Funciones trigonométricas inversas II: función arco coseno (gráfica, dominio y rango). Propiedades de las

¿Por qué el coseno no se puede invertir en todo su dominio?

La función $f(x)=\cos x$ no es inyectiva en $\mathbb R$. Basta ver que $$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}.$$ Así, si nos dan el valor $\frac{1}{2}$ y preguntamos «¿qué ángulo tiene coseno $\frac{1}{2}$?», hay muchísimas respuestas posibles: $$\frac{\pi}{3}+2k\pi,\qquad -\frac{\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$ Para que la pregunta tenga una única respuesta, debemos elegir un intervalo en el que cada valor del coseno aparezca exactamente una vez.

La rama principal del coseno

La rama principal del coseno es la restricción $$g(x)=\cos x,\qquad x\in[0,\pi].$$ En este intervalo, la función coseno tiene dos propiedades muy importantes.

• Es estrictamente decreciente: si $0\le a<b\le \pi$, entonces $$\cos a>\cos b.$$ Por lo tanto, no repite valores: es inyectiva.

• Su rango es exactamente $[-1,1]$, ya que $$\cos 0=1,\qquad \cos \pi=-1,$$ y como es continua, toma todos los valores intermedios.

Entonces la función $$g:[0,\pi]\to[-1,1],\qquad g(x)=\cos x$$ es biyectiva. Por lo tanto, existe su función inversa.

). El eje X está marcado desde $0$ hasta $\pi$, el eje Y desde $-1$ hasta $1$. La curva es decreciente y pasa por los puntos $(0,1)$, $(\pi/2,0)$ y $(\pi,-1)$. Se puede sombrear el dominio $[0,\pi]$ en el eje X y el rango $[-1,1]$ en el eje Y.]

La elección de $[0,\pi]$ no es arbitraria: es el intervalo estándar que contiene, una sola vez, todos los valores posibles del coseno, y además devuelve ángulos no negativos, en el primer o segundo cuadrante.

A partir de la rama principal del coseno, definimos su inversa.

Definición. La función arco coseno, denotada por $\arccos$, se define mediante la equivalencia $$> y=\arccos x > \quad\Longleftrightarrow\quad > x=\cos y, >$$ donde $$> x\in[-1,1], > \qquad > y\in[0,\pi]. >$$

Se lee: «$y$ es un arco cuyo coseno es $x$». También se usa la notación $\cos^{-1}x$, pero debe quedar claro que $$\cos^{-1}x\neq \frac{1}{\cos x}.$$ La notación $\cos^{-1}x$ significa función inversa, no recíproco. Para evitar confusiones, en este curso usaremos preferentemente $\arccos x$.

Ejemplos inmediatos

• $\arccos\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\pi}{3}$, porque $$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$$ y $\dfrac{\pi}{3}\in[0,\pi]$.

• $\arccos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{\pi}{6}$, porque $$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

• $\arccos(0)=\dfrac{\pi}{2}$.

• $\arccos(-1)=\pi$, porque $\cos \pi=-1$ y $\pi\in[0,\pi]$.

Observemos algo importante: cuando el argumento $x$ es positivo, $\arccos x$ está en el primer cuadrante; cuando $x$ es negativo, $\arccos x$ está en el segundo cuadrante.

Consecuencias inmediatas de la definición

De la equivalencia anterior se desprenden dos propiedades que usaremos constantemente.

1. Si $x\in[-1,1]$, entonces $$\cos(\arccos x)=x.$$ Es decir, la función coseno “deshace” a la función arco coseno.

2. Si $\theta\in[0,\pi]$, entonces $$\arccos(\cos \theta)=\theta.$$ Esta segunda propiedad exige una condición muy importante: $\theta$ debe estar en la rama principal $[0,\pi]$. Fuera de ese intervalo, no se puede cancelar directamente.

Por ejemplo, $$\arccos\left(\cos\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3},$$ porque $\dfrac{2\pi}{3}\in[0,\pi]$.

En cambio, $$\arccos\left(\cos\frac{5\pi}{4}\right)\neq \frac{5\pi}{4},$$ porque $\dfrac{5\pi}{4}$ no pertenece a $[0,\pi]$. Más adelante veremos cómo tratarlo.

Los valores que más se usan en los ejercicios y en el examen provienen de los ángulos notables. Conviene memorizarlos.

$$\begin{array}{c|ccccccccc} x & -1 & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{\sqrt{2}}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 1\\[2mm] \arccos x & \pi & \dfrac{5\pi}{6} & \dfrac{3\pi}{4} & \dfrac{2\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{6} & 0 \end{array}$$

Notemos que, a diferencia del arco seno, los argumentos negativos producen ángulos del segundo cuadrante. Por ejemplo: $$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{3\pi}{4},$$ no $-\dfrac{\pi}{4}$.

Dominio

De la definición se obtiene directamente: $$\operatorname{Dom}(\arccos)=[-1,1].$$ Esto se debe a que $[-1,1]$ es el rango de la rama principal del coseno. Por eso expresiones como $\arccos 2$ o $\arccos(-1{,}5)$ no existen en los números reales.

Para una función compuesta de la forma $$f(x)=\arccos(u(x)),$$ el dominio se obtiene exigiendo que $$-1\le u(x)\le 1.$$ Además, por supuesto, $u(x)$ debe estar definida.

Ejemplo.
Hallemos el dominio de $f(x)=\arccos(3x-2)$.

$$-1\le 3x-2\le 1$$ Sumamos 2: $$1\le 3x\le 3$$ Dividimos entre 3: $$\frac{1}{3}\le x\le 1.$$ Por lo tanto, $$\operatorname{Dom}(f)=\left[\frac{1}{3},1\right].$$

Rango

También directamente de la definición: $$\operatorname{Ran}(\arccos)=[0,\pi].$$ En grados sexagesimales, el rango es de $0^\circ$ a $180^\circ$. Esto significa que la función arco coseno siempre devuelve un ángulo no negativo, ubicado en el primer o segundo cuadrante, o en uno de los extremos.

Gráfica

La gráfica de $y=\arccos x$ se obtiene reflejando la gráfica de la rama principal del coseno respecto de la recta $y=x$, porque son funciones inversas.

) y su altura está entre $0$ y $\pi$. Pasan por ella los puntos $(-1,\pi)$, $(-1/2,2\pi/3)$, $(0,\pi/2)$, $(1/2,\pi/3)$ y $(1,0)$. Se puede incluir en punteado la gráfica de $y=\cos x$ en $[0,\pi]$ y la recta $y=x$ para mostrar la simetría.]

La gráfica muestra que la función arco coseno es decreciente. Mientras $x$ crece de $-1$ a $1$, el ángulo $\arccos x$ decrece de $\pi$ a $0$.

Monotonía

La función arco coseno es estrictamente decreciente en todo su dominio. Es decir, si $$a<b$$ con $a,b\in[-1,1]$, entonces $$\arccos a>\arccos b.$$

Ejemplo.
Como $-1<0$, entonces $$\arccos(-1)=\pi \quad\text{es mayor que}\quad \arccos(0)=\frac{\pi}{2}.$$

Esta monotonía decreciente es fundamental para calcular rangos. Al aplicar $\arccos$ a una desigualdad, se invierten las desigualdades.

Paridad

La función arco coseno no es par ni impar. La relación correcta para argumentos opuestos es $$\boxed{\arccos(-x)=\pi-\arccos x},\qquad x\in[-1,1].$$

Justificación:
Sea $\theta=\arccos x$. Entonces $\theta\in[0,\pi]$ y $\cos\theta=x$. Por identidades trigonométricas, $$\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta=-x.$$ Además, $\pi-\theta\in[0,\pi]$. Por lo tanto, $\pi-\theta$ es el arco cuyo coseno es $-x$, es decir, $$\arccos(-x)=\pi-\theta=\pi-\arccos x.$$

Ejemplo.
$$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\pi-\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\pi-\frac{\pi}{6} =\frac{5\pi}{6}.$$

En esta sección reunimos las propiedades más importantes de las funciones trigonométricas inversas, con especial atención a la función arco coseno y a su relación con la función arco seno.

Propiedad de cancelación directa-inversa

Si componemos una función trigonométrica con su inversa, la función directa “anula” a la inversa, siempre que el argumento esté en el dominio de la inversa.

Para el arco coseno: $$\boxed{\cos(\arccos x)=x,\qquad x\in[-1,1]}$$

Ejemplo.
$$\cos\left(\arccos\left(-\frac{2}{7}\right)\right)=-\frac{2}{7}.$$ No importa que $-\frac{2}{7}$ no sea un valor notable; la propiedad es general.

En general, para cada par de funciones inversas se cumple: $$\operatorname{sen}(\operatorname{arcsen}x)=x,\quad x\in[-1,1],$$ $$\cos(\arccos x)=x,\quad x\in[-1,1].$$ Más adelante, cuando se estudien las demás funciones inversas, se tendrán relaciones análogas.

Propiedad de cancelación inversa-directa con restricción

La propiedad inversa es $$\boxed{\arccos(\cos \theta)=\theta,\qquad \text{solo si } \theta\in[0,\pi].}$$ La restricción es esencial.

Ejemplos:

• $\arccos\left(\cos\dfrac{\pi}{5}\right)=\dfrac{\pi}{5}$, porque $\dfrac{\pi}{5}\in[0,\pi]$.

• $\arccos\left(\cos\dfrac{7\pi}{4}\right)\neq \dfrac{7\pi}{4}$, porque $\dfrac{7\pi}{4}$ no está en $[0,\pi]$. Para calcularlo, notamos que $$\cos\frac{7\pi}{4}=\cos\left(2\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{4}.$$ Luego, $$\arccos\left(\cos\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}.$$

¿Cómo reducir cuando el ángulo no está en $[0,\pi]$?

Si $\theta\in[\pi,2\pi]$, usamos $$\cos\theta=\cos(2\pi-\theta),$$ y $2\pi-\theta\in[0,\pi]$. Por tanto, $$\arccos(\cos\theta)=2\pi-\theta.$$

Ejemplo.
$$\arccos\left(\cos\frac{5\pi}{4}\right) =2\pi-\frac{5\pi}{4} =\frac{3\pi}{4}.$$

Si $\theta\in[-\pi,0]$, usamos $$\cos\theta=\cos(-\theta),$$ con $-\theta\in[0,\pi]$. Por tanto, $$\arccos(\cos\theta)=-\theta.$$

Ejemplo.
$$\arccos\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) =\arccos\left(\cos\frac{\pi}{3}\right) =\frac{\pi}{3}.$$

Análogamente, para el arco seno se cumple $$\operatorname{arcsen}(\operatorname{sen}\theta)=\theta,$$ solo si $\theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Relación entre arco seno y arco coseno

Una de las propiedades más importantes es la siguiente: $$\boxed{\operatorname{arcsen}x+\arccos x=\frac{\pi}{2},\qquad x\in[-1,1].}$$

Justificación:
Sea $A=\operatorname{arcsen}x$. Entonces $A\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ y $$\operatorname{sen}A=x.$$ Por la identidad de cofunción, $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-A\right)=\operatorname{sen}A=x.$$ Además, como $A\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$, se sigue que $$\frac{\pi}{2}-A\in[0,\pi].$$ Por lo tanto, $$\arccos x=\frac{\pi}{2}-A.$$ Despejando, $$A+\arccos x=\frac{\pi}{2},$$ es decir, $$\operatorname{arcsen}x+\arccos x=\frac{\pi}{2}.$$

Ejemplo.
Si $x=\dfrac{3}{5}$, entonces $$\operatorname{arcsen}\left(\frac{3}{5}\right)+\arccos\left(\frac{3}{5}\right)=\frac{\pi}{2}.$$ Si $x=-\dfrac{1}{2}$, $$\operatorname{arcsen}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}, \qquad \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3},$$ y su suma es $$-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{2}.$$

Esta relación permite transformar una función inversa en la otra. Por ejemplo, $$\arccos x=\frac{\pi}{2}-\operatorname{arcsen}x.$$

Relaciones con otras razones trigonométricas

Sea $$\theta=\arccos x,\qquad x\in[-1,1].$$ Entonces $$\cos\theta=x,\qquad \theta\in[0,\pi].$$ Como $\theta$ está en el primer o segundo cuadrante, su seno es no negativo. Usando la identidad pitagórica, $$\operatorname{sen}^2\theta=1-\cos^2\theta=1-x^2.$$ Luego, $$\boxed{\operatorname{sen}(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}},\qquad x\in[-1,1].$$

Ejemplo.
$$\operatorname{sen}\left(\arccos\frac{3}{5}\right) =\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} =\sqrt{\frac{16}{25}} =\frac{4}{5}.$$

También, $$\tan(\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x},$$ para $x\in[-1,1]$, $x\neq 0$. Si $x<0$, la tangente es negativa, lo cual es consistente porque el seno es positivo y el coseno es negativo.

De manera análoga, del tema anterior ya conocemos: $$\cos(\operatorname{arcsen}x)=\sqrt{1-x^2},\qquad x\in[-1,1].$$

Igualdad de arcos coseno

Como $\arccos$ es una función inyectiva, se cumple: $$\arccos a=\arccos b \quad\Longleftrightarrow\quad a=b,$$ para $a,b\in[-1,1]$.

Esto se usa para resolver ecuaciones en las que aparecen dos arcos coseno.

Ejemplo.
Si $\arccos(2x)=\arccos(x+1)$, entonces $$2x=x+1$$ y por lo tanto $$x=1.$$ Verificamos dominio: $2(1)=2$, pero $2\notin[-1,1]$. En realidad $x=1$ no es válido, porque $2x=2$ está fuera del dominio de $\arccos$. Por eso, al final siempre hay que comprobar.

Relación con las funciones inversas recíprocas

En algunos problemas de admisión aparecen opciones que mezclan $\arccos$, $\operatorname{arcsen}$, $\operatorname{arcsec}$ y $\operatorname{arccsc}$. Es útil saber que $$\boxed{\arccos x=\operatorname{arcsec}\left(\frac{1}{x}\right)},\qquad x\in[-1,1],\; x\neq 0,$$ y $$\boxed{\operatorname{arcsen}x=\operatorname{arccsc}\left(\frac{1}{x}\right)},\qquad x\in[-1,1],\; x\neq 0.$$

Justificación breve:
Si $\theta=\arccos x$, entonces $\cos\theta=x$ y, por tanto, $$\sec\theta=\frac{1}{x}.$$ Como $\theta\in[0,\pi]$, este ángulo también está en el rango principal de la función arco secante. Por eso $\theta=\operatorname{arcsec}(1/x)$.

Ejemplo.
$$\arccos\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3} =\operatorname{arcsec}(2).$$

Estas relaciones se estudiarán con más detalle al ver las funciones arco secante y arco cosecante, pero conviene tenerlas presentes desde ahora.

Tabla general de las funciones trigonométricas inversas

Para ubicar la función arco coseno dentro de todas las inversas, presentamos una tabla con sus dominios y rangos principales. Las dos primeras ya fueron estudiadas; las demás se estudiarán en los siguientes temas.

$$\begin{array}{c|c|c} \text{Función} & \text{Dominio} & \text{Rango}\\ \hline \operatorname{arcsen}x & [-1,1] & \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\\ \arccos x & [-1,1] & [0,\pi]\\ \arctan x & \mathbb R & \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\\ \mathrm{arccot}\,x & \mathbb R & (0,\pi)\\ \operatorname{arcsec}x & (-\infty,-1]\cup[1,\infty) & \left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\pi\right]\\ \operatorname{arccsc}x & (-\infty,-1]\cup[1,\infty) & \left[-\frac{\pi}{2},0\right)\cup\left(0,\frac{\pi}{2}\right] \end{array}$$

Observemos el patrón: cada función inversa tiene como dominio el rango de su función directa restringida, y como rango, la rama principal correspondiente.

Muchos ejercicios piden calcular el dominio y el rango de una función que contiene $\arccos$. Hay que tener un método ordenado.

Cálculo del dominio

Sea $$f(x)=A\arccos(u(x))+B.$$ Para hallar el dominio de $f$:

1. Determinamos dónde está definida $u(x)$.
2. Exigimos que $$-1\le u(x)\le 1.$$
3. Intersecamos ambas condiciones.

Ejemplo 1.
Hallemos el dominio de $$f(x)=\arccos(2x-1).$$ Aquí $u(x)=2x-1$ está definida en todo $\mathbb R$. Solo falta: $$-1\le 2x-1\le 1.$$ Sumamos 1: $$0\le 2x\le 2.$$ Dividimos entre 2: $$0\le x\le 1.$$ Por lo tanto, $$\operatorname{Dom}(f)=[0,1].$$

Ejemplo 2.
Hallemos el dominio de $$f(x)=\arccos(\sqrt{x}).$$ Primero, la raíz cuadrada exige $$x\ge 0.$$ Además, $$-1\le \sqrt{x}\le 1.$$ Como $\sqrt{x}\ge 0$, la desigualdad $-1\le \sqrt{x}$ se cumple automáticamente. Falta $$\sqrt{x}\le 1,$$ que equivale a $$x\le 1.$$ Luego, $$\operatorname{Dom}(f)=[0,1].$$

Ejemplo 3.
Dominio de $$f(x)=\arccos(x^2-1).$$ Debemos resolver $$-1\le x^2-1\le 1.$$ Sumamos 1: $$0\le x^2\le 2.$$ La desigualdad $0\le x^2$ se cumple para todo real. La desigualdad $x^2\le 2$ equivale a $$|x|\le \sqrt{2}.$$ Por lo tanto, $$\operatorname{Dom}(f)=[-\sqrt{2},\sqrt{2}].$$

Cálculo del rango

Para hallar el rango de $$f(x)=A\arccos(u(x))+B,$$ seguimos estos pasos:

1. A partir del dominio, encontramos el rango de $u(x)$.
2. Aplicamos $\arccos$, recordando que es decreciente.
3. Aplicamos la multiplicación por $A$ y la suma de $B$.

El punto más delicado es el paso 2: como $\arccos$ es decreciente, si $$m\le u(x)\le M,$$ entonces $$\arccos M\le \arccos(u(x))\le \arccos m.$$

Ejemplo 1.
Hallemos el rango de $$f(x)=\arccos x,$$ con dominio natural $[-1,1]$.

Para $x\in[-1,1]$, directamente: $$\arccos x\in[0,\pi].$$ Así, $$\operatorname{Ran}(f)=[0,\pi].$$

Ejemplo 2.
Hallemos el rango de $$f(x)=3\arccos x+\frac{\pi}{2}.$$ Como $\arccos x\in[0,\pi]$, multiplicamos por 3: $$3\arccos x\in[0,3\pi].$$ Sumamos $\dfrac{\pi}{2}$: $$f(x)\in\left[\frac{\pi}{2},3\pi+\frac{\pi}{2}\right] =\left[\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{2}\right].$$ Por lo tanto, $$\operatorname{Ran}(f)=\left[\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{2}\right].$$

Ejemplo 3.
Hallemos dominio y rango de $$f(x)=\arccos(\sqrt{x}).$$ Ya sabemos que $\operatorname{Dom}(f)=[0,1]$.
Para $x\in[0,1]$, $$\sqrt{x}\in[0,1].$$ Como $\arccos$ es decreciente, $$\arccos 1\le \arccos(\sqrt{x})\le \arccos 0.$$ Es decir, $$0\le f(x)\le \frac{\pi}{2}.$$ Por tanto, $$\operatorname{Ran}(f)=\left[0,\frac{\pi}{2}\right].$$

Ejemplo 4.
Hallemos el rango de $$f(x)=-2\arccos x+\pi.$$ Sabemos que $$0\le \arccos x\le \pi.$$ Multiplicamos por $-2$, lo que invierte las desigualdades: $$-2\pi\le -2\arccos x\le 0.$$ Sumamos $\pi$: $$-\pi\le -2\arccos x+\pi\le \pi.$$ Luego, $$\operatorname{Ran}(f)=[-\pi,\pi].$$

Ecuaciones directas

Si tenemos una ecuación de la forma $$\arccos u=a,$$ entonces, para que exista solución, necesitamos que $$a\in[0,\pi].$$ En ese caso, aplicamos la definición: $$u=\cos a.$$

Ejemplo.
Resolvamos $$\arccos(2x)=\frac{\pi}{4}.$$ Como $\dfrac{\pi}{4}\in[0,\pi]$, aplicamos coseno: $$2x=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$ Luego, $$x=\frac{\sqrt{2}}{4}.$$ Verificamos que $2x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\in[-1,1]$, por lo que la solución es válida.

Despeje de variables en modelos con coseno

Una aplicación muy importante en los problemas de admisión es despejar una variable de una ecuación con coseno.

Consideremos una ecuación de la forma $$A\cos(Bt)=C,$$ donde $A>0$, $B>0$, y además el contexto asegura que $Bt\in[0,\pi]$. Entonces: $$\cos(Bt)=\frac{C}{A}.$$ Aplicamos arco coseno: $$Bt=\arccos\left(\frac{C}{A}\right).$$ Finalmente, $$\boxed{t=\frac{1}{B}\arccos\left(\frac{C}{A}\right).}$$ Debemos verificar que $$-1\le \frac{C}{A}\le 1,$$ es decir, que $C$ sea un valor posible de la función.

Ejemplo.
Si $$P(t)=25\,000\cos\left(\frac{\pi}{40}t\right)$$ y queremos hallar $t$ tal que $P(t)=15\,000$, planteamos: $$25\,000\cos\left(\frac{\pi}{40}t\right)=15\,000.$$ Entonces $$\cos\left(\frac{\pi}{40}t\right)=\frac{15\,000}{25\,000}=\frac{3}{5}.$$ Como en el contexto $t\in[0,40]$, se tiene $$\frac{\pi}{40}t\in[0,\pi],$$ por lo que podemos aplicar arco coseno directamente: $$\frac{\pi}{40}t=\arccos\left(\frac{3}{5}\right).$$ Despejamos: $$t=\frac{40}{\pi}\arccos\left(\frac{3}{5}\right).$$

Este es exactamente el tipo de despeje que se usa en problemas aplicados.

Igualdad de arcos coseno

Para resolver una ecuación como $$\arccos(f(x))=\arccos(g(x)),$$ usamos que $\arccos$ es inyectiva. Por lo tanto, $$f(x)=g(x).$$ Sin embargo, hay que comprobar que los argumentos estén en $[-1,1]$.

Ejemplo.
Resolvamos $$\arccos(2x-1)=\arccos(3x+2).$$ Igualamos argumentos: $$2x-1=3x+2.$$ Entonces $$x=-3.$$ Verificamos el dominio: $$2(-3)-1=-7\notin[-1,1].$$ Por lo tanto, la ecuación no tiene solución.

Uso de la relación $\operatorname{arcsen}x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}$

La relación fundamental $$\operatorname{arcsen}x+\arccos x=\frac{\pi}{2}$$ permite resolver algunas ecuaciones y simplificar expresiones.

Ejemplo.
Resolvamos $$\operatorname{arcsen}(2x)+\arccos(2x)=\frac{\pi}{2}.$$ Esta igualdad es válida siempre que $$2x\in[-1,1].$$ Por lo tanto, no hay una única solución puntual: todos los valores $$x\in\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$$ satisfacen la ecuación.