Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal

Un ángulo trigonométrico se genera por la rotación de un rayo. Lo importante es que su medida puede ser positiva, si la rotación es en sentido antihorario, o negativa, si la rotación es en sentido horario.

Decimos que un ángulo está en posición normal, también llamada posición estándar o canónica, cuando cumple dos condiciones:

• Su vértice está en el origen de coordenadas.
• Su lado inicial coincide con el semieje positivo del eje $X$.

No importa dónde quede el lado final: puede estar en cualquier cuadrante o incluso coincidir con uno de los ejes.

En la figura, $\alpha$, $\beta$ y $\theta$ son ángulos en posición normal. El ángulo $\phi$ no lo es, porque su lado inicial no está sobre el semieje positivo $X$.

Determinación del cuadrante de un ángulo

Un ángulo en posición normal pertenece a un cuadrante según la ubicación de su lado final.

• Si $0^\circ<\alpha<90^\circ$, su lado final está en el primer cuadrante.
• Si $90^\circ<\alpha<180^\circ$, está en el segundo cuadrante.
• Si $180^\circ<\alpha<270^\circ$, está en el tercer cuadrante.
• Si $270^\circ<\alpha<360^\circ$, está en el cuarto cuadrante.

Ejemplo 1:

• $\alpha=45^\circ$ pertenece al IC.
• $\beta=210^\circ$ pertenece al IIIC.
• $\theta=-30^\circ$ se mide en sentido horario y su lado final queda en el IVC.
• $\phi=450^\circ$ da una vuelta completa y $90^\circ$ más, así que su lado final coincide con el semieje positivo $Y$; ese ángulo no pertenece a ningún cuadrante.

Si el lado final coincide con un semieje, el ángulo se llama ángulo cuadrantal. Eso lo estudiaremos con más detalle al final de este texto y en el siguiente tema.

Para definir las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal $\theta$, se procede así:

1. Se toma un punto $P(x;y)$ del lado final del ángulo.

2. Se considera su abscisa $x$ y su ordenada $y$.

3. Se calcula el radio vector:

   $$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$$

   El radio vector $r$ siempre es positivo, porque es una distancia.

Entonces las razones trigonométricas de $\theta$ se definen como los siguientes cocientes:

$$\operatorname{sen}\theta=\frac{\text{ordenada}}{\text{radio vector}}=\frac{y}{r}$$

$$\cos\theta=\frac{\text{abscisa}}{\text{radio vector}}=\frac{x}{r}$$

$$\tan\theta=\frac{\text{ordenada}}{\text{abscisa}}=\frac{y}{x}$$

$$\cot\theta=\frac{\text{abscisa}}{\text{ordenada}}=\frac{x}{y}$$

$$\sec\theta=\frac{\text{radio vector}}{\text{abscisa}}=\frac{r}{x}$$

$$\csc\theta=\frac{\text{radio vector}}{\text{ordenada}}=\frac{r}{y}$$

Estas definiciones solo son válidas cuando el denominador no es cero. Por ejemplo, $\tan\theta$ no está definida si $x=0$, y $\csc\theta$ no está definida si $y=0$.

¿Por qué se define así? Porque en el primer cuadrante estas fórmulas coinciden con las razones de un triángulo rectángulo. Si $x>0$ y $y>0$, el radio vector $r$ es la hipotenusa, $y$ es el cateto opuesto y $x$ es el cateto adyacente. La gran novedad es que ahora $x$ y $y$ pueden ser negativos, y eso le da signo a las razones trigonométricas.

Ejemplo numérico inmediato

Sea $\beta$ un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por el punto $P(3;-4)$.

Calculamos el radio vector:

$$r=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

El punto $P(3;-4)$ tiene abscisa positiva y ordenada negativa, por lo tanto $\beta$ está en el IVC. Aplicamos las definiciones:

$$\operatorname{sen}\beta=\frac{y}{r}=\frac{-4}{5}=-\frac{4}{5}$$

$$\cos\beta=\frac{x}{r}=\frac{3}{5}$$

$$\tan\beta=\frac{y}{x}=\frac{-4}{3}=-\frac{4}{3}$$

$$\cot\beta=\frac{x}{y}=\frac{3}{-4}=-\frac{3}{4}$$

$$\sec\beta=\frac{r}{x}=\frac{5}{3}$$

$$\csc\beta=\frac{r}{y}=\frac{5}{-4}=-\frac{5}{4}$$

Observa que la ordenada negativa hizo que el seno, la tangente, la cotangente y la cosecante resulten negativas.

Como $r$ siempre es positivo, el signo de cada razón trigonométrica depende de los signos de $x$ y de $y$.

Analicemos cuadrante por cuadrante.

Primer cuadrante

En el IC:

$$x>0,\qquad y>0$$

Entonces todos los cocientes son positivos:

$$\operatorname{sen}\theta>0,\quad \cos\theta>0,\quad \tan\theta>0,\quad \cot\theta>0,\quad \sec\theta>0,\quad \csc\theta>0$$

Segundo cuadrante

En el IIC:

$$x<0,\qquad y>0$$

Entonces:

• $\operatorname{sen}\theta=\frac{y}{r}>0$
• $\cos\theta=\frac{x}{r}<0$
• $\tan\theta=\frac{y}{x}<0$
• $\cot\theta=\frac{x}{y}<0$
• $\sec\theta=\frac{r}{x}<0$
• $\csc\theta=\frac{r}{y}>0$

Es decir, en el segundo cuadrante solo son positivas la seno y la cosecante.

Tercer cuadrante

En el IIIC:

$$x<0,\qquad y<0$$

Entonces:

• $\operatorname{sen}\theta=\frac{y}{r}<0$
• $\cos\theta=\frac{x}{r}<0$
• $\tan\theta=\frac{y}{x}>0$
• $\cot\theta=\frac{x}{y}>0$
• $\sec\theta=\frac{r}{x}<0$
• $\csc\theta=\frac{r}{y}<0$

En el tercer cuadrante solo son positivas la tangente y la cotangente.

Cuarto cuadrante

En el IVC:

$$x>0,\qquad y<0$$

Entonces:

• $\operatorname{sen}\theta=\frac{y}{r}<0$
• $\cos\theta=\frac{x}{r}>0$
• $\tan\theta=\frac{y}{x}<0$
• $\cot\theta=\frac{x}{y}<0$
• $\sec\theta=\frac{r}{x}>0$
• $\csc\theta=\frac{r}{y}<0$

En el cuarto cuadrante solo son positivas la coseno y la secante.

Tabla resumen de signos

Una manera rápida de recordarlo es:

• IC: todas las razones son positivas.
• IIC: solo seno y cosecante son positivas.
• IIIC: solo tangente y cotangente son positivas.
• IVC: solo coseno y secante son positivas.

Cuando se conoce una razón trigonométrica y el cuadrante del ángulo, se puede calcular todas las demás razones siguiendo estos pasos:

1. Dibuja mental o gráficamente el ángulo en el cuadrante indicado.
2. Determina los signos de $x$ y $y$ según ese cuadrante.
3. Asigna valores numéricos a $x$ y $y$ usando la razón dada como una proporción.
4. Calcula $r$ con $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.
5. Aplica las definiciones para hallar las razones pedidas.

Ejemplo

Si $\tan\alpha=-\dfrac{3}{4}$ y $\alpha\in\text{IIC}$, halle $\cos\alpha$ y $\operatorname{sen}\alpha$.

Como $\alpha$ está en el IIC:

$$x<0,\qquad y>0$$

Además:

$$\tan\alpha=\frac{y}{x}=-\frac{3}{4}$$

Para que el cociente sea $-\dfrac{3}{4}$ con $x$ negativo y $y$ positivo, podemos elegir:

$$y=3,\qquad x=-4$$

Calculamos $r$:

$$r=\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=5$$

Entonces:

$$\operatorname{sen}\alpha=\frac{y}{r}=\frac{3}{5}$$

$$\cos\alpha=\frac{x}{r}=\frac{-4}{5}=-\frac{4}{5}$$

Este procedimiento es muy útil en problemas donde se mezclan identidades y cuadrantes.

Un ángulo negativo se mide en sentido horario. Si $\theta$ es un ángulo en posición normal y $P(x;y)$ es un punto de su lado final, entonces el lado final de $-\theta$ contiene al punto $P'(x;-y)$. Es decir, la abscisa se mantiene y la ordenada cambia de signo.

Aplicando las definiciones de razones trigonométricas a $-\theta$, obtenemos:

$$\operatorname{sen}(-\theta)=\frac{-y}{r}=-\frac{y}{r}=-\operatorname{sen}\theta$$

$$\cos(-\theta)=\frac{x}{r}=\cos\theta$$

$$\tan(-\theta)=\frac{-y}{x}=-\frac{y}{x}=-\tan\theta$$

$$\cot(-\theta)=\frac{x}{-y}=-\frac{x}{y}=-\cot\theta$$

$$\sec(-\theta)=\frac{r}{x}=\sec\theta$$

$$\csc(-\theta)=\frac{r}{-y}=-\frac{r}{y}=-\csc\theta$$

En resumen:

Observa que solo el coseno y la secante no cambian de signo. Las demás razones de $-\theta$ son el negativo de la razón de $\theta$.

Ejemplo

Si $\operatorname{sen}\theta=\dfrac{4}{5}$ y $\cos\theta=\dfrac{3}{5}$, entonces:

$$\operatorname{sen}(-\theta)=-\frac{4}{5}$$

$$\cos(-\theta)=\frac{3}{5}$$

$$\tan(-\theta)=-\frac{4/5}{3/5}=-\frac{4}{3}$$

Dos ángulos en posición normal son coterminales si sus lados finales coinciden.

Por ejemplo, $\alpha=30^\circ$ y $\beta=390^\circ$ son coterminales, porque:

$$390^\circ=30^\circ+360^\circ$$

Es decir, $\beta$ da una vuelta completa y vuelve a ubicar su lado final en el mismo lugar que $\alpha$.

Si $\alpha$ y $\beta$ son coterminales, la diferencia de sus medidas es un múltiplo entero de $360^\circ$:

$$\beta-\alpha=360^\circ n,\qquad n\in\mathbb{Z}$$

En radianes:

$$\beta-\alpha=2\pi n$$

Además, como sus lados finales coinciden, al tomar un punto $P(x;y)$ sobre ese lado final común, las razones trigonométricas de ambos ángulos son exactamente las mismas:

$$\operatorname{RT}(\alpha)=\operatorname{RT}(\beta)$$

Esta propiedad permite reducir ángulos mayores que una vuelta a un ángulo equivalente entre $0^\circ$ y $360^\circ$. Por ejemplo, $\operatorname{sen}390^\circ=\operatorname{sen}30^\circ$.

En muchos problemas de admisión aparece un ángulo en posición normal dentro de una figura geométrica: un trapecio, un terreno, un jardín, una trayectoria. En estos casos, la razón trigonométrica se interpreta como una relación entre lados de un triángulo rectángulo o como una relación entre coordenadas.

Por ejemplo, si se dice que:

$$2\tan\theta=1$$

entonces:

$$\tan\theta=\frac{1}{2}$$

Esto significa que, en el triángulo rectángulo asociado o en las coordenadas del punto del lado final:

$$\frac{\text{ordenada}}{\text{abscisa}}=\frac{1}{2}$$

Es decir, por cada $2$ unidades horizontales corresponde $1$ unidad vertical. Esa proporción permite hallar longitudes de una figura, áreas o perímetros.

De la misma forma, si se da:

$$\cot\theta=\frac{8}{15}$$

entonces:

$$\frac{\text{abscisa}}{\text{ordenada}}=\frac{8}{15}$$

Así se pueden determinar las dimensiones de un terreno o de un trapecio.

Se llama ángulo cuadrantal a todo ángulo en posición normal cuyo lado final coincide con uno de los semiejes del plano cartesiano.

Los ángulos cuadrantales más usados son:

$$0^\circ,\quad 90^\circ,\quad 180^\circ,\quad 270^\circ,\quad 360^\circ$$

En radianes:

$$0,\quad \frac{\pi}{2},\quad \pi,\quad \frac{3\pi}{2},\quad 2\pi$$

Un ángulo cuadrantal no pertenece a ningún cuadrante, porque su lado final no está dentro de un cuadrante, sino sobre un eje.

Las definiciones de razones trigonométricas de un ángulo en posición normal también se aplican a los ángulos cuadrantales, pero hay que tener cuidado: como en esos casos una de las coordenadas puede ser cero, algunas razones no estarán definidas.

Por ejemplo, para $90^\circ$, el lado final coincide con el semieje positivo $Y$. Podemos elegir un punto de la forma $P(0;a)$, con $a>0$. Entonces:

$$x=0,\qquad y=a,\qquad r=a$$

Aplicando las definiciones:

$$\operatorname{sen}90^\circ=\frac{a}{a}=1$$

$$\cos90^\circ=\frac{0}{a}=0$$

$$\tan90^\circ=\frac{a}{0}\quad \text{no está definida}$$

Esto lo desarrollaremos completamente en el siguiente tema.