Identidades trigonométricas de transformación II: transformación de producto de senos y/o cosenos a una suma o

El objetivo es expresar un producto como suma o diferencia. Las cuatro identidades son:

$$\boxed{2\sin A \cos B = \sin(A+B)+\sin(A-B)}$$

$$\boxed{2\cos A \sin B = \sin(A+B)-\sin(A-B)}$$

$$\boxed{2\cos A \cos B = \cos(A+B)+\cos(A-B)}$$

$$\boxed{2\sin A \sin B = \cos(A-B)-\cos(A+B)}$$

Observa que las dos primeras corresponden al producto de un seno por un coseno, pero el orden importa porque cambia el signo.

Deducción de las fórmulas

Vamos a deducirlas para entender por qué son ciertas.

Caso 1: $2\sin A\cos B$

Partimos de las identidades de adición:

$$\sin(A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B,$$

$$\sin(A-B)=\sin A \cos B-\cos A \sin B.$$

Si sumamos ambas igualdades, los términos $\cos A\sin B$ se cancelan:

$$\sin(A+B)+\sin(A-B) = 2\sin A \cos B.$$

Por lo tanto,

$$2\sin A\cos B = \sin(A+B)+\sin(A-B).$$

Caso 2: $2\cos A\sin B$

Si en cambio restamos:

$$\sin(A+B)-\sin(A-B) = 2\cos A \sin B.$$

Así,

$$2\cos A\sin B = \sin(A+B)-\sin(A-B).$$

Caso 3: $2\cos A\cos B$

Ahora usamos las identidades del coseno:

$$\cos(A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B,$$

$$\cos(A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B.$$

Sumando:

$$\cos(A+B)+\cos(A-B) = 2\cos A \cos B.$$

Por lo tanto,

$$2\cos A\cos B = \cos(A+B)+\cos(A-B).$$

Caso 4: $2\sin A\sin B$

Restando las dos identidades del coseno:

$$\cos(A-B)-\cos(A+B) = 2\sin A \sin B.$$

Es decir,

$$2\sin A\sin B = \cos(A-B)-\cos(A+B).$$

Fíjate en el detalle del orden: en este caso es coseno de la diferencia menos coseno de la suma, no al revés.

Tabla resumen

Una manera rápida de recordar las dos primeras es:

• $2\sin A\cos B$: seno por coseno → suma de senos con signo positivo.
• $2\cos A\sin B$: coseno por seno → el segundo ángulo cambia el signo.
• $2\cos A\cos B$: coseno por coseno → suma de cosenos.
• $2\sin A\sin B$: seno por seno → diferencia de cosenos.

Regla de tres pasos

Para transformar un producto en suma conviene seguir un procedimiento ordenado.

1. Identifica $A$ y $B$ en el producto.
2. Calcula $A+B$ y $A-B$.
3. Aplica la fórmula correspondiente y simplifica usando paridad y ángulos notables si es posible.

Ejemplo 1

Transforma

$$2\sin 10^\circ \cos 20^\circ.$$

Aquí $A=10^\circ$ y $B=20^\circ$. Entonces:

$$A+B=30^\circ,\qquad A-B=-10^\circ.$$

Aplicamos la fórmula de $2\sin A\cos B$:

$$2\sin10^\circ\cos20^\circ = \sin30^\circ+\sin(-10^\circ).$$

Como $\sin(-10^\circ)=-\sin10^\circ$,

$$2\sin10^\circ\cos20^\circ = \frac{1}{2}-\sin10^\circ.$$

Ejemplo 2

Transforma

$$2\cos 15^\circ \cos 45^\circ.$$

Identificamos $A=15^\circ$, $B=45^\circ$:

$$A+B=60^\circ,\qquad A-B=-30^\circ.$$

Entonces,

$$2\cos15^\circ\cos45^\circ = \cos60^\circ+\cos(-30^\circ) = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}.$$

Ejemplo 3

Transforma

$$2\sin37^\circ \sin17^\circ.$$

Con $A=37^\circ$, $B=17^\circ$:

$$A-B=20^\circ,\qquad A+B=54^\circ.$$

Aplicando la fórmula de $2\sin A\sin B$:

$$2\sin37^\circ\sin17^\circ = \cos20^\circ-\cos54^\circ.$$

Productos con coeficiente distinto de 2

Si el producto no tiene el factor 2, lo multiplicamos y dividimos por 2. Por ejemplo:

$$\sin x \cos y = \frac{1}{2}\left[2\sin x \cos y\right] = \frac{1}{2}\left[\sin(x+y)+\sin(x-y)\right].$$

Análogamente,

$$\sin A\sin B = \frac{1}{2}\left[\cos(A-B)-\cos(A+B)\right].$$

Ejemplo 4

Transforma

$$\cos 70^\circ \cos 10^\circ.$$

No tiene factor 2, así que:

$$\cos70^\circ\cos10^\circ = \frac{1}{2}\left[2\cos70^\circ\cos10^\circ\right] = \frac{1}{2}\left[\cos80^\circ+\cos60^\circ\right].$$

Luego,

$$\cos70^\circ\cos10^\circ = \frac{1}{2}\left[\cos80^\circ+\frac{1}{2}\right].$$

Manejo del factor $\sqrt{3}$ y otros coeficientes

Muchas veces un coeficiente como $\sqrt{3}$ se piensa como el doble de una razón notable. Por ejemplo:

$$\sqrt3 \sin14^\circ = 2\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)\sin14^\circ = 2\cos30^\circ \sin14^\circ.$$

Aplicando la fórmula $2\cos A\sin B=\sin(A+B)-\sin(A-B)$ con $A=30^\circ$ y $B=14^\circ$:

$$\sqrt3\sin14^\circ = \sin44^\circ-\sin(-16^\circ) = \sin44^\circ+\sin16^\circ.$$

También podríamos escribir $\sqrt3=2\sin60^\circ$ y usar la fórmula de $2\sin A\sin B$, obteniendo otro resultado equivalente:

$$\sqrt3\sin14^\circ = 2\sin60^\circ\sin14^\circ = \cos46^\circ-\cos74^\circ.$$

Ambas formas son correctas; cuál usar depende del contexto del problema.

Productos encadenados

Cuando hay más de dos factores, la estrategia es transformar por pares y luego volver a transformar si es necesario.

Ejemplo 5

Calcula

$$E=\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ.$$

Primero transformamos $\cos20^\circ\cos40^\circ$:

$$\cos20^\circ\cos40^\circ = \frac{1}{2}\left[\cos60^\circ+\cos(-20^\circ)\right] = \frac{1}{2}\left[\frac12+\cos20^\circ\right].$$

Entonces,

$$E = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac12+\cos20^\circ\right)\cos80^\circ = \frac14\cos80^\circ+\frac12\cos20^\circ\cos80^\circ.$$

Ahora transformamos $\cos20^\circ\cos80^\circ$:

$$\cos20^\circ\cos80^\circ = \frac{1}{2}\left[\cos100^\circ+\cos(-60^\circ)\right] = \frac{1}{2}\left[\cos100^\circ+\frac12\right].$$

Sustituyendo:

$$E = \frac14\cos80^\circ+\frac12\cdot\frac12\left[\cos100^\circ+\frac12\right] = \frac14\cos80^\circ+\frac14\cos100^\circ+\frac18.$$

Como $\cos100^\circ=\cos(180^\circ-80^\circ)=-\cos80^\circ$, los dos primeros términos se cancelan:

$$E=\frac18.$$

Este tipo de cálculo es clásico y muestra el poder de transformar productos en sumas.

1. Simplificación de expresiones

Cuando una expresión tiene un producto en el numerador y una suma en el denominador, transformar el producto puede permitir cancelar términos.

Ejemplo 6

Simplifica

$$M = \frac{2\sin 5x \cos x-\sin 4x}{\cos 6x}.$$

Aplicamos $2\sin5x\cos x=\sin6x+\sin4x$:

$$M = \frac{\sin6x+\sin4x-\sin4x}{\cos6x} = \frac{\sin6x}{\cos6x} = \tan6x.$$

2. Cálculo numérico

Muchas expresiones con ángulos no notables se reducen a cero o a un valor notable luego de transformar.

Ejemplo 7

Calcula

$$S = \cos40^\circ\cos20^\circ-\sin70^\circ\sin50^\circ.$$

Transformamos cada producto:

$$\cos40^\circ\cos20^\circ = \frac{1}{2}\left[\cos60^\circ+\cos20^\circ\right],$$

$$\sin70^\circ\sin50^\circ = \frac{1}{2}\left[\cos20^\circ-\cos120^\circ\right].$$

Restando:

$$S = \frac{1}{2}\left[\cos60^\circ+\cos20^\circ-\cos20^\circ+\cos120^\circ\right] = \frac{1}{2}\left[\frac12-\frac12\right] = 0.$$

3. Uso en triángulos

En un triángulo $ABC$, sabemos que

$$A+B+C=180^\circ.$$

Por lo tanto,

$$A+B=180^\circ-C,$$

y se cumple

$$\sin(A+B)=\sin C,\qquad \cos(A+B)=-\cos C.$$

Estas relaciones permiten simplificar expresiones que incluyen productos de senos y cosenos de ángulos del mismo triángulo.

Ejemplo 8

Simplifica

$$E = 2\sin A\cos B-\sin C,$$

donde $A$, $B$, $C$ son los ángulos de un triángulo.

Transformamos el producto:

$$2\sin A\cos B = \sin(A+B)+\sin(A-B).$$

Como $A+B=180^\circ-C$,

$$\sin(A+B)=\sin C.$$

Entonces,

$$E = \sin C+\sin(A-B)-\sin C = \sin(A-B).$$

Este tipo de reemplazo es muy frecuente en problemas de triángulos.

Las transformaciones de suma a producto y de producto a suma no son compartimentos separados. Dominar ambas te permite elegir la dirección más conveniente.

Por ejemplo, partimos de la transformación de producto a suma:

$$2\sin40^\circ\cos20^\circ = \sin60^\circ+\sin20^\circ.$$

Si ahora aplicamos suma a producto a $\sin60^\circ+\sin20^\circ$, recuperaríamos el producto. Es decir, ambas direcciones son inversas.

En muchos problemas de admisión, aunque la expresión inicial sea una diferencia de senos o cosenos, conviene recordar las fórmulas del tema anterior. Por ejemplo, la diferencia $\sin40^\circ-\sin20^\circ$ se transforma en producto usando suma a producto, no producto a suma.

Este tipo de preguntas muestra que en el bloque de transformaciones trigonométricas se evalúa la comprensión global: saber cuándo usar cada fórmula y cómo se relacionan.

El objetivo es expresar un producto como suma o diferencia. Las cuatro identidades son:

$$\boxed{2\sin A \cos B = \sin(A+B)+\sin(A-B)}$$

$$\boxed{2\cos A \sin B = \sin(A+B)-\sin(A-B)}$$

$$\boxed{2\cos A \cos B = \cos(A+B)+\cos(A-B)}$$

$$\boxed{2\sin A \sin B = \cos(A-B)-\cos(A+B)}$$

Observa que las dos primeras corresponden al producto de un seno por un coseno, pero el orden importa porque cambia el signo.

Deducción de las fórmulas

Vamos a deducirlas para entender por qué son ciertas.

Caso 1: $2\sin A\cos B$

Partimos de las identidades de adición:

$$\sin(A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B,$$

$$\sin(A-B)=\sin A \cos B-\cos A \sin B.$$

Si sumamos ambas igualdades, los términos $\cos A\sin B$ se cancelan:

$$\sin(A+B)+\sin(A-B) = 2\sin A \cos B.$$

Por lo tanto,

$$2\sin A\cos B = \sin(A+B)+\sin(A-B).$$

Caso 2: $2\cos A\sin B$

Si en cambio restamos:

$$\sin(A+B)-\sin(A-B) = 2\cos A \sin B.$$

Así,

$$2\cos A\sin B = \sin(A+B)-\sin(A-B).$$

Caso 3: $2\cos A\cos B$

Ahora usamos las identidades del coseno:

$$\cos(A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B,$$

$$\cos(A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B.$$

Sumando:

$$\cos(A+B)+\cos(A-B) = 2\cos A \cos B.$$

Por lo tanto,

$$2\cos A\cos B = \cos(A+B)+\cos(A-B).$$

Caso 4: $2\sin A\sin B$

Restando las dos identidades del coseno:

$$\cos(A-B)-\cos(A+B) = 2\sin A \sin B.$$

Es decir,

$$2\sin A\sin B = \cos(A-B)-\cos(A+B).$$

Fíjate en el detalle del orden: en este caso es coseno de la diferencia menos coseno de la suma, no al revés.

Tabla resumen

Una manera rápida de recordar las dos primeras es:

• $2\sin A\cos B$: seno por coseno → suma de senos con signo positivo.
• $2\cos A\sin B$: coseno por seno → el segundo ángulo cambia el signo.
• $2\cos A\cos B$: coseno por coseno → suma de cosenos.
• $2\sin A\sin B$: seno por seno → diferencia de cosenos.

Regla de tres pasos

Para transformar un producto en suma conviene seguir un procedimiento ordenado.

1. Identifica $A$ y $B$ en el producto.
2. Calcula $A+B$ y $A-B$.
3. Aplica la fórmula correspondiente y simplifica usando paridad y ángulos notables si es posible.

Ejemplo 1

Transforma

$$2\sin 10^\circ \cos 20^\circ.$$

Aquí $A=10^\circ$ y $B=20^\circ$. Entonces:

$$A+B=30^\circ,\qquad A-B=-10^\circ.$$

Aplicamos la fórmula de $2\sin A\cos B$:

$$2\sin10^\circ\cos20^\circ = \sin30^\circ+\sin(-10^\circ).$$

Como $\sin(-10^\circ)=-\sin10^\circ$,

$$2\sin10^\circ\cos20^\circ = \frac{1}{2}-\sin10^\circ.$$

Ejemplo 2

Transforma

$$2\cos 15^\circ \cos 45^\circ.$$

Identificamos $A=15^\circ$, $B=45^\circ$:

$$A+B=60^\circ,\qquad A-B=-30^\circ.$$

Entonces,

$$2\cos15^\circ\cos45^\circ = \cos60^\circ+\cos(-30^\circ) = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}.$$

Ejemplo 3

Transforma

$$2\sin37^\circ \sin17^\circ.$$

Con $A=37^\circ$, $B=17^\circ$:

$$A-B=20^\circ,\qquad A+B=54^\circ.$$

Aplicando la fórmula de $2\sin A\sin B$:

$$2\sin37^\circ\sin17^\circ = \cos20^\circ-\cos54^\circ.$$

Productos con coeficiente distinto de 2

Si el producto no tiene el factor 2, lo multiplicamos y dividimos por 2. Por ejemplo:

$$\sin x \cos y = \frac{1}{2}\left[2\sin x \cos y\right] = \frac{1}{2}\left[\sin(x+y)+\sin(x-y)\right].$$

Análogamente,

$$\sin A\sin B = \frac{1}{2}\left[\cos(A-B)-\cos(A+B)\right].$$

Ejemplo 4

Transforma

$$\cos 70^\circ \cos 10^\circ.$$

No tiene factor 2, así que:

$$\cos70^\circ\cos10^\circ = \frac{1}{2}\left[2\cos70^\circ\cos10^\circ\right] = \frac{1}{2}\left[\cos80^\circ+\cos60^\circ\right].$$

Luego,

$$\cos70^\circ\cos10^\circ = \frac{1}{2}\left[\cos80^\circ+\frac{1}{2}\right].$$

Manejo del factor $\sqrt{3}$ y otros coeficientes

Muchas veces un coeficiente como $\sqrt{3}$ se piensa como el doble de una razón notable. Por ejemplo:

$$\sqrt3 \sin14^\circ = 2\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)\sin14^\circ = 2\cos30^\circ \sin14^\circ.$$

Aplicando la fórmula $2\cos A\sin B=\sin(A+B)-\sin(A-B)$ con $A=30^\circ$ y $B=14^\circ$:

$$\sqrt3\sin14^\circ = \sin44^\circ-\sin(-16^\circ) = \sin44^\circ+\sin16^\circ.$$

También podríamos escribir $\sqrt3=2\sin60^\circ$ y usar la fórmula de $2\sin A\sin B$, obteniendo otro resultado equivalente:

$$\sqrt3\sin14^\circ = 2\sin60^\circ\sin14^\circ = \cos46^\circ-\cos74^\circ.$$

Ambas formas son correctas; cuál usar depende del contexto del problema.

Productos encadenados

Cuando hay más de dos factores, la estrategia es transformar por pares y luego volver a transformar si es necesario.

Ejemplo 5

Calcula

$$E=\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ.$$

Primero transformamos $\cos20^\circ\cos40^\circ$:

$$\cos20^\circ\cos40^\circ = \frac{1}{2}\left[\cos60^\circ+\cos(-20^\circ)\right] = \frac{1}{2}\left[\frac12+\cos20^\circ\right].$$

Entonces,

$$E = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac12+\cos20^\circ\right)\cos80^\circ = \frac14\cos80^\circ+\frac12\cos20^\circ\cos80^\circ.$$

Ahora transformamos $\cos20^\circ\cos80^\circ$:

$$\cos20^\circ\cos80^\circ = \frac{1}{2}\left[\cos100^\circ+\cos(-60^\circ)\right] = \frac{1}{2}\left[\cos100^\circ+\frac12\right].$$

Sustituyendo:

$$E = \frac14\cos80^\circ+\frac12\cdot\frac12\left[\cos100^\circ+\frac12\right] = \frac14\cos80^\circ+\frac14\cos100^\circ+\frac18.$$

Como $\cos100^\circ=\cos(180^\circ-80^\circ)=-\cos80^\circ$, los dos primeros términos se cancelan:

$$E=\frac18.$$

Este tipo de cálculo es clásico y muestra el poder de transformar productos en sumas.