Identidades trigonométricas de ángulos compuestos II: identidades trigonométricas de ángulos compuestos, para la

1.1. Fórmulas principales

Para dos ángulos $x$ e $y$ cuyas tangentes estén definidas, y siempre que el denominador no sea cero, se cumple:

$$\boxed{\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}$$

$$\boxed{\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}$$

Observa con cuidado los signos:

• En la suma, el numerador lleva suma y el denominador lleva signo negativo: $1-\tan x\tan y$.
• En la diferencia, el numerador lleva resta y el denominador lleva signo positivo: $1+\tan x\tan y$.

Esta es una de las fórmulas que más se confunden en examen.

1.2. ¿De dónde salen estas fórmulas?

La deducción es directa a partir de la tangente como cociente de seno y coseno, y de las identidades de ángulos compuestos que ya conoces.

Sabemos que

$$\tan(x+y)=\frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)}.$$

Usando las fórmulas del seno y coseno de una suma:

$$\tan(x+y)=\frac{\sin x\cos y+\cos x\sin y}{\cos x\cos y-\sin x\sin y}.$$

Si $\cos x\neq 0$ y $\cos y\neq 0$, dividimos el numerador y el denominador entre $\cos x\cos y$:

$$\tan(x+y) = \frac{\dfrac{\sin x\cos y}{\cos x\cos y} + \dfrac{\cos x\sin y}{\cos x\cos y}} {\dfrac{\cos x\cos y}{\cos x\cos y} - \dfrac{\sin x\sin y}{\cos x\cos y}}.$$

Simplificando cada fracción:

$$\tan(x+y) = \frac{\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\sin y}{\cos y}} {1-\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\dfrac{\sin y}{\cos y}}.$$

Es decir:

$$\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}.$$

La fórmula para $\tan(x-y)$ se obtiene cambiando $y$ por $-y$, y recordando que $\tan(-y)=-\tan y$.

1.3. Ejemplos inmediatos

Ejemplo

Calculemos $\tan 75^\circ$, escribiendo $75^\circ=45^\circ+30^\circ$:

$$\tan 75^\circ = \tan(45^\circ+30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ+\tan 30^\circ}{1-\tan 45^\circ\tan 30^\circ}.$$

Sustituyendo $\tan 45^\circ=1$ y $\tan 30^\circ=1/\sqrt3$:

$$\tan 75^\circ = \frac{1+\dfrac{1}{\sqrt3}}{1-\dfrac{1}{\sqrt3}} = \frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}.$$

Si racionalizamos o simplificamos, se obtiene:

$$\tan 75^\circ=2+\sqrt3.$$

De manera análoga:

$$\tan 15^\circ=\tan(45^\circ-30^\circ)=2-\sqrt3.$$

Estos valores son útiles y aparecen con frecuencia.

1.4. La forma equivalente con cotangentes

A veces conviene expresar la tangente de una suma en términos de cotangentes. Como $\tan x=1/\cot x$, podemos escribir:

$$\cot(x+y)=\frac{1}{\tan(x+y)} = \frac{1-\tan x\tan y}{\tan x+\tan y}.$$

Dividiendo numerador y denominador entre $\tan x\tan y$, resulta:

$$\cot(x+y)=\frac{\cot x\cot y-1}{\cot y+\cot x}.$$

No es necesario memorizar esta fórmula si te sientes cómodo con la tangente, pero es muy práctica cuando en el problema predominan cotangentes.

Una de las aplicaciones más importantes de la fórmula de la tangente de una diferencia es despejar uno de los ángulos cuando se conoce la tangente de la suma.

Supón que conoces $\tan(\alpha+\beta)$ y $\tan\alpha$, y quieres hallar $\tan\beta$. No se puede despejar $\tan\beta$ directamente de la fórmula de la suma, pero sí puedes escribir:

$$\beta=(\alpha+\beta)-\alpha.$$

Entonces, aplicando la tangente de una diferencia:

$$\tan\beta = \tan\big((\alpha+\beta)-\alpha\big) = \frac{\tan(\alpha+\beta)-\tan\alpha} {1+\tan(\alpha+\beta)\tan\alpha}.$$

Este procedimiento es exactamente el que debes usar en muchos problemas.

Ejemplo

Si $\tan(\alpha+\beta)=3$ y $\tan\alpha=\frac12$, hallemos $\tan\beta$:

$$\tan\beta = \frac{3-\frac12}{1+3\cdot\frac12} = \frac{\frac52}{\frac52} = 1.$$

Por lo tanto, $\tan\beta=1$.

2.1. Aplicación en figuras geométricas

Muchos problemas de admisión presentan un ángulo $\theta$ dentro de un gráfico, donde $\theta$ no es un ángulo notable, pero puede expresarse como suma o diferencia de ángulos cuyas tangentes sí se conocen.

El procedimiento general es:

1. Identifica dos ángulos simples, digamos $\alpha$ y $\beta$, tales que $\theta=\alpha+\beta$ o $\theta=\alpha-\beta$.
2. Calcula $\tan\alpha$ y $\tan\beta$ mediante triángulos rectángulos del gráfico.
3. Aplica la fórmula de tangente de suma o diferencia.
4. Si te piden $\cot\theta$, recuerda que $\cot\theta=1/\tan\theta$.

Por ejemplo, si del gráfico se observa que $\alpha+\theta=53^\circ$, entonces:

$$\theta=53^\circ-\alpha.$$

Si además se sabe que $\tan\alpha=\frac45$, entonces:

$$\tan\theta = \tan(53^\circ-\alpha) = \frac{\tan 53^\circ-\tan\alpha}{1+\tan 53^\circ\tan\alpha}.$$

Sustituyendo $\tan 53^\circ=\frac43$ y $\tan\alpha=\frac45$:

$$\tan\theta = \frac{\frac43-\frac45} {1+\frac43\cdot\frac45} = \frac{\frac{20}{15}-\frac{12}{15}} {1+\frac{16}{15}} = \frac{\frac{8}{15}} {\frac{31}{15}} = \frac{8}{31}.$$

Así, en un problema de este tipo, si te piden $\cot\theta$, bastaría invertir el resultado.

Al multiplicar las fórmulas de $\sin(x+y)$ y $\sin(x-y)$, o de $\cos(x+y)$ y $\cos(x-y)$, se obtienen identidades muy útiles para simplificar expresiones.

3.1. Producto de senos

$$\boxed{\sin(x+y)\sin(x-y)=\sin^2 x-\sin^2 y}$$

Deducción

Sabemos que:

$$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$ $$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$$

Multiplicamos:

$$\sin(x+y)\sin(x-y) = (\sin x\cos y+\cos x\sin y)(\sin x\cos y-\cos x\sin y).$$

Esto tiene la forma $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$$\sin(x+y)\sin(x-y) = \sin^2 x\cos^2 y-\cos^2 x\sin^2 y.$$

Ahora reemplazamos $\cos^2 y=1-\sin^2 y$ y $\cos^2 x=1-\sin^2 x$:

$$\sin^2 x(1-\sin^2 y)-(1-\sin^2 x)\sin^2 y = \sin^2 x-\sin^2 y.$$

3.2. Producto de cosenos

$$\boxed{\cos(x+y)\cos(x-y)=\cos^2 x-\sin^2 y}$$

Deducción

Partimos de:

$$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y,$$ $$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y.$$

Multiplicamos:

$$\cos(x+y)\cos(x-y) = \cos^2 x\cos^2 y-\sin^2 x\sin^2 y.$$

Escribimos $\cos^2 y=1-\sin^2 y$ y $\sin^2 x=1-\cos^2 x$:

$$\cos^2 x(1-\sin^2 y)-(1-\cos^2 x)\sin^2 y = \cos^2 x-\sin^2 y.$$

3.3. Ejemplo de aplicación

Estas identidades son especialmente útiles cuando aparecen diferencias de cuadrados de senos o cosenos.

Ejemplo

Hallemos el valor de

$$H=\frac{\sin^2 58^\circ-\sin^2 28^\circ}{\cos 4^\circ}.$$

Usamos la identidad de producto de senos:

$$\sin^2 58^\circ-\sin^2 28^\circ = \sin(58^\circ+28^\circ)\sin(58^\circ-28^\circ).$$

Entonces:

$$\sin^2 58^\circ-\sin^2 28^\circ = \sin 86^\circ\sin 30^\circ.$$

Como $\sin 86^\circ=\cos 4^\circ$ y $\sin 30^\circ=\frac12$:

$$H = \frac{\cos 4^\circ\cdot \frac12}{\cos 4^\circ} = \frac12.$$

Sin usar la identidad, el cálculo sería mucho más tedioso.

Existen varias identidades que permiten transformar sumas y diferencias de tangentes. Son muy usadas en simplificación.

4.1. Suma y diferencia de tangentes

$$\boxed{\tan x+\tan y=\frac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y}}$$

$$\boxed{\tan x-\tan y=\frac{\sin(x-y)}{\cos x\cos y}}$$

Deducción de la suma

Escribimos cada tangente como cociente de seno y coseno:

$$\tan x+\tan y = \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin y}{\cos y}.$$

Damos común denominador:

$$\tan x+\tan y = \frac{\sin x\cos y+\cos x\sin y}{\cos x\cos y}.$$

El numerador es $\sin(x+y)$. Por lo tanto:

$$\tan x+\tan y = \frac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y}.$$

La diferencia se deduce de manera análoga.

Ejemplo

$$\tan 25^\circ+\tan 12^\circ = \frac{\sin(25^\circ+12^\circ)}{\cos 25^\circ\cos 12^\circ} = \frac{\sin 37^\circ}{\cos 25^\circ\cos 12^\circ}.$$

Esta identidad es útil cuando una expresión tiene una suma de tangentes multiplicada por productos de cosenos.

4.2. Identidades con tangente de la suma y producto de tangentes

De la fórmula de $\tan(x+y)$ se obtienen dos identidades auxiliares muy importantes.

Primera:

$$\boxed{\tan x+\tan y+\tan(x+y)\tan x\tan y=\tan(x+y)}$$

En efecto, de

$$\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$$

se despeja:

$$\tan x+\tan y = \tan(x+y)-\tan(x+y)\tan x\tan y.$$

Pasando el último término al lado izquierdo:

$$\tan x+\tan y+\tan(x+y)\tan x\tan y = \tan(x+y).$$

Segunda:

$$\boxed{\tan x-\tan y-\tan(x-y)\tan x\tan y=\tan(x-y)}$$

Se obtiene de la fórmula de $\tan(x-y)$:

$$\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}.$$

Despejando:

$$\tan x-\tan y = \tan(x-y)+\tan(x-y)\tan x\tan y.$$

Luego:

$$\tan x-\tan y-\tan(x-y)\tan x\tan y = \tan(x-y).$$

Ejemplo

Calculemos

$$M=\tan 10^\circ+\tan 50^\circ+\sqrt3\tan 10^\circ\tan 50^\circ.$$

Observa que $10^\circ+50^\circ=60^\circ$, y $\tan 60^\circ=\sqrt3$. Entonces:

$$\tan 10^\circ+\tan 50^\circ+\tan 60^\circ\tan 10^\circ\tan 50^\circ = \tan 60^\circ.$$

Por lo tanto,

$$M=\sqrt3.$$

Otra herramienta muy importante de este tema es expresar la combinación lineal

$$a\sin x+b\cos x$$

como un solo seno o un solo coseno. Esto sirve para hallar máximos, mínimos, simplificar expresiones y resolver ecuaciones.

5.1. Fórmula de transformación

Si $a$ y $b$ son constantes reales, se cumple:

$$\boxed{a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\theta)}$$

donde $\theta$ es un ángulo tal que:

$$\cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \qquad \sin\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Justificación

Factorizamos $\sqrt{a^2+b^2}$:

$$a\sin x+b\cos x = \sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x \right).$$

Definimos $\theta$ de modo que

$$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos\theta, \qquad \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin\theta.$$

Entonces:

$$a\sin x+b\cos x = \sqrt{a^2+b^2} \left( \sin x\cos\theta+\cos x\sin\theta \right).$$

El paréntesis es justamente $\sin(x+\theta)$. Así:

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\theta).$$

5.2. Ejemplos

Ejemplo 1

$$3\sin x+4\cos x.$$

Aquí $a=3$, $b=4$, y $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=5$.

Además:

$$\cos\theta=\frac35,\qquad \sin\theta=\frac45.$$

El ángulo $\theta$ es $53^\circ$. Por lo tanto:

$$3\sin x+4\cos x=5\sin(x+53^\circ).$$

Ejemplo 2

$$\sqrt3\sin x+\cos x.$$

Tenemos $a=\sqrt3$, $b=1$, y $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3+1}=2$.

$$\cos\theta=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin\theta=\frac12,$$

de donde $\theta=30^\circ$. Entonces:

$$\sqrt3\sin x+\cos x=2\sin(x+30^\circ).$$

5.3. Máximo y mínimo

Como $\sin(x+\theta)$ varía entre $-1$ y $1$, se deduce que:

$$-\sqrt{a^2+b^2} \;\leq\; a\sin x+b\cos x \;\leq\; \sqrt{a^2+b^2}.$$

Por lo tanto:

• El máximo valor de $a\sin x+b\cos x$ es $\sqrt{a^2+b^2}$.
• El mínimo valor es $-\sqrt{a^2+b^2}$.

Ejemplo

Hallemos el máximo de

$$E=5\sin \alpha-12\cos \alpha.$$

Aquí $a=5$, $b=-12$:

$$\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.$$

Entonces:

$$-13\leq 5\sin\alpha-12\cos\alpha\leq 13.$$

Por lo tanto, el máximo valor es $13$.

5.4. Identidades de uso frecuente

Algunos casos particulares de la transformación anterior se usan tanto que conviene reconocerlos de inmediato.

$$\boxed{\sin x\pm\cos x=\sqrt2\sin(x\pm 45^\circ)}$$

$$\boxed{\sqrt3\sin x\pm\cos x=2\sin(x\pm 30^\circ)}$$

$$\boxed{\sin x\pm\sqrt3\cos x=2\sin(x\pm 60^\circ)}$$

No es necesario memorizarlas todas si entiendes el método general, pero reconocerlas te ahorrará tiempo.

Hay propiedades muy útiles cuando tres ángulos suman $180^\circ$ o $90^\circ$.

6.1. Si $\alpha+\beta+\theta=180^\circ$

En un triángulo, los tres ángulos interiores suman $180^\circ$. Por eso estas propiedades aparecen mucho en problemas de triángulos.

Se cumple:

$$\boxed{\tan\alpha+\tan\beta+\tan\theta=\tan\alpha\tan\beta\tan\theta}$$

$$\boxed{\cot\alpha\cot\beta+\cot\alpha\cot\theta+\cot\beta\cot\theta=1}$$

Deducción de la primera identidad

Si $\alpha+\beta+\theta=180^\circ$, entonces

$$\theta=180^\circ-(\alpha+\beta).$$

Por reducción al primer cuadrante:

$$\tan\theta=\tan\big(180^\circ-(\alpha+\beta)\big)=-\tan(\alpha+\beta).$$

Pero

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}.$$

Entonces:

$$\tan\theta = -\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}.$$

Multiplicando:

$$\tan\theta(1-\tan\alpha\tan\beta) = -\tan\alpha-\tan\beta.$$

Es decir:

$$\tan\theta-\tan\alpha\tan\beta\tan\theta = -\tan\alpha-\tan\beta.$$

Pasando todo al primer miembro:

$$\tan\alpha+\tan\beta+\tan\theta = \tan\alpha\tan\beta\tan\theta.$$

Ejemplo

En un triángulo $ABC$, si $\tan A=2$ y $\tan B=3$, hallemos $\tan C$.

Como $A+B+C=180^\circ$, usamos:

$$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C.$$

Sustituyendo:

$$2+3+\tan C=(2)(3)\tan C.$$

$$5+\tan C=6\tan C.$$

$$5=5\tan C.$$

$$\tan C=1.$$

6.2. Si $\alpha+\beta+\theta=90^\circ$

Si los tres ángulos suman $90^\circ$, se cumple:

$$\boxed{\cot\alpha+\cot\beta+\cot\theta=\cot\alpha\cot\beta\cot\theta}$$

$$\boxed{\tan\alpha\tan\beta+\tan\alpha\tan\theta+\tan\beta\tan\theta=1}$$

Deducción de la primera identidad

Si $\alpha+\beta+\theta=90^\circ$, entonces:

$$\theta=90^\circ-(\alpha+\beta).$$

Por lo tanto:

$$\cot\theta = \tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}.$$

Expresando en términos de cotangentes:

$$\cot\theta = \frac{\cot\alpha+\cot\beta}{\cot\alpha\cot\beta-1}.$$

Multiplicando:

$$\cot\theta(\cot\alpha\cot\beta-1) = \cot\alpha+\cot\beta.$$

$$\cot\alpha\cot\beta\cot\theta-\cot\theta = \cot\alpha+\cot\beta.$$

Luego:

$$\cot\alpha+\cot\beta+\cot\theta = \cot\alpha\cot\beta\cot\theta.$$

Ejemplo

Como $10^\circ+15^\circ+65^\circ=90^\circ$, se cumple:

$$\cot 10^\circ+\cot 15^\circ+\cot 65^\circ = \cot 10^\circ\cot 15^\circ\cot 65^\circ.$$

Un caso particular que ha aparecido en exámenes de admisión es cuando dos ángulos suman $45^\circ$, es decir, $\frac{\pi}{4}$.

Si

$$x+y=45^\circ,$$

entonces $\tan(x+y)=\tan 45^\circ=1$. Aplicando la fórmula de la tangente de una suma:

$$\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}=1.$$

Despejando:

$$\tan x+\tan y=1-\tan x\tan y.$$

Es decir:

$$\boxed{\tan x+\tan y+\tan x\tan y=1}$$

7.1. Propiedad con $1+\tan x$ y $1+\tan y$

De la identidad anterior se obtiene una propiedad muy útil:

$$(1+\tan x)(1+\tan y) = 1+\tan x+\tan y+\tan x\tan y.$$

Pero como $\tan x+\tan y+\tan x\tan y=1$, resulta:

$$\boxed{(1+\tan x)(1+\tan y)=2}$$

Siempre que $x+y=45^\circ$.

Ejemplo

$$(1+\tan 5^\circ)(1+\tan 40^\circ)=2,$$

porque $5^\circ+40^\circ=45^\circ$.

7.2. Propiedad con cotangentes

Si $x+y=45^\circ$, también se cumple:

$$\boxed{(1-\cot x)(1-\cot y)=2}$$

Justificación

Sean $a=\tan x$ y $b=\tan y$. Entonces $a+b+ab=1$.

Escribimos la expresión con cotangentes:

$$(1-\cot x)(1-\cot y) = \left(1-\frac1a\right)\left(1-\frac1b\right) = \frac{(a-1)(b-1)}{ab}.$$

Desarrollamos:

$$(a-1)(b-1)=ab-a-b+1.$$

Como $a+b+ab=1$, se tiene $a+b=1-ab$. Sustituimos:

$$(a-1)(b-1) = ab-(1-ab)+1 = ab-1+ab+1 = 2ab.$$

Por lo tanto:

$$(1-\cot x)(1-\cot y) = \frac{2ab}{ab} = 2.$$

1.1. Fórmulas principales

Para dos ángulos $x$ e $y$ cuyas tangentes estén definidas, y siempre que el denominador no sea cero, se cumple:

$$\boxed{\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}$$

$$\boxed{\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}$$

Observa con cuidado los signos:

• En la suma, el numerador lleva suma y el denominador lleva signo negativo: $1-\tan x\tan y$.
• En la diferencia, el numerador lleva resta y el denominador lleva signo positivo: $1+\tan x\tan y$.

Esta es una de las fórmulas que más se confunden en examen.

1.2. ¿De dónde salen estas fórmulas?

La deducción es directa a partir de la tangente como cociente de seno y coseno, y de las identidades de ángulos compuestos que ya conoces.

Sabemos que

$$\tan(x+y)=\frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)}.$$

Usando las fórmulas del seno y coseno de una suma:

$$\tan(x+y)=\frac{\sin x\cos y+\cos x\sin y}{\cos x\cos y-\sin x\sin y}.$$

Si $\cos x\neq 0$ y $\cos y\neq 0$, dividimos el numerador y el denominador entre $\cos x\cos y$:

$$\tan(x+y) = \frac{\dfrac{\sin x\cos y}{\cos x\cos y} + \dfrac{\cos x\sin y}{\cos x\cos y}} {\dfrac{\cos x\cos y}{\cos x\cos y} - \dfrac{\sin x\sin y}{\cos x\cos y}}.$$

Simplificando cada fracción:

$$\tan(x+y) = \frac{\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\sin y}{\cos y}} {1-\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\dfrac{\sin y}{\cos y}}.$$

Es decir:

$$\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}.$$

La fórmula para $\tan(x-y)$ se obtiene cambiando $y$ por $-y$, y recordando que $\tan(-y)=-\tan y$.

1.3. Ejemplos inmediatos

Ejemplo

Calculemos $\tan 75^\circ$, escribiendo $75^\circ=45^\circ+30^\circ$:

$$\tan 75^\circ = \tan(45^\circ+30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ+\tan 30^\circ}{1-\tan 45^\circ\tan 30^\circ}.$$

Sustituyendo $\tan 45^\circ=1$ y $\tan 30^\circ=1/\sqrt3$:

$$\tan 75^\circ = \frac{1+\dfrac{1}{\sqrt3}}{1-\dfrac{1}{\sqrt3}} = \frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}.$$

Si racionalizamos o simplificamos, se obtiene:

$$\tan 75^\circ=2+\sqrt3.$$

De manera análoga:

$$\tan 15^\circ=\tan(45^\circ-30^\circ)=2-\sqrt3.$$

Estos valores son útiles y aparecen con frecuencia.

1.4. La forma equivalente con cotangentes

A veces conviene expresar la tangente de una suma en términos de cotangentes. Como $\tan x=1/\cot x$, podemos escribir:

$$\cot(x+y)=\frac{1}{\tan(x+y)} = \frac{1-\tan x\tan y}{\tan x+\tan y}.$$

Dividiendo numerador y denominador entre $\tan x\tan y$, resulta:

$$\cot(x+y)=\frac{\cot x\cot y-1}{\cot y+\cot x}.$$

No es necesario memorizar esta fórmula si te sientes cómodo con la tangente, pero es muy práctica cuando en el problema predominan cotangentes.

Una de las aplicaciones más importantes de la fórmula de la tangente de una diferencia es despejar uno de los ángulos cuando se conoce la tangente de la suma.

Supón que conoces $\tan(\alpha+\beta)$ y $\tan\alpha$, y quieres hallar $\tan\beta$. No se puede despejar $\tan\beta$ directamente de la fórmula de la suma, pero sí puedes escribir: