Circunferencia trigonométrica

Definición

Una circunferencia trigonométrica es una circunferencia cuyo centro es el origen de coordenadas y cuyo radio es igual a 1.

En consecuencia, su ecuación canónica es
$$x^2+y^2=1.$$

A esta circunferencia también se le llama circunferencia unitaria o simplemente C.T.

Elementos principales

Sobre la circunferencia trigonométrica se distinguen los siguientes puntos notables:

Además, si se considera un arco que parte de $A(1,0)$ y termina en un punto $P$, se dice que $P(x,y)$ es el extremo del arco.

La idea central es que todo punto sobre la C.T. cumple
$$x^2+y^2=1.$$

Ejemplo:
El punto $\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)$ pertenece a la circunferencia trigonométrica porque
$$\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 =\frac14+\frac34=1.$$

Un arco en la circunferencia trigonométrica no es simplemente una distancia, sino un arco dirigido: tiene un punto de partida, una longitud y un sentido.

Convención de signos

• Si el arco se recorre en sentido antihorario, su medida es positiva.
• Si el arco se recorre en sentido horario, su medida es negativa.

Arcos positivos, negativos y mayores que una vuelta

Un arco puede ser positivo, negativo o incluso mayor que una vuelta completa, porque puede dar una o varias vueltas antes de terminar en su punto extremo.

Ejemplos:

• $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ es un arco positivo; se recorre desde $A$ en sentido antihorario.
• $\theta=-\dfrac{3\pi}{4}$ es un arco negativo; se recorre desde $A$ en sentido horario.
• $\theta=2\pi$ es una vuelta completa; su extremo vuelve a ser $A(1,0)$.
• $\theta=5\pi$ da dos vueltas y media; su extremo es el mismo que el de $\pi$.

Arcos que terminan en el mismo punto

Si dos arcos difieren en un múltiplo entero de $2\pi$, terminan en el mismo punto de la C.T. Por ejemplo,
$$\frac{\pi}{3},\quad \frac{\pi}{3}+2\pi,\quad \frac{\pi}{3}-2\pi$$ tienen el mismo extremo.

Esto anticipa la propiedad de periodicidad de las funciones seno y coseno, que estudiaremos formalmente en el siguiente tema.

Ubicación aproximada de arcos en radianes

Es muy útil tener presentes algunas aproximaciones:

$$\frac{\pi}{2}\approx1,57,\qquad \pi\approx3,14,\qquad \frac{3\pi}{2}\approx4,71,\qquad 2\pi\approx6,28.$$

Con esto podemos ubicar rápidamente arcos como $2\,\mathrm{rad}$, que está entre $\pi/2$ y $\pi$, o $5\,\mathrm{rad}$, que está entre $3\pi/2$ y $2\pi$.

Definición formal

Sea $\theta$ un número real. Sobre la circunferencia trigonométrica, el arco dirigido de medida $\theta$ parte de $A(1,0)$ y termina en un punto $P(x,y)$.

Entonces se define:

$$\operatorname{sen}\theta=y, \qquad \cos\theta=x.$$

Es decir:

$$\boxed{P(x,y)=(\cos\theta,\operatorname{sen}\theta)}$$

La razón de esta definición es sencilla: en el primer cuadrante, si se traza el radio $OP$, se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es $OP=1$. El cateto adyacente al arco es $x$ y el cateto opuesto es $y$. Por lo tanto,

$$\cos\theta=\frac{x}{1}=x,\qquad \operatorname{sen}\theta=\frac{y}{1}=y.$$

La definición anterior extiende estas razones a cualquier arco dirigido, incluso si no está en el primer cuadrante.

Consecuencia inmediata: identidad pitagórica

Como $P(x,y)$ está sobre la circunferencia unitaria, cumple
$$x^2+y^2=1.$$

Sustituyendo $x=\cos\theta$ y $y=\operatorname{sen}\theta$, se obtiene la identidad fundamental:

$$\boxed{\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta=1}$$

Esta identidad es una de las herramientas más usadas en trigonometría. A partir de ella, si conocemos el seno de un arco y su cuadrante, podemos hallar el coseno, y viceversa.

Valores básicos

Dado que $x$ y $y$ son coordenadas de un punto sobre una circunferencia de radio 1, se cumple necesariamente:

$$-1\leq \operatorname{sen}\theta\leq 1, \qquad -1\leq \cos\theta\leq 1.$$

Esta acotación se estudiará con más detalle en el siguiente tema, cuando analicemos la variación del seno y el coseno.

Signos del seno y coseno según el cuadrante

Como $\operatorname{sen}\theta$ es la ordenada y $\cos\theta$ es la abscisa del punto extremo, los signos se obtienen directamente de los signos de las coordenadas en el plano cartesiano.

Ejemplo:
El arco $\theta=\dfrac{7\pi}{6}$ está en el tercer cuadrante. Su ángulo de referencia es $\dfrac{\pi}{6}$, por lo que
$$\cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \operatorname{sen}\frac{7\pi}{6}=-\frac12.$$ Su extremo es
$$P\left(-\frac{\sqrt3}{2},-\frac12\right).$$

En la circunferencia trigonométrica se suele representar el seno y el coseno como segmentos dirigidos.

Línea seno

La línea seno es la ordenada del extremo del arco. Geométricamente, es el segmento vertical que va desde el punto $P(\cos\theta,\operatorname{sen}\theta)$ hasta el eje $X$.

• Si $P$ está por encima del eje $X$, el seno es positivo.
• Si $P$ está por debajo del eje $X$, el seno es negativo.

Línea coseno

La línea coseno es la abscisa del extremo del arco. Geométricamente, es el segmento horizontal que va desde $P$ hasta el eje $Y$.

• Si $P$ está a la derecha del eje $Y$, el coseno es positivo.
• Si $P$ está a la izquierda del eje $Y$, el coseno es negativo.

Regla práctica para longitudes

Cuando se pide calcular longitudes de segmentos, hay que usar valores no negativos. Por eso se aplica esta regla:

• Si la razón trigonométrica es positiva, su longitud coincide con la razón trigonométrica.
• Si la razón trigonométrica es negativa, su longitud es el opuesto de la razón trigonométrica.

Ejemplo:
Si $\theta\in\mathrm{IIC}$, entonces $\operatorname{sen}\theta>0$ y $\cos\theta<0$. La longitud del segmento vertical es $\operatorname{sen}\theta$, pero la longitud del segmento horizontal es $-\cos\theta$.

Muchos problemas de admisión presentan una C.T. y piden expresar longitudes o áreas en términos de $\theta$.

Método general

1. Identifica el punto extremo del arco:
   $$P(\cos\theta,\operatorname{sen}\theta).$$
2. Determina el cuadrante para saber los signos de $\cos\theta$ y $\operatorname{sen}\theta$.
3. Convierte esos valores en longitudes, usando la regla práctica anterior.
4. Arma el segmento, triángulo, rectángulo o región sombreada con esas longitudes.
5. Aplica la fórmula geométrica correspondiente.

Área del sector y del triángulo unitario

En la C.T. el radio es $1$. Un sector circular de ángulo central $\theta$ en radianes tiene área
$$A_{\text{sector}}=\frac12\theta.$$

Si dos puntos sobre la C.T. determinan con el origen un triángulo de lados $1$ y $1$, y el ángulo central es $\theta$, el área del triángulo es
$$A_{\text{triángulo}}=\frac12\cdot1\cdot1\cdot\operatorname{sen}\theta =\frac12\operatorname{sen}\theta.$$

Por lo tanto, el área de la región entre un arco y su cuerda, llamada segmento circular, es
$$A_{\text{segmento}}=\frac12\theta-\frac12\operatorname{sen}\theta =\frac12(\theta-\operatorname{sen}\theta).$$

Aunque la secante no es parte central de este primer tema, en algunos problemas integrados aparece. Su definición es:

$$\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},$$

siempre que $\cos\theta\neq 0$.

Como $\cos\theta$ es la abscisa del extremo del arco, la secante es el recíproco de esa abscisa.

De la restricción
$$-1\leq \cos\theta\leq 1$$ se deduce que $\sec\theta$ no puede tomar valores entre $-1$ y $1$. Sus valores están en
$$(-\infty,-1]\cup[1,\infty).$$

Por eso, $\sec\theta$ no tiene máximo ni mínimo global: puede crecer sin límite en valor absoluto cada vez que $\cos\theta$ se acerca a $0$. Para hablar del “máximo valor” de una función con secante, se necesita una restricción del dominio o una expresión transformada.