Identidades trigonométricas de ángulos compuestos I

Antes de definir las fórmulas correctas, conviene que descartes el error más común: suponer que las funciones trigonométricas se distribuyen sobre la suma.

Veamos un ejemplo concreto:

$$\sen(30^\circ+60^\circ)=\sen90^\circ=1.$$

Pero si sumamos separadamente las razones:

$$\sen30^\circ+\sen60^\circ=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\approx 1.366.$$

Los resultados son distintos:

$$\sen(30^\circ+60^\circ)\neq \sen30^\circ+\sen60^\circ.$$

Lo mismo ocurre con el coseno, la tangente y las demás razones. Por eso necesitamos identidades que sí expresen correctamente $\sen(x+y)$, $\cos(x+y)$, etc.

Las funciones trigonométricas no son lineales: la razón de una suma no es la suma de las razones.

Deducción del coseno de una diferencia

Podemos justificar las fórmulas a partir de la circunferencia unitaria.

Sean $P$ y $Q$ dos puntos sobre la circunferencia unitaria determinados por los ángulos $x$ y $y$, respectivamente. Sus coordenadas son:

$$P=(\cos x,\sen x),\qquad Q=(\cos y,\sen y).$$

La distancia $PQ$ se puede calcular de dos formas.

Primera forma: usando coordenadas.

$$PQ^2=(\cos x-\cos y)^2+(\sen x-\sen y)^2.$$

Desarrollamos:

$$PQ^2=\cos^2x-2\cos x\cos y+\cos^2y+\sen^2x-2\sen x\sen y+\sen^2y.$$

Como $\cos^2x+\sen^2x=1$ y $\cos^2y+\sen^2y=1$,

$$PQ^2=2-2(\cos x\cos y+\sen x\sen y).$$

Segunda forma: usando el ángulo central $x-y$. La cuerda $PQ$ subtiende un ángulo central $x-y$. En una circunferencia unitaria, la distancia desde el punto determinado por un ángulo $\theta$ hasta el punto $(1,0)$ está dada por:

$$\text{cuerda}^2=2-2\cos\theta.$$

Por lo tanto, para $\theta=x-y$:

$$PQ^2=2-2\cos(x-y).$$

Igualando las dos expresiones de $PQ^2$:

$$2-2\cos(x-y)=2-2(\cos x\cos y+\sen x\sen y).$$

Simplificando:

$$\boxed{\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sen x\sen y}.$$

Esta es la identidad del coseno de una diferencia.

Deducción del coseno de una suma

Para obtener $\cos(x+y)$, basta reemplazar $y$ por $-y$ en la fórmula anterior:

$$\cos(x+y)=\cos(x-(-y)).$$

Usamos:

$$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sen x\sen y.$$

Reemplazando $y$ por $-y$:

$$\cos(x+y)=\cos x\cos(-y)+\sen x\sen(-y).$$

Sabemos que el coseno es una función par y el seno es una función impar:

$$\cos(-y)=\cos y,\qquad \sen(-y)=-\sen y.$$

Por lo tanto:

$$\boxed{\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sen x\sen y}.$$

Deducción del seno de una suma y una diferencia

Para el seno usamos la relación de complemento:

$$\sen\theta=\cos(90^\circ-\theta).$$

Entonces:

$$\sen(x+y)=\cos(90^\circ-(x+y)).$$

Reescribimos:

$$90^\circ-(x+y)=(90^\circ-x)-y.$$

Aplicamos el coseno de una diferencia:

$$\cos((90^\circ-x)-y)=\cos(90^\circ-x)\cos y+\sen(90^\circ-x)\sen y.$$

Pero:

$$\cos(90^\circ-x)=\sen x,\qquad \sen(90^\circ-x)=\cos x.$$

Por lo tanto:

$$\boxed{\sen(x+y)=\sen x\cos y+\cos x\sen y}.$$

Para la diferencia se reemplaza $y$ por $-y$:

$$\sen(x-y)=\sen x\cos(-y)+\cos x\sen(-y).$$

Es decir:

$$\boxed{\sen(x-y)=\sen x\cos y-\cos x\sen y}.$$

Las cuatro fórmulas fundamentales de este tema son:

$$\boxed{ \begin{aligned} \sen(x+y)&=\sen x\cos y+\cos x\sen y,\\[2mm] \sen(x-y)&=\sen x\cos y-\cos x\sen y,\\[2mm] \cos(x+y)&=\cos x\cos y-\sen x\sen y,\\[2mm] \cos(x-y)&=\cos x\cos y+\sen x\sen y. \end{aligned} }$$

¿Cómo recordarlas?

Observa dos reglas sencillas:

1. Para el seno:
   La fórmula lleva "seno por coseno, coseno por seno".
   El signo de la fórmula es el mismo signo del ángulo compuesto.

$$\sen(x+y)=\sen x\cos y+\cos x\sen y,$$

$$\sen(x-y)=\sen x\cos y-\cos x\sen y.$$

2. Para el coseno:
   La fórmula lleva "coseno por coseno, seno por seno".
   El signo de la fórmula es el contrario al signo del ángulo compuesto.

$$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sen x\sen y,$$

$$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sen x\sen y.$$

Ejemplos inmediatos

Si queremos calcular $\sen(20^\circ+y)$:

$$\sen(20^\circ+y)=\sen20^\circ\cos y+\cos20^\circ\sen y.$$

Si queremos calcular $\cos(3a+2b)$:

$$\cos(3a+2b)=\cos3a\cos2b-\sen3a\sen2b.$$

Si tenemos:

$$\sen26^\circ\cos14^\circ-\cos26^\circ\sen14^\circ,$$

reconocemos la forma de $\sen(x-y)$ con $x=26^\circ$ y $y=14^\circ$:

$$\sen26^\circ\cos14^\circ-\cos26^\circ\sen14^\circ=\sen(26^\circ-14^\circ)=\sen12^\circ.$$

Tan importante como aplicar las fórmulas de izquierda a derecha es saber leerlas de derecha a izquierda.

Forma típica para el seno

Una expresión de la forma:

$$\sen A\cos B+\cos A\sen B$$

se reduce a:

$$\sen(A+B).$$

Ejemplo:

$$\sen40^\circ\cos20^\circ+\cos40^\circ\sen20^\circ=\sen60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.$$

De manera similar:

$$\sen A\cos B-\cos A\sen B=\sen(A-B).$$

Ejemplo:

$$\sen50^\circ\cos10^\circ-\cos50^\circ\sen10^\circ=\sen40^\circ.$$

Forma típica para el coseno

Una expresión de la forma:

$$\cos A\cos B+\sen A\sen B$$

se reduce a:

$$\cos(A-B).$$

Ejemplo:

$$\cos70^\circ\cos20^\circ+\sen70^\circ\sen20^\circ=\cos50^\circ.$$

Y:

$$\cos A\cos B-\sen A\sen B=\cos(A+B).$$

Ejemplo:

$$\cos80^\circ\cos35^\circ-\sen80^\circ\sen35^\circ=\cos115^\circ.$$

Regla práctica

Cuando veas una suma o resta de productos:

• Seno: los términos mezclan seno y coseno.
• Coseno: los términos juntan coseno con coseno y seno con seno.

Eso te indica rápidamente si la expresión corresponde a un seno o a un coseno compuesto.

Una de las aplicaciones más directas es calcular razones exactas de ángulos como $15^\circ$, $75^\circ$, $8^\circ$, $16^\circ$, $74^\circ$ u $82^\circ$.

Ángulos $15^\circ$ y $75^\circ$

Usamos:

$$15^\circ=45^\circ-30^\circ,\qquad 75^\circ=45^\circ+30^\circ.$$

Así:

$$\sen75^\circ=\sen(45^\circ+30^\circ) =\sen45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sen30^\circ.$$

$$\sen75^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

Del mismo modo:

$$\cos75^\circ=\cos(45^\circ+30^\circ) =\cos45^\circ\cos30^\circ-\sen45^\circ\sen30^\circ.$$

$$\cos75^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$

Para $15^\circ$ resulta:

$$\sen15^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4},\qquad \cos15^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

Ángulos $8^\circ$, $16^\circ$, $74^\circ$ y $82^\circ$

En muchos problemas se usan los triángulos rectángulos aproximados de $37^\circ$ y $53^\circ$. A partir de ellos se pueden obtener:

$$82^\circ=45^\circ+37^\circ.$$

Por ejemplo:

$$\sen82^\circ=\sen(45^\circ+37^\circ) =\sen45^\circ\cos37^\circ+\cos45^\circ\sen37^\circ.$$

Con:

$$\sen37^\circ=\frac35,\qquad \cos37^\circ=\frac45,$$

se tiene:

$$\sen82^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac45+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac35 =\frac{7\sqrt2}{10}.$$

También:

$$8^\circ=45^\circ-37^\circ,$$

$$16^\circ=53^\circ-37^\circ.$$

Así se obtienen las razones más usadas:

Estos valores aparecen con regularidad cuando se trabaja con ángulos compuestos y conviene manejarlos con soltura.

Aunque las identidades principales de esta parte son las de seno y coseno, la tangente de un ángulo compuesto se deduce directamente de ellas.

Como:

$$\tan(x+y)=\frac{\sen(x+y)}{\cos(x+y)},$$

reemplazamos:

$$\tan(x+y)=\frac{\sen x\cos y+\cos x\sen y}{\cos x\cos y-\sen x\sen y}.$$

Si dividimos numerador y denominador entre $\cos x\cos y$, asumiendo que $\cos x\neq 0$ y $\cos y\neq 0$, se obtiene:

$$\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}.$$

De manera análoga:

$$\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}.$$

Condiciones

Estas fórmulas son válidas cuando las tangentes involucradas están definidas y, además, los denominadores no se anulan:

$$1-\tan x\tan y\neq 0$$

para la suma, y

$$1+\tan x\tan y\neq 0$$

para la diferencia.

Ejemplo inmediato

Para calcular $\tan(45^\circ+x)$:

$$\tan(45^\circ+x)=\frac{\tan45^\circ+\tan x}{1-\tan45^\circ\tan x}.$$

Como $\tan45^\circ=1$:

$$\tan(45^\circ+x)=\frac{1+\tan x}{1-\tan x}.$$

De las cuatro identidades básicas se desprenden varias propiedades que también se evalúan en los exámenes.

1. Expresiones cocientes para seno y coseno

Dividiendo las fórmulas entre productos de senos o cosenos se obtienen propiedades útiles para simplificar.

De:

$$\sen(a+b)=\sen a\cos b+\cos a\sen b$$

dividiendo entre $\cos a\cos b$:

$$\frac{\sen(a+b)}{\cos a\cos b} =\frac{\sen a\cos b}{\cos a\cos b} +\frac{\cos a\sen b}{\cos a\cos b} =\tan a+\tan b.$$

Es decir:

$$\boxed{\frac{\sen(a+b)}{\cos a\cos b}=\tan a+\tan b}.$$

De la misma manera:

$$\boxed{\frac{\sen(a-b)}{\cos a\cos b}=\tan a-\tan b}.$$

También se obtienen:

$$\frac{\cos(a+b)}{\cos a\cos b}=1-\tan a\tan b,$$

$$\frac{\cos(a-b)}{\cos a\cos b}=1+\tan a\tan b.$$

2. Producto de senos o cosenos de ángulos compuestos

Multiplicando miembro a miembro las fórmulas de suma y diferencia se deducen estas identidades:

$$\boxed{\sen(A+B)\sen(A-B)=\sen^2A-\sen^2B},$$

$$\boxed{\cos(A+B)\cos(A-B)=\cos^2A-\sen^2B}.$$

Estas propiedades son útiles para transformar productos en diferencias de cuadrados.

3. Suma y diferencia de senos y cosenos

Si sumamos o restamos las fórmulas de ángulos compuestos, se obtienen transformaciones de suma a producto:

$$\sen(x+y)+\sen(x-y)=2\sen x\cos y,$$

$$\sen(x+y)-\sen(x-y)=2\cos x\sen y,$$

$$\cos(x+y)+\cos(x-y)=2\cos x\cos y,$$

$$\cos(x+y)-\cos(x-y)=-2\sen x\sen y.$$

Estas identidades son especialmente útiles cuando se quiere simplificar una suma de senos o cosenos con ángulos relacionados.

Ejemplo breve

Para simplificar:

$$\sen50^\circ+\sen10^\circ,$$

hacemos:

$$x+y=50^\circ,\qquad x-y=10^\circ.$$

Sumando las ecuaciones:

$$2x=60^\circ\Rightarrow x=30^\circ,$$

y restando:

$$2y=40^\circ\Rightarrow y=20^\circ.$$

Entonces:

$$\sen50^\circ+\sen10^\circ =2\sen30^\circ\cos20^\circ =2\cdot\frac12\cos20^\circ =\cos20^\circ.$$

Cuando enfrentes un problema de ángulos compuestos, puedes seguir este orden de trabajo.

Paso 1: detecta la estructura

Pregúntate si la expresión se parece a:

$$\sen A\cos B\pm \cos A\sen B$$

o a:

$$\cos A\cos B\mp \sen A\sen B.$$

Si es así, conviértela en un solo seno o coseno.

Paso 2: si es un ángulo no notable, descomponlo

Ángulos como $75^\circ$, $15^\circ$, $82^\circ$, etc., se expresan como suma o diferencia de ángulos notables.

Ejemplos:

$$75^\circ=45^\circ+30^\circ,$$

$$15^\circ=45^\circ-30^\circ,$$

$$82^\circ=45^\circ+37^\circ,$$

$$16^\circ=53^\circ-37^\circ.$$

Luego aplica las fórmulas.

Paso 3: completa razones faltantes

Si te dan $\sen\alpha$ o $\cos\beta$ y necesitas otras razones, usa:

$$\sen^2\theta+\cos^2\theta=1.$$

No olvides el signo según el cuadrante.

Paso 4: en figuras geométricas, expresa el ángulo pedido

Muchos problemas de admisión muestran figuras en las que el ángulo buscado es suma o diferencia de otros.

En triángulos rectángulos se suele hacer:

$$\alpha=\beta+\theta$$

o bien:

$$\alpha=\beta-\theta.$$

A partir de los lados se calculan:

$$\tan\beta,\qquad \tan\theta$$

y luego se usa la fórmula adecuada.

Antes de definir las fórmulas correctas, conviene que descartes el error más común: suponer que las funciones trigonométricas se distribuyen sobre la suma.

Veamos un ejemplo concreto:

$$\sen(30^\circ+60^\circ)=\sen90^\circ=1.$$

Pero si sumamos separadamente las razones:

$$\sen30^\circ+\sen60^\circ=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\approx 1.366.$$

Los resultados son distintos:

$$\sen(30^\circ+60^\circ)\neq \sen30^\circ+\sen60^\circ.$$

Lo mismo ocurre con el coseno, la tangente y las demás razones. Por eso necesitamos identidades que sí expresen correctamente $\sen(x+y)$, $\cos(x+y)$, etc.

Las funciones trigonométricas no son lineales: la razón de una suma no es la suma de las razones.

Deducción del coseno de una diferencia

Podemos justificar las fórmulas a partir de la circunferencia unitaria.

Sean $P$ y $Q$ dos puntos sobre la circunferencia unitaria determinados por los ángulos $x$ y $y$, respectivamente. Sus coordenadas son:

$$P=(\cos x,\sen x),\qquad Q=(\cos y,\sen y).$$

La distancia $PQ$ se puede calcular de dos formas.

Primera forma: usando coordenadas.

$$PQ^2=(\cos x-\cos y)^2+(\sen x-\sen y)^2.$$

Desarrollamos:

$$PQ^2=\cos^2x-2\cos x\cos y+\cos^2y+\sen^2x-2\sen x\sen y+\sen^2y.$$

Como $\cos^2x+\sen^2x=1$ y $\cos^2y+\sen^2y=1$,

$$PQ^2=2-2(\cos x\cos y+\sen x\sen y).$$

Segunda forma: usando el ángulo central $x-y$. La cuerda $PQ$ subtiende un ángulo central $x-y$. En una circunferencia unitaria, la distancia desde el punto determinado por un ángulo $\theta$ hasta el punto $(1,0)$ está dada por:

$$\text{cuerda}^2=2-2\cos\theta.$$

Por lo tanto, para $\theta=x-y$:

$$PQ^2=2-2\cos(x-y).$$

Igualando las dos expresiones de $PQ^2$:

$$2-2\cos(x-y)=2-2(\cos x\cos y+\sen x\sen y).$$

Simplificando:

$$\boxed{\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sen x\sen y}.$$

Esta es la identidad del coseno de una diferencia.

Deducción del coseno de una suma

Para obtener $\cos(x+y)$, basta reemplazar $y$ por $-y$ en la fórmula anterior:

$$\cos(x+y)=\cos(x-(-y)).$$

Usamos:

$$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sen x\sen y.$$

Reemplazando $y$ por $-y$:

$$\cos(x+y)=\cos x\cos(-y)+\sen x\sen(-y).$$

Sabemos que el coseno es una función par y el seno es una función impar:

$$\cos(-y)=\cos y,\qquad \sen(-y)=-\sen y.$$

Por lo tanto:

$$\boxed{\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sen x\sen y}.$$

Deducción del seno de una suma y una diferencia

Para el seno usamos la relación de complemento:

$$\sen\theta=\cos(90^\circ-\theta).$$

Entonces:

$$\sen(x+y)=\cos(90^\circ-(x+y)).$$

Reescribimos:

$$90^\circ-(x+y)=(90^\circ-x)-y.$$

Aplicamos el coseno de una diferencia:

$$\cos((90^\circ-x)-y)=\cos(90^\circ-x)\cos y+\sen(90^\circ-x)\sen y.$$

Pero:

$$\cos(90^\circ-x)=\sen x,\qquad \sen(90^\circ-x)=\cos x.$$

Por lo tanto:

$$\boxed{\sen(x+y)=\sen x\cos y+\cos x\sen y}.$$

Para la diferencia se reemplaza $y$ por $-y$:

$$\sen(x-y)=\sen x\cos(-y)+\cos x\sen(-y).$$

Es decir:

$$\boxed{\sen(x-y)=\sen x\cos y-\cos x\sen y}.$$

Las cuatro fórmulas fundamentales de este tema son:

$$\boxed{ \begin{aligned} \sen(x+y)&=\sen x\cos y+\cos x\sen y,\\[2mm] \sen(x-y)&=\sen x\cos y-\cos x\sen y,\\[2mm] \cos(x+y)&=\cos x\cos y-\sen x\sen y,\\[2mm] \cos(x-y)&=\cos x\cos y+\sen x\sen y. \end{aligned} }$$

¿Cómo recordarlas?

Observa dos reglas sencillas:

1. Para el seno:
   La fórmula lleva "seno por coseno, coseno por seno".
   El signo de la fórmula es el mismo signo del ángulo compuesto.

$$\sen(x+y)=\sen x\cos y+\cos x\sen y,$$

$$\sen(x-y)=\sen x\cos y-\cos x\sen y.$$

2. Para el coseno:
   La fórmula lleva "coseno por coseno, seno por seno".
   El signo de la fórmula es el contrario al signo del ángulo compuesto.

$$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sen x\sen y,$$

$$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sen x\sen y.$$

Ejemplos inmediatos

Si queremos calcular $\sen(20^\circ+y)$:

$$\sen(20^\circ+y)=\sen20^\circ\cos y+\cos20^\circ\sen y.$$

Si queremos calcular $\cos(3a+2b)$:

$$\cos(3a+2b)=\cos3a\cos2b-\sen3a\sen2b.$$

Si tenemos:

$$\sen26^\circ\cos14^\circ-\cos26^\circ\sen14^\circ,$$

reconocemos la forma de $\sen(x-y)$ con $x=26^\circ$ y $y=14^\circ$:

$$\sen26^\circ\cos14^\circ-\cos26^\circ\sen14^\circ=\sen(26^\circ-14^\circ)=\sen12^\circ.$$

Tan importante como aplicar las fórmulas de izquierda a derecha es saber leerlas de derecha a izquierda.

Forma típica para el seno

Una expresión de la forma:

$$\sen A\cos B+\cos A\sen B$$

se reduce a:

$$\sen(A+B).$$

Ejemplo:

$$\sen40^\circ\cos20^\circ+\cos40^\circ\sen20^\circ=\sen60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.$$

De manera similar:

$$\sen A\cos B-\cos A\sen B=\sen(A-B).$$

Ejemplo:

$$\sen50^\circ\cos10^\circ-\cos50^\circ\sen10^\circ=\sen40^\circ.$$

Forma típica para el coseno

Una expresión de la forma:

$$\cos A\cos B+\sen A\sen B$$

se reduce a:

$$\cos(A-B).$$

Ejemplo:

$$\cos70^\circ\cos20^\circ+\sen70^\circ\sen20^\circ=\cos50^\circ.$$

Y:

$$\cos A\cos B-\sen A\sen B=\cos(A+B).$$

Ejemplo:

$$\cos80^\circ\cos35^\circ-\sen80^\circ\sen35^\circ=\cos115^\circ.$$

Regla práctica

Cuando veas una suma o resta de productos:

• Seno: los términos mezclan seno y coseno.
• Coseno: los términos juntan coseno con coseno y seno con seno.

Eso te indica rápidamente si la expresión corresponde a un seno o a un coseno compuesto.

Una de las aplicaciones más directas es calcular razones exactas de ángulos como $15^\circ$, $75^\circ$, $8^\circ$, $16^\circ$, $74^\circ$ u $82^\circ$.

Ángulos $15^\circ$ y $75^\circ$

Usamos:

$$15^\circ=45^\circ-30^\circ,\qquad 75^\circ=45^\circ+30^\circ.$$

Así:

$$\sen75^\circ=\sen(45^\circ+30^\circ) =\sen45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sen30^\circ.$$