\operatorname{sen}^2\theta=1-\cos^2\theta$,

$$\cos2\theta =\cos^2\theta-(1-\cos^2\theta) =2\cos^2\theta-1.$$

Es decir,

$$\boxed{ \cos2\theta=2\cos^2\theta-1 }$$

¿Cuándo usar cada forma?

Conviene elegir la forma según la estructura del problema:

• Si en la expresión aparece $\operatorname{sen}^2\theta$, conviene usar
  $$\cos2\theta=1-2\operatorname{sen}^2\theta.$$
• Si aparece $\cos^2\theta$, conviene usar
  $$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1.$$
• Si aparecen ambos o se busca una factorización, conviene usar
  $$\cos2\theta=\cos^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta.$$

Ejemplos numéricos

Para $\theta=30^\circ$,

$$\cos60^\circ =\cos^2 30^\circ-\operatorname{sen}^2 30^\circ =\frac34-\frac14 =\frac12.$$

También,

$$\cos60^\circ =1-2\operatorname{sen}^2 30^\circ =1-2\left(\frac14\right) =\frac12.$$

Y como ejemplo de factorización,

$$\cos4x=\cos^2 2x-\operatorname{sen}^2 2x.$$

Consecuencia adicional

De la forma $\cos2\theta=\cos^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta$ se deduce:

$$\operatorname{sen}^2\theta-\cos^2\theta=-\cos2\theta.$$

Además, como $\cos^4\theta-\operatorname{sen}^4\theta$ es una diferencia de cuadrados,

$$\cos^4\theta-\operatorname{sen}^4\theta =(\cos^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta)(\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta) =\cos2\theta.$$

Las fórmulas del coseno del ángulo doble permiten “bajar el grado” de $\operatorname{sen}^2\theta$ y $\cos^2\theta$.

De

$$\cos2\theta=1-2\operatorname{sen}^2\theta,$$

despejamos $2\operatorname{sen}^2\theta$:

$$2\operatorname{sen}^2\theta=1-\cos2\theta.$$

Por lo tanto,

$$\boxed{ \operatorname{sen}^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2} }$$

De

$$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1,$$

despejamos $2\cos^2\theta$:

$$2\cos^2\theta=1+\cos2\theta.$$

Por lo tanto,

$$\boxed{ \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2} }$$

Estas se llaman identidades de degradación porque convierten un cuadrado de una razón trigonométrica en una expresión sin exponente, pero con el doble del ángulo.

Ejemplos

Para $\theta=15^\circ$:

$$\operatorname{sen}^2 15^\circ =\frac{1-\cos30^\circ}{2} =\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} =\frac{2-\sqrt{3}}{4}.$$

$$\cos^2 15^\circ =\frac{1+\cos30^\circ}{2} =\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} =\frac{2+\sqrt{3}}{4}.$$

También se usan en sentido inverso:

$$1+\cos6x=2\cos^2 3x,$$

$$1-\cos40^\circ=2\operatorname{sen}^2 20^\circ.$$

Observación sobre los signos

En las identidades de degradación no aparece un símbolo $\pm$ al despejar $\operatorname{sen}^2\theta$ ni $\cos^2\theta$, porque los cuadrados siempre son no negativos. El signo aparecerá recién cuando se estudie el ángulo mitad, al tomar raíz cuadrada para despejar $\operatorname{sen}(\theta/2)$ o $\cos(\theta/2)$.

Partimos de la identidad de tangente de suma:

$$\tan(2\theta)=\tan(\theta+\theta) =\frac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan\theta\tan\theta}.$$

Por lo tanto,

$$\boxed{ \tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} }$$

Condiciones de existencia

La fórmula exige que $\tan\theta$ exista, es decir, $\cos\theta\neq0$, y que el denominador no sea cero:

$$1-\tan^2\theta\neq0.$$

Cuando $1-\tan^2\theta=0$, es decir $\tan\theta=\pm1$, el ángulo doble es $90^\circ$ o un ángulo cuya tangente no está definida.

Ejemplo numérico

Para $\theta=30^\circ$,

$$\tan60^\circ =\frac{2\tan30^\circ}{1-\tan^2 30^\circ} =\frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1-\frac13} =\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac23} =\frac{3}{\sqrt{3}} =\sqrt{3}.$$

Si $\tan\theta=2$,

$$\tan2\theta =\frac{2(2)}{1-2^2} =\frac{4}{-3} =-\frac43.$$

En muchos problemas solo se conoce $\tan\theta$, y se piden $\operatorname{sen}2\theta$ o $\cos2\theta$. Podemos deducir fórmulas directas.

Sabemos que $\operatorname{sen}2\theta=2\operatorname{sen}\theta\cos\theta$. Dividamos numerador y denominador entre $\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1$:

$$\operatorname{sen}2\theta =\frac{2\operatorname{sen}\theta\cos\theta} {\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta}.$$

Dividiendo numerador y denominador entre $\cos^2\theta$, asumiendo $\cos\theta\neq0$:

$$\operatorname{sen}2\theta =\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}.$$

De manera análoga, de $\cos2\theta=\cos^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta$,

$$\cos2\theta =\frac{\cos^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta} {\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta} =\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}.$$

Por lo tanto,

$$\boxed{ \operatorname{sen}2\theta=\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} }$$

$$\boxed{ \cos2\theta=\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta} }$$

Estas fórmulas son muy convenientes porque evitan hallar $\operatorname{sen}\theta$ y $\cos\theta$ por separado.

Ejemplo numérico

Si $\tan\theta=\frac{5}{2}$,

$$\operatorname{sen}2\theta =\frac{2\left(\frac{5}{2}\right)}{1+\left(\frac{5}{2}\right)^2} =\frac{5}{1+\frac{25}{4}} =\frac{5}{\frac{29}{4}} =\frac{20}{29}.$$

$$\cos2\theta =\frac{1-\frac{25}{4}}{1+\frac{25}{4}} =\frac{-\frac{21}{4}}{\frac{29}{4}} =-\frac{21}{29}.$$

Si hacemos $t=\tan\theta$, entonces las razones de $2\theta$ pueden representarse con un triángulo rectángulo auxiliar.

De este triángulo se deducen:

$$\operatorname{sen}2\theta=\frac{2t}{1+t^2},$$

$$\cos2\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2},$$

$$\tan2\theta=\frac{2t}{1-t^2}.$$

Hay que tener cuidado: cuando $t^2>1$, el valor $1-t^2$ es negativo; geométricamente eso solo significa que $2\theta$ está en un cuadrante donde el coseno es negativo. El triángulo no determina por sí solo el signo; el signo lo determina el cuadrante.

A partir del seno y coseno del ángulo doble se obtienen otras identidades muy recurrentes en los exámenes.

$\cot\theta+\tan\theta$

$$\cot\theta+\tan\theta =\frac{\cos\theta}{\operatorname{sen}\theta}+\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta} =\frac{\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta}{\operatorname{sen}\theta\cos\theta} =\frac{1}{\operatorname{sen}\theta\cos\theta}.$$