Ecuaciones trigonométricas I: ecuación trigonométrica elemental (E.T.E.) y su resolución con la circunferencia trigonométrica

En trigonometría conviven dos tipos de igualdades que es necesario diferenciar.

Una identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores admisibles de la variable. Por ejemplo: $$\sen^2 x+\cos^2 x=1$$ es verdadera para cualquier valor real de $x$. No se “resuelve”: se usa para transformar expresiones.

Una ecuación trigonométrica, en cambio, es una igualdad condicional: solo se cumple para ciertos valores de la incógnita. Por ejemplo: $$\cos x=0$$ no es verdadera para todo $x$, sino únicamente para $$x=\frac{\pi}{2}+n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Definición formal. Una ecuación trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen razones trigonométricas de una o varias incógnitas, y que se verifica solamente para algunos valores de dichas incógnitas. Al conjunto de todos esos valores se le llama conjunto solución (C.S.).

Ejemplo introductorio. Considera la ecuación $$2\cos x-1=0.$$ Si probamos con $x=0$: $$2(1)-1=1\neq 0,$$ entonces $x=0$ no es solución. Si probamos con $x=\pi/3$: $$2\left(\frac{1}{2}\right)-1=0,$$ sí es solución. Pero también lo es $x=5\pi/3$, y en general $x=\pi/3+2n\pi$ y $x=5\pi/3+2n\pi$.

La pregunta central de este tema es: ¿cómo hallar todas las soluciones de una ecuación trigonométrica?

Empecemos por la forma más simple posible.

Definición. Una ecuación trigonométrica elemental (E.T.E.) es aquella de la forma $$\mathrm{F.T.}(Ax+B)=N,$$ donde:

• $\mathrm{F.T.}$ es una función trigonométrica: seno, coseno, tangente, cotangente, secante o cosecante;
• $A$, $B$ y $N$ son constantes reales, con $A\neq 0$;
• $x$ es la incógnita.

Son E.T.E., por ejemplo: $$\sen\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}, \qquad \cos(3x+1)=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \tan\left(\frac{x}{2}+\pi\right)=\sqrt{3}, \qquad \csc(5x)=2.$$

¿Por qué se llama elemental? Porque la función trigonométrica ya está “despejada” en el lado izquierdo y el lado derecho es una constante. En el siguiente tema verás ecuaciones no elementales, donde aparecen productos, sumas, potencias o varias razones trigonométricas mezcladas; el trabajo allí será transformarlas en una o varias E.T.E.

Condiciones sobre $N$.

No toda escritura del tipo $\mathrm{F.T.}(\theta)=N$ tiene solución. Como cada razón trigonométrica tiene un rango limitado:

• Para $\sen$ y $\cos$, debe cumplirse $-1\le N\le 1$. Así, $\sen x=2$ no tiene solución.
• Para $\tan$ y $\cot$, $N$ puede ser cualquier número real.
• Para $\sec$ y $\csc$, debe cumplirse $|N|\ge 1$. Así, $\csc x=0{,}5$ no tiene solución.

Para resolver una E.T.E. necesitamos un punto de partida. Ese punto es el valor principal.

Idea intuitiva. La ecuación $\sen\theta=1/2$ tiene muchas soluciones: $\pi/6$, $5\pi/6$, $\pi/6+2\pi$, etc. Para no confundirnos, elegimos una solución representativa dentro de un intervalo restringido, donde la función recorre todos sus valores una sola vez.

Definición. Dado $N$ en el rango de la función, el valor principal (Vp) es el único arco $\theta$ dentro de un intervalo convencional que cumple
$$\mathrm{F.T.}(\theta)=N.$$

Los intervalos convencionales son:

En la práctica, para secante y cosecante se transforma la ecuación a coseno o seno, respectivamente, y se usa el Vp de esas funciones.

¿Cómo hallar el Vp en casos notables? Se busca el arco del intervalo correspondiente cuya razón sea $N$.

Ejemplos:

• $\sen\theta=\dfrac{1}{2}$. En $[-\pi/2;\pi/2]$, el arco es $\pi/6$. Entonces
  $$Vp=\frac{\pi}{6}.$$

• $\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$. En $[0;\pi]$, el arco es $2\pi/3$. Entonces
  $$Vp=\frac{2\pi}{3}.$$

• $\tan\theta=\sqrt{3}$. En $\langle -\pi/2;\pi/2\rangle$, el arco es $\pi/3$. Entonces
  $$Vp=\frac{\pi}{3}.$$

• $\sen\theta=-\dfrac{1}{2}$. En $[-\pi/2;\pi/2]$, el arco es $-\pi/6$. Entonces
  $$Vp=-\frac{\pi}{6}.$$

• $\cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. En $[0;\pi]$, el arco es $\pi/4$. Entonces
  $$Vp=\frac{\pi}{4}.$$

El Vp no es la única solución, pero es el ancla desde la cual generamos todas las demás.

Como las funciones trigonométricas son periódicas, una E.T.E. tiene, en general, infinitas soluciones en $\mathbb{R}$. La solución general las expresa todas mediante un parámetro entero $n$.

4.1. Solución general para el seno

Sea $$\sen(Ax+B)=N.$$ Sea $Vp\in[-\pi/2;\pi/2]$ tal que $\sen(Vp)=N$. Entonces: $$Ax+B=n\pi+(-1)^n Vp,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

¿De dónde sale esta fórmula? En una vuelta de CT, los arcos que tienen el mismo seno son $Vp$ y $\pi-Vp$. Al sumar $2\pi$ repetidamente se obtienen todos. La expresión $n\pi+(-1)^n Vp$ compacta ambos casos:

• si $n=2k$ es par,
  $$2k\pi+(-1)^{2k}Vp=2k\pi+Vp;$$
• si $n=2k+1$ es impar,
  $$(2k+1)\pi+(-1)^{2k+1}Vp=(2k+1)\pi-Vp=2k\pi+\pi-Vp.$$

Así se generan exactamente los arcos que en cada vuelta cumplen la ecuación.

4.2. Solución general para el coseno

Sea $$\cos(Ax+B)=N.$$ Sea $Vp\in[0;\pi]$ tal que $\cos(Vp)=N$. Entonces: $$Ax+B=2n\pi\pm Vp,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

En la CT, los arcos con el mismo coseno son $Vp$ y $-Vp$ (que en $[0;2\pi)$ es $2\pi-Vp$). La fórmula $2n\pi\pm Vp$ cubre ambas familias.

4.3. Solución general para tangente y cotangente

Para $$\tan(Ax+B)=N$$ o $$\cot(Ax+B)=N,$$ sea $Vp$ en el intervalo correspondiente. Entonces: $$Ax+B=n\pi+Vp,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$ La tangente y la cotangente tienen periodo $\pi$, por eso solo se suma $n\pi$.

Resumen de solución general

Para secante y cosecante: $$\sec(Ax+B)=N \quad\Longleftrightarrow\quad \cos(Ax+B)=\frac{1}{N},$$ $$\csc(Ax+B)=N \quad\Longleftrightarrow\quad \sen(Ax+B)=\frac{1}{N}.$$

Ejemplo 1. Resolver $\sen\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$.

• $Vp=\dfrac{\pi}{6}$.
• Entonces
  $$2x-\frac{\pi}{3}=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
• Despejando: $$2x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3},$$ $$x=\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{6}.$$

Ejemplo 2. Resolver $\cos(3x)=-\dfrac{1}{2}$.

• $Vp=\dfrac{2\pi}{3}$.
• Entonces
  $$3x=2n\pi\pm \frac{2\pi}{3},$$ $$x=\frac{2n\pi}{3}\pm \frac{2\pi}{9}.$$

Ejemplo 3. Resolver $\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)=1$.

• $Vp=\dfrac{\pi}{4}$.
• Entonces
  $$\frac{x}{2}=n\pi+\frac{\pi}{4},$$ $$x=2n\pi+\frac{\pi}{2}.$$

En los exámenes de admisión, sin embargo, la mayoría de preguntas no pide la solución general, sino las soluciones dentro de un intervalo específico. Para eso veremos el método de la CT, que es más directo.

La CT no solo sirve para definir las razones trigonométricas; también es una herramienta visual para resolver E.T.E.

Idea clave. Resolver $\mathrm{F.T.}(\theta)=N$ significa encontrar los arcos $\theta$ de la CT donde la proyección correspondiente es igual a $N$:

• para $\sen\theta=N$, trabajamos sobre el eje Y;
• para $\cos\theta=N$, sobre el eje X;
• para $\tan\theta=N$, sobre la recta tangente $x=1$, o usando $\sen\theta/\cos\theta=N$.

Método paso a paso

1. Introduce un ángulo auxiliar $\theta=Ax+B$. La ecuación queda $\mathrm{F.T.}(\theta)=N$.

2. Determina el valor principal $Vp$ de $\theta$.

3. Ubica en la CT los arcos $\theta$ en $[0;2\pi)$ que cumplen la ecuación. Las soluciones básicas son:

   • Para $\sen\theta=N$:
     $$\theta_1=Vp,\qquad \theta_2=\pi-Vp.$$
   • Para $\cos\theta=N$:
     $$\theta_1=Vp,\qquad \theta_2=2\pi-Vp.$$
   • Para $\tan\theta=N$:
     $$\theta_1=Vp,\qquad \theta_2=\pi+Vp.$$ Si $Vp$ es negativo, conviene sumarle $2\pi$ para llevarlo a $[0;2\pi)$.

4. Generaliza con la periodicidad si el intervalo para $x$ lo requiere: suma $2k\pi$ para seno y coseno, o $k\pi$ para tangente.

5. Vuelve a la variable original $x$ despejando de $\theta=Ax+B$.

6. Filtra las soluciones que caen dentro del intervalo pedido.

**

**

Para $\cos\theta=1/2$, la CT muestra claramente que los arcos en $[0;2\pi)$ son $\pi/3$ y $5\pi/3$. Para $\sen\theta=1/2$, la recta horizontal $y=1/2$ corta la CT en $\pi/6$ y $5\pi/6$.

Ejemplo concreto. Resolver $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2},\qquad x\in[0;\pi].$$

• Sea $\theta=2x-\dfrac{\pi}{6}$. Entonces $\cos\theta=\dfrac{1}{2}$.
• $Vp=\dfrac{\pi}{3}$. Los arcos en $[0;2\pi)$ son $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ y $\theta=\dfrac{5\pi}{3}$.
• Para $\theta=\dfrac{\pi}{3}$: $$2x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3} \quad\Longrightarrow\quad 2x=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{4}.$$
• Para $\theta=\dfrac{5\pi}{3}$: $$2x-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{3} \quad\Longrightarrow\quad 2x=\frac{5\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{11\pi}{12}.$$ Como $11\pi/12<\pi$, esta solución sí pertenece al intervalo.

Por lo tanto: $$C.S.=\left\{\frac{\pi}{4};\frac{11\pi}{12}\right\}.$$

Conteo de soluciones en intervalos largos

Si la ecuación es $\sen x=1/2$ y piden soluciones en $[0;4\pi]$, basta observar que en cada vuelta de longitud $2\pi$ hay dos soluciones. En dos vueltas habrá cuatro. Para $\cos x=1/2$ ocurre igual. Para $\tan x=1$, como su periodo es $\pi$, en $[0;2\pi]$ hay dos soluciones y en $[0;4\pi]$ hay cuatro.

Esta forma de razonar es muy útil cuando el problema pide “número de soluciones” sin necesidad de calcularlas todas explícitamente.

Un caso particular importante ocurre cuando $N$ es $0$, $1$ o $-1$. Entonces las soluciones corresponden a arcos cuadrantales y conviene memorizarlas.

Ejemplo. Resolver $\sen(4x)=0$ en $[0;\pi]$.

• De la tabla, $4x=n\pi$, $n\in\mathbb{Z}$.
• Entonces $x=\dfrac{n\pi}{4}$.
• En $[0;\pi]$, los valores son: $$0,\quad \frac{\pi}{4},\quad \frac{\pi}{2},\quad \frac{3\pi}{4},\quad \pi.$$ Hay cinco soluciones.

Ejemplo. Resolver $\cos(3x)=-1$.

• De la tabla, $3x=(2n+1)\pi$.
• Entonces: $$x=\frac{(2n+1)\pi}{3},\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Este tipo de E.T.E. aparece con mucha frecuencia como parte de ecuaciones más grandes.

Aunque el siguiente tema se dedicará por completo a las ecuaciones no elementales, desde ya conviene saber que muchas ecuaciones de examen se reducen a E.T.E. mediante manipulaciones simples. Veamos las tres estrategias más comunes.

7.1. Factorización y producto igual a cero

Si logras escribir la ecuación como un producto de factores igualado a cero, cada factor genera una E.T.E.

Ejemplo. Resolver $$4\cos^2 x\cos 2x=\cos 2x$$ en $[0;2\pi]$.

• Llevamos todo a un lado: $$4\cos^2 x\cos 2x-\cos 2x=0.$$
• Factorizamos: $$\cos 2x\,(4\cos^2 x-1)=0.$$
• Entonces:
  • $\cos 2x=0$ implica $2x=\dfrac{\pi}{2}+n\pi$, es decir: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}.$$
  • $4\cos^2 x-1=0$ implica $\cos^2 x=\dfrac{1}{4}$, de donde: $$\cos x=\frac{1}{2} \quad\text{o}\quad \cos x=-\frac{1}{2}.$$
• Cada una de estas últimas es una E.T.E. de coseno que ya sabes resolver.

7.2. Ecuación cuadrática en seno o coseno

Si aplicando identidades se obtiene una ecuación de la forma $$a\sen^2 x+b\sen x+c=0$$ o su análoga con coseno, se resuelve como una cuadrática en $\sen x$ (o $\cos x$). Cada raíz válida se convierte en una E.T.E.

Ejemplo. Resolver $$10\sen^2 x=3-\sen x$$ en $[0;2\pi]$.

• Reescribimos: $$10\sen^2 x+\sen x-3=0.$$
• Factorizamos: $$(5\sen x+3)(2\sen x-1)=0.$$
• Entonces: $$5\sen x+3=0 \quad\Longrightarrow\quad \sen x=-\frac{3}{5},$$ $$2\sen x-1=0 \quad\Longrightarrow\quad \sen x=\frac{1}{2}.$$
• La primera no es un arco notable, pero aun así es una E.T.E. con $Vp=\operatorname{arcsen}(-3/5)$. La segunda sí es notable y produce dos soluciones en $[0;2\pi]$: $\pi/6$ y $5\pi/6$.

7.3. Uso de identidades para reducir a una sola razón

Muchas veces una identidad basta para transformar la ecuación en una E.T.E.

Ejemplo. Resolver $$\sen x\cos x=\frac{1}{4}.$$ Multiplicando por $2$: $$2\sen x\cos x=\frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \sen 2x=\frac{1}{2}.$$ Ahora es una E.T.E. de seno.

Ejemplo. Si aparece $\cos 2x=-1/2$, ya es una E.T.E.; si aparece $\cos^2 x=1/4$, se reduce a $\cos x=\pm 1/2$.

En todos estos casos, la resolución final es exactamente la que has aprendido: hallar Vp, ubicar los arcos en la CT y despejar la incógnita.

En trigonometría conviven dos tipos de igualdades que es necesario diferenciar.

Una identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores admisibles de la variable. Por ejemplo: $$\sen^2 x+\cos^2 x=1$$ es verdadera para cualquier valor real de $x$. No se “resuelve”: se usa para transformar expresiones.

Una ecuación trigonométrica, en cambio, es una igualdad condicional: solo se cumple para ciertos valores de la incógnita. Por ejemplo: $$\cos x=0$$ no es verdadera para todo $x$, sino únicamente para $$x=\frac{\pi}{2}+n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Definición formal. Una ecuación trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen razones trigonométricas de una o varias incógnitas, y que se verifica solamente para algunos valores de dichas incógnitas. Al conjunto de todos esos valores se le llama conjunto solución (C.S.).

Ejemplo introductorio. Considera la ecuación $$2\cos x-1=0.$$ Si probamos con $x=0$: $$2(1)-1=1\neq 0,$$ entonces $x=0$ no es solución. Si probamos con $x=\pi/3$: $$2\left(\frac{1}{2}\right)-1=0,$$ sí es solución. Pero también lo es $x=5\pi/3$, y en general $x=\pi/3+2n\pi$ y $x=5\pi/3+2n\pi$.

La pregunta central de este tema es: ¿cómo hallar todas las soluciones de una ecuación trigonométrica?

Empecemos por la forma más simple posible.

Definición. Una ecuación trigonométrica elemental (E.T.E.) es aquella de la forma $$\mathrm{F.T.}(Ax+B)=N,$$ donde:

• $\mathrm{F.T.}$ es una función trigonométrica: seno, coseno, tangente, cotangente, secante o cosecante;
• $A$, $B$ y $N$ son constantes reales, con $A\neq 0$;
• $x$ es la incógnita.

Son E.T.E., por ejemplo: $$\sen\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}, \qquad \cos(3x+1)=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \tan\left(\frac{x}{2}+\pi\right)=\sqrt{3}, \qquad \csc(5x)=2.$$

¿Por qué se llama elemental? Porque la función trigonométrica ya está “despejada” en el lado izquierdo y el lado derecho es una constante. En el siguiente tema verás ecuaciones no elementales, donde aparecen productos, sumas, potencias o varias razones trigonométricas mezcladas; el trabajo allí será transformarlas en una o varias E.T.E.

Condiciones sobre $N$.

No toda escritura del tipo $\mathrm{F.T.}(\theta)=N$ tiene solución. Como cada razón trigonométrica tiene un rango limitado:

• Para $\sen$ y $\cos$, debe cumplirse $-1\le N\le 1$. Así, $\sen x=2$ no tiene solución.
• Para $\tan$ y $\cot$, $N$ puede ser cualquier número real.
• Para $\sec$ y $\csc$, debe cumplirse $|N|\ge 1$. Así, $\csc x=0{,}5$ no tiene solución.

Para resolver una E.T.E. necesitamos un punto de partida. Ese punto es el valor principal.

Idea intuitiva. La ecuación $\sen\theta=1/2$ tiene muchas soluciones: $\pi/6$, $5\pi/6$, $\pi/6+2\pi$, etc. Para no confundirnos, elegimos una solución representativa dentro de un intervalo restringido, donde la función recorre todos sus valores una sola vez.

Definición. Dado $N$ en el rango de la función, el valor principal (Vp) es el único arco $\theta$ dentro de un intervalo convencional que cumple
$$\mathrm{F.T.}(\theta)=N.$$

Los intervalos convencionales son:

En la práctica, para secante y cosecante se transforma la ecuación a coseno o seno, respectivamente, y se usa el Vp de esas funciones.

¿Cómo hallar el Vp en casos notables? Se busca el arco del intervalo correspondiente cuya razón sea $N$.

Ejemplos:

• $\sen\theta=\dfrac{1}{2}$. En $[-\pi/2;\pi/2]$, el arco es $\pi/6$. Entonces
  $$Vp=\frac{\pi}{6}.$$

• $\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$. En $[0;\pi]$, el arco es $2\pi/3$. Entonces
  $$Vp=\frac{2\pi}{3}.$$

• $\tan\theta=\sqrt{3}$. En $\langle -\pi/2;\pi/2\rangle$, el arco es $\pi/3$. Entonces
  $$Vp=\frac{\pi}{3}.$$

• $\sen\theta=-\dfrac{1}{2}$. En $[-\pi/2;\pi/2]$, el arco es $-\pi/6$. Entonces
  $$Vp=-\frac{\pi}{6}.$$

• $\cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. En $[0;\pi]$, el arco es $\pi/4$. Entonces
  $$Vp=\frac{\pi}{4}.$$

El Vp no es la única solución, pero es el ancla desde la cual generamos todas las demás.

Como las funciones trigonométricas son periódicas, una E.T.E. tiene, en general, infinitas soluciones en $\mathbb{R}$. La solución general las expresa todas mediante un parámetro entero $n$.

4.1. Solución general para el seno

Sea $$\sen(Ax+B)=N.$$ Sea $Vp\in[-\pi/2;\pi/2]$ tal que $\sen(Vp)=N$. Entonces: $$Ax+B=n\pi+(-1)^n Vp,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

¿De dónde sale esta fórmula? En una vuelta de CT, los arcos que tienen el mismo seno son $Vp$ y $\pi-Vp$. Al sumar $2\pi$ repetidamente se obtienen todos. La expresión $n\pi+(-1)^n Vp$ compacta ambos casos:

• si $n=2k$ es par,
  $$2k\pi+(-1)^{2k}Vp=2k\pi+Vp;$$
• si $n=2k+1$ es impar,
  $$(2k+1)\pi+(-1)^{2k+1}Vp=(2k+1)\pi-Vp=2k\pi+\pi-Vp.$$

Así se generan exactamente los arcos que en cada vuelta cumplen la ecuación.

4.2. Solución general para el coseno

Sea $$\cos(Ax+B)=N.$$ Sea $Vp\in[0;\pi]$ tal que $\cos(Vp)=N$. Entonces: $$Ax+B=2n\pi\pm Vp,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

En la CT, los arcos con el mismo coseno son $Vp$ y $-Vp$ (que en $[0;2\pi)$ es $2\pi-Vp$). La fórmula $2n\pi\pm Vp$ cubre ambas familias.

4.3. Solución general para tangente y cotangente

Para $$\tan(Ax+B)=N$$ o $$\cot(Ax+B)=N,$$ sea $Vp$ en el intervalo correspondiente. Entonces: $$Ax+B=n\pi+Vp,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$ La tangente y la cotangente tienen periodo $\pi$, por eso solo se suma $n\pi$.

Resumen de solución general

Para secante y cosecante: $$\sec(Ax+B)=N \quad\Longleftrightarrow\quad \cos(Ax+B)=\frac{1}{N},$$ $$\csc(Ax+B)=N \quad\Longleftrightarrow\quad \sen(Ax+B)=\frac{1}{N}.$$

Ejemplo 1. Resolver $\sen\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$.

• $Vp=\dfrac{\pi}{6}$.
• Entonces
  $$2x-\frac{\pi}{3}=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
• Despejando: $$2x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3},$$ $$x=\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{6}.$$

Ejemplo 2. Resolver $\cos(3x)=-\dfrac{1}{2}$.

• $Vp=\dfrac{2\pi}{3}$.
• Entonces
  $$3x=2n\pi\pm \frac{2\pi}{3},$$ $$x=\frac{2n\pi}{3}\pm \frac{2\pi}{9}.$$

Ejemplo 3. Resolver $\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)=1$.

• $Vp=\dfrac{\pi}{4}$.
• Entonces
  $$\frac{x}{2}=n\pi+\frac{\pi}{4},$$ $$x=2n\pi+\frac{\pi}{2}.$$

En los exámenes de admisión, sin embargo, la mayoría de preguntas no pide la solución general, sino las soluciones dentro de un intervalo específico. Para eso veremos el método de la CT, que es más directo.

La CT no solo sirve para definir las razones trigonométricas; también es una herramienta visual para resolver E.T.E.

Idea clave. Resolver $\mathrm{F.T.}(\theta)=N$ significa encontrar los arcos $\theta$ de la CT donde la proyección correspondiente es igual a $N$:

• para $\sen\theta=N$, trabajamos sobre el eje Y;
• para $\cos\theta=N$, sobre el eje X;
• para $\tan\theta=N$, sobre la recta tangente $x=1$, o usando $\sen\theta/\cos\theta=N$.

Método paso a paso

1. Introduce un ángulo auxiliar $\theta=Ax+B$. La ecuación queda $\mathrm{F.T.}(\theta)=N$.

2. Determina el valor principal $Vp$ de $\theta$.

3. Ubica en la CT los arcos $\theta$ en $[0;2\pi)$ que cumplen la ecuación. Las soluciones básicas son:

   • Para $\sen\theta=N$:
     $$\theta_1=Vp,\qquad \theta_2=\pi-Vp.$$
   • Para $\cos\theta=N$:
     $$\theta_1=Vp,\qquad \theta_2=2\pi-Vp.$$
   • Para $\tan\theta=N$:
     $$\theta_1=Vp,\qquad \theta_2=\pi+Vp.$$ Si $Vp$ es negativo, conviene sumarle $2\pi$ para llevarlo a $[0;2\pi)$.

4. Generaliza con la periodicidad si el intervalo para $x$ lo requiere: suma $2k\pi$ para seno y coseno, o $k\pi$ para tangente.

5. Vuelve a la variable original $x$ despejando de $\theta=Ax+B$.

6. Filtra las soluciones que caen dentro del intervalo pedido.

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Para $\cos\theta=1/2$, la CT muestra claramente que los arcos en $[0;2\pi)$ son $\pi/3$ y $5\pi/3$. Para $\sen\theta=1/2$, la recta horizontal $y=1/2$ corta la CT en $\pi/6$ y $5\pi/6$.

Ejemplo concreto. Resolver $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2},\qquad x\in[0;\pi].$$

• Sea $\theta=2x-\dfrac{\pi}{6}$. Entonces $\cos\theta=\dfrac{1}{2}$.
• $Vp=\dfrac{\pi}{3}$. Los arcos en $[0;2\pi)$ son $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ y $\theta=\dfrac{5\pi}{3}$.
• Para $\theta=\dfrac{\pi}{3}$: $$2x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3} \quad\Longrightarrow\quad 2x=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{4}.$$
• Para $\theta=\dfrac{5\pi}{3}$: $$2x-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{3} \quad\Longrightarrow\quad 2x=\frac{5\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{11\pi}{12}.$$ Como $11\pi/12<\pi$, esta solución sí pertenece al intervalo.