Funciones trigonométricas inversas

La pregunta inversa

Consideremos la siguiente situación: se sabe que $$\operatorname{sen}\theta = \frac{2}{3},$$ y se pide hallar $\theta$ si $\theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$.

Como $\frac{2}{3}\in[-1,1]$, existe un único ángulo $\theta$ en ese intervalo que cumple la condición. Ese ángulo no es, en general, un ángulo notable; por eso le damos un nombre: $$\theta = \operatorname{arcsen}\left(\frac{2}{3}\right).$$ Así, $\operatorname{arcsen}\left(\frac{2}{3}\right)$ es el ángulo principal cuyo seno es $\frac{2}{3}$.

En general, dado un número $x$ entre $-1$ y $1$, existe un único $\theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ tal que $\operatorname{sen}\theta=x$. Ese $\theta$ es el arco seno de $x$.

Definición formal

La función arco seno se define como: $$y=\operatorname{arcsen} x \quad \Longleftrightarrow \quad x=\operatorname{sen} y,$$ con $$x\in[-1,1] \quad \text{y} \quad y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$

Dicho de otra manera, $y$ es el único ángulo en el intervalo $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ cuyo seno es $x$.

La función arco seno es, por tanto, $$\operatorname{arcsen}:[-1,1]\to \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$

Es importante observar que $x$ es un valor de seno, no un ángulo; mientras que $y$ es un ángulo, no un valor de seno. Por ejemplo: $$\operatorname{arcsen}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6},$$ porque $$\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2} \quad \text{y} \quad \frac{\pi}{6}\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$

Otro ejemplo: $$\operatorname{arcsen}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{\pi}{4},$$ porque $$\operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{y} \quad -\frac{\pi}{4}\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$

Notación y lectura

La expresión $\operatorname{arcsen} x$ se lee «arco seno de $x$» o «el arco cuyo seno es $x$». También es común la notación $$\operatorname{sen}^{-1} x.$$ Sin embargo, hay que tener mucho cuidado: $\operatorname{sen}^{-1} x$ no significa $$\frac{1}{\operatorname{sen} x}.$$ El recíproco del seno es la cosecante: $$(\operatorname{sen} x)^{-1} = \frac{1}{\operatorname{sen} x} = \csc x.$$ En cambio, $\operatorname{sen}^{-1} x$ es otra forma de escribir $\operatorname{arcsen} x$, es decir, la función inversa.

Consecuencias inmediatas de la definición

De la equivalencia $$y=\operatorname{arcsen} x \quad \Longleftrightarrow \quad x=\operatorname{sen} y$$ se obtienen dos propiedades básicas muy útiles:

1. La función directa aplicada a la inversa: $$\operatorname{sen}(\operatorname{arcsen} x)=x, \quad \text{para todo } x\in[-1,1].$$ Esto es evidente: si $y=\operatorname{arcsen} x$, entonces $\operatorname{sen} y=x$, es decir, $$\operatorname{sen}(\operatorname{arcsen} x)=x.$$ Por ejemplo, $$\operatorname{sen}\left(\operatorname{arcsen}\left(\frac{3}{4}\right)\right)=\frac{3}{4}.$$

2. La inversa aplicada a la función directa: $$\operatorname{arcsen}(\operatorname{sen} y)=y, \quad \text{para todo } y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$ Si $y$ ya está en la rama principal, el arco cuyo seno es $\operatorname{sen} y$ es exactamente $y$. Por ejemplo, $$\operatorname{arcsen}\left(\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{5}\right)\right)=\frac{\pi}{5}.$$

Estas dos propiedades no son simétricas sin condiciones: la primera exige que $x$ esté en $[-1,1]$; la segunda exige que el ángulo $y$ esté en $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$. Más adelante veremos cómo manejar ángulos fuera de ese intervalo.

Valores notables

Para evaluar $\operatorname{arcsen} x$ en valores notables, se usan los ángulos notables del primer y cuarto cuadrante, es decir, los ángulos entre $-\frac{\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{2}$. La tabla siguiente es fundamental:

$$\begin{array}{c|ccccccccc} x & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ \hline \operatorname{arcsen} x & -\frac{\pi}{2} & -\frac{\pi}{3} & -\frac{\pi}{4} & -\frac{\pi}{6} & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} \end{array}$$

Conviene memorizarla, pues muchas preguntas de dominio y rango dependen de evaluar correctamente estos valores.

Ejemplos: $$\operatorname{arcsen}(0)=0,$$ $$\operatorname{arcsen}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3},$$ $$\operatorname{arcsen}(-1)=-\frac{\pi}{2}.$$

Dominio

La función arco seno está definida para todos los valores que puede tomar el seno directo. Como el rango de la función seno es $[-1,1]$, el dominio de la función arco seno es: $$\operatorname{Dom}(\operatorname{arcsen})=[-1,1].$$

Por eso no existe $\operatorname{arcsen} 2$, porque ningún ángulo tiene seno igual a $2$. En general, si se escribe $\operatorname{arcsen} u$, debe cumplirse $$-1\leq u\leq 1.$$ Esta restricción es la base para hallar el dominio de funciones compuestas con arco seno.

Rango

El rango de la función arco seno es la rama principal del seno: $$\operatorname{Ran}(\operatorname{arcsen})=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$ Esto significa que $\operatorname{arcsen} x$ siempre devuelve un ángulo entre $-\frac{\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{2}$, inclusive.

Por ejemplo, aunque la ecuación $$\operatorname{sen}\theta=\frac{1}{2}$$ tiene infinitas soluciones, la expresión $$\operatorname{arcsen}\left(\frac{1}{2}\right)$$ solo puede ser $\frac{\pi}{6}$, no $\frac{5\pi}{6}$.

Gráfica

La gráfica de $y=\operatorname{arcsen} x$ se obtiene reflejando la gráfica de la rama principal de $y=\operatorname{sen} x$ respecto de la recta $y=x$.

) y su reflejo $y=\operatorname{arcsen} x$ sobre el intervalo $[-1,1]$. En la gráfica de arco seno se rotulan los puntos $(-1,-π/2)$, $(-1/2,-π/6)$, $(0,0)$, $(1/2,π/6)$ y $(1,π/2)$. La curva es creciente y tiene forma de S alargada.]

La gráfica de $y=\operatorname{arcsen} x$ tiene las siguientes características:

• Pasa por el origen: $(0,0)$.
• Sus extremos son $\left(-1,-\frac{\pi}{2}\right)$ y $\left(1,\frac{\pi}{2}\right)$.
• Es creciente en todo su dominio.
• Es simétrica respecto del origen, porque es una función impar.

Monotonía

La función arco seno es creciente en todo su dominio. Es decir, si $$a<b \quad \text{con } a,b\in[-1,1],$$ entonces $$\operatorname{arcsen} a < \operatorname{arcsen} b.$$

Esto es consecuencia de que la rama principal del seno es creciente.

Ejemplo: $$-\frac{1}{2}<\frac{1}{3}$$ implica $$\operatorname{arcsen}\left(-\frac{1}{2}\right) < \operatorname{arcsen}\left(\frac{1}{3}\right).$$

Paridad

La función arco seno es impar: $$\operatorname{arcsen}(-x)=-\operatorname{arcsen} x, \quad \text{para todo } x\in[-1,1].$$

Ejemplos: $$\operatorname{arcsen}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\operatorname{arcsen}\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6},$$ $$\operatorname{arcsen}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}.$$

Esta propiedad es muy útil para simplificar expresiones con signos negativos.

$\operatorname{sen}(\operatorname{arcsen} x)=x$

Esta propiedad ya la mencionamos. Se cumple para todo $$x\in[-1,1].$$ Es la forma más directa de «cancelar» la función inversa con la directa.

Ejemplo: $$\operatorname{sen}\left(\operatorname{arcsen}\left(\frac{7}{9}\right)\right)=\frac{7}{9}.$$

Si $x$ no está en $[-1,1]$, la expresión $\operatorname{arcsen} x$ no está definida, por lo que $\operatorname{sen}(\operatorname{arcsen} x)$ tampoco lo está.

$\operatorname{arcsen}(\operatorname{sen} \theta)=\theta$ y su restricción

La propiedad $$\operatorname{arcsen}(\operatorname{sen} \theta)=\theta$$ se cumple solo si $$\theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$

Ejemplo válido: $$\operatorname{arcsen}\left(\operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) = -\frac{\pi}{3}.$$

Ejemplo inválido directo: $$\operatorname{arcsen}\left(\operatorname{sen}\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) \neq \frac{2\pi}{3}.$$ ¿Cuál es el valor correcto? Sabemos que $$\operatorname{sen}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$ El ángulo principal en $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ cuyo seno es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ es $\frac{\pi}{3}$. Por lo tanto, $$\operatorname{arcsen}\left(\operatorname{sen}\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) = \frac{\pi}{3}.$$

En general, si $\theta$ está fuera de la rama principal, hay que reducirlo a un ángulo equivalente en $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ que tenga el mismo seno.

Una regla práctica para $\theta\in[0,2\pi)$ es la siguiente:

$$\begin{array}{c|c} \text{Ubicación de } \theta & \operatorname{arcsen}(\operatorname{sen}\theta) \\ \hline \theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right] & \theta \\[2mm] \theta\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right] & \pi-\theta \\[2mm] \theta\in\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right) & \theta-2\pi \end{array}$$

Si $\theta$ está fuera de $[0,2\pi)$, primero se le suma o resta un múltiplo de $2\pi$ para ubicarlo en ese intervalo.

Ejemplos:

• $\operatorname{arcsen}\left(\operatorname{sen}\left(\frac{5\pi}{4}\right)\right)$: $$\frac{5\pi}{4}\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right],$$ por lo que el resultado es $$\pi-\frac{5\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}.$$

• $\operatorname{arcsen}\left(\operatorname{sen}\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right)$: $$\frac{7\pi}{4}\in\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right),$$ por lo que el resultado es $$\frac{7\pi}{4}-2\pi=-\frac{\pi}{4}.$$

Esta reducción es importante para no cometer errores al simplificar expresiones.

Despeje de ángulos

Si se tiene una ecuación de la forma $$\operatorname{sen}\theta = n,$$ y se sabe que $\theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$, entonces se puede despejar directamente: $$\theta = \operatorname{arcsen} n.$$

Por ejemplo, si $$\operatorname{sen}\theta = \frac{2}{5} \quad \text{y} \quad \theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right],$$ entonces $$\theta = \operatorname{arcsen}\left(\frac{2}{5}\right).$$

En problemas más generales, si se tiene $$a = b \operatorname{sen}(k\theta+d),$$ se despeja así: $$\operatorname{sen}(k\theta+d)=\frac{a}{b},$$ y, si $k\theta+d$ está en la rama principal, $$k\theta+d = \operatorname{arcsen}\left(\frac{a}{b}\right),$$ de donde $$\theta = \frac{1}{k}\left[\operatorname{arcsen}\left(\frac{a}{b}\right)-d\right].$$

Este tipo de despeje se usa en geometría y en problemas aplicados.

Relación con el coseno: $\cos(\operatorname{arcsen} x)=\sqrt{1-x^{2}}$

Sea $$\theta=\operatorname{arcsen} x.$$ Entonces $$\operatorname{sen}\theta=x \quad \text{y} \quad \theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$ En ese intervalo, el coseno es no negativo. Por lo tanto, de la identidad pitagórica $$\operatorname{sen}^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$$ se obtiene $$\cos^{2}\theta=1-x^{2},$$ y como $\cos\theta\geq 0$, $$\cos\theta=\sqrt{1-x^{2}}.$$ Es decir, $$\cos(\operatorname{arcsen} x)=\sqrt{1-x^{2}}, \quad x\in[-1,1].$$

Esta relación es muy útil. Por ejemplo, $$\cos\left(\operatorname{arcsen}\left(\frac{3}{5}\right)\right) = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}.$$

También se puede visualizar mediante un triángulo rectángulo.

De ese mismo triángulo se deduce $$\tan(\operatorname{arcsen} x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}},$$ para $x\in(-1,1)$, con cuidado en los signos del cuadrante correspondiente.

En el examen no solo se pide evaluar $\operatorname{arcsen} x$, sino también hallar dominio y rango de expresiones como $$f(x)=A\operatorname{arcsen}(g(x))+B.$$

Cálculo del dominio

Para que $$f(x)=\operatorname{arcsen}(g(x))$$ esté definida, el argumento $g(x)$ debe pertenecer al dominio del arco seno, es decir, $$-1\leq g(x)\leq 1.$$ Resolviendo esta desigualdad se obtiene el dominio de $f$.

Ejemplo 1. Hallar el dominio de $$f(x)=\operatorname{arcsen}(x+2).$$ Debemos tener $$-1\leq x+2\leq 1.$$ Restando $2$: $$-3\leq x\leq -1.$$ Por lo tanto, $$\operatorname{Dom} f=[-3,-1].$$

Ejemplo 2. Hallar el dominio de $$f(x)=\operatorname{arcsen}(2x-1).$$ Se plantea $$-1\leq 2x-1\leq 1.$$ Sumando $1$: $$0\leq 2x\leq 2,$$ dividiendo entre $2$: $$0\leq x\leq 1.$$ Así, $$\operatorname{Dom} f=[0,1].$$

Cálculo del rango

Para hallar el rango de $$f(x)=A\operatorname{arcsen}(g(x))+B,$$ se analiza el recorrido de $g(x)$ dentro de $[-1,1]$.

Caso 1: $g(x)$ recorre todo $[-1,1]$.

Entonces $$\operatorname{arcsen}(g(x))$$ recorre todo el rango del arco seno: $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$ Luego se aplican las transformaciones de multiplicación por $A$ y suma de $B$.

Si $A>0$, el intervalo se transforma en $$\left[B-A\frac{\pi}{2},\,B+A\frac{\pi}{2}\right].$$ Si $A<0$, los extremos se invierten.

Ejemplo 3. Hallar el rango de $$f(x)=3\operatorname{arcsen} x+\frac{\pi}{2}.$$ Sabemos que $$\operatorname{arcsen} x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$ Multiplicando por $3$: $$3\operatorname{arcsen} x\in\left[-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right].$$ Sumando $\frac{\pi}{2}$: $$3\operatorname{arcsen} x+\frac{\pi}{2} \in \left[-\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{2},\,\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right] = \left[-\pi,\,2\pi\right].$$ Por lo tanto, $$\operatorname{Ran} f=[-\pi,2\pi].$$

Caso 2: $g(x)$ no recorre todo $[-1,1]$.

En ese caso, hay que determinar el recorrido efectivo de $g(x)$. Como arco seno es creciente, si $$g(x)\in[m,n]\subseteq[-1,1],$$ entonces $$\operatorname{arcsen}(g(x)) \in \left[\operatorname{arcsen} m,\,\operatorname{arcsen} n\right].$$

Ejemplo 4. Sea $$f(x)=2\operatorname{arcsen}(3x)+\pi, \quad x\in\left[-\frac{1}{3},0\right].$$ Primero, el dominio natural de $\operatorname{arcsen}(3x)$ es $$-1\leq 3x\leq 1 \quad \Longrightarrow \quad -\frac{1}{3}\leq x\leq \frac{1}{3}.$$ El intervalo dado $\left[-\frac{1}{3},0\right]$ está contenido en el dominio natural.

Para $x\in\left[-\frac{1}{3},0\right]$, el argumento $u=3x$ recorre $$[-1,0].$$ Como arco seno es creciente, $$\operatorname{arcsen}(3x) \in \left[\operatorname{arcsen}(-1),\,\operatorname{arcsen}(0)\right] = \left[-\frac{\pi}{2},0\right].$$ Multiplicando por $2$: $$2\operatorname{arcsen}(3x) \in [-\pi,0].$$ Sumando $\pi$: $$2\operatorname{arcsen}(3x)+\pi \in [0,\pi].$$ Por lo tanto, $$\operatorname{Ran} f=[0,\pi].$$

Este tipo de análisis es muy frecuente en las preguntas de admisión.

Ecuaciones directas

Si se tiene una ecuación de la forma $$\operatorname{arcsen}(g(x))=k,$$ lo primero es verificar que $k$ esté en el rango del arco seno, es decir, $$k\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$ Si no está, la ecuación no tiene solución.

Si $k$ sí está en el rango, se aplica seno a ambos lados: $$\operatorname{sen}(\operatorname{arcsen}(g(x)))=\operatorname{sen} k,$$ y como $$\operatorname{sen}(\operatorname{arcsen} u)=u$$ para $u\in[-1,1]$, se obtiene $$g(x)=\operatorname{sen} k.$$ Luego se resuelve la ecuación algebraica.

Ejemplo 5. Resolver $$\operatorname{arcsen}(2x-1)=\frac{\pi}{6}.$$ Como $\frac{\pi}{6}\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$, aplicamos seno: $$2x-1=\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.$$ Entonces $$2x=\frac{3}{2} \quad \Longrightarrow \quad x=\frac{3}{4}.$$ Se verifica que $2\left(\frac{3}{4}\right)-1=\frac{1}{2}\in[-1,1]$, por lo que la solución es válida.

Ejemplo 6. Resolver $$\operatorname{arcsen}(2x-1)=2\pi.$$ Aquí $2\pi\notin\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución.

Igualdad de arcos seno

Como la función arco seno es inyectiva, si $$\operatorname{arcsen} A = \operatorname{arcsen} B,$$ entonces $$A=B.$$ Esto se debe a que arco seno es una función uno a uno.

Ejemplo 7. Resolver $$\operatorname{arcsen}(2x)=\operatorname{arcsen}\left(x+\frac{1}{2}\right).$$ Igualando argumentos: $$2x=x+\frac{1}{2} \quad \Longrightarrow \quad x=\frac{1}{2}.$$ Se verifica que ambos argumentos están en $[-1,1]$: $$2\left(\frac{1}{2}\right)=1, \quad \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$$ Por lo tanto, la solución es válida.

Relación $\operatorname{arcsen} a+\operatorname{arcsen} b=\frac{\pi}{2}$

Una relación muy importante, que ha aparecido en preguntas de admisión, es la suma de dos arcos seno igual a $\frac{\pi}{2}$.

Sean $$\alpha=\operatorname{arcsen} a, \quad \beta=\operatorname{arcsen} b,$$ con $$\alpha,\beta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$ Si $$\alpha+\beta=\frac{\pi}{2},$$ entonces $$\beta=\frac{\pi}{2}-\alpha.$$ Aplicando seno a ambos lados: $$\operatorname{sen}\beta = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\alpha.$$ Pero $$\operatorname{sen}\beta=b$$ y $$\cos\alpha=\sqrt{1-a^{2}},$$ porque $\alpha=\operatorname{arcsen} a$. Por lo tanto, $$b=\sqrt{1-a^{2}}.$$ Elevando al cuadrado: $$b^{2}=1-a^{2},$$ es decir, $$a^{2}+b^{2}=1.$$

Además, como $\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$ y cada uno está en $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$, forzosamente $\alpha,\beta\geq 0$. Así que $a,b\geq 0$.

Este resultado permite convertir una ecuación trigonométrica inversa en una ecuación algebraica.

Ejemplo 8. Si $$\operatorname{arcsen}\left(\frac{x}{3}\right) + \operatorname{arcsen}\left(\frac{y}{4}\right) = \frac{\pi}{2},$$ hallar la ecuación cartesiana que relaciona $x$ e $y$.

Solución: Sean $$a=\frac{x}{3}, \quad b=\frac{y}{4}.$$ Entonces $$\operatorname{arcsen} a+\operatorname{arcsen} b=\frac{\pi}{2}.$$ Por la propiedad anterior, $$a^{2}+b^{2}=1,$$ es decir, $$\left(\frac{x}{3}\right)^{2} + \left(\frac{y}{4}\right)^{2} = 1.$$ Por lo tanto, $$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1,$$ o equivalentemente, $$16x^{2}+9y^{2}=144.$$ Esta es la ecuación de una elipse centrada en el origen.