Tema 21 de 35Trigonometría

Reducción al primer cuadrante II: ángulos mayores a una vuelta

Aprenderás a reducir ángulos mayores a una vuelta y negativos al primer cuadrante usando la periodicidad y los signos, para calcular valores exactos y simplificar expresiones trigonométricas.

✍️ 20 preguntas de práctica⭐ 3 preguntas reales de San Marcos🎯 Practicar este tema

Ruta de estudio

Estudia a tu ritmo

El contenido cambia según tu experiencia, pero tu progreso queda separado y nunca se pierde.

Descargar PDF ANUAL

Inicia sesión para guardar tu avance y diagnóstico.

Iniciar sesión

14 min de lectura10 apartados3 temas que vinieron en admisión2 figuras y esquemas

El porqué del tema

¿Para qué estudiamos este tema?

En el tema anterior aprendiste a reducir razones trigonométricas de ángulos menores que una vuelta, como $180°-\theta$ , $270°+\theta$ o $360°-\theta$ . Eso resuelve muchos casos, pero en la práctica y en los exámenes de admisión aparecen ángulos como $780°$ , $1125°$ , $1410°$ , $-\alpha$ , $\frac{29\pi}{4}$ o $\frac{20\pi}{3}$ : ángulos que dan varias vueltas o que son negativos.

Este tema responde dos preguntas básicas:

¿Qué hago con un ángulo mayor a una vuelta ( $360°$ o $2\pi$ rad)?
¿Qué hago con un ángulo negativo?

La idea central es que todas las razones trigonométricas son periódicas: dar vueltas completas no cambia el lado final del ángulo, y por tanto no cambia sus razones trigonométricas. Además, los ángulos negativos se relacionan con los positivos mediante reglas de signo, porque un ángulo negativo representa una rotación en sentido contrario.

Dominar estas reglas te permitirá reducir cualquier ángulo, por grande o negativo que sea, a un ángulo del primer cuadrante. Con eso podrás calcular valores exactos, simplificar expresiones y resolver ecuaciones trigonométricas.

En los exámenes de la UNMSM este tema aparece combinado con el anterior: primero se quitan vueltas completas, luego se aplican signos de ángulos negativos y, finalmente, se reduce al primer cuadrante. Por ejemplo, en un examen reciente se evaluaron expresiones como $\mathrm{sen}(-\alpha)$ y $\cos(-\beta)$ junto con ángulos coterminales.

Antes de empezar

Lo que necesitas saber antes

Antes de empezar conviene recordar tres ideas del tema anterior.

1. Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal

Si un ángulo $\theta$ en posición normal tiene su lado final pasando por un punto $P(x;y)$ , y $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ , entonces:

$\mathrm{sen}\,\theta=\frac{y}{r},\qquad \cos\theta=\frac{x}{r},\qquad \tan\theta=\frac{y}{x}$

y sus recíprocas:

$\csc\theta=\frac{r}{y},\qquad \sec\theta=\frac{r}{x},\qquad \cot\theta=\frac{x}{y}$

En la circunferencia unitaria ( $r=1$ ), el punto $P$ tiene coordenadas $(\cos\theta;\mathrm{sen}\,\theta)$ .

2. Signos de las razones por cuadrantes

$\begin{array}{c|cccc} \text{Razones} & \text{I} & \text{II} & \text{III} & \text{IV} \\ \hline \mathrm{sen}\,\theta,\ \csc\theta & + & + & - & - \\ \cos\theta,\ \sec\theta & + & - & - & + \\ \tan\theta,\ \cot\theta & + & - & + & - \end{array}$

3. Reglas de reducción para ángulos menores a una vuelta

Del tema anterior:

Para ángulos de la forma $180°\pm\theta$ y $360°-\theta$ , la razón trigonométrica no cambia de nombre:

$\mathrm{R.T}(180°\pm\theta)=\pm \mathrm{R.T}(\theta),\qquad \mathrm{R.T}(360°-\theta)=\pm \mathrm{R.T}(\theta)$

El signo se coloca según el cuadrante al que pertenece el ángulo original.

Para ángulos de la forma $90°\pm\theta$ y $270°\pm\theta$ , la razón cambia a su co-razón:

$\mathrm{R.T}(90°\pm\theta)=\pm \mathrm{Co{-}R.T}(\theta),\qquad \mathrm{R.T}(270°\pm\theta)=\pm \mathrm{Co{-}R.T}(\theta)$

Recuerda que las co-razones son:

$\mathrm{sen}\leftrightarrow\cos,\qquad \tan\leftrightarrow\cot,\qquad \sec\leftrightarrow\csc$

Estas reglas se usaban con $\theta$ agudo. En este tema las extenderemos a ángulos de cualquier magnitud.

1. Ángulos coterminales: la idea que permite eliminar vueltas completas

Antes de hablar de ángulos mayores a una vuelta, necesitamos entender qué son los ángulos coterminales.

Dos ángulos en posición normal son coterminales si tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final. Por ejemplo, si tomamos el ángulo de $30°$ y le sumamos una vuelta completa, obtenemos $390°$ :

$390°=360°+30°$

Al representar $30°$ y $390°$ en posición normal, su lado final es exactamente el mismo: el rayo que forma $30°$ con el eje positivo $X$ .

Ángulos coterminales θ y θ+360° en la circunferencia unitaria

Como el punto $P$ de la circunferencia unitaria asociado a ambos ángulos es el mismo, todas sus razones trigonométricas son iguales:

$\mathrm{sen}(\theta+360°)=\mathrm{sen}\,\theta$

$\cos(\theta+360°)=\cos\theta$

$\tan(\theta+360°)=\tan\theta$

Y lo mismo para sus recíprocas. En general, si dos ángulos difieren en un número entero de vueltas completas, sus razones trigonométricas son idénticas.

En la práctica, esto ya lo conocías: un ángulo de $390°$ cae en el primer cuadrante y tiene las mismas razones que $30°$ .

2. Regla de reducción de ángulos mayores a una vuelta

Idea concreta

Imagina que debes calcular $\mathrm{sen}\,780°$ . No tiene sentido dibujar dos vueltas completas y luego $60°$ ; simplemente observamos que:

$780°=720°+60°=2(360°)+60°$

Las dos vueltas completas ( $720°$ ) no cambian el lado final. Por tanto:

$\mathrm{sen}\,780°=\mathrm{sen}\,60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Esa es la regla fundamental.

Regla general en grados sexagesimales

Si un ángulo positivo $\alpha$ se escribe como:

$\alpha=360°n+\theta,\qquad n\in\mathbb{Z},\quad 0°\le \theta<360°$

entonces, para cualquier razón trigonométrica:

$\boxed{\mathrm{R.T}(360°n+\theta)=\mathrm{R.T}(\theta)}$

El número $n$ representa la cantidad de vueltas completas que se pueden eliminar. El ángulo $\theta$ es el residuo al dividir $\alpha$ entre $360°$ .

Ejemplo: Reduce $\cos 1090°$ .

Dividimos:

$1090°=3(360°)+10°$

Luego:

$\cos 1090°=\cos 10°$

No podemos dar un valor exacto simple para $\cos 10°$ , pero la reducción ya está hecha.

Regla general en radianes

En radianes, una vuelta completa es $2\pi$ . Por tanto:

$\mathrm{R.T}(2\pi n+\theta)=\mathrm{R.T}(\theta)$

donde $0\le \theta<2\pi$ .

Ejemplo: Reduce $\cos\frac{29\pi}{4}$ .

Como $2\pi=\frac{8\pi}{4}$ , buscamos cuántas vueltas completas hay en $\frac{29\pi}{4}$ :

$\frac{29\pi}{4} = \frac{24\pi}{4}+\frac{5\pi}{4} = 3(2\pi)+\frac{5\pi}{4}$

Entonces:

$\cos\frac{29\pi}{4} = \cos\frac{5\pi}{4}$

Ahora, $\frac{5\pi}{4}$ está en el tercer cuadrante y es de la forma $\pi+\frac{\pi}{4}$ :

$\cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right) = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

¿Cómo se divide en la práctica?

Para ángulos en grados, basta dividir entre $360°$ :

$\alpha=360°n+\theta$

donde $n$ es el cociente entero y $\theta$ el residuo.

Ejemplo: Reduce $\tan 1125°$ .

Dividimos:

$1125=3(360)+45$

Luego:

$\tan 1125°=\tan 45°=1$

Para ángulos en radianes de la forma $\frac{a\pi}{b}$ , compara el numerador $a$ con $2b$ , porque:

$2\pi=\frac{2b\pi}{b}$

Ejemplo: Reduce $\tan\frac{33\pi}{4}$ .

Aquí $a=33$ , $b=4$ . Una vuelta es $\frac{8\pi}{4}$ . Como $33=4\cdot8+1$ :

$\frac{33\pi}{4} = 4(2\pi)+\frac{\pi}{4}$

Entonces:

$\tan\frac{33\pi}{4} = \tan\frac{\pi}{4} = 1$

Cuando el residuo no es agudo

La regla $R.T(360°n+\theta)=R.T(\theta)$ nos deja con un ángulo $\theta$ entre $0°$ y $360°$ . Pero ese residuo puede no ser agudo. En ese caso, todavía debemos aplicar las reglas del tema anterior para llevarlo al primer cuadrante.

Ejemplo: Calcula $\mathrm{sen}\,1410°$ .

Dividimos:

$1410=3(360)+330$

Por tanto:

$\mathrm{sen}\,1410°=\mathrm{sen}\,330°$

Ahora $330°=360°-30°$ . El ángulo está en el cuarto cuadrante, donde el seno es negativo:

$\mathrm{sen}\,330°=\mathrm{sen}(360°-30°)=-\mathrm{sen}\,30°=-\frac{1}{2}$

Por eso decimos que este tema se encadena con el anterior: primero quitamos vueltas completas y luego aplicamos la reducción al primer cuadrante que ya conoces.

3. Reglas de reducción de ángulos negativos

¿Qué significa un ángulo negativo?

Un ángulo positivo se genera rotando en sentido antihorario. Un ángulo negativo se genera rotando en sentido horario.

Por ejemplo, $-30°$ significa girar $30°$ en sentido horario. Su lado final coincide con el de $330°$ . Por tanto:

$-30°\quad\text{y}\quad 330°$

son ángulos coterminales.

Circunferencia unitaria con ángulos x y −x

Deducción de las reglas de signo

En la circunferencia unitaria, si $x$ es un ángulo agudo, su punto terminal es:

$P=(\cos x;\ \mathrm{sen}\,x)$

El ángulo $-x$ se obtiene girando la misma magnitud en sentido contrario; su punto terminal es simétrico respecto al eje $X$ :

$P'=(\cos x;\ -\mathrm{sen}\,x)$

Es decir:

$\cos(-x)=\cos x$

$\mathrm{sen}(-x)=-\mathrm{sen}\,x$

A partir de estas dos se obtienen todas las demás. Por ejemplo:

$\tan(-x) = \frac{\mathrm{sen}(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\mathrm{sen}\,x}{\cos x} = -\tan x$

Para las recíprocas:

$\csc(-x)=\frac{1}{\mathrm{sen}(-x)}=-\csc x$

$\sec(-x)=\frac{1}{\cos(-x)}=\sec x$

$\cot(-x)=\frac{1}{\tan(-x)}=-\cot x$

Regla práctica

$\boxed{ \begin{aligned} \mathrm{sen}(-x)&=-\mathrm{sen}\,x\\ \csc(-x)&=-\csc x\\ \tan(-x)&=-\tan x\\ \cot(-x)&=-\cot x \end{aligned} } \qquad \boxed{ \begin{aligned} \cos(-x)&=\cos x\\ \sec(-x)&=\sec x \end{aligned} }$

Esto se resume así:

Solo el coseno y la secante son funciones pares: no cambian de signo.
El seno, cosecante, tangente y cotangente son funciones impares: cambian de signo.

Ejemplos numéricos:

$\mathrm{sen}(-30°)=-\mathrm{sen}\,30°=-\frac{1}{2}$

$\cos(-45°)=\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(-60°)=-\tan 60°=-\sqrt{3}$

$\sec(-30°)=\sec 30°=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ángulos negativos y vueltas completas

La regla anterior también funciona cuando el ángulo negativo tiene magnitud mayor que una vuelta.

Ejemplo: Calcula $\mathrm{sen}(-750°)$ .

Podemos aplicar la regla de ángulos negativos primero:

$\mathrm{sen}(-750°)=-\mathrm{sen}\,750°$

Luego reducimos $750°$ :

$750°=720°+30°$

Entonces:

$\mathrm{sen}(-750°) = -\mathrm{sen}\,750° = -\mathrm{sen}\,30° = -\frac{1}{2}$

También se puede escribir directamente:

$-750°=-720°-30°$

y como $-720°$ son dos vueltas completas negativas:

$\mathrm{sen}(-750°)=\mathrm{sen}(-30°)=-\frac{1}{2}$

Ambos caminos son correctos.

4. Procedimiento general para reducir cualquier ángulo al primer cuadrante

Con las dos reglas anteriores ya puedes enfrentar cualquier ángulo real. Conviene seguir un orden:

Paso 1: Si el ángulo es negativo, aplica la regla de ángulos negativos

Esto transforma el ángulo negativo en positivo y deja el signo fuera de la razón:

$\mathrm{sen}(-\alpha)=-\mathrm{sen}\,\alpha$

$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$

$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$

y análogas para las recíprocas.

Paso 2: Si el ángulo positivo es mayor a una vuelta, elimina vueltas completas

Divide entre $360°$ en grados, o compara con $2\pi$ en radianes:

$\mathrm{R.T}(360°n+\theta)=\mathrm{R.T}(\theta)$

$\mathrm{R.T}(2\pi n+\theta)=\mathrm{R.T}(\theta)$

con $0°\le\theta<360°$ o $0\le\theta<2\pi$ .

Paso 3: Si el residuo $\theta$ no es agudo, reduce al primer cuadrante

Usa las reglas del tema anterior:

$180°\pm\theta$ , $360°-\theta$ : misma razón, con signo según cuadrante.
$90°\pm\theta$ , $270°\pm\theta$ : co-razón, con signo según cuadrante.

Paso 4: Reemplaza el valor del ángulo agudo

Finalmente, usa los valores notables de las razones trigonométricas de $30°$ , $45°$ y $60°$ si corresponde.

Ejemplo completo

Calcula:

$E=\cos(-1410°)$

Paso 1: El ángulo es negativo. Como es coseno:

$\cos(-1410°)=\cos 1410°$

Paso 2: Reducimos $1410°$ :

$1410°=3(360°)+330°$

$\cos 1410°=\cos 330°$

Paso 3: $330°=360°-30°$ . Está en el cuarto cuadrante, donde el coseno es positivo:

$\cos 330°=\cos(360°-30°)=\cos 30°$

Paso 4:

$\cos(-1410°)=\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Otro ejemplo:

Calcula:

$E=\tan(-1125°)$

Paso 1: La tangente es impar:

$\tan(-1125°)=-\tan 1125°$

Paso 2: Reducimos $1125°$ :

$1125°=3(360°)+45°$

$-\tan 1125°=-\tan 45°$

Paso 3 y 4:

$\tan(-1125°)=-1$

5. Simplificación de expresiones con ángulos de cualquier magnitud

En los exámenes es muy común que no solo pidan calcular un valor numérico, sino simplificar expresiones en las que aparecen letras y ángulos como $360°+x$ , $720°-x$ , $-x$ , etc.

La técnica es la misma: reducir cada factor por separado.

Ejemplo de simplificación

Simplifica:

$P = \mathrm{sen}(-x)\csc(360°+x) - \tan^{2}(180°-x) + \cos(-x)\sec(720°-x)$

Reducimos cada término:

$\mathrm{sen}(-x)=-\mathrm{sen}\,x$
$\csc(360°+x)=\csc x$ , porque se elimina una vuelta.
$\tan(180°-x)=-\tan x$ , porque $180°-x$ está en el segundo cuadrante y la tangente es negativa. Al elevar al cuadrado: $\tan^{2}(180°-x)=\tan^{2}x$ .
$\cos(-x)=\cos x$
$\sec(720°-x)=\sec(360°\cdot 2-x)=\sec(-x)=\sec x$

Sustituyendo:

$P = (-\mathrm{sen}\,x)(\csc x) - \tan^{2}x + (\cos x)(\sec x)$

Usamos identidades recíprocas:

$\mathrm{sen}\,x\cdot\csc x=1$

$\cos x\cdot\sec x=1$

Entonces:

$P=-1-\tan^{2}x+1$

$P=-\tan^{2}x$

Este tipo de simplificación muestra por qué conviene dominar las reglas: cada pieza se reduce rápidamente y la expresión se vuelve manejable.

Observación sobre $360°n-\theta$

Un caso especial que suele generar errores es cuando aparece un ángulo de la forma $360°n-\theta$ , es decir, un ángulo que está cerca de una vuelta completa pero con signo negativo en $\theta$ .

Ejemplo:

$\mathrm{sen}(720°-x)$

Primero eliminamos las vueltas completas:

$720°-x=2(360°)-x$

Entonces:

$\mathrm{sen}(720°-x)=\mathrm{sen}(-x)=-\mathrm{sen}\,x$

No se debe escribir $\mathrm{sen}(720°-x)=\mathrm{sen}\,x$ , porque $720°-x$ no es coterminal con $x$ , sino con $-x$ .

En general:

$\mathrm{sen}(360°n-\theta)=-\mathrm{sen}\,\theta$

$\cos(360°n-\theta)=\cos\theta$

$\tan(360°n-\theta)=-\tan\theta$

para $n\in\mathbb{Z}$ .

Cuidado

Errores frecuentes

1. Eliminar vueltas completas sin considerar el signo negativo

Error:

$\mathrm{sen}(720°-x)=\mathrm{sen}\,x$

Correcto:

$\mathrm{sen}(720°-x)=\mathrm{sen}(-x)=-\mathrm{sen}\,x$

Cuando el ángulo es $360°n-\theta$ , después de quitar las vueltas queda $-\theta$ , no $\theta$ .

2. Creer que $\cos(-x)=-\cos x$

El coseno es una función par:

$\cos(-x)=\cos x$

Solo cambian de signo el seno, la tangente y sus recíprocas.

3. Aplicar co-razón al reducir $360°$

Las vueltas completas no cambian el nombre de la razón. No se debe transformar $\mathrm{sen}(360°+\theta)$ en $\cos\theta$ . Eso solo ocurre con $90°$ y $270°$ .

Error:

$\mathrm{sen}(360°+\theta)=\cos\theta$

Correcto:

$\mathrm{sen}(360°+\theta)=\mathrm{sen}\,\theta$

4. No dividir correctamente en radianes

En radianes, una vuelta es $2\pi$ , no $\pi$ . Al reducir $\frac{29\pi}{4}$ , se compara con $2\pi=\frac{8\pi}{4}$ , no con $\frac{4\pi}{4}$ .

Error común:

$\frac{29\pi}{4} = 7\pi+\frac{\pi}{4}$

Aunque matemáticamente es cierto, $7\pi$ no es un número entero de vueltas completas; por eso no se puede concluir directamente que la tangente sea $\tan\frac{\pi}{4}$ , porque $\pi$ sí cambia el cuadrante. Lo correcto es agrupar en $2\pi$ :

$\frac{29\pi}{4} = 3(2\pi)+\frac{5\pi}{4}$

5. Olvidar las recíprocas al aplicar signos

Las reglas de ángulos negativos también se aplican a las recíprocas:

$\csc(-x)=-\csc x,\qquad \sec(-x)=\sec x,\qquad \cot(-x)=-\cot x$

No se debe reducir solamente seno, coseno y tangente.

Aprende resolviendo

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Calcula:

$E=\sec 780°+\tan 1125°-\csc 750°$

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Ejemplo 2

Calcula:

$P = \frac{\mathrm{sen}(-45°)}{\cos 315°} + \frac{\cos(-30°)}{\mathrm{sen}\,690°}$

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Ejemplo 3

Simplifica:

$Q = \frac{\mathrm{sen}(-x)+\cos(270°-x)}{\cos(360°-x)}$

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Ejemplo 4

Calcula:

$E = \frac{ \cos\left(-\frac{20\pi}{3}\right) \cdot \sec\left(\frac{25\pi}{4}\right) }{ \tan\left(-\frac{29\pi}{6}\right) }$

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Lo que viene

Hacia el siguiente tema

Ahora ya sabes reducir cualquier ángulo, positivo o negativo, por grande que sea, a un ángulo del primer cuadrante. En muchos problemas, después de reducir, aparecen expresiones con ángulos dobles o múltiplos, como $\mathrm{sen}\,2x$ , $\cos 2x$ o productos de senos y cosenos.

El siguiente tema, identidades trigonométricas de ángulos múltiples, te dará las herramientas para transformar $\mathrm{sen}\,2x$ y $\cos 2x$ en expresiones que dependan de $\mathrm{sen}\,x$ y $\cos x$ . Así podrás simplificar y resolver expresiones más complejas que combinan reducción al primer cuadrante con identidades de ángulo doble.

Ir al siguiente tema: Identidades trigonométricas de ángulos múltiples I: seno y coseno del ángulo doble

¿Lo dominas?

Pon a prueba lo que aprendiste

20 preguntas de práctica tipo admisión y 3 preguntas reales de San Marcos, con clave y resolución explicada.

Practicar este tema

Practicar

14 min de lectura10 apartados3 temas que vinieron en admisión2 figuras y esquemas

El porqué del tema

¿Para qué estudiamos este tema?

Este tema responde dos preguntas básicas:

¿Qué hago con un ángulo mayor a una vuelta ( $360°$ o $2\pi$ rad)?
¿Qué hago con un ángulo negativo?

Antes de empezar

Lo que necesitas saber antes

Antes de empezar conviene recordar tres ideas del tema anterior.

1. Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal

Si un ángulo $\theta$ en posición normal tiene su lado final pasando por un punto $P(x;y)$ , y $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ , entonces:

$\mathrm{sen}\,\theta=\frac{y}{r},\qquad \cos\theta=\frac{x}{r},\qquad \tan\theta=\frac{y}{x}$

y sus recíprocas:

$\csc\theta=\frac{r}{y},\qquad \sec\theta=\frac{r}{x},\qquad \cot\theta=\frac{x}{y}$

En la circunferencia unitaria ( $r=1$ ), el punto $P$ tiene coordenadas $(\cos\theta;\mathrm{sen}\,\theta)$ .

2. Signos de las razones por cuadrantes

3. Reglas de reducción para ángulos menores a una vuelta

Del tema anterior:

Para ángulos de la forma $180°\pm\theta$ y $360°-\theta$ , la razón trigonométrica no cambia de nombre:

$\mathrm{R.T}(180°\pm\theta)=\pm \mathrm{R.T}(\theta),\qquad \mathrm{R.T}(360°-\theta)=\pm \mathrm{R.T}(\theta)$

El signo se coloca según el cuadrante al que pertenece el ángulo original.

Para ángulos de la forma $90°\pm\theta$ y $270°\pm\theta$ , la razón cambia a su co-razón:

$\mathrm{R.T}(90°\pm\theta)=\pm \mathrm{Co{-}R.T}(\theta),\qquad \mathrm{R.T}(270°\pm\theta)=\pm \mathrm{Co{-}R.T}(\theta)$

Recuerda que las co-razones son:

$\mathrm{sen}\leftrightarrow\cos,\qquad \tan\leftrightarrow\cot,\qquad \sec\leftrightarrow\csc$

Estas reglas se usaban con $\theta$ agudo. En este tema las extenderemos a ángulos de cualquier magnitud.

1. Ángulos coterminales: la idea que permite eliminar vueltas completas

Antes de hablar de ángulos mayores a una vuelta, necesitamos entender qué son los ángulos coterminales.

$390°=360°+30°$

Al representar $30°$ y $390°$ en posición normal, su lado final es exactamente el mismo: el rayo que forma $30°$ con el eje positivo $X$ .

Ángulos coterminales θ y θ+360° en la circunferencia unitaria

Como el punto $P$ de la circunferencia unitaria asociado a ambos ángulos es el mismo, todas sus razones trigonométricas son iguales:

$\mathrm{sen}(\theta+360°)=\mathrm{sen}\,\theta$

$\cos(\theta+360°)=\cos\theta$

$\tan(\theta+360°)=\tan\theta$

Y lo mismo para sus recíprocas. En general, si dos ángulos difieren en un número entero de vueltas completas, sus razones trigonométricas son idénticas.

En la práctica, esto ya lo conocías: un ángulo de $390°$ cae en el primer cuadrante y tiene las mismas razones que $30°$ .

2. Regla de reducción de ángulos mayores a una vuelta

Idea concreta

Imagina que debes calcular $\mathrm{sen}\,780°$ . No tiene sentido dibujar dos vueltas completas y luego $60°$ ; simplemente observamos que:

$780°=720°+60°=2(360°)+60°$

Las dos vueltas completas ( $720°$ ) no cambian el lado final. Por tanto:

$\mathrm{sen}\,780°=\mathrm{sen}\,60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Esa es la regla fundamental.

Regla general en grados sexagesimales

Si un ángulo positivo $\alpha$ se escribe como:

$\alpha=360°n+\theta,\qquad n\in\mathbb{Z},\quad 0°\le \theta<360°$

entonces, para cualquier razón trigonométrica:

$\boxed{\mathrm{R.T}(360°n+\theta)=\mathrm{R.T}(\theta)}$

El número $n$ representa la cantidad de vueltas completas que se pueden eliminar. El ángulo $\theta$ es el residuo al dividir $\alpha$ entre $360°$ .

Ejemplo: Reduce $\cos 1090°$ .

Dividimos:

$1090°=3(360°)+10°$

Luego:

$\cos 1090°=\cos 10°$

No podemos dar un valor exacto simple para $\cos 10°$ , pero la reducción ya está hecha.

Regla general en radianes

En radianes, una vuelta completa es $2\pi$ . Por tanto:

$\mathrm{R.T}(2\pi n+\theta)=\mathrm{R.T}(\theta)$

donde $0\le \theta<2\pi$ .

Ejemplo: Reduce $\cos\frac{29\pi}{4}$ .

Como $2\pi=\frac{8\pi}{4}$ , buscamos cuántas vueltas completas hay en $\frac{29\pi}{4}$ :

$\frac{29\pi}{4} = \frac{24\pi}{4}+\frac{5\pi}{4} = 3(2\pi)+\frac{5\pi}{4}$

Entonces:

$\cos\frac{29\pi}{4} = \cos\frac{5\pi}{4}$

Ahora, $\frac{5\pi}{4}$ está en el tercer cuadrante y es de la forma $\pi+\frac{\pi}{4}$ :

$\cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right) = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

¿Cómo se divide en la práctica?

Para ángulos en grados, basta dividir entre $360°$ :

$\alpha=360°n+\theta$

donde $n$ es el cociente entero y $\theta$ el residuo.

Ejemplo: Reduce $\tan 1125°$ .

Dividimos:

$1125=3(360)+45$

Luego:

$\tan 1125°=\tan 45°=1$

Para ángulos en radianes de la forma $\frac{a\pi}{b}$ , compara el numerador $a$ con $2b$ , porque:

$2\pi=\frac{2b\pi}{b}$

Ejemplo: Reduce $\tan\frac{33\pi}{4}$ .

Aquí $a=33$ , $b=4$ . Una vuelta es $\frac{8\pi}{4}$ . Como $33=4\cdot8+1$ :

$\frac{33\pi}{4} = 4(2\pi)+\frac{\pi}{4}$

Entonces:

$\tan\frac{33\pi}{4} = \tan\frac{\pi}{4} = 1$

Cuando el residuo no es agudo

Ejemplo: Calcula $\mathrm{sen}\,1410°$ .

Dividimos:

$1410=3(360)+330$

Por tanto:

$\mathrm{sen}\,1410°=\mathrm{sen}\,330°$

Ahora $330°=360°-30°$ . El ángulo está en el cuarto cuadrante, donde el seno es negativo:

$\mathrm{sen}\,330°=\mathrm{sen}(360°-30°)=-\mathrm{sen}\,30°=-\frac{1}{2}$

Por eso decimos que este tema se encadena con el anterior: primero quitamos vueltas completas y luego aplicamos la reducción al primer cuadrante que ya conoces.

3. Reglas de reducción de ángulos negativos

¿Qué significa un ángulo negativo?

Un ángulo positivo se genera rotando en sentido antihorario. Un ángulo negativo se genera rotando en sentido horario.

Por ejemplo, $-30°$ significa girar $30°$ en sentido horario. Su lado final coincide con el de $330°$ . Por tanto:

$-30°\quad\text{y}\quad 330°$

son ángulos coterminales.

Circunferencia unitaria con ángulos x y −x

Deducción de las reglas de signo

En la circunferencia unitaria, si $x$ es un ángulo agudo, su punto terminal es:

$P=(\cos x;\ \mathrm{sen}\,x)$

El ángulo $-x$ se obtiene girando la misma magnitud en sentido contrario; su punto terminal es simétrico respecto al eje $X$ :

$P'=(\cos x;\ -\mathrm{sen}\,x)$

Es decir:

$\cos(-x)=\cos x$

$\mathrm{sen}(-x)=-\mathrm{sen}\,x$

A partir de estas dos se obtienen todas las demás. Por ejemplo:

$\tan(-x) = \frac{\mathrm{sen}(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\mathrm{sen}\,x}{\cos x} = -\tan x$

Para las recíprocas:

$\csc(-x)=\frac{1}{\mathrm{sen}(-x)}=-\csc x$

$\sec(-x)=\frac{1}{\cos(-x)}=\sec x$

$\cot(-x)=\frac{1}{\tan(-x)}=-\cot x$

Regla práctica

Esto se resume así:

Solo el coseno y la secante son funciones pares: no cambian de signo.
El seno, cosecante, tangente y cotangente son funciones impares: cambian de signo.

Ejemplos numéricos:

$\mathrm{sen}(-30°)=-\mathrm{sen}\,30°=-\frac{1}{2}$

$\cos(-45°)=\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(-60°)=-\tan 60°=-\sqrt{3}$

$\sec(-30°)=\sec 30°=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ángulos negativos y vueltas completas

La regla anterior también funciona cuando el ángulo negativo tiene magnitud mayor que una vuelta.

Ejemplo: Calcula $\mathrm{sen}(-750°)$ .

Podemos aplicar la regla de ángulos negativos primero:

$\mathrm{sen}(-750°)=-\mathrm{sen}\,750°$

Luego reducimos $750°$ :

$750°=720°+30°$

Entonces:

$\mathrm{sen}(-750°) = -\mathrm{sen}\,750° = -\mathrm{sen}\,30° = -\frac{1}{2}$

También se puede escribir directamente:

$-750°=-720°-30°$

y como $-720°$ son dos vueltas completas negativas:

$\mathrm{sen}(-750°)=\mathrm{sen}(-30°)=-\frac{1}{2}$

Ambos caminos son correctos.

4. Procedimiento general para reducir cualquier ángulo al primer cuadrante

Con las dos reglas anteriores ya puedes enfrentar cualquier ángulo real. Conviene seguir un orden:

Paso 1: Si el ángulo es negativo, aplica la regla de ángulos negativos

Esto transforma el ángulo negativo en positivo y deja el signo fuera de la razón:

$\mathrm{sen}(-\alpha)=-\mathrm{sen}\,\alpha$

$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$

$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$

y análogas para las recíprocas.

Paso 2: Si el ángulo positivo es mayor a una vuelta, elimina vueltas completas

Divide entre $360°$ en grados, o compara con $2\pi$ en radianes:

$\mathrm{R.T}(360°n+\theta)=\mathrm{R.T}(\theta)$

$\mathrm{R.T}(2\pi n+\theta)=\mathrm{R.T}(\theta)$

con $0°\le\theta<360°$ o $0\le\theta<2\pi$ .

Paso 3: Si el residuo $\theta$ no es agudo, reduce al primer cuadrante

Usa las reglas del tema anterior:

$180°\pm\theta$ , $360°-\theta$ : misma razón, con signo según cuadrante.
$90°\pm\theta$ , $270°\pm\theta$ : co-razón, con signo según cuadrante.

Paso 4: Reemplaza el valor del ángulo agudo

Finalmente, usa los valores notables de las razones trigonométricas de $30°$ , $45°$ y $60°$ si corresponde.

Ejemplo completo

Calcula:

$E=\cos(-1410°)$

Paso 1: El ángulo es negativo. Como es coseno:

$\cos(-1410°)=\cos 1410°$

Paso 2: Reducimos $1410°$ :

$1410°=3(360°)+330°$

$\cos 1410°=\cos 330°$

Paso 3: $330°=360°-30°$ . Está en el cuarto cuadrante, donde el coseno es positivo:

$\cos 330°=\cos(360°-30°)=\cos 30°$

Paso 4:

$\cos(-1410°)=\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Otro ejemplo:

Calcula:

$E=\tan(-1125°)$

Paso 1: La tangente es impar:

$\tan(-1125°)=-\tan 1125°$

Paso 2: Reducimos $1125°$ :

$1125°=3(360°)+45°$

$-\tan 1125°=-\tan 45°$

Paso 3 y 4:

$\tan(-1125°)=-1$

5. Simplificación de expresiones con ángulos de cualquier magnitud

En los exámenes es muy común que no solo pidan calcular un valor numérico, sino simplificar expresiones en las que aparecen letras y ángulos como $360°+x$ , $720°-x$ , $-x$ , etc.

La técnica es la misma: reducir cada factor por separado.

Ejemplo de simplificación

Simplifica:

$P = \mathrm{sen}(-x)\csc(360°+x) - \tan^{2}(180°-x) + \cos(-x)\sec(720°-x)$

Reducimos cada término:

$\mathrm{sen}(-x)=-\mathrm{sen}\,x$
$\csc(360°+x)=\csc x$ , porque se elimina una vuelta.
$\tan(180°-x)=-\tan x$ , porque $180°-x$ está en el segundo cuadrante y la tangente es negativa. Al elevar al cuadrado: $\tan^{2}(180°-x)=\tan^{2}x$ .
$\cos(-x)=\cos x$
$\sec(720°-x)=\sec(360°\cdot 2-x)=\sec(-x)=\sec x$

Sustituyendo:

$P = (-\mathrm{sen}\,x)(\csc x) - \tan^{2}x + (\cos x)(\sec x)$

Usamos identidades recíprocas:

$\mathrm{sen}\,x\cdot\csc x=1$

$\cos x\cdot\sec x=1$

Entonces:

$P=-1-\tan^{2}x+1$

$P=-\tan^{2}x$

Este tipo de simplificación muestra por qué conviene dominar las reglas: cada pieza se reduce rápidamente y la expresión se vuelve manejable.

Observación sobre $360°n-\theta$

Un caso especial que suele generar errores es cuando aparece un ángulo de la forma $360°n-\theta$ , es decir, un ángulo que está cerca de una vuelta completa pero con signo negativo en $\theta$ .

Ejemplo:

$\mathrm{sen}(720°-x)$

Primero eliminamos las vueltas completas:

$720°-x=2(360°)-x$

Entonces:

$\mathrm{sen}(720°-x)=\mathrm{sen}(-x)=-\mathrm{sen}\,x$

No se debe escribir $\mathrm{sen}(720°-x)=\mathrm{sen}\,x$ , porque $720°-x$ no es coterminal con $x$ , sino con $-x$ .

En general:

$\mathrm{sen}(360°n-\theta)=-\mathrm{sen}\,\theta$

$\cos(360°n-\theta)=\cos\theta$

$\tan(360°n-\theta)=-\tan\theta$

para $n\in\mathbb{Z}$ .

Cuidado

Errores frecuentes

1. Eliminar vueltas completas sin considerar el signo negativo

Error:

$\mathrm{sen}(720°-x)=\mathrm{sen}\,x$

Correcto:

$\mathrm{sen}(720°-x)=\mathrm{sen}(-x)=-\mathrm{sen}\,x$

Cuando el ángulo es $360°n-\theta$ , después de quitar las vueltas queda $-\theta$ , no $\theta$ .

2. Creer que $\cos(-x)=-\cos x$

El coseno es una función par:

$\cos(-x)=\cos x$

Solo cambian de signo el seno, la tangente y sus recíprocas.

3. Aplicar co-razón al reducir $360°$

Las vueltas completas no cambian el nombre de la razón. No se debe transformar $\mathrm{sen}(360°+\theta)$ en $\cos\theta$ . Eso solo ocurre con $90°$ y $270°$ .

Error:

$\mathrm{sen}(360°+\theta)=\cos\theta$

Correcto:

$\mathrm{sen}(360°+\theta)=\mathrm{sen}\,\theta$

4. No dividir correctamente en radianes

En radianes, una vuelta es $2\pi$ , no $\pi$ . Al reducir $\frac{29\pi}{4}$ , se compara con $2\pi=\frac{8\pi}{4}$ , no con $\frac{4\pi}{4}$ .

Error común:

$\frac{29\pi}{4} = 7\pi+\frac{\pi}{4}$

$\frac{29\pi}{4} = 3(2\pi)+\frac{5\pi}{4}$

5. Olvidar las recíprocas al aplicar signos

Las reglas de ángulos negativos también se aplican a las recíprocas:

$\csc(-x)=-\csc x,\qquad \sec(-x)=\sec x,\qquad \cot(-x)=-\cot x$

No se debe reducir solamente seno, coseno y tangente.

Aprende resolviendo

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Calcula:

$E=\sec 780°+\tan 1125°-\csc 750°$

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Ejemplo 2

Calcula:

$P = \frac{\mathrm{sen}(-45°)}{\cos 315°} + \frac{\cos(-30°)}{\mathrm{sen}\,690°}$

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Ejemplo 3

Simplifica:

$Q = \frac{\mathrm{sen}(-x)+\cos(270°-x)}{\cos(360°-x)}$

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Ejemplo 4

Calcula:

$E = \frac{ \cos\left(-\frac{20\pi}{3}\right) \cdot \sec\left(\frac{25\pi}{4}\right) }{ \tan\left(-\frac{29\pi}{6}\right) }$

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Lo que viene

Hacia el siguiente tema

Ir al siguiente tema: Identidades trigonométricas de ángulos múltiples I: seno y coseno del ángulo doble

¿Lo dominas?

Pon a prueba lo que aprendiste

20 preguntas de práctica tipo admisión y 3 preguntas reales de San Marcos, con clave y resolución explicada.

Practicar este tema

Practicar

Evaluación del tema

20 preguntas para medir aprendizaje real

Hasta 6 básicas, 8 intermedias y 6 avanzadas; si un nivel no alcanza, se completa con el nivel más cercano. El diagnóstico recomienda una ruta; la evaluación final actualiza el porcentaje y puede marcar el tema como aprendido.

Básico 5/6Intermedio 13/8Avanzado 5/6Total 23/20

Ingresar para evaluarme

Aprender desde las preguntas

Preguntas relacionadas

Practicar este tema

1Simplifique $T=\dfrac{\operatorname{sen}(-x)\csc(1080^\circ+x)}{\cos(900^\circ-x)\sec(-x)}$.UNMSM Sin procesoIntermedio

2Calcule $E=\operatorname{sen}(-1410^\circ)\tan 1125^\circ + \cos(-1200^\circ)\sec 780^\circ$.UNMSM Sin procesoAvanzado

3Calcule $P=\dfrac{\cos\left(-\frac{37\pi}{6}\right)\csc\left(-\frac{25\pi}{4}\right)}{\tan\left(\frac{41\pi}{3}\right)}$.UNMSM Sin procesoAvanzado

Volver al curso Siguiente: Identidades trigonométricas de ángulos múltiples I: seno y coseno del ángulo doble

Reducción al primer cuadrante II: ángulos mayores a una vuelta

Estudia a tu ritmo

1. Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal

2. Signos de las razones por cuadrantes

3. Reglas de reducción para ángulos menores a una vuelta

Idea concreta

Regla general en grados sexagesimales

Regla general en radianes

¿Cómo se divide en la práctica?

Cuando el residuo no es agudo

¿Qué significa un ángulo negativo?

Deducción de las reglas de signo

Regla práctica

Ángulos negativos y vueltas completas

Paso 1: Si el ángulo es negativo, aplica la regla de ángulos negativos

Paso 2: Si el ángulo positivo es mayor a una vuelta, elimina vueltas completas

Paso 3: Si el residuo θ\thetaθ no es agudo, reduce al primer cuadrante

Paso 4: Reemplaza el valor del ángulo agudo

Ejemplo completo

Ejemplo de simplificación

Observación sobre 360°n−θ360°n-\theta360°n−θ

1. Eliminar vueltas completas sin considerar el signo negativo

2. Creer que cos⁡(−x)=−cos⁡x\cos(-x)=-\cos xcos(−x)=−cosx

3. Aplicar co-razón al reducir 360°360°360°

4. No dividir correctamente en radianes

5. Olvidar las recíprocas al aplicar signos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Pon a prueba lo que aprendiste

1. Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal

2. Signos de las razones por cuadrantes

3. Reglas de reducción para ángulos menores a una vuelta

Idea concreta

Regla general en grados sexagesimales

Regla general en radianes

¿Cómo se divide en la práctica?

Cuando el residuo no es agudo

¿Qué significa un ángulo negativo?

Deducción de las reglas de signo

Regla práctica

Ángulos negativos y vueltas completas

Paso 1: Si el ángulo es negativo, aplica la regla de ángulos negativos

Paso 2: Si el ángulo positivo es mayor a una vuelta, elimina vueltas completas

Paso 3: Si el residuo θ\thetaθ no es agudo, reduce al primer cuadrante

Paso 4: Reemplaza el valor del ángulo agudo

Ejemplo completo

Ejemplo de simplificación

Observación sobre 360°n−θ360°n-\theta360°n−θ

1. Eliminar vueltas completas sin considerar el signo negativo

2. Creer que cos⁡(−x)=−cos⁡x\cos(-x)=-\cos xcos(−x)=−cosx

3. Aplicar co-razón al reducir 360°360°360°

4. No dividir correctamente en radianes

5. Olvidar las recíprocas al aplicar signos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Pon a prueba lo que aprendiste

20 preguntas para medir aprendizaje real

Preguntas relacionadas

Paso 3: Si el residuo $\theta$ no es agudo, reduce al primer cuadrante

Observación sobre $360°n-\theta$

2. Creer que $\cos(-x)=-\cos x$

3. Aplicar co-razón al reducir $360°$

Paso 3: Si el residuo $\theta$ no es agudo, reduce al primer cuadrante

Observación sobre $360°n-\theta$

2. Creer que $\cos(-x)=-\cos x$

3. Aplicar co-razón al reducir $360°$